Классическая форма вероятности. Вероятность события
Классическое определение вероятности.
Как было сказано выше, при большом числе n испытаний частота P*(A)=m/ n появления события A обладает устойчивостью и дает приближенное значение вероятности события A , т.е. .
Это обстоятельство позволяет находить приближенно вероятность события опытным путем. Практически такой способ нахождения вероятности события не всегда удобен. Ведь нам нужно заранее знать вероятность некоторого события, еще до опыта. В этом и состоит эвристическая, предсказательная роль науки. В ряде случаев вероятность события удается определить до опыта с помощью понятия равновероятности событий (или равновозможности).
Два события называются равновероятными (или равновозможными ), если нет никаких объективных причин считать, что одно из них может наступить чаще, чем другое.
Так, например, появления герба или надписи при бросании монеты представляют собой равновероятные события.
Рассмотрим другой пример. Пусть бросают игральную кость. В силу симметрии кубика можно считать, что появление любой из цифр 1, 2, 3, 4, 5 или 6 одинаково возможно (равновероятно).
События в данном опыте образуют полную группу
, если в результате опыта должно произойти хотя бы одно из них. Так, в последнем примере полная группа событий состоит из шести событий - появлений цифр 1, 2, 3, 4, 5
и 6.
Очевидно, любое событие A и противоположное ему событие образуют полную группу.
Событие B называется благоприятствующим событию A , если наступление события B влечет за собой наступление события A . Так, если A - появление четного числа очков при бросании игральной кости, то появление цифры 4 представляет собой событие, благоприятствующее событию A .
Пусть события в данном опыте образуют полную группу равновероятных и попарно несовместных событий. Будем называть их исходами
испытания. Предположим, что событию A
благоприятствуют исходов испытания. Тогда вероятностью события A
в данном опыте называют отношение . Итак, мы приходим к следующему определению.
Вероятностью P(A) события в данном опыте называется отношение числа исходов опыта, благоприятствующих событию A, к общему числу возможных исходов опыта, образующих полную группу равновероятных попарно несовместных событий: .
Это определение вероятности часто называют классическим . Можно показать, что классическое определение удовлетворяет аксиомам вероятности.
Пример 1.1. На завод привезли партию из 1000 подшипников. Случайно в эту партию попало 30 подшипников, не удовлетворяющих стандарту. Определить вероятность P(A) того, что взятый наудачу подшипник окажется стандартным.
Решение:
Число стандартных подшипников равно 1000-30=970
. Будем считать, что каждый подшипник имеет одинаковую вероятность быть выбранным. Тогда полная группа событий состоит из равновероятных исходов, из которых событию A
благоприятствуют исходов. Поэтому .
Пример 1.2. В урне 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Из урны вынимают сразу два шара. Какова вероятность р того, что оба шара окажутся белыми?
Решение: Число всех равновероятных исходов испытания равно числу способов, которыми можно из 10 шаров вынуть два, т. е. числу сочетаний из 10 элементов по 2 (полная группа событий):
Число благоприятствующих исходов (сколькими способами можно из 3
шаров выбрать 2)
: . Следовательно, искомая вероятность
.
Забегая вперед, эту задачу можно решить и другим способом.
Решение:
Вероятность того, что при первом испытании (вытаскивании шара) будет вынут белый шар, равна (всего шаров 10
, из них 3
белых). Вероятность того, что при втором испытании будет вынут снова белый шар равна (всего шаров стало 9,
т.к. один вынули, белых стало 2,
т.к. вынули именно белый). Следовательно, вероятность совмещения событий равна произведению их вероятностей, т.е. .
Пример 1.3. В урне 2 зеленых, 7 красных, 5 коричневых и 10 белых шаров. Какова вероятность появления цветного шара?
Решение: Находим соответственно вероятности появления зеленого, красного и коричневого шаров: ; ; . Так как рассматриваемые события, очевидно, несовместны, то, применяя аксиому сложения, найдем вероятность появления цветного шара:
Либо, другим способом. Вероятность появления белого шара равна . Тогда вероятность появления небелого шара (т.е. цветного), т.е. вероятность противоположного события, равна .
Геометрическое определение вероятности . Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности (оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов), вводят геометрические определение вероятности - вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.).
Пусть отрезок составляет часть отрезка . На отрезке наудачу поставлена точка, что означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка , вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка . В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок определяется равенством
Классическое и статистическое определение вероятности
Для практической деятельности необходимо уметь сравнивать события по степени возможности их наступления. Рассмотрим классический случай. В урне находится 10 шаров, 8 из них белого цвета, 2 черного. Очевидно, что событие «из урны будет извлечен шар белого цвета» и событие «из урны будет извлечен шар черного цвета» обладают разной степенью возможности их наступления. Поэтому для сравнения событий нужна определенная количественная мера.
Количественной мерой возможности наступления события является вероятность . Наиболее широкое распространение получили два определения вероятности события: классическое и статистическое.
Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода. Остановимся на этом подробнее.
Пусть исходы некоторого испытания образуют полную группу событий и равновозможны, т.е. единственно возможны, несовместны и равновозможны. Такие исходы называют элементарными исходами , или случаями . При этом говорят, что испытание сводится к схеме случаев или «схеме урн », т.к. любую вероятностную задачу для подобного испытания можно заменить эквивалентной задачей с урнами и шарами разных цветов.
Исход называется благоприятствующим событию А , если появление этого случая влечет за собой появление события А .
Согласно классическому определению вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу исходов , т.е.
, | (1.1) |
где Р(А) – вероятность события А ; m – число случаев благоприятствующих событию А ; n – общее число случаев.
Пример 1.1. При бросании игральной кости возможны шесть исходов – выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Какова вероятность появления четного числа очков?
Решение. Все n = 6 исходов образуют полную группу событий и равновозможны, т.е. единственно возможны, несовместны и равновозможны. Событию А – «появление четного числа очков» – благоприятствуют 3 исхода (случая) – выпадение 2, 4 или 6 очков. По классической формуле вероятности события получаем
Р(А) = = . ◄
Исходя из классического определения вероятности события, отметим ее свойства:
1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е.
0 ≤ Р (А ) ≤ 1.
2. Вероятность достоверного события равна единице.
3. Вероятность невозможного события равна нулю.
Как было сказано ранее, классическое определение вероятности применимо только для тех событий, которые могут появиться в результате испытаний, обладающих симметрией возможных исходов, т.е. сводящихся к схеме случаев. Однако существует большой класс событий, вероятности которых не могут быть вычислены с помощью классического определения.
Например, если допустить, что монета сплющена, то очевидно, что события «появление герба» и «появление решки» нельзя считать равновозможными. Поэтому формула для определения вероятности по классической схеме в данном случае неприменима.
Однако существует другой подход при оценке вероятности событий, основанный на том, насколько часто будет появляться данное событие в произведенных испытаниях. В этом случае используется статистическое определениевероятности.
Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) появления этого события в n произведенных испытаниях, т.е.
![]() | (1.2) |
где Р * (А) – статистическая вероятность события А ; w(A) – относительная частота события А ; m – число испытаний, в которых появилось событие А ; n – общее число испытаний.
В отличие от математической вероятности Р(А) , рассматриваемой в классическом определении, статистическая вероятность Р * (А) является характеристикой опытной , экспериментальной . Иначе говоря, статистической вероятностью события А называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота w(А) при неограниченном увеличении числа испытаний, проводимых при одном и том же комплексе условий.
Например, когда про стрелка говорят, что он попадает в цель с вероятностью 0,95, то это означает, что из сотни выстрелов, произведенных им при определенных условиях (одна и та же цель на том же расстоянии, та же винтовка и т.д.), в среднем бывает примерно 95 удачных. Естественно, не в каждой сотне будет 95 удачных выстрелов, иногда их будет меньше, иногда больше, но в среднем при многократном повторении стрельбы в тех же условиях этот процент попаданий будет оставаться неизменным. Цифра 0,95, служащая показателем мастерства стрелка, обычно очень устойчива , т.е. процент попаданий в большинстве стрельб будет для данного стрелка почти один и тот же, лишь в редких случаях отклоняясь сколько-нибудь значительно от своего среднего значения.
Еще одним недостатком классического определения вероятности (1.1 ), ограничивающим его применение, является то, что оно предполагает конечное число возможных исходов испытания. В некоторых случаях этот недостаток можно преодолеть, используя геометрическое определение вероятности, т.е. находя вероятность попадания точки в некоторую область (отрезок, часть плоскости и т.п.).
Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G (рис. 1.1). На фигуру G наудачу бросается точка. Это означает, что все точки области G «равноправны» в отношении попадания на нее брошенной случайной точки. Полагая, что вероятность события А – попадания брошенной точки на фигуру g – пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G , ни от формы g , найдем
Теория вероятностей - математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Возникновение теории относится к середине XVII века и связано с именем Гюйгенса, Паскаля, Ферма, Я. Бернулли.
Неразложимые исходы,..., некоторого эксперимента будем называть элементарными событиями, а их совокупность
(конечным) пространством элементарных событий, или пространством исходов.
Пример 21. а) При подбрасывании игральной кости пространство элементарных событий состоит из шести точек:
![](https://i1.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image008.png)
б) Подбрасываем монету два раза подряд, тогда
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image009.png)
где Г - "герб", Р - "решетка" и общее число исходов
в) Подбрасываем монету до первого появления "герба", тогда
В этом случае называется дискретным пространством элементарных событий.
Обычно интересуются не тем, какой конкретно исход имеет место в результате испытания, а тем, принадлежит ли исход тому или иному подмножеству всех исходов. Все те подмножества, для которых по условиям эксперимента возможен ответ одного из двух типов: "исход " или "исход ", будем называть событиями.
В примере 21 б) множество = {ГГ, ГР, РГ} является событием, состоящим в том, что выпадает по крайней мере один "герб". Событие состоит из трех элементарных исходов пространства, поэтому
Суммой двух событий и называется событие, состоящее в выполнении события или события.
Произведением событий и называется событие, состоящее в совместном исполнении события и события.
Противоположным по отношению к событию называется событие, состоящее в непоявлении и, значит, дополняющее его до.
Множество называется достоверным событием, пустое множество - невозможным.
Если каждое появление события сопровождается появлением, то пишут и говорят, что предшествует или влечет за собой.
События и называются равносильными, если и.
Определение. Вероятностью события называется число, равное отношению числа элементарных исходов, составляющих событие, к числу всех элементарных исходов
Случай равновозможных событий, (называется "классическим", поэтому и вероятность
называется "классической".
Элементарные события (исходы опыта), входящие в событие, называются "благоприятными".
Свойства классической вероятности:
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image021.png)
Если (и - несовместные события).
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image023.png)
![](https://i2.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image024.png)
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image025.png)
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image027.png)
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image028.png)
Пример 22 (задача Гюйгенса). В урне 2 белых и 4 черных шара. Один азартный человек держит пари с другим, что среди вынутых 3 шаров будет ровно один белый. В каком отношении находятся шансы спорящих?
Решение 1 (традиционное). В данном случае испытание = {вынимание 3 шаров}, а событие - благоприятствующее одному из спорящих:
= {достать ровно один белый шар}.
Поскольку порядок вынимания трех шаров не важен, то
![](https://i1.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image029.png)
Один белый шар можно достать в случаев, а два черных - , и тогда по основному правилу комбинаторики. Отсюда а по пятому свойству вероятности Следовательно,
![](https://i2.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image030.png)
![](https://i2.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image031.png)
![](https://i2.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image032.png)
![](https://i2.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image033.png)
Решение 2. Составим вероятностное дерево исходов:
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image034.jpg)
Пример 23. Рассмотрим копилку, в которой осталось четыре монеты - три по 2 руб. и одна в 5 руб. Извлекаем две монеты.
Решение. а) Два последовательных извлечения (с возвращением) могут привести к следующим исходам:
Какова вероятность каждого из этих исходов?
![](https://i2.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image035.jpg)
В таблице показаны все шестнадцать возможных случаев.
Следовательно,
К тем же результатам ведет и следующее дерево:
![](https://i1.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image036.jpg)
б) Два последовательных извлечения (без повторения) могут привести к следующим трем исходам:
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image037.jpg)
В таблице покажем все возможные исходы:
Следовательно,
К тем же результатам ведет и соответствующее дерево:
![](https://i2.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image038.jpg)
Пример 24 (задача де Мере). Двое играют в "орлянку" до пяти побед. Игра прекращена, когда первый выиграл четыре партии, а второй - три. Как в этом случае следует поделить первоначальную ставку?
Решение. Пусть событие = {выиграть приз первым игроком}. Тогда вероятностное дерево выигрыша для первого игрока следующее:
![](https://i1.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image039.jpg)
Отсюда, и три части ставки следует отдать первому игроку, а второму - одну часть.
![](https://i1.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image040.png)
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image041.png)
Покажем эффективность решения вероятностных задач с помощью графов и на следующем примере, который мы рассматривали в §1 (пример 2).
Пример 25. Является ли выбор с помощью "считалки" справедливым?
Решение. Составим вероятностное дерево исходов:
![](https://i1.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image042.jpg)
и, следовательно, при игре в "считалки" выгодней стоять вторым.
В последнем решении использованы интерпретации на графах теорем сложения и умножения вероятностей:
и в частности
Если и - несовместные события
и, если и - независимые события.
![](https://i1.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image045.png)
Статическая вероятность
Классическое определение при рассмотрении сложных проблем наталкивается на трудности непреодолимого характера. В частности, в некоторых случаях выявить равновозможные случаи может быть невозможно. Даже в случае с монеткой, как известно существует явно не равновероятная возможность выпадения "ребра", которую из теоретических соображений оценить невозможно (можно только сказать, что оно маловероятно и то это соображение скорее практическое). Поэтому еще на заре становления теории вероятностей было предложено альтернативное "частотное" определение вероятности. А именно, формально вероятность можно определить как предел частоты наблюдений события A, предполагая однородность наблюдений (то есть одинаковость всех условий наблюдения) и их независимость друг от друга:
где - количество наблюдений, а - количество наступлений события.
Несмотря на то, что данное определение скорее указывает на способ оценки неизвестной вероятности - путем большого количества однородных и независимых наблюдений - тем не менее в таком определении отражено содержание понятия вероятности. А именно, если событию приписывается некоторая вероятность, как объективная мера его возможности, то это означает, что при фиксированных условиях и многократном повторении мы должны получить частоту его появления, близкую к (тем более близкую, чем больше наблюдений). Собственно, в этом заключается исходный смысл понятия вероятности. В основе лежит объективистский взгляд на явления природы. Ниже будут рассмотрены так называемые законы больших чисел, которые дают теоретическую основу (в рамках излагаемого ниже современного аксиоматического подхода) в том числе для частотной оценки вероятности.
Чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, очевидно, нужно с каждым событием связать определённое число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число мы назовём вероятностью события. Таким образом, вероятность события есть численная мера степени объективной возможности этого события.
Первым по времени определением вероятности следует считать классическое, которое возникло из анализа азартных игр и применялось вначале интуитивно.
Классический способ определения вероятности основан на понятии равновозможных и несовместных событий, которые являются исходами данного опыта и образуют полную группу несовместных событий.
Наиболее простым примером равновозможных и несовместных событий, образующих полную группу, является появление того или иного шара из урны, содержащей несколько одинаковых по размеру, весу и другим осязаемым признакам шаров, отличающихся лишь цветом, тщательно перемешанных перед выниманием.
Поэтому об испытании, исходы которого образуют полную группу несовместных и равновозможных событий, говорят, что оно сводится к схеме урн, или схеме случаев , или укладывается в классическую схему.
Равновозможные и несовместные события, составляющие полную группу, будем называть просто случаями или шансами. При этом в каждом опыте наряду со случаями могут происходить и более сложные события.
Пример : При подбрасывании игральной кости наряду со случаями А i - выпадение i- очков на верхней грани можно рассматривать такие события, как В - выпадение чётного числа очков, С - выпадение числа очков, кратных трём …
По отношению к каждому событию, которое может произойти при осуществлении эксперимента, случаи делятся на благоприятствующие , при которых это событие происходит, и неблагоприятствующие, при которых событие не происходит. В предыдущем примере, событию В благоприятствуют случаи А 2 , А 4 , А 6 ; событию С - случаи А 3 , А 6 .
Классической вероятностью появления некоторого события называется отношение числа случаев, благоприятствующих появлению этого события, к общему числу случаев равновозможных, несовместных, составляющих полную группу в данном опыте:
где Р(А) - вероятность появления события А; m - число случаев, благоприятствующих событию А; n - общее число случаев.
Примеры:
1) (смотри пример выше) Р(В) = , Р(С) = .
2) В урне находятся 9 красных и 6 синих шаров. Найти вероятность того, что вынутые наугад один, два шара окажутся красными.
А - вынутый наугад шар красный:
m = 9, n = 9 + 6 = 15, P(A) =
B - вынутые наугад два шара красные:
Из классического определения вероятности вытекают следующие свойства (показать самостоятельно):
1) Вероятность невозможного события равна 0;
2) Вероятность достоверного события равна 1;
3) Вероятность любого события заключена между 0 и 1;
4) Вероятность события, противоположного событию А,
Классическое определение вероятности предполагает, что число исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных случаев которых бесконечно. Кроме того, слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Ещё труднее указать основания, позволяющие считать элементарные исходы испытания равновозможными. Обычно о равновозможности элементарных исходов испытания заключают из соображений симметрии. Однако такие задачи на практике встречаются весьма редко. По этим причинам наряду с классическим определением вероятности пользуются и другими определениями вероятности.
Статистической вероятностью события А называется относительная частота появления этого события в произведённых испытаниях:
где - вероятность появления события А;
Относительная частота появления события А;
Число испытаний, в которых появилось событие А;
Общее число испытаний.
В отличие от классической вероятности статистическая вероятность является характеристикой опытной, экспериментальной.
Пример : Для контроля качества изделий из партии наугад выбрано 100 изделий, среди которых 3 изделия оказались бракованными. Определить вероятность брака.
.
Статистический способ определения вероятности применим лишь к тем событиям, которые обладают следующими свойствами:
Рассматриваемые события должны быть исходами только тех испытаний, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий.
События должны обладать статистической устойчивостью (или устойчи- востью относительных частот). Это означает, что в различных сериях испытаний относительная частота события изменяется незначительно.
Число испытаний, в результате которых появляется событие А, должно быть достаточно велико.
Легко проверить, что свойства вероятности, вытекающие из классического определения, сохраняются и при статистическом определении вероятности.