Jak rozwiązywać równania trygonometryczne z pierwiastkami. Rozwiązywanie prostych równań trygonometrycznych
Podczas rozwiązywania wielu problemy matematyczne zwłaszcza te, które mają miejsce przed klasą 10, jasno określona jest kolejność wykonywanych działań, które doprowadzą do celu. Do takich problemów zaliczają się np. równania liniowe i kwadratowe, nierówności liniowe i kwadratowe, równania ułamkowe oraz równania sprowadzające się do równań kwadratowych. Zasada skutecznego rozwiązania każdego z wymienionych problemów jest następująca: musisz ustalić, jakiego rodzaju problem rozwiązujesz, pamiętaj o niezbędnej sekwencji działań, które doprowadzą do pożądanego rezultatu, tj. odpowiedz i wykonaj poniższe kroki.
Oczywiste jest, że sukces lub porażka w rozwiązaniu konkretnego problemu zależy głównie od tego, jak poprawnie zostanie określony rodzaj rozwiązywanego równania, jak poprawnie zostanie odtworzona kolejność wszystkich etapów jego rozwiązania. Oczywiście w tym przypadku niezbędna jest umiejętność wykonywania identycznych przekształceń i obliczeń.
Inaczej jest z równania trygonometryczne. Ustalenie faktu, że równanie jest trygonometryczne, wcale nie jest trudne. Trudności pojawiają się przy ustaleniu sekwencji działań, które doprowadziłyby do prawidłowej odpowiedzi.
Czasami trudno określić jego typ na podstawie wyglądu równania. A nie znając rodzaju równania, prawie niemożliwe jest wybranie właściwego spośród kilkudziesięciu wzorów trygonometrycznych.
Aby rozwiązać równanie trygonometryczne, musisz spróbować:
1. sprowadzić wszystkie funkcje zawarte w równaniu pod „te same kąty”;
2. doprowadzić równanie do „funkcji identycznych”;
3. uwzględnij lewą stronę równania itp.
Rozważmy podstawowe metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.
I. Sprowadzenie do najprostszych równań trygonometrycznych
Schemat rozwiązania
Krok 1. Wyraź funkcję trygonometryczną za pomocą znanych składników.
Krok 2. Znajdź argument funkcji, korzystając ze wzorów:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
grzech x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.
tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.
Krok 3. Znajdź nieznaną zmienną.
Przykład.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Rozwiązanie.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Odpowiedź: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Zmienna wymiana
Schemat rozwiązania
Krok 1. Sprowadź równanie do postaci algebraicznej w odniesieniu do jednej z funkcji trygonometrycznych.
Krok 2. Wynikową funkcję oznacz zmienną t (w razie potrzeby wprowadź ograniczenia na t).
Krok 3. Zapisz i rozwiąż powstałe równanie algebraiczne.
Krok 4. Dokonaj odwrotnej wymiany.
Krok 5. Rozwiąż najprostsze równanie trygonometryczne.
Przykład.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Rozwiązanie.
1) 2(1 – grzech 2 (x/2)) – 5 grzech (x/2) – 5 = 0;
2 grzech 2 (x/2) + 5 grzech (x/2) + 3 = 0.
2) Niech grzech (x/2) = t, gdzie |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 lub e = -3/2, nie spełnia warunku |t| ≤ 1.
4) grzech(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Odpowiedź: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Metoda redukcji rzędu równań
Schemat rozwiązania
Krok 1. Zamień to równanie na liniowe, korzystając ze wzoru na stopień redukcji:
grzech 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
sałata 2 x = 1/2 · (1 + sałata 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Krok 2. Rozwiąż powstałe równanie, stosując metody I i II.
Przykład.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Rozwiązanie.
1) sałata 2x + 1/2 · (1 + sałata 2x) = 5/4.
2) sałata 2x + 1/2 + 1/2 · sałata 2x = 5/4;
3/2 sałata 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Odpowiedź: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Równania jednorodne
Schemat rozwiązania
Krok 1. Sprowadź to równanie do postaci
a) a sin x + b cos x = 0 (równanie jednorodne pierwszego stopnia)
lub do widoku
b) a grzech 2 x + b grzech x · cos x + c cos 2 x = 0 (równanie jednorodne drugiego stopnia).
Krok 2. Podziel obie strony równania przez
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
i uzyskaj równanie na tan x:
a) opalenizna x + b = 0;
b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.
Krok 3. Rozwiązać równanie znanymi metodami.
Przykład.
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.
Rozwiązanie.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
grzech 2 x + 3 grzech x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) Niech więc tg x = t
t 2 + 3 t – 4 = 0;
t = 1 lub t = -4, co oznacza
tg x = 1 lub tg x = -4.
Z pierwszego równania x = π/4 + πn, n Є Z; z drugiego równania x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Odpowiedź: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Metoda przekształcenia równania za pomocą wzorów trygonometrycznych
Schemat rozwiązania
Krok 1. Korzystając ze wszystkich możliwych wzorów trygonometrycznych, sprowadź to równanie do równania rozwiązanego metodami I, II, III, IV.
Krok 2. Rozwiąż powstałe równanie, korzystając ze znanych metod.
Przykład.
grzech x + grzech 2x + grzech 3x = 0.
Rozwiązanie.
1) (grzech x + grzech 3x) + grzech 2x = 0;
2sin 2x cos x + grzech 2x = 0.
2) grzech 2x (2cos x + 1) = 0;
grzech 2x = 0 lub 2cos x + 1 = 0;
Z pierwszego równania 2x = π/2 + πn, n Є Z; z drugiego równania cos x = -1/2.
Mamy x = π/4 + πn/2, n Є Z; z drugiego równania x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
W rezultacie x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Odpowiedź: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Zdolność i umiejętność rozwiązywania równań trygonometrycznych jest bardzo duża co ważne, ich rozwój wymaga dużego wysiłku, zarówno ze strony ucznia, jak i nauczyciela.
Wiele problemów stereometrii, fizyki itp. Jest związanych z rozwiązywaniem równań trygonometrycznych. Proces rozwiązywania takich problemów obejmuje wiele wiedzy i umiejętności, które można zdobyć studiując elementy trygonometrii.
Równania trygonometryczne zajmują ważne miejsce w procesie uczenia się matematyki i rozwoju osobistego w ogóle.
Nadal masz pytania? Nie wiesz jak rozwiązywać równania trygonometryczne?
Aby uzyskać pomoc od nauczyciela -.
Pierwsza lekcja jest bezpłatna!
blog.site, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.
Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.
Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych
Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.
Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.
Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.
Jakie dane osobowe zbieramy:
- Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.
Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:
- Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
- Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
- Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
- Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.
Ujawnianie informacji osobom trzecim
Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.
Wyjątki:
- Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z przepisami prawa, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
- W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.
Ochrona danych osobowych
Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.
Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy
Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.
Rozwiązywanie prostych równań trygonometrycznych.
Rozwiązywanie równań trygonometrycznych o dowolnym poziomie złożoności ostatecznie sprowadza się do rozwiązywania najprostszych równań trygonometrycznych. I w tym okrąg trygonometryczny ponownie okazuje się najlepszym asystentem.
Przypomnijmy definicje cosinusa i sinusa.
Cosinus kąta to odcięta (to znaczy współrzędna wzdłuż osi) punktu na okręgu jednostkowym odpowiadająca obrotowi o dany kąt.
Sinus kąta to rzędna (to znaczy współrzędna wzdłuż osi) punktu na okręgu jednostkowym odpowiadająca obrotowi o dany kąt.
Dodatni kierunek ruchu na okręgu trygonometrycznym jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Obrót o 0 stopni (lub 0 radianów) odpowiada punktowi o współrzędnych (1;0)
Używamy tych definicji do rozwiązywania prostych równań trygonometrycznych.
1. Rozwiąż równanie
Równanie to spełniają wszystkie wartości kąta obrotu odpowiadające punktom na okręgu, którego rzędna jest równa .
Zaznaczmy punkt rzędną na osi rzędnych:
Narysuj poziomą linię równoległą do osi x, aż przetnie się z okręgiem. Otrzymujemy dwa punkty leżące na okręgu i posiadające rzędną. Punkty te odpowiadają kątom obrotu w i radianach:
Jeśli wychodząc z punktu odpowiadającego kątowi obrotu na radian, okrążymy pełny okrąg, to dotrzemy do punktu odpowiadającego kątowi obrotu na radian i mającego tę samą rzędną. Oznacza to, że ten kąt obrotu również spełnia nasze równanie. Możemy wykonać dowolną liczbę „jałowych” obrotów, wracając do tego samego punktu, a wszystkie te wartości kątów spełnią nasze równanie. Liczba „jałowych” obrotów będzie oznaczona literą (lub). Ponieważ możemy dokonać tych obrotów zarówno w kierunku dodatnim, jak i ujemnym, (lub) możemy przyjmować dowolne wartości całkowite.
Oznacza to, że pierwsza seria rozwiązań pierwotnego równania ma postać:
, , - zbiór liczb całkowitych (1)
Podobnie druga seria rozwiązań ma postać:
, Gdzie , . (2)
Jak można się domyślić, cała seria rozwiązań opiera się na punkcie na okręgu odpowiadającym kątowi obrotu o .
Te dwie serie rozwiązań można połączyć w jeden wpis:
Jeśli przyjmiemy (czyli chociaż) w tym wpisie, to otrzymamy pierwszą serię rozwiązań.
Jeśli w tym wpisie weźmiemy (to znaczy nieparzyste), wówczas otrzymamy drugą serię rozwiązań.
2. Teraz rozwiążmy równanie
Ponieważ jest to odcięta punktu na okręgu jednostkowym uzyskana przez obrót o kąt, oznaczamy ten punkt odciętą na osi:
Narysuj pionową linię równoległą do osi, aż przetnie się z okręgiem. Otrzymamy dwa punkty leżące na okręgu i posiadające odciętą. Punkty te odpowiadają kątom obrotu w i radianach. Przypomnijmy, że poruszając się zgodnie z ruchem wskazówek zegara otrzymujemy ujemny kąt obrotu:
Zapiszmy dwie serie rozwiązań:
,
,
(Do pożądanego punktu dochodzimy wychodząc z głównego pełnego okręgu, tj.
Połączmy te dwie serie w jeden wpis:
3. Rozwiąż równanie
Styczna przechodzi przez punkt o współrzędnych (1,0) okręgu jednostkowego równoległych do osi OY
Zaznaczmy na nim punkt o rzędnej równej 1 (szukamy tangensu, którego kąty są równe 1):
Połączmy ten punkt z początkiem współrzędnych linią prostą i zaznaczmy punkty przecięcia tej prostej z okręgiem jednostkowym. Punkty przecięcia prostej i okręgu odpowiadają kątom obrotu na i :
Ponieważ punkty odpowiadające kątom obrotu, które spełniają nasze równanie, leżą w odległości radianów od siebie, rozwiązanie możemy zapisać w ten sposób:
4. Rozwiąż równanie
Linia cotangensów przechodzi przez punkt o współrzędnych okręgu jednostkowego równoległych do osi.
Zaznaczmy punkt odciętą -1 na prostej kotangentów:
Połączmy ten punkt z początkiem prostej i kontynuujmy ją aż przetnie się z okręgiem. Ta linia prosta przetnie okrąg w punktach odpowiadających kątom obrotu w i radianach:
Ponieważ punkty te oddalone są od siebie o odległość równą , ogólne rozwiązanie tego równania możemy zapisać w następujący sposób:
W podanych przykładach ilustrujących rozwiązanie najprostszych równań trygonometrycznych wykorzystano tabelaryczne wartości funkcji trygonometrycznych.
Jeżeli jednak prawa strona równania zawiera wartość nietabelaryczną, to tę wartość podstawiamy do ogólnego rozwiązania równania:
ROZWIĄZANIA SPECJALNE:
Zaznaczmy punkty na okręgu, którego rzędna wynosi 0:
Zaznaczmy na okręgu pojedynczy punkt, którego rzędna wynosi 1:
Zaznaczmy na okręgu pojedynczy punkt, którego rzędna jest równa -1:
Ponieważ zwyczajowo podaje się wartości najbliższe zeru, rozwiązanie piszemy w następujący sposób:
Zaznaczmy punkty na okręgu, którego odcięta jest równa 0:
5.
Zaznaczmy na okręgu pojedynczy punkt, którego odcięta jest równa 1:
Zaznaczmy na okręgu pojedynczy punkt, którego odcięta jest równa -1:
I nieco bardziej złożone przykłady:
1.
Sinus jest równy jeden, jeśli argument jest równy
Argument naszego sinusa jest równy, więc otrzymujemy:
Podziel obie strony równości przez 3:
Odpowiedź:
2.
Cosinus wynosi zero, jeśli argumentem jest cosinus
Argument naszego cosinusa jest równy , więc otrzymujemy:
Wyraźmy , aby to zrobić, najpierw przesuwamy się w prawo z przeciwnym znakiem:
Uprośćmy prawą stronę:
Podziel obie strony przez -2:
Należy zauważyć, że znak przed terminem się nie zmienia, ponieważ k może przyjmować dowolną wartość całkowitą.
Odpowiedź:
Na koniec obejrzyj lekcję wideo „Wybieranie pierwiastków w równaniu trygonometrycznym za pomocą koła trygonometrycznego”
Na tym kończy się nasza rozmowa na temat rozwiązywania prostych równań trygonometrycznych. Następnym razem porozmawiamy o tym, jak podjąć decyzję.
Możesz zamówić szczegółowe rozwiązanie swojego problemu!!!
Równość zawierająca niewiadomą pod znakiem funkcji trygonometrycznej („sin x, cos x, tan x” lub „ctg x”) nazywa się równaniem trygonometrycznym i to właśnie ich wzory rozważymy dalej.
Najprostsze równania to „sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a”, gdzie „x” to kąt, który należy znaleźć, „a” to dowolna liczba. Zapiszmy podstawowe formuły dla każdego z nich.
1. Równanie „grzech x=a”.
Dla `|a|>1` nie ma rozwiązań.
Kiedy `|a| \równ. 1` ma nieskończoną liczbę rozwiązań.
Wzór pierwiastkowy: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Równanie „cos x=a”.
Dla `|a|>1` - podobnie jak w przypadku sinusa, nie ma ono rozwiązań wśród liczb rzeczywistych.
Kiedy `|a| \równ. 1` ma nieskończoną liczbę rozwiązań.
Wzór na pierwiastek: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Specjalne przypadki sinusa i cosinusa na wykresach.
3. Równanie `tg x=a`
Ma nieskończoną liczbę rozwiązań dla dowolnych wartości `a`.
Wzór na pierwiastek: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Równanie `ctg x=a`
Posiada również nieskończoną liczbę rozwiązań dla dowolnych wartości `a`.
Wzór na pierwiastek: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Wzory na pierwiastki równań trygonometrycznych w tabeli
Dla sinusa:
Dla cosinusa:
Dla stycznych i cotangensów:
Wzory do rozwiązywania równań zawierających odwrotne funkcje trygonometryczne:
Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych
Rozwiązanie dowolnego równania trygonometrycznego składa się z dwóch etapów:
- za pomocą przekształcenia go w najprostszy;
- rozwiązać najprostsze równanie uzyskane przy użyciu wzorów pierwiastkowych i tabel zapisanych powyżej.
Przyjrzyjmy się głównym metodom rozwiązań na przykładach.
Metoda algebraiczna.
Metoda ta polega na zastąpieniu zmiennej i podstawieniu jej do równości.
Przykład. Rozwiąż równanie: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
dokonaj zamiany: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, następnie `2y^2-3y+1=0`,
znajdujemy pierwiastki: `y_1=1, y_2=1/2`, z czego wynikają dwa przypadki:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Odpowiedź: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Faktoryzacja.
Przykład. Rozwiąż równanie: `sin x+cos x=1`.
Rozwiązanie. Przesuńmy wszystkie wyrazy równości w lewo: `sin x+cos x-1=0`. Używając , przekształcamy i rozkładamy na czynniki lewą stronę:
`sin x — 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Odpowiedź: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Redukcja do równania jednorodnego
Najpierw musisz zredukować to równanie trygonometryczne do jednej z dwóch postaci:
`a sin x+b cos x=0` (jednorodne równanie pierwszego stopnia) lub `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (jednorodne równanie drugiego stopnia).
Następnie podziel obie części przez `cos x \ne 0` - w pierwszym przypadku i przez `cos^2 x \ne 0` - w drugim przypadku. Otrzymujemy równania dla `tg x`: `a tg x+b=0` i `a tg^2 x + b tg x +c =0`, które należy rozwiązać znanymi metodami.
Przykład. Rozwiąż równanie: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Rozwiązanie. Zapiszmy prawą stronę jako `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 grzech^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` grzech^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Jest to jednorodne równanie trygonometryczne drugiego stopnia, dzielimy jego lewą i prawą stronę przez `cos^2 x \ne 0`, otrzymujemy:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Wprowadźmy zamianę `tg x=t`, w wyniku której otrzymamy `t^2 + t - 2=0`. Pierwiastkami tego równania są „t_1=-2” i „t_2=1”. Następnie:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.
Odpowiedź. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Przejście do połowy kąta
Przykład. Rozwiąż równanie: `11 grzech x - 2 cos x = 10`.
Rozwiązanie. Zastosujmy wzory na podwójny kąt i otrzymamy: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Stosując opisaną powyżej metodę algebraiczną otrzymujemy:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Odpowiedź. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Wprowadzenie kąta pomocniczego
W równaniu trygonometrycznym „a sin x + b cos x = c”, gdzie a, b, c to współczynniki, a x to zmienna, podziel obie strony przez „sqrt (a^2+b^2)”:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.
Współczynniki po lewej stronie mają właściwości sinusa i cosinusa, czyli suma ich kwadratów jest równa 1, a moduły nie większe niż 1. Oznaczmy je następująco: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, następnie:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Przyjrzyjmy się bliżej następującemu przykładowi:
Przykład. Rozwiąż równanie: `3 grzech x+4 cos x=2`.
Rozwiązanie. Podziel obie strony równości przez „sqrt (3^2+4^2)”, otrzymamy:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
`3/5 grzech x+4/5 cos x=2/5`.
Oznaczmy `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Ponieważ `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, przyjmujemy `\varphi=arcsin 4/5` jako kąt pomocniczy. Następnie zapisujemy naszą równość w postaci:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Stosując wzór na sumę kątów dla sinusa, naszą równość zapisujemy w postaci:
`grzech (x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Odpowiedź. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Ułamkowe racjonalne równania trygonometryczne
Są to równości z ułamkami, których liczniki i mianowniki zawierają funkcje trygonometryczne.
Przykład. Rozwiązać równanie. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Rozwiązanie. Pomnóż i podziel prawą stronę równości przez „(1+cos x)”. W rezultacie otrzymujemy:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Biorąc pod uwagę, że mianownik nie może być równy zero, otrzymujemy `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Przyrównajmy licznik ułamka do zera: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Następnie `sin x=0` lub `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Biorąc pod uwagę, że ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, rozwiązaniami są `x=2\pi n, n \in Z` i `x=\pi /2+2\pi n` , `n \w Z`.
Odpowiedź. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Trygonometria, a w szczególności równania trygonometryczne, są stosowane w prawie wszystkich obszarach geometrii, fizyki i inżynierii. Naukę rozpoczyna się w 10. klasie, zawsze są zadania na egzaminie Unified State Exam, więc postaraj się zapamiętać wszystkie wzory równań trygonometrycznych - na pewno ci się przydadzą!
Jednak nie musisz ich nawet zapamiętywać, najważniejsze jest zrozumienie istoty i umiejętność jej wyciągnięcia. To nie jest tak trudne, jak się wydaje. Przekonaj się sam, oglądając wideo.
Równania trygonometryczne nie są tematem łatwym. Są zbyt różnorodne.) Na przykład te:
grzech 2 x + cos3x = ctg5x
grzech(5x+π /4) = łóżko(2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
Itp...
Ale te (i wszystkie inne) potwory trygonometryczne mają dwie wspólne i obowiązkowe cechy. Po pierwsze - nie uwierzysz - w równaniach są funkcje trygonometryczne.) Po drugie: wszystkie wyrażenia z x zostały znalezione w ramach tych samych funkcji. I tylko tam! Jeśli gdzieś pojawi się X poza, Na przykład, grzech2x + 3x = 3, będzie to już równanie typu mieszanego. Równania takie wymagają indywidualnego podejścia. Nie będziemy ich tutaj rozważać.
Na tej lekcji również nie będziemy rozwiązywać złych równań.) Tutaj sobie poradzimy najprostsze równania trygonometryczne. Dlaczego? Tak, ponieważ rozwiązanie każdy Równania trygonometryczne składają się z dwóch etapów. W pierwszym etapie równanie zła sprowadza się do prostego poprzez różne przekształcenia. W drugim przypadku rozwiązano to najprostsze równanie. Żaden inny sposób.
Jeśli więc będziesz mieć problemy na drugim etapie, pierwszy etap nie ma większego sensu.)
Jak wyglądają elementarne równania trygonometryczne?
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
Tutaj A oznacza dowolną liczbę. Każdy.
Nawiasem mówiąc, wewnątrz funkcji może nie znajdować się czysty X, ale jakiś rodzaj wyrażenia, na przykład:
cos(3x+π /3) = 1/2
itp. To komplikuje życie, ale nie wpływa na metodę rozwiązywania równania trygonometrycznego.
Jak rozwiązywać równania trygonometryczne?
Równania trygonometryczne można rozwiązać na dwa sposoby. Sposób pierwszy: używając logiki i koła trygonometrycznego. Przyjrzymy się tej ścieżce tutaj. Drugi sposób – wykorzystanie pamięci i formuł – zostanie omówiony w następnej lekcji.
Pierwszy sposób jest jasny, niezawodny i trudny do zapomnienia.) Jest dobry do rozwiązywania równań trygonometrycznych, nierówności i wszelkiego rodzaju trudnych, niestandardowych przykładów. Logika jest silniejsza niż pamięć!)
Rozwiązywanie równań za pomocą okręgu trygonometrycznego.
Uwzględniamy elementarną logikę i umiejętność posługiwania się kołem trygonometrycznym. Nie wiesz jak? Jednak... Będziesz miał trudności z trygonometrią...) Ale to nie ma znaczenia. Zapoznaj się z lekcjami „Koło trygonometryczne...... Co to jest?” oraz „Pomiar kątów na okręgu trygonometrycznym”. Wszystko jest tam proste. W przeciwieństwie do podręczników...)
Och, wiesz!? A nawet opanował „Praktyczną pracę z kołem trygonometrycznym”!? Gratulacje. Ten temat będzie dla Ciebie bliski i zrozumiały.) Szczególnie przyjemne jest to, że okrąg trygonometryczny nie dba o to, jakie równanie rozwiążesz. Sinus, cosinus, tangens, cotangens - dla niego wszystko jest takie samo. Jest tylko jedna zasada rozwiązania.
Bierzemy więc dowolne elementarne równanie trygonometryczne. Chociaż tyle:
cosx = 0,5
Musimy znaleźć X. Mówienie ludzkim językiem jest potrzebne znajdź kąt (x), którego cosinus wynosi 0,5.
Jak wcześniej korzystaliśmy z koła? Narysowaliśmy na nim kąt. W stopniach lub radianach. I od razu piła funkcje trygonometryczne tego kąta. Teraz zróbmy odwrotnie. Narysujmy cosinus na okręgu równy 0,5 i natychmiast zobaczymy narożnik. Pozostaje tylko zapisać odpowiedź.) Tak, tak!
Narysuj okrąg i zaznacz cosinus równy 0,5. Oczywiście na osi cosinus. Lubię to:
Teraz narysujmy kąt, jaki daje nam ten cosinus. Najedź myszką na zdjęcie (lub dotknij zdjęcia na tablecie) i zobaczysz właśnie ten kącik X.
Cosinus którego kąta wynosi 0,5?
x = π /3
sałata 60°= cos( π/3) = 0,5
Niektórzy będą chichotać sceptycznie, tak... Na przykład, czy warto było zataczać koło, gdy wszystko jest już jasne... Można oczywiście chichotać...) Ale faktem jest, że jest to błędna odpowiedź. Albo raczej niewystarczające. Koneserzy kół rozumieją, że istnieje tu cała masa innych kątów, które również dają cosinus 0,5.
Jeśli obrócisz ruchomą stronę OA pełny obrót, punkt A powróci do swojej pierwotnej pozycji. Z tym samym cosinusem równym 0,5. Te. kąt się zmieni o 360° lub 2π radianów, oraz cosinus - nie. Nowy kąt 60° + 360° = 420° również będzie rozwiązaniem naszego równania, ponieważ
Można wykonać nieskończoną liczbę takich pełnych obrotów... I wszystkie te nowe kąty będą rozwiązaniami naszego równania trygonometrycznego. I wszystkie muszą zostać w jakiś sposób zapisane w odpowiedzi. Wszystko. Inaczej decyzja się nie liczy, tak...)
Matematyka może to zrobić prosto i elegancko. Zapisz w jednej krótkiej odpowiedzi nieskończony zestaw decyzje. Oto jak to wygląda w przypadku naszego równania:
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
Rozszyfruję to. Nadal pisz sensownie To przyjemniejsze niż głupie rysowanie tajemniczych liter, prawda?)
π/3 - to ten sam zakątek, co my piła na okręgu i określony zgodnie z tabelą cosinusów.
2π to jeden pełny obrót w radianach.
N - jest to liczba pełnych, tj. cały obr./min Jest jasne, że N może wynosić 0, ±1, ±2, ±3.... i tak dalej. Jak wskazuje krótki wpis:
n ∈ Z
N należy ( ∈ ) zbiór liczb całkowitych ( Z ). Przy okazji, zamiast listu N można z powodzeniem używać liter k, m, t itp.
Ten zapis oznacza, że możesz przyjąć dowolną liczbę całkowitą N . Co najmniej -3, co najmniej 0, co najmniej +55. Cokolwiek chcesz. Jeśli podstawisz tę liczbę do odpowiedzi, otrzymasz konkretny kąt, który z pewnością będzie rozwiązaniem naszego trudnego równania.)
Lub innymi słowy, x = π /3 jest jedynym pierwiastkiem zbioru nieskończonego. Aby otrzymać wszystkie pozostałe pierwiastki, wystarczy dodać dowolną liczbę pełnych obrotów do π /3 ( N ) w radianach. Te. 2π rz radian.
Wszystko? NIE. Celowo przedłużam przyjemność. Aby lepiej pamiętać.) Otrzymaliśmy tylko część odpowiedzi na nasze równanie. Pierwszą część rozwiązania napiszę w ten sposób:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - nie tylko jeden pierwiastek, ale cały szereg pierwiastków, zapisanych w krótkiej formie.
Ale są też kąty, które również dają cosinus 0,5!
Wróćmy do naszego obrazka, z którego zapisaliśmy odpowiedź. Tutaj jest:
Najedź myszką na obraz i widzimy inny kąt daje również cosinus 0,5. Jak myślisz, czemu to jest równe? Trójkąty są takie same... Tak! Jest równy kątowi X , opóźniony jedynie w kierunku ujemnym. To jest róg -X. Ale obliczyliśmy już x. π /3 lub 60°. Dlatego śmiało możemy napisać:
x 2 = - π /3
Cóż, oczywiście dodajemy wszystkie kąty uzyskane przez pełne obroty:
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
To wszystko.) Na okręgu trygonometrycznym my piła(kto oczywiście rozumie)) Wszystko kąty dające cosinus 0,5. I zapisaliśmy te kąty w krótkiej formie matematycznej. Odpowiedź zaowocowała dwoma nieskończonymi seriami pierwiastków:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
To jest poprawna odpowiedź.
Mieć nadzieję, ogólna zasada rozwiązywania równań trygonometrycznych użycie koła jest jasne. Zaznaczamy cosinus (sinus, tangens, cotangens) z danego równania na okręgu, rysujemy odpowiadające mu kąty i zapisujemy odpowiedź. Oczywiście musimy dowiedzieć się, w jakich narożnikach jesteśmy piła na okręgu. Czasami nie jest to takie oczywiste. Cóż, powiedziałem, że wymagana jest tutaj logika.)
Spójrzmy na przykład na inne równanie trygonometryczne:
Proszę wziąć pod uwagę, że liczba 0,5 nie jest jedyną możliwą liczbą w równaniach!) Po prostu wygodniej jest mi ją zapisać niż pierwiastki i ułamki zwykłe.
Działamy według ogólnej zasady. Rysujemy okrąg, zaznaczamy (oczywiście na osi sinusoidalnej!) 0,5. Rysujemy jednocześnie wszystkie kąty odpowiadające temu sinusowi. Otrzymujemy taki obrazek:
Zajmijmy się najpierw kątem X w pierwszym kwartale. Przywołujemy tabelę sinusów i określamy wartość tego kąta. To prosta sprawa:
x = π /6
Pamiętamy o pełnych obrotach i z czystym sumieniem zapisujemy pierwszą serię odpowiedzi:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
Połowa pracy została wykonana. Ale teraz musimy to ustalić drugi zakręt... To trudniejsze niż użycie cosinusów, to prawda... Ale logika nas uratuje! Jak określić drugi kąt przez x? Tak, łatwo! Trójkąty na zdjęciu są takie same, a czerwony róg X równy kątowi X . Tylko jest on liczony od kąta π w kierunku ujemnym. Dlatego jest czerwony.) A do odpowiedzi potrzebujemy poprawnie zmierzonego kąta od dodatniej półosi OX, tj. od kąta 0 stopni.
Najedźmy kursorem na rysunek i zobaczmy wszystko. Usunąłem pierwszy róg, aby nie komplikować obrazu. Interesujący nas kąt (zaznaczony na zielono) będzie równy:
π-x
X. Wiemy o tym π /6 . Zatem drugi kąt będzie wynosił:
π - π /6 = 5π /6
Ponownie pamiętamy o dodaniu pełnych obrotów i zapisujemy drugą serię odpowiedzi:
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
To wszystko. Pełna odpowiedź składa się z dwóch serii pierwiastków:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Równania styczne i cotangens można łatwo rozwiązać, stosując tę samą ogólną zasadę rozwiązywania równań trygonometrycznych. Jeśli oczywiście wiesz, jak narysować styczną i cotangens na okręgu trygonometrycznym.
W powyższych przykładach skorzystałem z tabeli wartości sinusa i cosinusa: 0,5. Te. jedno z tych znaczeń, które uczeń zna musieć. Teraz rozszerzmy nasze możliwości o wszystkie inne wartości. Zdecyduj, więc zdecyduj!)
Powiedzmy, że musimy rozwiązać to równanie trygonometryczne:
W krótkich tabelach nie ma takiej wartości cosinus. Zimno ignorujemy ten straszny fakt. Narysuj okrąg, zaznacz 2/3 na osi cosinus i narysuj odpowiednie kąty. Dostajemy to zdjęcie.
Przyjrzyjmy się najpierw kątowi w pierwszej kwarcie. Gdybyśmy tylko wiedzieli, ile x jest równe, od razu zapisalibyśmy odpowiedź! Nie wiemy... Porażka!? Spokój! Matematyka nie zostawia swoich ludzi w tarapatach! W tym przypadku wymyśliła cosinusy łuku. Nie wiem? Na próżno. Przekonaj się. To o wiele prostsze niż myślisz. W tym łączu nie ma ani jednego trudnego zaklęcia na temat „odwrotnych funkcji trygonometrycznych”… Jest to zbędne w tym temacie.
Jeśli wiesz, powiedz sobie: „X to kąt, którego cosinus jest równy 2/3”. I od razu, wyłącznie na podstawie definicji arc cosinusa, możemy napisać:
Pamiętamy o dodatkowych obrotach i spokojnie zapisujemy pierwszą serię pierwiastków naszego równania trygonometrycznego:
x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Druga seria pierwiastków dla drugiego kąta jest zapisana prawie automatycznie. Wszystko jest takie samo, tylko X (arccos 2/3) będzie z minusem:
x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
I to wszystko! To jest poprawna odpowiedź. Nawet łatwiejsze niż w przypadku wartości tabelarycznych. Nie trzeba niczego pamiętać.) Nawiasem mówiąc, najbardziej uważny zauważy, że to zdjęcie pokazuje rozwiązanie poprzez łuk cosinus w zasadzie nie różni się od obrazu dla równania cosx = 0,5.
Dokładnie! Ogólna zasada jest taka! Celowo narysowałem dwa prawie identyczne obrazki. Okrąg pokazuje nam kąt X przez jego cosinus. Nie wiadomo każdemu, czy jest to cosinus tabelaryczny, czy nie. Jaki to jest kąt, π /3, czy jaki jest arcus cosinus – to zależy od nas.
Ta sama piosenka z sinusem. Na przykład:
Narysuj ponownie okrąg, zaznacz sinus równy 1/3, narysuj kąty. Oto obraz, który otrzymujemy:
I znowu obraz jest prawie taki sam jak w przypadku równania sinx = 0,5. Znów zaczynamy od rzutu rożnego w pierwszej kwarcie. Ile wynosi X, jeśli jego sinus wynosi 1/3? Bez problemu!
Teraz pierwsza paczka korzeni jest gotowa:
x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Zajmijmy się drugim kątem. W przykładzie z wartością tabeli 0,5 była ona równa:
π-x
Tutaj też będzie dokładnie tak samo! Tylko x jest inne, arcsin 1/3. Więc co!? Możesz bezpiecznie zapisać drugą paczkę korzeni:
x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
To jest całkowicie poprawna odpowiedź. Chociaż nie wygląda to zbyt znajomo. Ale mam nadzieję, że wszystko jest jasne.)
W ten sposób rozwiązuje się równania trygonometryczne za pomocą koła. Ta droga jest jasna i zrozumiała. To on oszczędza w równaniach trygonometrycznych z wyborem pierwiastków na danym przedziale, w nierównościach trygonometrycznych - na ogół rozwiązuje się je prawie zawsze w okręgu. Krótko mówiąc, we wszelkich zadaniach nieco trudniejszych niż standardowe.
Zastosujmy wiedzę w praktyce?)
Rozwiązuj równania trygonometryczne:
Najpierw prościej, prosto z tej lekcji.
Teraz jest to bardziej skomplikowane.
Wskazówka: tutaj będziesz musiał pomyśleć o okręgu. Osobiście.)
A teraz są na pozór proste... Nazywa się je również przypadkami specjalnymi.
grzech = 0
grzech = 1
cosx = 0
cosx = -1
Wskazówka: tutaj musisz wyznaczyć w kółku, gdzie znajdują się dwie serie odpowiedzi, a gdzie jedna... I jak zapisać jedną zamiast dwóch serii odpowiedzi. Tak, aby nie stracić ani jednego pierwiastka z nieskończonej liczby!)
Cóż, bardzo proste):
grzech = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Wskazówka: tutaj musisz wiedzieć, co to jest arcsinus i arccosinus? Co to jest arcustangens i arccotangens? Najprostsze definicje. Ale nie musisz pamiętać żadnych wartości z tabeli!)
Odpowiedzi są oczywiście bałaganem):
x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2
Nie wszystko się układa? Dzieje się. Przeczytaj lekcję jeszcze raz. Tylko w zamyśleniu(jest takie przestarzałe słowo...) I podążaj za linkami. Główne linki dotyczą okręgu. Bez tego trygonometria przypomina przechodzenie przez ulicę z zawiązanymi oczami. Czasami to działa.)
Jeśli podoba Ci się ta strona...
Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)
Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)
Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.