Klasyczna forma prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo zdarzenia
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.
Jak wspomniano powyżej, z dużą liczbą N częstotliwość testów P*(A)=m/ N wystąpienie zdarzenia A jest stabilny i daje przybliżoną wartość prawdopodobieństwa zdarzenia A , tj. .
Ta okoliczność pozwala nam eksperymentalnie znaleźć przybliżone prawdopodobieństwo zdarzenia. W praktyce ta metoda wyznaczania prawdopodobieństwa zdarzenia nie zawsze jest wygodna. Przecież prawdopodobieństwo jakiegoś zdarzenia musimy znać z góry, jeszcze przed eksperymentem. Na tym polega heurystyczna, predykcyjna rola nauki. W wielu przypadkach prawdopodobieństwo zdarzenia można określić przed eksperymentem, korzystając z koncepcji równoważnego prawdopodobieństwa zdarzeń (lub równoważności).
Obydwa zdarzenia nazywane są równie prawdopodobne (Lub równie możliwe ), jeśli nie ma obiektywnych przesłanek, aby sądzić, że jeden z nich może wystąpić częściej niż drugi.
Tak więc np. pojawienie się herbu lub napisu podczas rzucania monetą jest zdarzeniami równie prawdopodobnymi.
Spójrzmy na inny przykład. Niech rzucą kostką. Ze względu na symetrię sześcianu możemy założyć, że pojawi się którakolwiek z liczb 1, 2, 3, 4, 5 Lub 6 równie możliwe (równie prawdopodobne).
Wydarzenia w tym eksperymencie powstają pełna grupa
, jeżeli w wyniku eksperymentu zaistnieje przynajmniej jeden z nich. Tak więc w ostatnim przykładzie pełna grupa wydarzeń składa się z sześciu wydarzeń - pojawienia się liczb 1, 2, 3, 4, 5
I 6.
Oczywiście każde wydarzenie A i jego przeciwne wydarzenie tworzą kompletną grupę.
Wydarzenie B zwany korzystny wydarzenie A , jeżeli zaistnieje zdarzenie B pociąga za sobą wystąpienie zdarzenia A . Więc jeśli A - pojawienie się parzystej liczby punktów przy rzucie kostką, a następnie pojawienie się liczby 4 reprezentuje wydarzenie sprzyjające wydarzeniu A.
Niech wydarzenia w tym eksperymencie tworzą pełną grupę zdarzeń równie prawdopodobnych i niezgodnych parami. Zadzwońmy do nich wyniki
testy. Załóżmy, że zdarzenie A
sprzyjać wynikom rozprawy. Następnie prawdopodobieństwo zdarzenia A
w tym eksperymencie nazywa się postawą. Dochodzimy zatem do następującej definicji.
Prawdopodobieństwo P(A) zdarzenia w danym eksperymencie to stosunek liczby wyników eksperymentalnych korzystnych dla zdarzenia A do całkowitej liczby możliwych wyników eksperymentalnych, które tworzą pełną grupę równie prawdopodobnych, niezgodnych parami zdarzeń: .
Ta definicja prawdopodobieństwa jest często nazywana klasyczny. Można wykazać, że klasyczna definicja spełnia aksjomaty prawdopodobieństwa.
Przykład 1.1. Partia z 1000 namiar. Do tej grupy trafiłem przez przypadek 30 łożyska niespełniające normy. Określ prawdopodobieństwo ROCZNIE) że losowo wybrany namiar okaże się standardowy.
Rozwiązanie: Liczba standardowych łożysk wynosi 1000-30=970
. Zakładamy, że każde łożysko ma takie samo prawdopodobieństwo wybrania. Wtedy pełna grupa zdarzeń składa się z równie prawdopodobnych wyników, z których składa się zdarzenie A
sprzyjać wynikom. Dlatego .
Przykład 1.2. W urnie 10 kulki: 3 biały i 7 czarny. Z urny pobieramy jednocześnie dwie kule. Jakie jest prawdopodobieństwo R że obie kule okażą się białe?
Rozwiązanie: Liczba wszystkich równie prawdopodobnych wyników testu jest równa liczbie sposobów, na jakie 10 wyjmij dwie kule, tj. liczbę kombinacji z 10 elementy wg 2 (pełna grupa wydarzeń):
Liczba korzystnych wyników (na ile sposobów można wybierać 3
wybierz piłki 2)
: . Dlatego wymagane prawdopodobieństwo
.
Patrząc w przyszłość, problem ten można rozwiązać w inny sposób.
Rozwiązanie: Prawdopodobieństwo, że przy pierwszej próbie (wyciąganiu bili) zostanie wylosowana kula biała, jest równe (suma kul 10
, z nich 3
biały). Prawdopodobieństwo, że podczas drugiej próby wylosowana zostanie ponownie kula biała, jest równe (całkowita liczba kul wynosi teraz 9,
ponieważ wyjęli jednego, stał się biały 2,
ponieważ Wyjęli biały). W konsekwencji prawdopodobieństwo połączenia zdarzeń jest równe iloczynowi ich prawdopodobieństw, tj. .
Przykład 1.3. W urnie 2 zielony, 7 czerwony, 5 brązowy i 10 białe kulki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pojawi się kolorowa kula?
Rozwiązanie: Znajdujemy odpowiednio prawdopodobieństwo pojawienia się kul zielonych, czerwonych i brązowych: ; ; . Ponieważ rozważane zdarzenia są oczywiście niezgodne, wówczas korzystając z aksjomatu dodawania, znajdujemy prawdopodobieństwo pojawienia się kolorowej kuli:
Lub w inny sposób. Prawdopodobieństwo pojawienia się białej kuli wynosi . Następnie prawdopodobieństwo pojawienia się kuli innej niż biała (tj. kolorowej), tj. prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego jest równe .
Geometryczna definicja prawdopodobieństwa. Aby przezwyciężyć wadę klasycznej definicji prawdopodobieństwa (nie ma ona zastosowania do testów z nieskończoną liczbą wyników), wprowadzono geometryczną definicję prawdopodobieństwa - prawdopodobieństwo wpadnięcia punktu w obszar (odcinek, część płaszczyzny, itp.).
Niech segment będzie częścią segmentu. Punkt umieszcza się na odcinku losowo, co oznacza, że spełnione są następujące założenia: umieszczony punkt może znajdować się w dowolnym punkcie odcinka, prawdopodobieństwo, że punkt spadnie na odcinek jest proporcjonalne do długości tego odcinka i nie zależy od jego położenia względem segmentu. Przy tych założeniach prawdopodobieństwo, że punkt spadnie na odcinek, jest określone przez równość
Klasyczna i statystyczna definicja prawdopodobieństwa
Do działań praktycznych konieczna jest umiejętność porównywania zdarzeń ze względu na stopień możliwości ich wystąpienia. Rozważmy klasyczny przypadek. W urnie jest 10 kul, 8 z nich jest białych, 2 są czarne. Oczywiście zdarzenie „z urny zostanie wylosowana kula biała” i zdarzenie „z urny zostanie wylosowana kula czarna” mają różny stopień prawdopodobieństwa wystąpienia. Dlatego do porównania zdarzeń potrzebna jest pewna miara ilościowa.
Ilościową miarą możliwości wystąpienia zdarzenia jest prawdopodobieństwo . Najczęściej stosowane definicje prawdopodobieństwa zdarzenia są klasyczne i statystyczne.
Klasyczna definicja prawdopodobieństwo wiąże się z koncepcją korzystnego wyniku. Przyjrzyjmy się temu bardziej szczegółowo.
Niech wyniki jakiegoś testu tworzą kompletną grupę zdarzeń i są równie możliwe, tj. wyjątkowo możliwe, niezgodne i równie możliwe. Takie wyniki nazywane są elementarne wyniki, Lub sprawy. Mówi się, że test sprowadza się do schemat przypadku Lub " schemat urny", ponieważ Każdy problem prawdopodobieństwa dla takiego testu można zastąpić równoważnym problemem z urnami i kulami o różnych kolorach.
Wynik nazywa się korzystny wydarzenie A, jeżeli zajście tego przypadku pociąga za sobą zajście zdarzenia A.
Według klasycznej definicji prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe stosunkowi liczby wyników korzystnych dla tego zdarzenia do całkowitej liczby wyników, tj.
, | (1.1) |
Gdzie ROCZNIE)– prawdopodobieństwo zdarzenia A; M– liczba przypadków sprzyjających zdarzeniu A; N– łączna liczba przypadków.
Przykład 1.1. Podczas rzucania kostką istnieje sześć możliwych wyników: 1, 2, 3, 4, 5, 6 punktów. Jakie jest prawdopodobieństwo zdobycia parzystej liczby punktów?
Rozwiązanie. Wszystko N= 6 wyników tworzy kompletną grupę zdarzeń i jest równie możliwych, tj. wyjątkowo możliwe, niezgodne i równie możliwe. Zdarzeniu A – „pojawieniu się parzystej liczby punktów” – sprzyjają 3 wyniki (przypadki) – utrata 2, 4 lub 6 punktów. Korzystając z klasycznego wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia, otrzymujemy
ROCZNIE) = = . ◄
Opierając się na klasycznej definicji prawdopodobieństwa zdarzenia, zauważamy jego właściwości:
1. Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia mieści się w przedziale od zera do jednego, tj.
0 ≤ R(A) ≤ 1.
2. Prawdopodobieństwo wiarygodnego zdarzenia jest równe jeden.
3. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi zero.
Jak wspomniano wcześniej, klasyczna definicja prawdopodobieństwa ma zastosowanie tylko do tych zdarzeń, które mogą powstać w wyniku testów posiadających symetrię możliwych wyników, tj. można sprowadzić do wzoru przypadków. Istnieje jednak duża klasa zdarzeń, których prawdopodobieństwa nie można obliczyć przy użyciu klasycznej definicji.
Na przykład, jeśli założymy, że moneta jest spłaszczona, to oczywiste jest, że wydarzeń „pojawienie się herbu” i „pojawienie się głów” nie można uznać za równie prawdopodobne. Zatem wzór na określenie prawdopodobieństwa według schematu klasycznego nie ma w tym przypadku zastosowania.
Istnieje jednak inne podejście do szacowania prawdopodobieństwa zdarzeń, oparte na częstotliwości występowania danego zdarzenia w przeprowadzonych próbach. W tym przypadku stosuje się statystyczną definicję prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo statystycznezdarzenie A jest względną częstością (częstotliwością) występowania tego zdarzenia w n przeprowadzonych próbach, tj.
![]() | (1.2) |
Gdzie ROCZNIE)– statystyczne prawdopodobieństwo zdarzenia A; wa)– względna częstotliwość zdarzenia A; M– liczba prób, w których zdarzenie miało miejsce A; N– łączna liczba testów.
W przeciwieństwie do prawdopodobieństwa matematycznego ROCZNIE), rozważane w klasycznej definicji, prawdopodobieństwo statystyczne ROCZNIE) jest cechą doświadczony, eksperymentalny. Innymi słowy, statystyczne prawdopodobieństwo zdarzenia A to liczba, wokół której stabilizuje się (ustawiona) częstotliwość względna wa) z nieograniczonym wzrostem liczby badań przeprowadzanych w tych samych warunkach.
Na przykład, gdy mówią o strzelcu, że trafia w cel z prawdopodobieństwem 0,95, oznacza to, że spośród setek strzałów oddanych przez niego w określonych warunkach (ten sam cel w tej samej odległości, ten sam karabin itp.). ), średnio jest ich około 95. Oczywiście nie na każdą setkę będzie oddanych 95 udanych strzałów, czasem będzie ich mniej, czasem więcej, ale średnio przy wielokrotnych powtórzeniach strzelań w tych samych warunkach ten procent trafień pozostanie niezmieniony. Liczba 0,95, która służy jako wskaźnik umiejętności strzelca, jest zwykle bardzo duża stabilny, tj. procent trafień w większości strzelań będzie dla danego strzelca prawie taki sam, jedynie w nielicznych przypadkach odbiegając znacząco od wartości średniej.
Kolejna wada klasycznej definicji prawdopodobieństwa ( 1.1 ) ograniczeniem jego zastosowania jest to, że zakłada skończoną liczbę możliwych wyników testu. W niektórych przypadkach tę wadę można przezwyciężyć, stosując geometryczną definicję prawdopodobieństwa, tj. wyznaczanie prawdopodobieństwa wpadnięcia punktu w określony obszar (odcinek, część płaszczyzny itp.).
Niech płaska figura G tworzy część płaskiej figury G(ryc. 1.1). Pasować G kropka jest rzucana losowo. Oznacza to, że wszystkie punkty w regionie G„równe prawa” w odniesieniu do tego, czy trafi w niego rzucony losowy punkt. Zakładając, że prawdopodobieństwo zdarzenia A– rzucony punkt uderza w figurę G– jest proporcjonalna do pola tej figury i nie zależy od jej położenia względem G, ani z formularza G, znajdziemy
Teoria prawdopodobieństwa jest nauką matematyczną badającą wzorce zjawisk losowych. Powstanie teorii datuje się na połowę XVII wieku i wiąże się z nazwiskami Huygensa, Pascala, Fermata, J. Bernoulliego.
Nierozkładalne wyniki niektórych eksperymentów będziemy nazywać zdarzeniami elementarnymi i ich całością
(skończona) przestrzeń zdarzeń elementarnych, czyli przestrzeń wyników.
Przykład 21. a) Przy rzucie kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych składa się z sześciu punktów:
![](https://i1.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image008.png)
b) Następnie rzuć monetą dwa razy z rzędu
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image009.png)
gdzie G to „herb”, P to „krata” i całkowita liczba wyników
c) Następnie rzucaj monetą aż do pierwszego pojawienia się „herbu”.
W tym przypadku nazywa się to dyskretną przestrzenią zdarzeń elementarnych.
Zwykle interesuje nas nie to, jaki konkretny wynik nastąpi w wyniku badania, ale to, czy wynik należy do tego, czy innego podzbioru wszystkich wyników. Wszystkie te podzbiory, dla których, zgodnie z warunkami eksperymentalnymi, możliwa jest odpowiedź jednego z dwóch typów: „wynik” lub „wynik”, nazwiemy zdarzeniami.
W przykładzie 21 b) set = (GG, GR, RG) to zdarzenie, w którym pojawia się co najmniej jeden „herb”. Na wydarzenie składają się więc trzy elementarne skutki przestrzeni
Suma dwóch zdarzeń to zdarzenie polegające na spełnieniu się zdarzenia lub zdarzenia.
Produkcja wydarzeń to wydarzenie polegające na wspólnej realizacji wydarzenia i wydarzenia.
Przeciwieństwem zdarzenia jest wydarzenie, które polega na nieistnieniu i dlatego je uzupełnia.
Zbiór nazywamy zdarzeniem niezawodnym, zbiór pusty nazywamy niemożliwym.
Jeśli każdemu wystąpieniu zdarzenia towarzyszy zdarzenie, wówczas piszą i mówią, co poprzedza lub pociąga za sobą.
Zdarzenia i są uważane za równoważne, jeśli i.
Definicja. Prawdopodobieństwo zdarzenia to liczba równa stosunkowi liczby elementarnych wyników składających się na zdarzenie do liczby wszystkich elementarnych wyników
Przypadek zdarzeń równie prawdopodobnych (zwany „klasycznym”, stąd prawdopodobieństwo
zwany „klasycznym”.
Zdarzenia elementarne (wyniki doświadczenia) zawarte w zdarzeniu nazywane są „sprzyjającymi”.
Właściwości prawdopodobieństwa klasycznego:
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image021.png)
Jeśli (i są zdarzeniami niezgodnymi).
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image023.png)
![](https://i2.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image024.png)
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image025.png)
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image027.png)
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image028.png)
Przykład 22 (problem Huygensa). W urnie znajdują się 2 kule białe i 4 czarne. Jeden hazardzista zakłada się z drugim, że wśród 3 wylosowanych kulek będzie dokładnie jedna biała. W jakim stosunku są szanse dyskutantów?
Rozwiązanie 1 (tradycyjne). W tym przypadku test = (wyjęcie 3 piłek), a wydarzenie jest korzystne dla jednego z dyskutantów:
= (zdobądź dokładnie jedną białą kulę).
Ponieważ kolejność losowania trzech kul nie jest istotna
![](https://i1.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image029.png)
W skrzynkach można otrzymać jedną kulę białą, a następnie dwie czarne – i wtedy zgodnie z podstawową zasadą kombinatoryki. Stąd i według piątej właściwości prawdopodobieństwa Zatem,
![](https://i2.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image030.png)
![](https://i2.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image031.png)
![](https://i2.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image032.png)
![](https://i2.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image033.png)
Rozwiązanie 2. Stwórzmy probabilistyczne drzewo wyników:
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image034.jpg)
Przykład 23. Rozważmy skarbonkę, w której pozostały cztery monety - trzy po 2 ruble każda. i jeden za 5 rubli. Wyciągamy dwie monety.
Rozwiązanie. a) Dwie kolejne ekstrakcje (z powrotem) mogą prowadzić do następujących wyników:
Jakie jest prawdopodobieństwo każdego z tych wyników?
![](https://i2.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image035.jpg)
Tabela pokazuje wszystkie szesnaście możliwych przypadków.
Stąd,
Poniższe drzewo prowadzi do tych samych wyników:
![](https://i1.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image036.jpg)
b) Dwie kolejne ekstrakcje (bez powtórzeń) mogą prowadzić do trzech następujących wyników:
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image037.jpg)
Tabela pokazuje wszystkie możliwe wyniki:
Stąd,
Odpowiednie drzewo prowadzi do tych samych wyników:
![](https://i2.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image038.jpg)
Przykład 24 (problem de Mere). Dwie osoby grają w grę typu rzut do pięciu zwycięstw. Gra zostaje zatrzymana, gdy pierwszy wygra cztery partie, a drugi trzy. Jak w tym przypadku należy podzielić zakład początkowy?
Rozwiązanie. Niech event = (będzie pierwszym graczem, który zdobędzie nagrodę). Zatem probabilistyczne drzewo wypłat dla pierwszego gracza wygląda następująco:
![](https://i1.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image039.jpg)
Zatem trzy części zakładu należy przekazać pierwszemu graczowi, a jedną część drugiemu.
![](https://i1.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image040.png)
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image041.png)
Zademonstrujmy skuteczność rozwiązywania problemów probabilistycznych za pomocą grafów, korzystając z następującego przykładu, który rozważaliśmy w §1 (przykład 2).
Przykład 25. Czy wybór przy pomocy „tabeli liczącej” jest sprawiedliwy?
Rozwiązanie. Stwórzmy probabilistyczne drzewo wyników:
![](https://i1.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image042.jpg)
dlatego też grając w „gry polegające na liczeniu” bardziej opłaca się zająć drugie miejsce.
Ostatnie rozwiązanie wykorzystuje interpretacje graficzne twierdzeń o dodawaniu i mnożeniu prawdopodobieństw:
i w szczególności
Jeśli i są zdarzeniami niezgodnymi
oraz, jeśli i - zdarzenia niezależne.
![](https://i1.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image045.png)
Prawdopodobieństwo statyczne
Klasyczna definicja, rozpatrując złożone problemy, napotyka trudności o charakterze nie do pokonania. W szczególności w niektórych przypadkach określenie równie prawdopodobnych przypadków może nie być możliwe. Nawet w przypadku monety, jak wiemy, istnieje wyraźnie nie tak samo prawdopodobna możliwość wypadnięcia „brzegu”, czego z rozważań teoretycznych nie da się ocenić (można jedynie powiedzieć, że jest to mało prawdopodobne i że jest to rozważanie raczej praktyczny). Dlatego już u zarania powstawania teorii prawdopodobieństwa zaproponowano alternatywną „częstotliwą” definicję prawdopodobieństwa. Mianowicie formalnie prawdopodobieństwo można zdefiniować jako granicę częstości obserwacji zdarzenia A, przy założeniu jednorodności obserwacji (czyli identyczności wszystkich warunków obserwacji) i ich wzajemnej niezależności:
gdzie jest liczbą obserwacji, a jest liczbą wystąpień zdarzenia.
Choć definicja ta raczej wskazuje sposób szacowania nieznanego prawdopodobieństwa – poprzez dużą liczbę jednorodnych i niezależnych obserwacji – to jednak definicja ta oddaje treść pojęcia prawdopodobieństwa. Mianowicie, jeśli zdarzeniu przypisuje się określone prawdopodobieństwo jako obiektywną miarę jego możliwości, to oznacza to, że w ustalonych warunkach i przy powtarzalnych powtórzeniach powinniśmy otrzymać częstotliwość jego występowania bliską (im bliżej tym więcej obserwacji). W rzeczywistości takie jest pierwotne znaczenie pojęcia prawdopodobieństwa. Opiera się na obiektywistycznym spojrzeniu na zjawiska naturalne. Poniżej rozważymy tzw. prawa wielkich liczb, które stanowią podstawę teoretyczną (w ramach przedstawionego poniżej współczesnego podejścia aksjomatycznego), w tym do częstościowego szacowania prawdopodobieństwa.
Aby ilościowo porównać zdarzenia ze sobą według stopnia ich możliwości, należy oczywiście każdemu zdarzeniu przypisać pewną liczbę, która jest tym większa, im bardziej jest ono możliwe. Nazwiemy tę liczbę prawdopodobieństwem zdarzenia. Zatem, prawdopodobieństwo zdarzenia jest liczbową miarą stopnia obiektywnej możliwości wystąpienia tego zdarzenia.
Pierwszą definicję prawdopodobieństwa należy uznać za klasyczną, która wyrosła z analizy gier hazardowych i początkowo była stosowana intuicyjnie.
Klasyczna metoda wyznaczania prawdopodobieństwa opiera się na koncepcji zdarzeń równie możliwych i niezgodnych, które są wynikiem danego doświadczenia i tworzą kompletną grupę zdarzeń niezgodnych.
Najprostszym przykładem równie możliwych i niezgodnych zdarzeń tworzących kompletną grupę jest pojawienie się tej lub drugiej kuli z urny zawierającej kilka kul o tej samej wielkości, wadze i innych namacalnych cechach, różniących się jedynie kolorem, dokładnie wymieszanych przed wyjęciem.
Dlatego mówi się, że test, którego wyniki tworzą kompletną grupę niezgodnych i równie możliwych zdarzeń, można sprowadzić do układu urn lub układu przypadków lub wpasowuje się w klasyczny wzór.
Równie możliwe i niezgodne zdarzenia, które tworzą kompletną grupę, będą nazywane po prostu przypadkami lub szansami. Co więcej, w każdym eksperymencie wraz z przypadkami mogą wystąpić bardziej złożone zdarzenia.
Przykład: Przy rzucie kostką oprócz przypadków A i – utrata i-punktów na górnej krawędzi, możemy uwzględnić takie zdarzenia jak B – utrata parzystej liczby punktów, C – utrata pewnej liczby punktów punkty będące wielokrotnością trzech...
Ze względu na każde zdarzenie, które może wystąpić podczas eksperymentu, przypadki dzieli się na korzystny, w którym zdarzenie to zachodzi, i niekorzystne, w którym zdarzenie to nie zachodzi. W poprzednim przykładzie zdarzeniu B sprzyjają przypadki A 2, A 4, A 6; zdarzenie C - przypadki A 3, A 6.
Prawdopodobieństwo klasyczne wystąpienie określonego zdarzenia nazywa się stosunkiem liczby przypadków sprzyjających zaistnieniu tego zdarzenia do całkowitej liczby równie możliwych, niezgodnych przypadków, które tworzą kompletną grupę w danym eksperymencie:
Gdzie ROCZNIE)- prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A; M- liczba przypadków sprzyjających zdarzeniu A; N- łączna liczba przypadków.
Przykłady:
1) (patrz przykład powyżej) P(B)= , P(C) =.
2) W urnie znajduje się 9 kul czerwonych i 6 niebieskich. Znajdź prawdopodobieństwo, że jedna lub dwie losowo wylosowane kule okażą się czerwone.
A- losowo wylosowana kula czerwona:
M= 9, N= 9 + 6 = 15, ROCZNIE)=
B- dwie losowo wylosowane kule czerwone:
Z klasycznej definicji prawdopodobieństwa wynikają następujące własności (pokaż się):
1) Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi 0;
2) Prawdopodobieństwo wiarygodnego zdarzenia wynosi 1;
3) Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia mieści się w przedziale od 0 do 1;
4) Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia A,
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa zakłada, że liczba wyników próby jest skończona. W praktyce bardzo często zdarzają się testy, których liczba możliwych przypadków jest nieskończona. Ponadto słabością klasycznej definicji jest to, że bardzo często nie można przedstawić wyniku testu w postaci zestawu zdarzeń elementarnych. Jeszcze trudniej jest wskazać powody, dla których elementarne wyniki testu można uznać za jednakowo możliwe. Zwykle o równoważności wyników elementarnych testów wnioskuje się na podstawie rozważań o symetrii. Zadania takie są jednak w praktyce bardzo rzadkie. Z tych powodów obok klasycznej definicji prawdopodobieństwa stosuje się także inne definicje prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo statystyczne zdarzenie A to względna częstotliwość występowania tego zdarzenia w przeprowadzonych badaniach:
gdzie jest prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A;
Względna częstotliwość występowania zdarzenia A;
Liczba prób, w których pojawiło się zdarzenie A;
Całkowita liczba prób.
W przeciwieństwie do prawdopodobieństwa klasycznego, prawdopodobieństwo statystyczne jest cechą eksperymentalną.
Przykład: Do kontroli jakości produktów z partii wybrano losowo 100 produktów, spośród których 3 okazały się wadliwe. Określ prawdopodobieństwo zawarcia małżeństwa.
.
Statystyczna metoda określania prawdopodobieństwa ma zastosowanie tylko do tych zdarzeń, które mają następujące właściwości:
Rozważane zdarzenia powinny być wynikami wyłącznie tych testów, które można odtworzyć nieograniczoną liczbę razy w tych samych warunkach.
Zdarzenia muszą mieć stabilność statystyczną (lub stabilność względnych częstotliwości). Oznacza to, że w różnych seriach testów względna częstotliwość zdarzenia niewiele się zmienia.
Liczba prób skutkujących zdarzeniem A musi być dość duża.
Łatwo sprawdzić, że własności prawdopodobieństwa wynikające z definicji klasycznej są zachowane także w statystycznej definicji prawdopodobieństwa.