Wzory na najprostsze nierówności trygonometryczne. Najprostsze i złożone nierówności trygonometryczne

rozwiązanie nierówności w trybie online rozwiązanie prawie każdą nierówność online. Matematyczny nierówności w Internecie rozwiązać matematykę. Znajdź szybko rozwiązanie nierówności w trybie online. Witryna www.site pozwala znaleźć rozwiązanie prawie dowolne algebraiczny, trygonometryczny Lub transcendentna nierówność online. Studiując prawie każdy dział matematyki na różnych etapach, trzeba się zdecydować nierówności w Internecie. Aby uzyskać natychmiastową odpowiedź, a co najważniejsze dokładną odpowiedź, potrzebujesz zasobu, który Ci to umożliwi. Dzięki www.site rozwiąż nierówność online zajmie kilka minut. Główną zaletą www.site przy rozwiązywaniu zadań matematycznych nierówności w Internecie- jest szybkość i trafność udzielonej odpowiedzi. Witryna jest w stanie rozwiązać każdy nierówności algebraiczne online, nierówności trygonometryczne online, transcendentalne nierówności online, I nierówności z nieznanymi parametrami w trybie online. nierówności służyć jako potężny aparat matematyczny rozwiązania zadania praktyczne. Z pomocą nierówności matematyczne możliwe jest przedstawienie faktów i relacji, które na pierwszy rzut oka mogą wydawać się zagmatwane i złożone. nieznane ilości nierówności można znaleźć formułując problem w matematyczny język w formie nierówności I decydować otrzymane zadanie w trybie online na stronie internetowej www.site. Każdy nierówność algebraiczna, nierówność trygonometryczna Lub nierówności zawierający nadzmysłowyłatwo Cię rozpoznaje decydować online i uzyskaj właściwą odpowiedź. Studiując nauki przyrodnicze, nieuchronnie napotyka się na potrzebę rozwiązanie nierówności. W takim przypadku odpowiedź musi być dokładna i musi zostać odebrana natychmiast w trybie online. Dlatego za rozwiązuj nierówności matematyczne online polecamy stronę www.site, która stanie się Twoim niezbędnym kalkulatorem rozwiązuj nierówności algebraiczne online, nierówności trygonometryczne online, I transcendentalne nierówności online Lub nierówności o nieznanych parametrach. W przypadku praktycznych problemów związanych ze znalezieniem różnych rozwiązań intravol nierówności matematyczne zasób www.. Rozwiązywanie nierówności w Internecie samodzielnie, warto sprawdzić otrzymaną odpowiedź za pomocą rozwiązanie nierówności online na stronie internetowej www.site. Konieczne jest prawidłowe zapisanie nierówności i natychmiastowe uzyskanie rozwiązanie internetowe, po czym pozostaje tylko porównać odpowiedź z rozwiązaniem nierówności. Sprawdzenie odpowiedzi zajmie nie więcej niż minutę rozwiąż nierówność online i porównaj odpowiedzi. Pomoże to uniknąć błędów w decyzja i popraw odpowiedź na czas rozwiązywanie nierówności online albo algebraiczny, trygonometryczny, niedościgniony Lub nierówność o nieznanych parametrach.

Nierówności zawierające funkcje trygonometryczne po rozwiązaniu sprowadzają się do najprostszych nierówności postaci cos(t)>a, sint(t)=a i tym podobne. I już najprostsze nierówności są rozwiązane. Rozważ, używając różnych przykładów, metody rozwiązywania najprostszych nierówności trygonometrycznych.

Przykład 1. Rozwiąż nierówność sin(t) > = -1/2.

Narysuj pojedynczy okrąg. Ponieważ sin (t) z definicji jest współrzędną y, zaznaczamy punkt y \u003d -1/2 na osi Oy. Prowadzimy przez nią prostą równoległą do osi x. W punktach przecięcia prostej z wykresem koła jednostkowego zaznaczamy punkty Pt1 i Pt2. Początek współrzędnych z punktami Pt1 i Pt2 łączymy dwoma odcinkami.

Rozwiązaniem tej nierówności będą wszystkie punkty koła jednostkowego znajdujące się powyżej tych punktów. Innymi słowy, rozwiązaniem będzie łuk l.. Teraz musisz określić warunki, w których dowolny punkt będzie należał do łuku l.

Pt1 leży w prawym półokręgu, jego rzędna to -1/2, wtedy t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. W celu opisania punktu Pt1 można zapisać następującą formułę:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. W rezultacie otrzymujemy następującą nierówność dla t:

Znaki nierówności zachowujemy. A ponieważ funkcja sinus jest funkcją okresową, to rozwiązania będą powtarzane co 2 * pi. Dodajemy ten warunek do otrzymanej nierówności dla t i zapisujemy odpowiedź.

Odpowiedź: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

Przykład 2 Rozwiąż nierówność cos(t)<1/2.

Narysujmy okrąg jednostkowy. Ponieważ zgodnie z definicją cos(t) jest to współrzędna x, oznaczamy punkt x = 1/2 na wykresie na osi x.
Prowadzimy przez ten punkt prostą równoległą do osi y. W punktach przecięcia prostej z wykresem koła jednostkowego zaznaczamy punkty Pt1 i Pt2. Początek współrzędnych z punktami Pt1 i Pt2 łączymy dwoma odcinkami.

Rozwiązaniem są wszystkie punkty okręgu jednostkowego, które należą do łuku l. Znajdźmy punkty t1 i t2.

t1 = arccos(1/2) = pi/3.

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

Mamy nierówność dla t: pi/3

Ponieważ cosinus jest funkcją okresową, rozwiązania będą powtarzane co 2 * pi. Dodajemy ten warunek do otrzymanej nierówności dla t i zapisujemy odpowiedź.

Odpowiedź: pi/3+2*pi*n

Przykład 3 Rozwiąż nierówność tg(t)< = 1.

Okres stycznej wynosi pi. Znajdź rozwiązania należące do przedziału (-pi/2;pi/2) prawego półkola. Następnie, korzystając z okresowości stycznej, zapisujemy wszystkie rozwiązania tej nierówności. Narysujmy okrąg jednostkowy i zaznaczmy na nim linię stycznych.

Jeśli t jest rozwiązaniem nierówności, to rzędna punktu T = tg(t) musi być mniejsza lub równa 1. Zbiór takich punktów będzie tworzył półprostą AT. Zbiorem punktów Pt, które będą odpowiadać punktom tego promienia, jest łuk l. Ponadto punkt P(-pi/2) nie należy do tego łuku.

Projekt algebry „Rozwiązywanie nierówności trygonometrycznych” Ukończony przez uczennicę klasy 10 „B” Julię Kazachkova Opiekun: nauczyciel matematyki Kochakova N.N.

Cel Utrwalenie materiału na temat „Rozwiązywanie nierówności trygonometrycznych” i stworzenie notatki dla uczniów, aby przygotować się do nadchodzącego egzaminu.

Cele Podsumuj materiał na dany temat. Uporządkuj otrzymane informacje. Rozważ ten temat na egzaminie.

Trafność Trafność wybranego przeze mnie tematu polega na tym, że zadania na temat „Rozwiązywanie nierówności trygonometrycznych” są zawarte w zadaniach egzaminu.

Nierówności trygonometryczne Nierówność to relacja łącząca dwie liczby lub wyrażenia za pomocą jednego ze znaków: (większy niż); ≥ (większe lub równe). Nierówność trygonometryczna to nierówność zawierająca funkcje trygonometryczne.

Nierówności trygonometryczne Rozwiązanie nierówności zawierających funkcje trygonometryczne sprowadza się z reguły do ​​rozwiązania najprostszych nierówności postaci: sin x>a, sin x a, cos x a,tgx a, ctg x

Algorytm rozwiązywania nierówności trygonometrycznych Na osi odpowiadającej danej funkcji trygonometrycznej zaznacz podaną wartość liczbową tej funkcji. Narysuj linię przez zaznaczony punkt, który przecina okrąg jednostkowy. Wybierz punkty przecięcia linii i okręgu, biorąc pod uwagę ścisły lub nieścisły znak nierówności. Wybierz łuk koła, na którym znajdują się rozwiązania nierówności. Określ wartości kątów w punktach początkowych i końcowych łuku kołowego. Zapisz rozwiązanie nierówności, uwzględniając okresowość danej funkcji trygonometrycznej.

Wzory do rozwiązywania nierówności trygonometrycznych sinx >a; x (arcsin a + 2πn; π- arcsin a + 2πn). sinx A; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn). cosxA; x (arctg a + πn ; + πn). tgx A; x (πn; arctg + πn). ctgx

Graficzne rozwiązanie głównych nierówności trygonometrycznych sinx >a

Graficzne rozwiązanie głównych nierówności trygonometrycznych sinx

Graficzne rozwiązanie głównych nierówności trygonometrycznych cosx >a

Graficzne rozwiązanie głównych nierówności trygonometrycznych cosx

Graficzne rozwiązanie głównych nierówności trygonometrycznych tgx >a

Graficzne rozwiązanie głównych nierówności trygonometrycznych tgx

Graficzne rozwiązanie głównych nierówności trygonometrycznych ctgx >a

Graficzne rozwiązanie głównych nierówności trygonometrycznych ctgx

Sposoby rozwiązywania nierówności trygonometrycznych Rozwiązywanie nierówności trygonometrycznych za pomocą koła liczbowego; Rozwiązywanie nierówności trygonometrycznych za pomocą wykresu funkcji. :

Rozwiązywanie nierówności trygonometrycznych za pomocą koła liczbowego Przykład 1: : Odpowiedź:

Rozwiązywanie nierówności trygonometrycznych za pomocą koła liczbowego Przykład 1: Odpowiedź:

Rozwiązywanie nierówności trygonometrycznych za pomocą wykresu funkcji Przykład: Odpowiedź:

W wyniku pracy ugruntowałem swoją wiedzę na temat „Rozwiązywanie nierówności trygonometrycznych”. Usystematyzowano otrzymane informacje na ten temat dla wygody ich postrzegania: wyprowadzono algorytm rozwiązywania nierówności trygonometrycznych; nakreślił dwa sposoby rozwiązania; pokazał przykłady rozwiązań. :

Efekt pracy Do mojego projektu dołączam jako gotowy produkt „Przypomnienie dla studentów przygotowujących się do egzaminu z algebry”. Dokument Microsoft Office Word (2). docx:

Użyta literatura Podręcznik do algebry dla klasy 10 „Algebra i początek analizy” pod redakcją A.N. Kołmogorowa http://festival.1september.ru/articles/514580/ http://www.mathematics-repetition.com http://www. calc.ru http://www.pomochnik-vsem.ru:

Na lekcji praktycznej powtórzymy główne typy zadań z tematu „Trygonometria”, dodatkowo przeanalizujemy problemy o zwiększonej złożoności i rozważymy przykłady rozwiązywania różnych nierówności trygonometrycznych i ich układów.

Ta lekcja pomoże Ci przygotować się do jednego z rodzajów zadań B5, B7, C1 i C3.

Zacznijmy od powtórzenia głównych typów zadań, które omówiliśmy w temacie Trygonometria i rozwiązania kilku niestandardowych zadań.

Zadanie 1. Zamień kąty na radiany i stopnie: a) ; B) .

a) Skorzystaj ze wzoru na zamianę stopni na radiany

Podstaw do niego podaną wartość.

b) Zastosuj wzór na zamianę radianów na stopnie

Dokonajmy zamiany .

Odpowiedź. A) ; B) .

Zadanie nr 2. Oblicz: a) ; B) .

a) Ponieważ kąt jest daleko poza tabelą, zmniejszamy go, odejmując okres sinusa. Ponieważ kąt jest podany w radianach, to okres będzie traktowany jako .

b) W tym przypadku sytuacja jest podobna. Ponieważ kąt jest określony w stopniach, okres stycznej będziemy traktować jako .

Otrzymany kąt, choć mniejszy od kropki, jest większy, co oznacza, że ​​nie odnosi się już do głównej, ale do przedłużonej części tablicy. Aby nie trenować ponownie naszej pamięci przez zapamiętywanie rozszerzonej tablicy wartości funkcji trygofunkcyjnych, ponownie odejmujemy okres tangensa:

Wykorzystaliśmy dziwność funkcji stycznej.

Odpowiedź. a) 1; B) .

Zadanie nr 3. Oblicz , Jeśli .

Doprowadzamy całe wyrażenie do tangensów, dzieląc licznik i mianownik ułamka przez . Jednocześnie nie możemy się tego obawiać, bo w tym przypadku wartość stycznej nie istniałaby.

Zadanie nr 4. Uprość wyrażenie.

Określone wyrażenia są konwertowane przy użyciu formuł rzutowania. Po prostu są one niezwykle pisane przy użyciu stopni. Pierwsze wyrażenie jest na ogół liczbą. Uprość po kolei wszystkie trygofunkcje:

Ponieważ , to funkcja zmienia się w kofunkcję, tj. do cotangensa, a kąt mieści się w drugiej ćwiartce, w której znak pierwotnej stycznej jest ujemny.

Z tych samych powodów, co w poprzednim wyrażeniu, funkcja zmienia się w kofunkcję, tj. do cotangensa, a kąt mieści się w pierwszej ćwiartce, w której styczna początkowa ma znak dodatni.

Podstawiając wszystko do uproszczonego wyrażenia:

Zadanie nr 5. Uprość wyrażenie.

Zapiszmy tangens podwójnego kąta zgodnie z odpowiednim wzorem i uprośćmy wyrażenie:

Ostatnia tożsamość jest jedną z uniwersalnych formuł zastępczych dla cosinusa.

Zadanie nr 6. Oblicz .

Najważniejsze, aby nie popełnić standardowego błędu i nie dać odpowiedzi, że wyrażenie jest równe . Niemożliwe jest wykorzystanie głównej właściwości łuku stycznego, gdy w jego pobliżu występuje czynnik w postaci dwójki. Aby się go pozbyć, zapisujemy wyrażenie zgodnie ze wzorem na tangens kąta podwójnego, a traktujemy to jako zwykły argument.

Teraz można już zastosować główną właściwość łuku stycznego, pamiętaj, że nie ma ograniczeń co do jego wyniku liczbowego.

Zadanie nr 7. Rozwiązać równanie.

Podczas rozwiązywania równania ułamkowego, które równa się zero, zawsze wskazuje się, że licznik wynosi zero, a mianownik nie, ponieważ nie możesz dzielić przez zero.

Pierwsze równanie jest szczególnym przypadkiem najprostszego równania, które rozwiązuje się za pomocą koła trygonometrycznego. Sam pomyśl o tym rozwiązaniu. Drugą nierówność rozwiązuje się jako najprostsze równanie, używając ogólnego wzoru na pierwiastki stycznej, ale tylko ze znakiem nierównym.

Jak widać, jedna rodzina pierwiastków wyklucza inną dokładnie tę samą rodzinę pierwiastków, które nie spełniają równania. Te. nie ma korzeni.

Odpowiedź. Nie ma korzeni.

Zadanie nr 8. Rozwiązać równanie.

Natychmiast zauważ, że możesz wyjąć wspólny czynnik i zrobić to:

Równanie zostało sprowadzone do jednej ze standardowych postaci, gdy iloczyn kilku czynników jest równy zeru. Wiemy już, że w tym przypadku albo jeden z nich jest równy zeru, albo drugi, albo trzeci. Zapisujemy to w postaci układu równań:

Pierwsze dwa równania to przypadki szczególne najprostszych, z podobnymi równaniami spotykaliśmy się już wielokrotnie, więc od razu wskażemy ich rozwiązania. Redukujemy trzecie równanie do jednej funkcji, używając wzoru na sinus podwójnego kąta.

Rozwiążmy ostatnie równanie osobno:

To równanie nie ma pierwiastków, ponieważ wartość sinusa nie może przekroczyć .

Zatem rozwiązaniem są tylko dwie pierwsze rodziny pierwiastków, można je połączyć w jedną, co łatwo pokazać na okręgu trygonometrycznym:

Jest to rodzina połówek, tj.

Przejdźmy do rozwiązywania nierówności trygonometrycznych. Najpierw przeanalizujmy podejście do rozwiązania przykładu bez użycia ogólnych wzorów rozwiązań, ale za pomocą koła trygonometrycznego.

Zadanie nr 9. Rozwiąż nierówność.

Narysuj linię pomocniczą na okręgu trygonometrycznym odpowiadającą wartości sinusa równej , i wskaż przedział kątów spełniających nierówność.

Bardzo ważne jest, aby dokładnie zrozumieć, jak określić wynikowy przedział kątowy, tj. jaki jest jej początek, a jaki koniec. Początkiem szczeliny będzie kąt odpowiadający punktowi, w który wejdziemy na samym początku szczeliny, jeśli będziemy poruszać się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. W naszym przypadku jest to punkt po lewej stronie, ponieważ poruszając się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i mijając właściwy punkt, wręcz przeciwnie, wychodzimy z wymaganego przedziału kątowego. Właściwy punkt będzie zatem odpowiadał końcowi luki.

Teraz musimy zrozumieć wartości kątów początkowych i końcowych naszej luki w rozwiązaniach nierówności. Typowym błędem jest natychmiastowe wskazanie, że prawy punkt odpowiada kątowi , lewemu i podanie odpowiedzi. To nie jest prawda! Zwróć uwagę, że właśnie wskazaliśmy przedział odpowiadający górnej części koła, chociaż interesuje nas dolny przedział, innymi słowy, pomyliliśmy początek i koniec przedziału potrzebnych nam rozwiązań.

Aby interwał zaczynał się w rogu prawego punktu i kończył się w rogu lewego punktu, pierwszy określony kąt musi być mniejszy niż drugi. W tym celu będziemy musieli zmierzyć kąt prawego punktu w ujemnym kierunku odniesienia, tj. zgodnie z ruchem wskazówek zegara i będzie równa . Następnie, zaczynając od niego w dodatnim kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, dojdziemy do prawego punktu po lewym punkcie i uzyskamy dla niego wartość kąta. Teraz początek przedziału kątów jest mniejszy niż koniec , i możemy zapisać przedział rozwiązań bez uwzględnienia okresu:

Biorąc pod uwagę, że takie przerwy będą się powtarzać nieskończoną liczbę razy po dowolnej całkowitej liczbie obrotów, otrzymujemy ogólne rozwiązanie uwzględniające okres sinusoidalny:

Umieściliśmy nawiasy okrągłe, ponieważ nierówność jest ścisła, i przebijamy punkty na okręgu odpowiadające końcom przedziału.

Porównaj swoją odpowiedź ze wzorem rozwiązania ogólnego, który podaliśmy na wykładzie.

Odpowiedź. .

Ta metoda jest dobra do zrozumienia, skąd biorą się wzory na ogólne rozwiązania najprostszych nierówności trygonalnych. Ponadto jest to przydatne dla tych, którzy są zbyt leniwi, aby nauczyć się tych wszystkich kłopotliwych formuł. Jednak sama metoda również nie jest łatwa, wybierz takie podejście do rozwiązania, które jest dla Ciebie najwygodniejsze.

Do rozwiązywania nierówności trygonometrycznych można również wykorzystać wykresy funkcji, na których zbudowana jest linia pomocnicza, podobnie jak w metodzie pokazanej za pomocą okręgu jednostkowego. Jeśli jesteś zainteresowany, spróbuj sam zrozumieć to podejście do rozwiązania. W dalszej części użyjemy ogólnych wzorów do rozwiązania najprostszych nierówności trygonometrycznych.

Zadanie nr 10. Rozwiąż nierówność.

Korzystamy z ogólnego wzoru na rozwiązanie, biorąc pod uwagę, że nierówność nie jest ścisła:

Otrzymujemy w naszym przypadku:

Odpowiedź.

Zadanie nr 11. Rozwiąż nierówność.

Używamy ogólnego wzoru rozwiązania dla odpowiedniej ścisłej nierówności:

Odpowiedź. .

Zadanie nr 12. Rozwiąż nierówności: a) ; B) .

W tych nierównościach nie należy spieszyć się ze stosowaniem wzorów na rozwiązania ogólne lub koło trygonometryczne, wystarczy zapamiętać zakres wartości sinusa i cosinusa.

a) Ponieważ , to nierówność jest bez znaczenia. Dlatego nie ma rozwiązań.

b) Ponieważ podobnie sinus dowolnego argumentu zawsze spełnia nierówność określoną w warunku. Dlatego nierówność jest spełniona przez wszystkie rzeczywiste wartości argumentu.

Odpowiedź. a) nie ma rozwiązań; B) .

Zadanie 13. Rozwiąż nierówność .

METODY ROZWIĄZYWANIA NIERÓWNOŚCI TRYGONOMETRYCZNYCH

Znaczenie. W przeszłości równania i nierówności trygonometryczne zajmowały szczególne miejsce w szkolnym programie nauczania. Można powiedzieć, że trygonometria jest jednym z najważniejszych działów kursu szkolnego i całej matematyki w ogóle.

Równania i nierówności trygonometryczne zajmują jedno z centralnych miejsc w kursie matematyki w szkole średniej, zarówno pod względem treści materiału edukacyjnego, jak i metod działalności edukacyjnej i poznawczej, które mogą i powinny być kształtowane podczas ich studiowania i stosowane do rozwiązywania dużych szereg problemów natury teoretycznej i stosowanej.

Rozwiązanie równań i nierówności trygonometrycznych stwarza warunki do usystematyzowania wiedzy uczniów dotyczącej wszystkich materiałów edukacyjnych z trygonometrii (na przykład właściwości funkcji trygonometrycznych, metod przekształcania wyrażeń trygonometrycznych itp.) i umożliwia ustanowienie skutecznych powiązań z studiowany materiał z algebry (równania, równoważność równań, nierówności, identyczne przekształcenia wyrażeń algebraicznych itp.).

Innymi słowy, rozważanie metod rozwiązywania równań i nierówności trygonometrycznych polega na swoistym przeniesieniu tych umiejętności na nową treść.

Znaczenie teorii i jej liczne zastosowania są dowodem aktualności wybranego tematu. To z kolei pozwala określić cele, zadania i przedmiot badań kursu pracy.

Cel badania: uogólnić dostępne rodzaje nierówności trygonometrycznych, podstawowe i specjalne metody ich rozwiązywania, wybrać zestaw zadań do rozwiązywania nierówności trygonometrycznych przez uczniów.

Cele badań:

1. Na podstawie analizy dostępnej literatury przedmiotu badań usystematyzuj materiał.

2. Podaj zestaw zadań niezbędnych do utrwalenia tematu „Nierówności trygonometryczne”.

Przedmiot badań to nierówności trygonometryczne na szkolnym kursie matematyki.

Przedmiot badań: rodzaje nierówności trygonometrycznych i metody ich rozwiązywania.

Znaczenie teoretyczne jest uporządkowanie materiału.

Praktyczne znaczenie: zastosowanie wiedzy teoretycznej w rozwiązywaniu problemów; analiza głównych często spotykanych metod rozwiązywania nierówności trygonometrycznych.

Metody badawcze : analiza literatury naukowej, synteza i uogólnienie zdobytej wiedzy, analiza rozwiązywania problemów, poszukiwanie optymalnych metod rozwiązywania nierówności.

§1. Rodzaje nierówności trygonometrycznych i podstawowe metody ich rozwiązywania

1.1. Najprostsze nierówności trygonometryczne

Dwa wyrażenia trygonometryczne połączone znakiem lub > nazywane są nierównościami trygonometrycznymi.

Rozwiązanie nierówności trygonometrycznej polega na znalezieniu zbioru wartości niewiadomych zawartych w nierówności, przy których nierówność jest spełniona.

Główną część nierówności trygonometrycznych rozwiązuje się, sprowadzając je do rozwiązywania najprostszych:

Może to być metoda faktoryzacji, zmiana zmiennej (
,
itd.), gdzie najpierw rozwiązuje się zwykłą nierówność, a następnie nierówność formy
itp. lub w inny sposób.

Najprostsze nierówności rozwiązuje się na dwa sposoby: za pomocą koła jednostkowego lub graficznie.

Pozwalaćf(x  jest jedną z podstawowych funkcji trygonometrycznych. Aby rozwiązać nierówność
wystarczy znaleźć jego rozwiązanie na jednym okresie, tj. na dowolnym odcinku, którego długość jest równa okresowi funkcjiF  X  . Wtedy wszystkie rozwiązania pierwotnej nierówności zostaną znalezioneX , a także te wartości, które różnią się od wartości znalezionych przez dowolną całkowitą liczbę okresów funkcji. W takim przypadku wygodnie jest użyć metody graficznej.

Podajmy przykład algorytmu rozwiązywania nierówności
(
) I
.

Algorytm rozwiązywania nierówności
(
).

1. Sformułuj definicję sinusa liczbyX na okręgu jednostkowym.

3. Na osi Y zaznacz punkt ze współrzędnąA .

4. Przez ten punkt poprowadź linię równoległą do osi OX i zaznacz punkty jej przecięcia z okręgiem.

5. Wybierz łuk okręgu, którego wszystkie punkty mają rzędną mniejszą niżA .

6. Określ kierunek obejścia (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) i zapisz odpowiedź dodając okres funkcji do końców przedziału2πn ,
.

Algorytm rozwiązywania nierówności
.

1. Sformułuj definicję tangensa liczbyX na okręgu jednostkowym.

2. Narysuj okrąg jednostkowy.

3. Narysuj linię stycznych i zaznacz na niej punkt rzędnąA .

4. Połącz ten punkt z początkiem układu współrzędnych i zaznacz punkt przecięcia powstałego segmentu z okręgiem jednostkowym.

5. Wybierz łuk okręgu, którego wszystkie punkty mają rzędną na stycznej mniejszą niżA .

6. Wskaż kierunek przejścia i zapisz odpowiedź, uwzględniając zakres funkcji, dodając kropkępn ,
(liczba po lewej stronie rekordu jest zawsze mniejsza niż liczba po prawej stronie).

Graficzną interpretację rozwiązań najprostszych równań i wzorów rozwiązywania nierówności w postaci ogólnej podano w załączniku (załączniki 1 i 2).

Przykład 1 Rozwiąż nierówność
.

Narysuj linię na okręgu jednostkowym
, która przecina okrąg w punktach A i B.

Wszystkie wartościy na przedziale NM więcej , wszystkie punkty łuku AMB spełniają tę nierówność. Pod każdym kątem obrotu, duży , ale mniejszy ,
przyjmą wartości większe niż (ale nie więcej niż jeden).

Ryc.1

Zatem rozwiązaniem nierówności będą wszystkie wartości w przedziale
, tj.
. Aby otrzymać wszystkie rozwiązania tej nierówności, wystarczy dodać do końców tego przedziału
, Gdzie
, tj.
,
. Zwróć uwagę, że wartości
I
są pierwiastkami równania
,

te.
;
.

Odpowiedź:
,
.

1.2. Metoda graficzna

W praktyce często przydatna jest graficzna metoda rozwiązywania nierówności trygonometrycznych. Rozważ istotę metody na przykładzie nierówności
:

1. Jeśli argument jest złożony (różny odX ), następnie zamieniamy go naT .

2. Budujemy w jednej płaszczyźnie współrzędnychtoOy wykresy funkcji
I
.

3. Znajdujemy takiedwa sąsiednie punkty przecięcia wykresów, między którymisinusoidalnyusytuowanywyższy prosty
. Znajdź odcięte tych punktów.

4. Napisz podwójną nierówność dla argumentuT , biorąc pod uwagę okres cosinusowy (T będzie między znalezionymi odciętymi).

5. Wykonaj podstawienie odwrotne (powrót do pierwotnego argumentu) i wyraź wartośćX z podwójnej nierówności zapisujemy odpowiedź jako przedział liczbowy.

Przykład 2 Rozwiąż nierówność: .

Podczas rozwiązywania nierówności metodą graficzną konieczne jest jak najdokładniejsze zbudowanie wykresów funkcji. Przekształćmy nierówność do postaci:

Skonstruujmy wykresy funkcji w jednym układzie współrzędnych
I
(Rys. 2).

Ryc.2

Wykresy funkcji przecinają się w jednym punkcieA ze współrzędnymi
;
. Pomiędzy
punkty wykresu
poniżej punktów wykresu
. I kiedy
wartości funkcji są takie same. Dlatego
Na
.

Odpowiedź:
.

1.3. Metoda algebraiczna

Dość często pierwotną nierówność trygonometryczną, przez dobrze dobrane podstawienie, można sprowadzić do nierówności algebraicznej (wymiernej lub irracjonalnej). Ta metoda polega na przekształceniu nierówności, wprowadzeniu podstawienia lub zamiany zmiennej.

Rozważmy zastosowanie tej metody na konkretnych przykładach.

Przykład 3 Redukcja do najprostszej postaci
.

(Rys. 3)

Ryc.3

,
.

Odpowiedź:
,

Przykład 4 Rozwiąż nierówność:

ODZ:
,
.

Korzystanie ze wzorów:
,

nierówność zapisujemy w postaci:
.

Albo zakładając
po prostych przekształceniach otrzymujemy

,

,

.

Rozwiązując ostatnią nierówność metodą przedziałową, otrzymujemy:

Ryc.4

odpowiednio
. Następnie z rys. 4 następuje
, Gdzie
.

Ryc.5

Odpowiedź:
,
.

1.4. Metoda odstępów

Ogólny schemat rozwiązywania nierówności trygonometrycznych metodą przedziałową:

Korzystając ze wzorów trygonometrycznych, rozłóż na czynniki.

Znajdź punkty przerwania i miejsca zerowe funkcji, umieść je na okręgu.

Weź dowolny punktDO (ale nie znaleziono wcześniej) i znajdź znak produktu. Jeśli iloczyn jest dodatni, umieść punkt poza okręgiem jednostkowym na promieniu odpowiadającym kątowi. W przeciwnym razie umieść punkt wewnątrz okręgu.

Jeśli punkt występuje parzystą liczbę razy, nazywamy go punktem parzystej krotności; jeśli nieparzystą liczbę razy, nazywamy go punktem nieparzystej krotności. Narysuj łuki w następujący sposób: zacznij od punktuDO , jeśli następny punkt ma nieparzystą krotność, to łuk przecina okrąg w tym punkcie, ale jeśli punkt ma parzystą krotność, to nie przecina się.

Łuki za okręgiem to przerwy dodatnie; wewnątrz okręgu znajdują się przedziały ujemne.

Przykład 5 Rozwiąż nierówność

,
.

Punkty pierwszej serii:
.

Punkty drugiej serii:
.

Każdy punkt występuje nieparzystą liczbę razy, to znaczy wszystkie punkty nieparzystej krotności.

Znajdź znak produktu na
: . Zaznaczamy wszystkie punkty na okręgu jednostkowym (ryc. 6):

Ryż. 6

Odpowiedź:
,
;
,
;
,
.

Przykład 6 . Rozwiąż nierówność.

Rozwiązanie:

Znajdźmy miejsca zerowe wyrażenia .

DostawaćtakM :

,
;

,
;

,
;

,
;

Na okręgu jednostkowym wartości seriiX 1 reprezentowane przez kropki
. SeriaX 2 daje punkty
. SerieX 3 otrzymujemy dwa punkty
. Na koniec seriaX 4 będzie reprezentować punkty
. Wszystkie te punkty umieściliśmy na okręgu jednostkowym, wskazując w nawiasach przy każdym jego krotność.

Teraz niech numer będzie równy. Dokonujemy oszacowania według znaku:

A więc sednoA należy wybrać na belce tworzącej kąt z belkąOh, poza okręgiem jednostkowym. (Zauważ, że wiązka pomocniczaO A nie musi być pokazany na zdjęciu. KropkaA wybrane w przybliżeniu).

Teraz od punktuA rysujemy kolejno falistą linię ciągłą do wszystkich zaznaczonych punktów. I w punktach
nasza linia przechodzi z jednego regionu do drugiego: jeśli znajdowała się poza okręgiem jednostkowym, to przechodzi do niego. Zbliżanie się do punktu , prosta powraca do obszaru wewnętrznego, ponieważ krotność tego punktu jest parzysta. Podobnie w punkcie (z parzystą krotnością) linia musi być obrócona do obszaru zewnętrznego. Narysowaliśmy więc pewien obraz przedstawiony na ryc. 7. Pomaga podświetlić pożądane obszary na okręgu jednostkowym. Są one oznaczone „+”.

Ryc.7

Ostatnia odpowiedź:

Notatka. Jeżeli linia falista po przejściu przez wszystkie punkty zaznaczone na okręgu jednostkowym nie może wrócić do punktuA , bez przecięcia koła w „niedozwolonym” miejscu oznacza to, że w rozwiązaniu popełniono błąd, a mianowicie pominięto nieparzystą liczbę pierwiastków.

Odpowiedź: .

§2. Zestaw zadań do rozwiązywania nierówności trygonometrycznych

W procesie rozwijania zdolności uczniów do rozwiązywania nierówności trygonometrycznych można również wyróżnić 3 etapy.

1. przygotowawczy,

2. kształtowanie umiejętności rozwiązywania najprostszych nierówności trygonometrycznych;

3. wprowadzenie nierówności trygonometrycznych innych typów.

Celem etapu przygotowawczego jest to, że konieczne jest wykształcenie u dzieci w wieku szkolnym umiejętności korzystania z koła trygonometrycznego lub wykresu do rozwiązywania nierówności, a mianowicie:

Umiejętność rozwiązywania prostych nierówności postaci
,
,
,
, wykorzystanie własności funkcji sinus i cosinus;

Umiejętność tworzenia podwójnych nierówności dla łuków koła liczbowego lub dla łuków wykresów funkcji;

Umiejętność wykonywania różnych przekształceń wyrażeń trygonometrycznych.

Zaleca się wdrożenie tego etapu w proces systematyzacji wiedzy uczniów o własnościach funkcji trygonometrycznych. Głównym środkiem mogą być zadania proponowane uczniom i wykonywane pod kierunkiem nauczyciela lub samodzielnie, a także zdobyte umiejętności rozwiązywania równań trygonometrycznych.

Oto przykłady takich zadań:

1 . Zaznacz punkt na okręgu jednostkowym , Jeśli

.

2. W której ćwiartce układu współrzędnych znajduje się punkt , Jeśli równa się:

3. Zaznacz punkty na okręgu trygonometrycznym , Jeśli:

4. Doprowadź wyrażenie do funkcji trygonometrycznychImieszkanie.

A)
, B)
, V)

5. Biorąc pod uwagę łuk MR.M - środekIkwartał,R - środekIIkwartał. Ogranicz wartość zmiennejT dla: (skomponuj podwójną nierówność) a) arc MP; b) łuki RM.

6. Napisz podwójną nierówność dla wybranych części wykresu:

Ryż. 1

7. Rozwiąż nierówności
,
,
,
.

8. Konwertuj wyrażenie .

Na drugim etapie nauki rozwiązywania nierówności trygonometrycznych możemy zaproponować następujące zalecenia dotyczące metodyki organizacji zajęć uczniów. Jednocześnie należy skupić się na umiejętności pracy uczniów z kołem lub wykresem trygonometrycznym, które powstają podczas rozwiązywania najprostszych równań trygonometrycznych.

Po pierwsze, można uzasadnić celowość uzyskania ogólnej metody rozwiązywania najprostszych nierówności trygonometrycznych, odwołując się np.
. Korzystając z wiedzy i umiejętności zdobytych na etapie przygotowawczym, uczniowie doprowadzą do postaci zaproponowaną nierówność
, ale może mieć trudności ze znalezieniem zestawu rozwiązań powstałej nierówności, ponieważ nie można go rozwiązać tylko za pomocą właściwości funkcji sinus. Trudności tej można uniknąć, odwołując się do odpowiedniej ilustracji (rozwiązanie równania graficznie lub za pomocą koła jednostkowego).

Po drugie, nauczyciel powinien zwrócić uwagę uczniów na różne sposoby wykonania zadania, podać odpowiedni przykład rozwiązania nierówności zarówno w formie graficznej, jak i za pomocą koła trygonometrycznego.

Rozważ takie opcje rozwiązania nierówności
.

1. Rozwiązywanie nierówności za pomocą koła jednostkowego.

Na pierwszej lekcji dotyczącej rozwiązywania nierówności trygonometrycznych zaproponujemy uczniom szczegółowy algorytm rozwiązania, który w prezentacji krok po kroku odzwierciedla wszystkie podstawowe umiejętności niezbędne do rozwiązania nierówności.

Krok 1.Narysuj okrąg jednostkowy, zaznacz punkt na osi y i poprowadź przez nią prostą równoległą do osi x. Ta linia przecina okrąg jednostkowy w dwóch punktach. Każdy z tych punktów przedstawia liczby, których sinus jest równy .

Krok 2Ta prosta dzieliła okrąg na dwa łuki. Wyróżnijmy ten, na którym wyświetlane są liczby, które mają sinus większy niż . Oczywiście ten łuk znajduje się nad narysowaną linią prostą.

Ryż. 2

Krok 3Wybierzmy jeden z końców zaznaczonego łuku. Zapiszmy jedną z liczb reprezentowanych przez ten punkt koła jednostkowego .

Krok 4Aby wybrać numer odpowiadający drugiemu końcowi wybranego łuku, „przechodzimy” wzdłuż tego łuku od wskazanego końca do drugiego. Jednocześnie przypominamy sobie, że poruszając się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, liczby, które będziemy mijać, rosną (podczas ruchu w przeciwnym kierunku liczby maleją). Zapiszmy liczbę, która jest przedstawiona na okręgu jednostkowym przy drugim końcu zaznaczonego łuku .

Widzimy więc, że nierówność
spełniają liczby, dla których nierówność
. Rozwiązaliśmy nierówność dla liczb znajdujących się w tym samym okresie funkcji sinus. Dlatego wszystkie rozwiązania nierówności można zapisać jako

Uczniowie powinni zostać poproszeni o uważne rozważenie figury i ustalenie, dlaczego wszystkie rozwiązania nierówności
można zapisać w postaci
,
.

Ryż. 3

Należy zwrócić uwagę uczniów na fakt, że rozwiązując nierówności dla funkcji cosinus, rysujemy prostą równoległą do osi y.

Graficzny sposób rozwiązania nierówności.

Wykresy budowania
I
, zważywszy na to
.

Ryż. 4

Następnie piszemy równanie
i jego rozwiązanie
,
,
, znalezione za pomocą wzorów
,
,
.

(DającyN wartości 0, 1, 2, znajdujemy trzy pierwiastki złożonego równania). Wartości
to trzy kolejne odcięte punktów przecięcia wykresów
I
. Oczywiście zawsze w przerwie
nierówność
i na interwale
- nierówność
. Interesuje nas pierwszy przypadek, a następnie dodając do końców tego przedziału liczbę będącą wielokrotnością okresu sinusa, otrzymujemy rozwiązanie nierówności
Jak:
,
.

Ryż. 5

Podsumować. Aby rozwiązać nierówność
, musisz napisać odpowiednie równanie i je rozwiązać. Z powstałej formuły znajdź korzenie I i zapisz odpowiedź nierówności w postaci: ,
.

Po trzecie, fakt o zbiorze pierwiastków odpowiadającej nierówności trygonometrycznej jest bardzo wyraźnie potwierdzony przy rozwiązywaniu jej graficznie.

Ryż. 6

Należy pokazać uczniom, że cewka będąca rozwiązaniem nierówności powtarza się przez ten sam przedział równy okresowi funkcji trygonometrycznej. Możesz również rozważyć podobną ilustrację dla wykresu funkcji sinusoidalnej.

Po czwarte, wskazane jest przeprowadzenie prac nad aktualizacją uczniowskich metod przekształcania sumy (różnicy) funkcji trygonometrycznych na iloczyn, aby zwrócić uwagę uczniów na rolę tych technik w rozwiązywaniu nierówności trygonometrycznych.

Pracę taką można zorganizować poprzez samodzielną realizację przez uczniów zadań zaproponowanych przez nauczyciela, wśród których wyróżniamy:

Po piąte, uczniowie muszą zilustrować rozwiązanie każdej prostej nierówności trygonometrycznej za pomocą wykresu lub koła trygonometrycznego. Pamiętaj, aby zwrócić uwagę na jego celowość, zwłaszcza użycie koła, ponieważ podczas rozwiązywania nierówności trygonometrycznych odpowiednia ilustracja służy jako bardzo wygodny sposób ustalania zestawu rozwiązań dla danej nierówności

Zapoznanie uczniów z metodami rozwiązywania nierówności trygonometrycznych, które nie należą do najprostszych, wskazane jest przeprowadzenie według następującego schematu: odniesienie do określonej nierówności trygonometrycznej odniesienie do odpowiedniego równania trygonometrycznego wspólne poszukiwanie (nauczyciel - uczniowie) samodzielnego rozwiązania przeniesienie znalezionej techniki na inne nierówności tego samego typu.

W celu usystematyzowania wiedzy uczniów na temat trygonometrii, zalecamy szczególnie wybranie takich nierówności, których rozwiązanie wymaga różnych przekształceń, które można zastosować w procesie jej rozwiązywania, skupiając uwagę uczniów na ich cechach.

Jako takie nierówności produkcyjne możemy zaproponować np.:

Podsumowując, podajemy przykład zestawu problemów do rozwiązywania nierówności trygonometrycznych.

1. Rozwiąż nierówności:

2. Rozwiąż nierówności: 3. Znajdź wszystkie rozwiązania nierówności: 4. Znajdź wszystkie rozwiązania nierówności:

A)
, spełniając warunek
;

B)
, spełniając warunek
.

5. Znajdź wszystkie rozwiązania nierówności:

A) ;

B) ;

V)
;

G)
;

mi)
.

6. Rozwiąż nierówności:

A) ;

B) ;

V) ;

G)
;

e) ;

e) ;

I)
.

7. Rozwiąż nierówności:

A)
;

B) ;

V) ;

G) .

8. Rozwiąż nierówności:

A) ;

B) ;

V) ;

G)
;

mi)
;

e) ;

I)
;

H) .

Wskazane jest zaproponowanie zadania 6 i 7 studentom studiującym matematykę na poziomie rozszerzonym, zadanie 8 - uczniom klas z pogłębionym studium matematyki.

§3. Specjalne metody rozwiązywania nierówności trygonometrycznych

Specjalne metody rozwiązywania równań trygonometrycznych - to znaczy te metody, których można użyć tylko do rozwiązywania równań trygonometrycznych. Metody te opierają się na wykorzystaniu własności funkcji trygonometrycznych, a także na wykorzystaniu różnych wzorów i tożsamości trygonometrycznych.

3.1. Metoda sektorowa

Rozważ metodę sektorową do rozwiązywania nierówności trygonometrycznych. Rozwiązanie nierówności postaci

, GdzieP ( X ) IQ ( X ) - wymierne funkcje trygonometryczne (sinusy, cosinusy, tangensy i cotangensy wprowadzają je wymiernie), podobnie jak rozwiązywanie wymiernych nierówności. Wygodnie jest rozwiązywać wymierne nierówności metodą przedziałów na osi rzeczywistej. Jego odpowiednikiem w rozwiązywaniu racjonalnych nierówności trygonometrycznych jest metoda sektorów w okręgu trygonometrycznym, na przykładsinx Icosx (
) lub półkole trygonometryczne dlatgx Ictgx (
).

W metodzie przedziałowej każdy czynnik liniowy licznika i mianownika postaci
punkt na osi liczbowej i podczas przechodzenia przez ten punkt
zmienia znak. W metodzie sektorowej każdy mnożnik postaci
, Gdzie
- jedna z funkcjisinx Lubcosx I
, w okręgu trygonometrycznym odpowiadają dwa kąty I
, które dzielą okrąg na dwa sektory. Podczas przechodzenia I funkcjonować
zmienia znak.

Należy pamiętać o następujących kwestiach:

a) Mnożniki postaci
I
, Gdzie
, zachowaj znak dla wszystkich wartości . Takie mnożniki licznika i mianownika są odrzucane, zmieniając (jeśli
) przy każdym takim odrzuceniu znak nierówności jest odwracany.

b) Mnożniki postaci
I
są również odrzucane. Ponadto, jeśli są to czynniki mianownika, to nierówności postaci są dodawane do równoważnego układu nierówności
I
. Jeżeli są to czynniki licznika, to w równoważnym układzie ograniczeń odpowiadają nierównościom
I
w przypadku ścisłej nierówności początkowej i równości
I
w przypadku nieścisłej nierówności początkowej. Podczas odrzucania mnożnika
Lub
znak nierówności jest odwrócony.

Przykład 1 Rozwiąż nierówności: a)
, B)
. mamy funkcję b). Rozwiąż nierówność Mamy

3.2. Metoda koła koncentrycznego

Metoda ta jest analogiczna do metody równoległych osi numerycznych w rozwiązywaniu układów wymiernych nierówności.

Rozważmy przykład systemu nierówności.

Przykład 5 Rozwiąż układ prostych nierówności trygonometrycznych

Najpierw rozwiązujemy każdą nierówność osobno (Rysunek 5). W prawym górnym rogu rysunku wskażemy, dla którego argumentu brany jest pod uwagę okrąg trygonometryczny.

Ryc.5

Następnie budujemy system koncentrycznych kręgów dla argumentuX . Rysujemy okrąg i cieniujemy zgodnie z rozwiązaniem pierwszej nierówności, następnie rysujemy okrąg o większym promieniu i cieniujemy zgodnie z rozwiązaniem drugiej nierówności, następnie budujemy okrąg dla trzeciej nierówności i koło bazowe . Rysujemy promienie ze środka układu przez końce łuków, tak aby przecinały wszystkie okręgi. Tworzymy rozwiązanie na kole podstawowym (ryc. 6).

Ryc.6

Odpowiedź:
,
.

Wniosek

Wszystkie cele zajęć zostały zrealizowane. Materiał teoretyczny jest usystematyzowany: podane są główne typy nierówności trygonometrycznych i główne metody ich rozwiązywania (graficzna, algebraiczna, metoda przedziałów, sektorów i metoda koncentrycznych kół). Dla każdej metody podano przykład rozwiązania nierówności. Po części teoretycznej nastąpiła część praktyczna. Zawiera zestaw zadań do rozwiązywania nierówności trygonometrycznych.

Te zajęcia mogą być wykorzystywane przez studentów do samodzielnej pracy. Studenci mogą sprawdzić poziom przyswojenia tego tematu, poćwiczyć w wykonywaniu zadań o różnym stopniu złożoności.

Po przestudiowaniu odpowiedniej literatury na ten temat można oczywiście stwierdzić, że umiejętność i umiejętność rozwiązywania nierówności trygonometrycznych w szkolnym toku algebry i początku analizy są bardzo ważne, których wypracowanie wymaga znacznego wysiłku ze strony nauczyciel matematyki.

Dlatego ta praca będzie przydatna dla nauczycieli matematyki, ponieważ umożliwia efektywne zorganizowanie szkolenia uczniów na temat „Nierówności trygonometryczne”.

Naukę można kontynuować, rozszerzając ją na zaliczenie końcowe.

Spis wykorzystanej literatury

Bogomołow, N.V. Zbiór problemów matematycznych [Tekst] / N.V. Bogomołow. – M.: Drop, 2009. – 206 s.

Wygodski, M.Ya. Podręcznik matematyki elementarnej [Tekst] / M.Ya. Wygodski. – M.: Drop, 2006. – 509 s.

Zhurbenko, L.N. Matematyka w przykładach i zadaniach [Tekst] / L.N. Żubenko. – M.: Infra-M, 2009. – 373 s.

Iwanow, OA Matematyka elementarna dla uczniów, studentów i nauczycieli [Tekst] / O.A. Iwanow. – M.: MTsNMO, 2009. – 384 s.

Karp, AP Zadania z algebry i początki analizy dla organizacji matur i zaświadczeń w klasie 11 [Tekst] / A.P. Karp. – M.: Oświecenie, 2005. – 79 s.

Kulanin, ED 3000 problemów konkurencyjnych w matematyce [Tekst] / E.D. Kulanin. – M.: Iris-press, 2007. – 624 s.

Leibson, K.L. Zbiór praktycznych zadań z matematyki [Tekst] / K.L. Leibsona. – M.: Drop, 2010. – 182 s.

łokieć, V.V. Problemy z parametrami i ich rozwiązanie. Trygonometria: równania, nierówności, układy. Klasa 10 [Tekst] / V.V. Łokieć. – M.: ARKTI, 2008. – 64 s.

Manowa, A.N. Matematyka. Ekspresowy korepetytor przygotowujący do egzaminu: konto. zasiłek [Tekst] / A.N. Manowa. - Rostów nad Donem: Phoenix, 2012. - 541 s.

Mordkowicz, AG Algebra i początki analizy matematycznej. 10-11 stopni. Podręcznik dla studentów instytucji edukacyjnych [Tekst] / A.G. Mordkowicz. – M.: Iris-press, 2009. – 201 s.

Nowikow, A.I. Funkcje trygonometryczne, równania i nierówności [Tekst] / A.I. Nowikow. - M.: FIZMATLIT, 2010. - 260 s.

Oganesyan, V.A. Metody nauczania matematyki w szkole średniej: Metodyka ogólna. proc. dodatek dla studentów fizyki. - mata. udawać. ped. współtowarzysz. [Tekst] / V.A. Oganesjan. – M.: Oświecenie, 2006. – 368 s.

Olechnik, S.N. Równania i nierówności. Niestandardowe metody rozwiązywania [Tekst] / S.N. Olechnik. - M .: Wydawnictwo Factorial, 1997. - 219 s.

Sewryukow, P.F. Równania i nierówności trygonometryczne, wykładnicze i logarytmiczne [Tekst] / P.F. Siewriukow. – M.: Edukacja narodowa, 2008. – 352 s.

Siergiejew, I.N. WYKORZYSTANIE: 1000 zadań z odpowiedziami i rozwiązaniami z matematyki. Wszystkie zadania grupy C [Tekst] / I.N. Siergiejew. – M.: Egzamin, 2012. – 301 s.

Sobolew, A.B. Matematyka elementarna [Tekst] / A.B. Sobolew. - Jekaterynburg: GOU VPO USTU-UPI, 2005. - 81 s.

Fenko, LM Metoda przedziałów w rozwiązywaniu nierówności i badaniu funkcji [Tekst] / L.M. Fenko. - M.: Drop, 2005. - 124 s.

Friedman, LM Teoretyczne podstawy metodyki nauczania matematyki [Tekst] / L.M. Friedmana. - M .: Księgarnia „LIBROKOM”, 2009. - 248 s.

Aneks 1

Graficzna interpretacja rozwiązań najprostszych nierówności

Ryż. 1

Ryż. 2

Ryc.3

Ryc.4

Ryc.5

Ryc.6

Ryc.7

Ryc.8

Załącznik 2

Rozwiązania najprostszych nierówności