Położenie pierwiastków trójmianu kwadratowego.
Nauczyciel najwyższej kategorii: Minaichenko N.S., gimnazjum nr 24, Sewastopol
Lekcja w klasie 8: „Trójmian kwadratowy i jego pierwiastki”
Typ lekcji : lekcja nowej wiedzy.
Cel lekcji:
organizować zajęcia studenckie mające na celu utrwalenie i pogłębienie wiedzy na temat rozkładu trójmianu kwadratowego na czynniki liniowe oraz redukcji ułamków zwykłych;
kształcić umiejętności stosowania wiedzy o wszystkich metodach faktoryzacji: nawiasach, posługiwaniu się skróconymi wzorami na mnożenie i metodach grupowania w celu przygotowania się do zdania egzaminu z algebry;
stworzyć warunki do rozwoju zainteresowania poznawczego przedmiotem, kształtowania logicznego myślenia i samokontroli podczas korzystania z faktoryzacji.
Sprzęt: rzutnik multimedialny, ekran, prezentacja: „Pierwiastki trójmianu kwadratowego”, krzyżówka, test, materiały informacyjne.
Podstawowe koncepcje . Rozkładanie na czynniki trójmianu kwadratowego.
Samodzielna działalność studentów. Zastosowanie twierdzenia o faktoryzacji trójmianu kwadratowego w rozwiązywaniu problemów.
Plan lekcji
Rozwiązywanie problemów.Odpowiedzi na pytania uczniów
IV. Podstawowy test nabywania wiedzy. Odbicie
Wiadomość nauczyciela.
Wiadomość studencka
V. Praca domowa
Pisanie na tablicy
Komentarz metodologiczny:
Temat ten jest zasadniczy w części „Identyczne przekształcenia wyrażeń algebraicznych”. Dlatego ważne jest, aby uczniowie automatycznie potrafili nie tylko zobaczyć wzory na faktoryzację w przykładach, ale także zastosować je w innych zadaniach: takich jak rozwiązywanie równań, przekształcanie wyrażeń, udowadnianie tożsamości.
W tym temacie skupiono się na rozkładaniu na czynniki trójmianu kwadratowego:
topór+ bx + do = a(x – x)(x – x),
gdzie x i x – pierwiastki równania kwadratowego ax + bx + c = 0.
Pozwala to poszerzyć pole widzenia ucznia, nauczyć go myślenia w niestandardowej sytuacji, wykorzystując studiowany materiał, tj. korzystając ze wzoru na rozkład na czynniki trójmianu kwadratowego:
umiejętność redukcji ułamków algebraicznych;
umiejętność upraszczania wyrażeń algebraicznych;
umiejętność rozwiązywania równań;
zdolność do potwierdzania tożsamości.
Główna treść lekcji:
a) 3x + 5x – 2;
b) –x + 16x – 15;
c) x – 12x + 24;
d) –5x + 6x – 1.
№2. Zmniejsz ułamek:
№3. Uprość wyrażenie:
№4. Rozwiąż równanie:
B)
Podczas zajęć:
I. Etap aktualizacji wiedzy.
Motywacja do zajęć edukacyjnych.
a) z historii:
B) krzyżówka:
Rozgrzewka – trenuj umysł – krzyżówka:
Poziomo:
1) Pierwiastek drugiego stopnia nazywa się…. (kwadrat)
2) Wartości zmiennej, przy której równanie staje się prawdziwą równością (pierwiastki)
3) Równość zawierająca niewiadomą nazywa się... (równaniem)
4) Indyjski naukowiec, który ustalił ogólną zasadę rozwiązywania równań kwadratowych (Brahmagupta)
5) Współczynniki równania kwadratowego to... (liczby)
6) Starożytny grecki naukowiec, który wynalazł geometryczną metodę rozwiązywania równań (Euklides)
7) Twierdzenie dotyczące współczynników i pierwiastków równania kwadratowego (Vieta)
8) „dyskryminator”, wyznaczanie pierwiastków równania kwadratowego – czyli... (dyskryminator)
Dodatkowo:
Jeśli D>0, ile pierwiastków? (dwa)
Jeśli D=0, ile pierwiastków? (jeden)
Jeśli D<0, сколько корней? (нет действительных корней)
Temat lekcji poziomej i pionowej: „Trójmian kwadratowy”
b) motywacja:
Temat ten jest zasadniczy w części „Identyczne przekształcenia wyrażeń algebraicznych”. Dlatego ważne jest, abyś automatycznie mógł nie tylko zobaczyć wzory na faktoryzację w przykładach, ale także zastosować je w innych zadaniach: takich jak redukowanie ułamków, rozwiązywanie równań, przekształcanie wyrażeń, udowadnianie tożsamości.
Dzisiaj skupimy się na rozłożeniu na czynniki trójmianu kwadratowego:
II. Nauka nowego materiału.
Temat: Trójmian kwadratowy i jego pierwiastki.
Ogólna teoria wielomianów wielu zmiennych wykracza daleko poza zakres zajęć szkolnych. Dlatego ograniczymy się do badania wielomianów jednej zmiennej rzeczywistej i to tylko w najprostszych przypadkach. Rozważmy wielomiany jednej zmiennej sprowadzone do postaci standardowej.
Pierwiastek wielomianu jest wartością zmiennej, przy której wartość wielomianu jest równa zeru. Oznacza to, że aby znaleźć pierwiastki wielomianu, należy go przyrównać do zera, tj. Rozwiązać równanie.
Pierwiastek wielomianu pierwszego stopnia
łatwe do znalezienia
. Badanie:
.
Pierwiastki trójmianu kwadratowego można znaleźć rozwiązując równanie:
.
Korzystając ze wzoru na pierwiastki równania kwadratowego znajdujemy:
;
Jeśli I -pierwiastki trójmianu kwadratowego
, Gdzie ≠ 0,
To .
Dowód:
Dokonajmy następujących przekształceń trójmianu kwadratowego:
=
=
=
=
=
=
=
=
Od dyskryminatora
, otrzymujemy:
=
=
Zastosujmy wzór na różnicę kwadratów w nawiasach i otrzymamy:
=
=
,
ponieważ
;
. Twierdzenie zostało udowodnione.
Wynikową formułę nazywa się formułąrozkładanie na czynniki trójmianu kwadratowego.
III. Kształtowanie umiejętności i zdolności.
№1. Rozłóż na czynniki trójmian kwadratowy:
a) 3x + 5x – 2;Rozwiązanie:
Odpowiedź: 3x+5x–2=3(x+2)(x-)=(x+2)(3x-1)
Na biurku:
b) –5x + 6x – 1;
Dodatkowo:
c) x – 12x + 24;
d) –x + 16x – 15.
№2. Zmniejsz ułamek:
A)
№4. Rozwiąż równanie:
B)
IV. Podstawowy test nabywania wiedzy.
A) Test.
Opcja 1.
1. Znajdź pierwiastki trójmianu kwadratowego:2x 2 -9x-5
Odpowiedź:
2. Jakim wielomianem należy zastąpić wielomian, aby równość była prawdziwa:
b) Wzajemna weryfikacja opcji (odpowiedzi i parametry oceny są zilustrowane).
c) Refleksja.
V. Praca domowa.
Temat „Trójmian kwadratowy i jego pierwiastki” jest realizowany na kursie algebry w IX klasie. Jak każda inna lekcja matematyki, lekcja na ten temat wymaga specjalnych narzędzi i metod nauczania. Widoczność jest konieczna. Jednym z nich jest ten samouczek wideo, który został zaprojektowany specjalnie, aby ułatwić pracę nauczyciela.
Ta lekcja trwa 6:36 minut. W tym czasie autorowi udaje się całkowicie odsłonić temat. Nauczyciel będzie musiał jedynie wybrać zadania na dany temat, aby utrwalić materiał.
Lekcja rozpoczyna się od pokazania przykładów wielomianów z jedną zmienną. Następnie na ekranie pojawia się definicja pierwiastka wielomianu. Definicja ta jest poparta przykładem, w którym konieczne jest znalezienie pierwiastków wielomianu. Po rozwiązaniu równania autor otrzymuje pierwiastki wielomianu.
Poniżej uwaga, że do trójmianów kwadratowych zalicza się także te wielomiany drugiego stopnia, w których drugi, trzeci lub oba współczynniki, z wyjątkiem wiodącego, są równe zeru. Informacje te poparte są przykładem, w którym wolny współczynnik wynosi zero.
Następnie autor wyjaśnia, jak znaleźć pierwiastki trójmianu kwadratowego. Aby to zrobić, musisz rozwiązać równanie kwadratowe. Autor sugeruje sprawdzenie tego na przykładzie, w którym podany jest trójmian kwadratowy. Musimy znaleźć jego korzenie. Rozwiązanie konstruuje się w oparciu o rozwiązanie równania kwadratowego otrzymanego z danego trójmianu kwadratowego. Rozwiązanie jest szczegółowo zapisane na ekranie, wyraźnie i zrozumiale. Rozwiązując ten przykład, autor pamięta, jak rozwiązać równanie kwadratowe, zapisuje wzory i otrzymuje wynik. Odpowiedź jest rejestrowana na ekranie.
Autor wyjaśnił na przykładzie szukanie pierwiastków trójmianu kwadratowego. Kiedy uczniowie zrozumieją istotę, mogą przejść do kwestii bardziej ogólnych, co robi autor. Dlatego dalej podsumowuje wszystkie powyższe. Ogólnie rzecz biorąc, w języku matematycznym autor zapisuje zasadę znajdowania pierwiastków trójmianu kwadratowego.
Poniżej znajduje się uwaga, że w niektórych problemach wygodniej jest zapisać trójmian kwadratowy nieco inaczej. Wpis ten zostanie wyświetlony na ekranie. Oznacza to, że z kwadratowego trójmianu można wyodrębnić kwadrat dwumianu. Proponuje się rozważyć taką transformację na przykładzie. Rozwiązanie tego przykładu pokazano na ekranie. Podobnie jak w poprzednim przykładzie, rozwiązanie jest skonstruowane szczegółowo ze wszystkimi niezbędnymi wyjaśnieniami. Następnie autor rozważa problem wykorzystujący podane informacje. Jest to problem dowodu geometrycznego. Rozwiązanie zawiera ilustrację w formie rysunku. Rozwiązanie problemu jest opisane szczegółowo i przejrzyście.
Na tym kończy się lekcja. Nauczyciel może jednak wybrać zadania na podstawie umiejętności uczniów, które będą odpowiadać danemu tematowi.
Tę lekcję wideo można wykorzystać jako objaśnienie nowego materiału na lekcjach algebry. Świetnie sprawdza się w przypadku uczniów, którzy samodzielnie przygotowują się do zajęć.
Prezentacja na lekcję matematyki w klasie 9 na temat „Trójmian kwadratowy i jego pierwiastki” wraz z treścią zadań na poziomie pogłębionego studiowania przedmiotu. Prezentacja przeznaczona jest do ciągłego wykorzystania podczas całej lekcji. Zadania o różnej treści.
Pobierać:
Zapowiedź:
Aby skorzystać z podglądu prezentacji utwórz konto Google i zaloguj się na nie: https://accounts.google.com
Podpisy slajdów:
Element planu Element planu Element planu Element planu Element planu Aktualizacja wiedzy Przestudiowanie tematu lekcji Odniesienie encyklopedyczne Dynamiczna minuta Praca domowa Trójmian kwadratowy i jego pierwiastki przygotowała nauczycielka matematyki: 1KK Radczenko Natalya Fedorovna
Aktualizacja wiedzy Przestudiowanie tematu lekcji Odniesienie encyklopedyczne Dynamiczna minuta Praca domowa Aktualizacja wiedzy ◊ 1 Powtórzenie materiału o funkcjach; ◊ 2 Podstawy teoretyczne rozwiązywania równania kwadratowego; ◊ 3 Twierdzenie Viety; ◊ 4 Łącznie.
Aktualizacja wiedzy Powtarzanie materiału: wśród tych funkcji wskaż funkcje malejące liniowo: y= x²+12 y= -x-24 y= 9x+8 h= 23-23x h= 1/x² g= (x+16)² g = - 3
Aktualizacja wiedzy Jak określa się obecność i liczbę pierwiastków równania kwadratowego? Jak obliczyć dyskryminator równania kwadratowego D = 2. Jakie są wzory na pierwiastki równania kwadratowego D>0, wtedy x 1,2 = D = 0, wtedy x =
Uaktualnienie wiedzy t² - 2t – 3 = 0 3. Oblicz dyskryminator i odpowiedz na pytanie „Ile pierwiastków ma równanie kwadratowe?” D= 16 >0, dwa pierwiastki Jaki jest iloczyn pierwiastków? X 1 x 2 = - 3 5. Jaka jest suma pierwiastków równania? X 1 + x 2 = 2 6. Co można powiedzieć o znakach korzeni? Korzenie różnych znaków 7. Znajdź pierwiastki poprzez selekcję. X 1 = 3, x 2 = -1
Przestudiowanie tematu lekcji ◊ 1 Omówienie tematu lekcji; ◊ 2 Podstawy teoretyczne koncepcji „Trójmian kwadratowy i jego pierwiastki”; ◊ 3 Wypowiedzi wielkich myślicieli na temat matematyki; ◊ 4 Analiza przykładowych tematów; Studiowanie tematu lekcji Odniesienie encyklopedyczne Dynamiczna minuta Praca domowa
Trójmian kwadratowy i jego pierwiastki Trójmian kwadratowy to wielomian w postaci ax² + bx + c, gdzie x jest zmienną, a, b i c to pewne liczby, a a≠ 0. Pierwiastkiem trójmianu kwadratowego jest wartość zmiennej, przy której wartość tego trójmianu wynosi zero. Aby znaleźć pierwiastki trójmianu kwadratowego ax² + bx + c, należy rozwiązać równanie kwadratowe ax² + bx + c =0.
Trójmian kwadratowy i jego pierwiastki Nie wystarczy mieć dobry umysł, najważniejsze jest, aby dobrze go używać. R. Kartezjusz Każdy powinien umieć myśleć konsekwentnie, oceniać na podstawie dowodów i obalać błędne wnioski: fizyk i poeta, traktorzysta i chemik. E. Kolmana
Literatura encyklopedyczna ◊ 1 Pojęcie „parametru”; ◊ 2 Znaczenie słowa „parametr” w słownikach rosyjskich i słowniku słów obcych; ◊ 3 Oznaczenie i zakres stosowania parametru; ◊ 4 przykłady z parametrami. Encyklopedyczne odniesienie Dynamiczne minutowe zadanie domowe
Odniesienie encyklopedyczne PARAMETR (od greckiego παραμετρέω - mierzę, wychodzę). Wielkość zawarta we wzorze matematycznym i utrzymująca stałą wartość w obrębie jednego zjawiska lub dla danego zadania..., (mat.) Parametr to wartość stała, wyrażona literą, zachowująca swą stałą wartość tylko w warunkach dane zadanie... „Słownik wyrazów obcych”. 3. Przy jakiej wartości parametru m trójmian kwadratowy 2x ² + 2mx – m – 0,5 ma pojedynczy pierwiastek? Znajdź ten korzeń.
Pauza dynamiczna ◊ 1 Rozwiązanie „problemu problemowego”; ◊ 2 Tło historyczne: list z przeszłości; Dynamiczna minutowa praca domowa
Pauza dynamiczna Przy jakiej wartości parametru t trójmian kwadratowy 2х ² + 2тх – т – 0,5 = 0 i ma pojedynczy pierwiastek? Znajdź ten korzeń. Równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek D=0 D= b² - 4ac; a=2, b=2m, c= - m – 0,5 D= (2m)² - 4 2 (- m – 0,5) = 4m² + 8m +4 D=0, 4m² + 8m +4 = 0 m² + 2m +1 = 0 (m + 1)² = 0 m= - 1 Podstaw znalezioną wartość m do pierwotnego równania: 2x ² - 2x + 1 – 0,5 = 0 4x ² - 4x + 1 = 0 ( 2x – 1 ) ² =0 2x -1 =0 x = 0,5
Pauza dynamiczna W zadaniu domowym uczniowie ósmej klasy zostali poproszeni o znalezienie pierwiastków trójmianu kwadratowego (x² - 5x +7) ² - 2(x² - 5x +7) - 3 Po namyśle Vitya rozumowała w ten sposób: najpierw trzeba otwórz nawiasy i podaj podobne terminy. Ale Styopa powiedział, że istnieje prostszy sposób rozwiązania tego problemu i wcale nie jest konieczne otwieranie nawiasów. Pomóż Vicie znaleźć racjonalne rozwiązanie
Pauza dynamiczna Problemy znajdowania pierwiastków trójmianu kwadratowego i układania równań kwadratowych spotykamy już w starożytnych egipskich papirusach matematycznych. Ogólną zasadę znajdowania pierwiastków i rozwiązywania równań postaci: ax ² + bx = c, gdzie a > 0, b i c są dowolne, sformułował Brahmagupta (VII w. n.e.). Brahmagupta nie wiedział jeszcze, że równanie kwadratowe może mieć również pierwiastek ujemny. Bhaskara Acharya (XII w.) sformułował zależności pomiędzy współczynnikami równania. Zrobił wiele problemów.
Uogólnienie, praca domowa ◊ 1 Rozwiązywanie ćwiczeń z parametrem: różne typy zadań; ◊ 2 Podsumowanie badanego tematu; ◊ 3 Praca domowa: według poziomu. Praca domowa
Uogólnienie, praca domowa Znajdź pierwiastki trójmianu kwadratowego (x-4)² +(4y-12)². Znajdź wartości parametru a dla każdego z nich trójmian kwadratowy x²+ 4 x + 2ax+8a+1 ma jedno rozwiązanie. Zadanie domowe: s. 3; Grupa 1: nr 45 (c, d), nr 49 (c, d); Grupa 2: a) znajdź wartość parametru a, przy której trójmian kwadratowy x²-6x+2ax+4a nie ma rozwiązania; b) znajdź pierwiastki trójmianu kwadratowego (2x-6)²+(3y-12)²
źródło szablonu Natalia Władimirowna Czernakowa Nauczycielka chemii i biologii, Państwowa Instytucja Oświatowa NPO Obwód Archangielski „Szkoła Zawodowa nr 31” „http://pedsovet.su/”
Pierwiastek trójmianu kwadratowego można znaleźć za pomocą dyskryminatora. Dodatkowo dla zredukowanego wielomianu drugiego stopnia obowiązuje twierdzenie Viety oparte na stosunku współczynników.
Instrukcje
- Równania kwadratowe są dość obszernym tematem algebry szkolnej. Lewa strona takiego równania jest wielomianem drugiego stopnia postaci A x² + B x + C, tj. wyrażenie trzech jednomianów o różnym stopniu nieznanego x. Aby znaleźć pierwiastek trójmianu kwadratowego, musisz obliczyć wartość x, przy której to wyrażenie jest równe zero.
- Aby rozwiązać równanie kwadratowe, musisz znaleźć dyskryminator. Jego wzór jest konsekwencją wyodrębnienia pełnego kwadratu wielomianu i przedstawia pewien stosunek jego współczynników: D = B² – 4 A C.
- Wyróżnik może przyjmować różne wartości, w tym być ujemny. A jeśli młodsi uczniowie mogą z ulgą powiedzieć, że takie równanie nie ma pierwiastków, to licealiści już potrafią je wyznaczyć w oparciu o teorię liczb zespolonych. Zatem opcje mogą być trzy: Dyskryminacyjny – liczba dodatnia. Wtedy pierwiastki równania są równe: x1 = (-B + √D)/2 A; x2 = (-B - √D)/2 A;
Dyskryminator osiągnął zero. Teoretycznie w tym przypadku równanie również ma dwa pierwiastki, ale w praktyce są one takie same: x1 = x2 = -B/2 A;
Dyskryminator jest mniejszy od zera. Do obliczeń wprowadza się pewną wartość i² = -1, co pozwala napisać rozwiązanie zespolone: x1 = (-B + i √|D|)/2 A; x2 = (-B - i √|D|)/2 A. - Metoda dyskryminacyjna obowiązuje dla dowolnego równania kwadratowego, jednak zdarzają się sytuacje, w których wskazane jest zastosowanie szybszej metody, szczególnie w przypadku małych współczynników całkowitych. Metoda ta nazywa się twierdzeniem Viety i składa się z pary zależności pomiędzy współczynnikami w trójmianie zredukowanym: x² + P x + Q
x1 + x2 = -P;
x1 x2 = Q. Pozostaje tylko znaleźć pierwiastki. - Należy zauważyć, że równanie można sprowadzić do podobnej postaci. Aby to zrobić, musisz podzielić wszystkie wyrazy trójmianu przez współczynnik największej potęgi A: A x² + B x + C |A
x² + B/A x + C/A
x1 + x2 = -B/A;
x1 x2 = C/A.
Rozszerzanie wielomianów w celu uzyskania iloczynu może czasami wydawać się mylące. Ale nie jest to takie trudne, jeśli zrozumiesz proces krok po kroku. W artykule opisano szczegółowo sposób rozkładania na czynniki trójmianu kwadratowego.
Wiele osób nie rozumie, jak rozłożyć na czynniki trójmian kwadratowy i dlaczego to się robi. Na początku może się to wydawać daremnym ćwiczeniem. Ale w matematyce nic nie robi się bez powodu. Transformacja jest konieczna, aby uprościć wyrażenie i ułatwić obliczenia.
Wielomian postaci – ax²+bx+c, zwany trójmianem kwadratowym. Termin „a” musi być ujemny lub dodatni. W praktyce wyrażenie to nazywa się równaniem kwadratowym. Dlatego czasami mówią inaczej: jak rozwinąć równanie kwadratowe.
Ciekawy! Wielomian nazywa się kwadratem ze względu na jego największy stopień – kwadrat. I trójmian - ze względu na 3 składniki.
Niektóre inne typy wielomianów:
- dwumian liniowy (6x+8);
- sześcienny czteromian (x³+4x²-2x+9).
Rozkładanie na czynniki trójmianu kwadratowego
Najpierw wyrażenie jest równe zero, następnie musisz znaleźć wartości pierwiastków x1 i x2. Może nie być korzeni, może być jeden lub dwa korzenie. Obecność korzeni jest określana przez dyskryminator. Trzeba znać na pamięć jego wzór: D=b²-4ac.
Jeśli wynik D jest ujemny, nie ma pierwiastków. Jeśli jest dodatni, istnieją dwa pierwiastki. Jeśli wynik wynosi zero, pierwiastek wynosi jeden. Pierwiastki oblicza się również za pomocą wzoru.
Jeżeli przy obliczaniu dyskryminatora wynik wynosi zero, możesz użyć dowolnego ze wzorów. W praktyce wzór jest po prostu skracany: -b/2a.
Wzory dla różnych wartości dyskryminacyjnych są różne.
Jeśli D jest dodatnie:
Jeśli D wynosi zero:
Kalkulatory internetowe
W Internecie dostępny jest kalkulator online. Można go wykorzystać do przeprowadzenia faktoryzacji. Niektóre zasoby umożliwiają obejrzenie rozwiązania krok po kroku. Takie usługi pomagają lepiej zrozumieć temat, ale trzeba się postarać, aby dobrze go zrozumieć.
Przydatne wideo: Rozkładanie na czynniki trójmianu kwadratowego
Przykłady
Sugerujemy przyjrzenie się prostym przykładom rozkładania na czynniki równania kwadratowego.
Przykład 1
To wyraźnie pokazuje, że wynikiem są dwa x, ponieważ D jest dodatnie. Należy je zastąpić we wzorze. Jeśli pierwiastki okażą się ujemne, znak we wzorze zmienia się na przeciwny.
Znamy wzór na rozkład na czynniki trójmianu kwadratowego: a(x-x1)(x-x2). Wartości umieszczamy w nawiasach: (x+3)(x+2/3). W potędze nie ma liczby przed wyrazem. Oznacza to, że tam jest jeden, spada.
Przykład 2
Ten przykład wyraźnie pokazuje, jak rozwiązać równanie, które ma jeden pierwiastek.
Podstawiamy otrzymaną wartość:
Przykład 3
Dane: 5x²+3x+7
Najpierw obliczmy dyskryminator, tak jak w poprzednich przypadkach.
D=9-4*5*7=9-140= -131.
Dyskryminator jest ujemny, co oznacza, że nie ma pierwiastków.
Po otrzymaniu wyniku należy otworzyć nawiasy i sprawdzić wynik. Powinien pojawić się oryginalny trójmian.
Alternatywne rozwiązanie
Niektórzy ludzie nigdy nie byli w stanie zaprzyjaźnić się z osobą dyskryminującą. Istnieje inny sposób rozkładu na czynniki trójmianu kwadratowego. Dla wygody metodę pokazano na przykładzie.
Dane: x²+3x-10
Wiemy, że powinniśmy otrzymać 2 nawiasy: (_)(_). Gdy wyrażenie wygląda tak: x²+bx+c, na początku każdego nawiasu umieszczamy x: (x_)(x_). Pozostałe dwie liczby to iloczyn dający „c”, czyli w tym przypadku -10. Jedynym sposobem, aby dowiedzieć się, jakie to liczby, jest selekcja. Podstawione liczby muszą odpowiadać pozostałemu wyrazowi.
Na przykład pomnożenie następujących liczb daje -10:
- -1, 10;
- -10, 1;
- -5, 2;
- -2, 5.
- (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. NIE.
- (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. NIE.
- (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. NIE.
- (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Pasuje.
Oznacza to, że transformacja wyrażenia x2+3x-10 wygląda następująco: (x-2)(x+5).
Ważny! Należy uważać, aby nie pomylić znaków.
Rozwinięcie złożonego trójmianu
Jeśli „a” jest większe niż jeden, zaczynają się trudności. Ale wszystko nie jest tak trudne, jak się wydaje.
Aby dokonać rozkładu na czynniki, najpierw musisz sprawdzić, czy cokolwiek można rozłożyć na czynniki.
Na przykład, biorąc pod uwagę wyrażenie: 3x²+9x-30. Tutaj liczba 3 jest wyjęta z nawiasów:
3(x²+3x-10). Rezultatem jest już dobrze znany trójmian. Odpowiedź wygląda następująco: 3(x-2)(x+5)
Jak rozłożyć, jeśli wyraz znajdujący się w kwadracie jest ujemny? W tym przypadku liczba -1 jest wyjmowana z nawiasów. Na przykład: -x²-10x-8. Wyrażenie będzie wówczas wyglądało następująco:
Schemat niewiele różni się od poprzedniego. Jest tylko kilka nowości. Powiedzmy, że podane jest wyrażenie: 2x²+7x+3. Odpowiedź jest również zapisana w 2 nawiasach, które należy wypełnić (_) (_). W drugim nawiasie zapisano x, a w pierwszym to, co zostało. Wygląda to tak: (2x_)(x_). W przeciwnym razie poprzedni schemat zostanie powtórzony.
Liczba 3 jest dana liczbami:
- -1, -3;
- -3, -1;
- 3, 1;
- 1, 3.
Równania rozwiązujemy podstawiając te liczby. Ostatnia opcja jest odpowiednia. Oznacza to, że transformacja wyrażenia 2x²+7x+3 wygląda następująco: (2x+1)(x+3).
Inne przypadki
Nie zawsze jest możliwa konwersja wyrażenia. W przypadku drugiej metody rozwiązanie równania nie jest wymagane. Jednak możliwość przekształcenia terminów w iloczyn sprawdza się jedynie poprzez dyskryminator.
Warto poćwiczyć rozwiązywanie równań kwadratowych, aby przy korzystaniu ze wzorów nie było żadnych trudności.
Przydatne wideo: rozkład na czynniki trójmianu
Wniosek
Możesz go wykorzystać w dowolny sposób. Ale lepiej ćwiczyć jedno i drugie, aż staną się automatyczne. Nauczenie się dobrego rozwiązywania równań kwadratowych i wielomianów czynnikowych jest niezbędne dla tych, którzy planują związać swoje życie z matematyką. Na tym opierają się wszystkie poniższe tematy matematyczne.
- Co to jest grupa fokusowa Grupa fokusowa, ile osób powinno być
- Status społeczny osoby
- Matematyka Lubię Twierdzenie graniczne
- Teoria archetypów C. G. Junga i jej znaczenie dla zrozumienia mechanizmów postrzegania świata obiektywnego. Podstawowe archetypy w analizie jungowskiej Archetypy Junga w skrócie