Problémy ze sbírky L. A. Kuzněcovové
Úkolem je provést kompletní studii funkce a sestavit její graf.
Každý žák prošel podobnými úkoly.
Další prezentace předpokládá dobré znalosti. Pokud máte nějaké dotazy, doporučujeme vám nahlédnout do této části.
Algoritmus zkoumání funkcí se skládá z následujících kroků.
- nejprve najdeme derivaci;
- za druhé, najdeme kritické body;
- za třetí rozdělujeme definiční obor podle kritických bodů do intervalů;
- za čtvrté určíme znaménko derivace na každém z intervalů. Znaménko plus bude odpovídat intervalu nárůstu, znaménko mínus intervalu poklesu.
- nejprve najdeme druhou derivaci;
- za druhé, najdeme nuly v čitateli a jmenovateli druhé derivace;
- za třetí rozdělíme definiční obor získanými body na intervaly;
- za čtvrté určíme znaménko druhé derivace na každém z intervalů. Znaménko plus bude odpovídat intervalu konkávnosti, znaménko mínus konvexnímu intervalu.
Hledání definičního oboru funkce.
Toto je velmi důležitý krok při studiu funkce, protože všechny další akce budou prováděny v oblasti definice.
V našem příkladu potřebujeme najít nuly ve jmenovateli a vyloučit je z oblasti reálných čísel.
(V jiných příkladech mohou být kořeny, logaritmy atd. Připomeňme, že v těchto případech se doména definice hledá následovně:
pro odmocninu sudého stupně se například definiční obor zjistí z nerovnosti ;
pro logaritmus - definiční obor se zjistí z nerovnosti ).
Studium chování funkce na hranici definičního oboru, hledání vertikálních asymptot.
Na hranicích definičního oboru má funkce vertikální asymptoty, pokud jsou v těchto hraničních bodech nekonečné.
V našem příkladu jsou hraniční body definičního oboru .
Prozkoumejme chování funkce při přiblížení k těmto bodům zleva a zprava, pro které najdeme jednostranné limity:
Protože jednostranné limity jsou nekonečné, přímky jsou vertikální asymptoty grafu.
Zkoumání funkce na sudost nebo lichost.
Funkce je dokonce, Pokud . Parita funkce udává symetrii grafu kolem pořadnice.
Funkce je zvláštní, Pokud . Lichost funkce udává symetrii grafu vzhledem k počátku.
Pokud není splněna žádná z rovností, pak máme funkci obecného tvaru.
V našem příkladu platí rovnost, proto je naše funkce sudá. To zohledníme při konstrukci grafu - bude symetrický podle oy osy.
Hledání intervalů rostoucích a klesajících funkcí, extrémní body.
Intervaly zvyšování a snižování jsou řešením nerovností, resp.
Body, ve kterých derivace mizí, se nazývají stacionární.
Kritické body funkce Volají vnitřní body definičního oboru, ve kterých je derivace funkce rovna nule nebo neexistuje.
KOMENTÁŘ(zda zahrnout kritické body do intervalů zvyšování a snižování).
Kritické body zahrneme do rostoucích a klesajících intervalů, pokud patří do definičního oboru funkce.
Tedy, k určení intervalů rostoucí a klesající funkce
Jdeme!
Derivaci najdeme na definičním oboru (pokud nastanou potíže, viz část).
Najdeme pro to kritické body:
Tyto body vyneseme na číselnou osu a určíme znaménko derivace v rámci každého výsledného intervalu. Případně můžete vzít libovolný bod v intervalu a vypočítat hodnotu derivace v tomto bodě. Pokud je hodnota kladná, dáme přes tuto mezeru znaménko plus a přejdeme k další, pokud je záporná, dáme znaménko mínus atd. Například, , proto dáme plus nad první interval vlevo.
Došli jsme k závěru:
Schematicky znaménka plus/mínus označují intervaly, ve kterých je derivace kladná/záporná. Šipky zvyšující/sestupné ukazují směr zvyšování/snižování.
Extrémní body funkce jsou body, ve kterých je funkce definována a kterými prochází derivace mění znaménko.
V našem příkladu je extrémní bod x=0. Hodnota funkce v tomto bodě je . Protože derivace při průchodu bodem x=0 mění znaménko z plus na mínus, pak (0; 0) je bod lokálního maxima. (Pokud by derivace změnila znaménko z mínus na plus, pak bychom měli lokální minimální bod).
Nalezení intervalů konvexnosti a konkávnosti funkce a inflexních bodů.
Intervaly konkávnosti a konvexnosti funkce se nalézají řešením nerovnic, resp.
Někdy se konkávnost nazývá konvexní dolů a konvexní se nazývá konvexní nahoru.
Zde platí také komentáře podobné těm z odstavce o intervalech nárůstu a poklesu.
Tedy, určit intervaly konkávnosti a konvexnosti funkce:
Jdeme!
Druhou derivaci najdeme na definičním oboru.
V našem příkladu nejsou nuly v čitateli, ale nuly ve jmenovateli.
Tyto body vyneseme na číselnou osu a určíme znaménko druhé derivace uvnitř každého výsledného intervalu.
Došli jsme k závěru:
Bod se nazývá inflexní bod, jestliže v daném bodě existuje tečna ke grafu funkce a druhá derivace funkce při průchodu změní znaménko .
Jinými slovy, inflexní body mohou být body, přes které druhá derivace mění znaménko v bodech samotných je buď nulové, nebo neexistuje, ale tyto body jsou zahrnuty v oboru definice funkce.
V našem příkladu nejsou žádné inflexní body, protože druhá derivace při průchodu body mění znaménko a nejsou zahrnuty v oboru definice funkce.
Hledání vodorovných a šikmých asymptot.
Horizontální nebo šikmé asymptoty by se měly hledat pouze tehdy, když je funkce definována v nekonečnu.
Šikmé asymptoty se hledají ve formě přímek, kde a .
Li k=0 a b se nerovná nekonečnu, pak se stane šikmá asymptota horizontální.
Kdo jsou vlastně tyto asymptoty?
To jsou čáry, ke kterým se graf funkce blíží v nekonečnu. Jsou tedy velmi užitečné při grafu funkce.
Pokud neexistují žádné vodorovné nebo šikmé asymptoty, ale funkce je definována v plus nekonečnu a (nebo) minus nekonečnu, pak byste měli vypočítat limitu funkce v plus nekonečnu a (nebo) minus nekonečnu, abyste měli představu o chování funkčního grafu.
Pro náš příklad
- horizontální asymptota.
Tím je studium funkce ukončeno a přistoupíme k vykreslení grafu.
Vypočítáme hodnoty funkcí v mezilehlých bodech.
Pro přesnější vykreslování doporučujeme najít několik funkčních hodnot v mezilehlých bodech (tedy v libovolných bodech z oblasti definice funkce).
Pro náš příklad najdeme hodnoty funkce v bodech x=-2, x=-1, x=-3/4, x=-1/4. Díky paritě funkce se tyto hodnoty budou shodovat s hodnotami v bodech x=2, x=1, x=3/4, x=1/4.
Sestavení grafu.
Nejprve sestrojíme asymptoty, vyneseme body lokálních maxim a minim funkce, inflexní body a mezilehlé body. Pro usnadnění konstrukce grafu můžete také schematicky označit intervaly nárůstu, poklesu, konvexnosti a konkávnosti, ne nadarmo jsme funkci studovali =).
Zbývá kreslit čáry grafu skrz označené body, přibližovat se k asymptotám a sledovat šipky.
S tímto mistrovským dílem výtvarného umění je úkol úplného prostudování funkce a sestavení grafu dokončen.
Grafy některých elementárních funkcí lze sestrojit pomocí grafů základních elementárních funkcí.
Vyžaduje-li úloha úplné prostudování funkce f (x) = x 2 4 x 2 - 1 s konstrukcí jejího grafu, pak se budeme tímto principem podrobně zabývat.
Chcete-li vyřešit problém tohoto typu, měli byste použít vlastnosti a grafy základních elementárních funkcí. Výzkumný algoritmus zahrnuje následující kroky:
Hledání domény definice
Protože se výzkum provádí v oblasti definice funkce, je nutné začít tímto krokem.
Příklad 1
Uvedený příklad zahrnuje nalezení nul ve jmenovateli za účelem jejich vyloučení z ODZ.
4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2; 1 2 ∪ 1 2; +∞
V důsledku toho můžete získat kořeny, logaritmy a tak dále. Pak lze ODZ hledat odmocninu sudého stupně typu g (x) 4 pomocí nerovnosti g (x) ≥ 0, pro logaritmus log a g (x) pomocí nerovnosti g (x) > 0.
Studium hranic ODZ a hledání vertikálních asymptot
Na hranicích funkce jsou vertikální asymptoty, kdy jednostranné limity v takových bodech jsou nekonečné.
Příklad 2
Uvažujme například hraniční body rovné x = ± 1 2.
Pak je potřeba prostudovat funkci k nalezení jednostranné limity. Pak dostaneme, že: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞
To ukazuje, že jednostranné limity jsou nekonečné, což znamená, že přímky x = ± 1 2 jsou vertikální asymptoty grafu.
Studium funkce a zda je sudá nebo lichá
Když je splněna podmínka y (- x) = y (x), je funkce považována za sudou. To naznačuje, že graf je umístěn symetricky vzhledem k Oy. Když je splněna podmínka y (- x) = - y (x), funkce je považována za lichou. To znamená, že symetrie je relativní k počátku souřadnic. Není-li splněna alespoň jedna nerovnost, získáme funkci obecného tvaru.
Rovnost y (- x) = y (x) znamená, že funkce je sudá. Při konstrukci je nutné počítat s tím, že bude symetrie vzhledem k Oy.
K vyřešení nerovnosti se používají intervaly zvyšování a snižování s podmínkami f " (x) ≥ 0 a f " (x) ≤ 0, resp.
Definice 1
Stacionární body- to jsou body, které mění derivaci na nulu.
Kritické body- jedná se o vnitřní body z definičního oboru, kde derivace funkce je rovna nule nebo neexistuje.
Při rozhodování je třeba vzít v úvahu následující poznámky:
- pro existující intervaly rostoucích a klesajících nerovností tvaru f " (x) > 0 se do řešení nezahrnují kritické body;
- body, ve kterých je funkce definována bez konečné derivace, musí být zahrnuty do intervalů rostoucích a klesajících (např. y = x 3, kde bod x = 0 dělá funkci definovanou, derivace má při tomto hodnotu nekonečna bod, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 je zahrnuto do rostoucího intervalu);
- Aby se předešlo neshodám, doporučuje se používat matematickou literaturu doporučenou MŠMT.
Zahrnutí kritických bodů do intervalů rostoucích a klesajících, pokud splňují definiční obor funkce.
Definice 2
Pro určení intervalů nárůstu a poklesu funkce, je nutné najít:
- derivát;
- kritické body;
- rozdělit definiční doménu do intervalů pomocí kritických bodů;
- určete znaménko derivace na každém z intervalů, kde + je nárůst a - je pokles.
Příklad 3
Najděte derivaci na definičním oboru f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2.
Řešení
K vyřešení potřebujete:
- najděte stacionární body, tento příklad má x = 0;
- najděte nuly ve jmenovateli, příklad má hodnotu nula v x = ± 1 2.
Na číselnou osu umístíme body, abychom určili derivaci na každém intervalu. K tomu stačí vzít libovolný bod z intervalu a provést výpočet. Pokud je výsledek kladný, zobrazíme v grafu +, což znamená, že funkce roste a - znamená, že klesá.
Například f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, což znamená, že první interval vlevo má znaménko +. Uvažujme na číselné ose.
Odpověď:
- funkce se zvyšuje na intervalu - ∞; - 1 2 a (- 1 2; 0];
- dochází k poklesu intervalu [ 0 ; 12) a 12; + ∞ .
V diagramu je pomocí + a - znázorněna pozitivita a negativita funkce a šipky označují pokles a nárůst.
Extrémní body funkce jsou body, kde je funkce definována a přes které derivace mění znaménko.
Příklad 4
Pokud vezmeme v úvahu příklad, kde x = 0, pak hodnota funkce v něm je rovna f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Když se znaménko derivace změní z + na - a prochází bodem x = 0, pak je bod se souřadnicemi (0; 0) považován za maximální bod. Když se znaménko změní z - na +, získáme minimální bod.
Konvexnost a konkávnost jsou určeny řešením nerovnic tvaru f "" (x) ≥ 0 a f "" (x) ≤ 0. Méně běžně používaný je název konvexnost dolů místo konkávnost a konvexnost nahoru místo konvexita.
Definice 3
Pro stanovení intervalů konkávnosti a konvexnosti nutné:
- najít druhou derivaci;
- najít nuly druhé derivační funkce;
- rozdělte definiční oblast na intervaly se zobrazenými body;
- určit znaménko intervalu.
Příklad 5
Najděte druhou derivaci z definičního oboru.
Řešení
f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2" (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3
Najdeme nuly v čitateli a jmenovateli, kde v našem příkladu platí, že nuly ve jmenovateli x = ± 1 2
Nyní je potřeba vykreslit body na číselné ose a určit znaménko druhé derivace z každého intervalu. Chápeme to
Odpověď:
- funkce je konvexní z intervalu - 1 2 ; 12;
- funkce je konkávní z intervalů - ∞ ; - 12 a 12; + ∞ .
Definice 4
Inflexní bod– jedná se o bod ve tvaru x 0 ; f (x 0). Když má tečnu ke grafu funkce, pak při průchodu x 0 funkce změní znaménko na opačné.
Jinými slovy, toto je bod, kterým prochází druhá derivace a mění znaménko a v bodech samotných je rovna nule nebo neexistuje. Všechny body jsou považovány za definiční obor funkce.
V příkladu bylo jasné, že neexistují žádné inflexní body, protože druhá derivace mění znaménko při průchodu body x = ± 1 2. Ty zase nejsou zahrnuty do rozsahu definice.
Hledání vodorovných a šikmých asymptot
Když definujete funkci v nekonečnu, musíte hledat vodorovné a šikmé asymptoty.
Definice 5
Šikmé asymptoty jsou znázorněny pomocí přímek daných rovnicí y = k x + b, kde k = lim x → ∞ f (x) x ab = lim x → ∞ f (x) - k x.
Pro k = 0 a b nerovnající se nekonečnu zjistíme, že se šikmá asymptota stává horizontální.
Jinými slovy, asymptoty jsou považovány za čáry, ke kterým se graf funkce blíží v nekonečnu. To usnadňuje rychlou konstrukci funkčního grafu.
Pokud neexistují žádné asymptoty, ale funkce je definována v obou nekonečnech, je nutné vypočítat limitu funkce v těchto nekonečnech, abychom pochopili, jak se bude graf funkce chovat.
Příklad 6
Vezměme si to jako příklad
k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4
je horizontální asymptota. Po prozkoumání funkce můžete začít s její konstrukcí.
Výpočet hodnoty funkce v mezilehlých bodech
Pro zpřesnění grafu se doporučuje najít několik funkčních hodnot v mezilehlých bodech.
Příklad 7
Z příkladu, který jsme uvažovali, je nutné najít hodnoty funkce v bodech x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Protože je funkce sudá, dostaneme, že hodnoty se shodují s hodnotami v těchto bodech, to znamená, že dostaneme x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.
Pojďme napsat a vyřešit:
F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08
Pro určení maxima a minima funkce, inflexních bodů a mezilehlých bodů je nutné sestrojit asymptoty. Pro pohodlné označení jsou zaznamenány intervaly zvyšování, snižování, konvexnosti a konkávnosti. Podívejme se na obrázek níže.
Vyznačenými body je nutné kreslit čáry grafu, což vám umožní přiblížit se k asymptotám podle šipek.
Tím je úplný průzkum funkce ukončen. Existují případy konstrukce některých elementárních funkcí, pro které se používají geometrické transformace.
Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter
Při vykreslování funkčních grafů je užitečné dodržovat následující plán:
1. Najděte definiční obor funkce a určete případné body nespojitosti.
2. Určete, zda je funkce sudá nebo lichá nebo žádná. Pokud je funkce sudá nebo lichá, stačí uvažovat její hodnoty at x>0 a poté symetricky vzhledem k ose OY nebo počátku souřadnic jej obnovte pro hodnoty x<0 .
3. Prozkoumejte periodicitu funkce. Pokud je funkce periodická, pak ji stačí uvažovat na jedné periodě.
4. Najděte průsečíky grafu funkce se souřadnicovými osami (pokud je to možné)
5. Proveďte studii funkce na extrému a najděte intervaly nárůstu a poklesu funkce.
6. Najděte inflexní body křivky a intervaly konvexnosti a konkávnosti funkce.
7. Najděte asymptoty grafu funkce.
8. Pomocí výsledků kroků 1-7 sestavte graf funkce. Někdy se pro větší přesnost najde několik dalších bodů; jejich souřadnice jsou vypočteny pomocí rovnice křivky.
Příklad. Funkce Prozkoumat y=x 3-3x a sestavit graf.
1) Funkce je definována na intervalu (-∞; +∞). Nejsou žádné body zlomu.
2) Funkce je lichá, protože f(-x) = -x 3 -3 (-x) = -x 3 +3x = -f(x), proto je symetrický ohledně původu.
3) Funkce není periodická.
4) Průsečíky grafu se souřadnicovými osami: x 3 -3x=0, x = , x = -, x = 0, těch. graf funkce protíná souřadnicové osy v bodech: ( ; 0 ), (0; 0 ), (-; 0 ).
5) Najděte možné extrémní body: y' = 3x 2-3; 3x 2-3=0; x =-1; x = 1. Definiční obor funkce bude rozdělen na intervaly: (-∞; -1), (-1; 1), (1; +∞). Pojďme najít znaménka derivace v každém výsledném intervalu:
Na intervalu (-∞; -1) у′>0 – funkce se zvyšuje
Na intervalu (-1; 1) y'<0 – funkce se snižuje
Na intervalu (1; +∞) у′>0 – funkce se zvyšuje. Tečka x =-1 – maximální bod; x = 1 – minimální bod.
6) Najděte inflexní body: y′′ = 6x; 6x = 0; x = 0. Tečka x = 0 rozděluje definiční obor na intervaly (-∞; 0), (0; +∞). Najděte znaménka druhé derivace v každém výsledném intervalu:
Na intervalu (-∞;0) y′′<0 – funkce je konvexní
Na intervalu (0; +∞) y′′>0 – funkce je konkávní. x = 0– inflexní bod.
7) Graf nemá žádné asymptoty
8) Sestavme graf funkce:
Příklad. Prozkoumejte funkci a vytvořte její graf.
1) Definiční obor funkce jsou intervaly (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥). Rozsah hodnot této funkce je interval (-¥; ¥).
Body přerušení funkce jsou body x = 1, x = -1.
2) Funkce je lichá, protože .
3) Funkce není periodická.
4) Graf protíná souřadnicové osy v bodě (0; 0).
5) Najděte kritické body.
Kritické body: x = 0; x = -; x = ; x = -1; x = 1.
Najdeme intervaly rostoucí a klesající funkce. K tomu určíme znaménka derivace funkce na intervalech.
-¥ < x< -, y¢> 0, funkce je rostoucí
-< x < -1, y¢ < 0, функция убывает
1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает
0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает
1 < x < , y¢ < 0, функция убывает
< x < ¥, y¢ > 0, funkce se zvýší
Je jasné, že pointa X= -je maximální bod a bod X= je minimální bod. Funkční hodnoty v těchto bodech se rovnají 3/2 a -3/2.
6) Najděte druhou derivaci funkce
Šikmá asymptotová rovnice: y = x.
8) Sestavme graf funkce.
Řešitel Kuzněcov.
III Grafy
Úkol 7. Proveďte kompletní studii funkce a sestrojte její graf.
        Než začnete stahovat své možnosti, zkuste problém vyřešit podle níže uvedeného příkladu pro možnost 3. Některé možnosti jsou archivovány ve formátu .rar
        7.3 Proveďte úplnou studii funkce a zakreslete ji
Řešení.
        1) Rozsah definice:         nebo        , to je        .
.
Tedy:         .
        2) Nejsou žádné průsečíky s osou Ox. Ve skutečnosti rovnice         nemá řešení.
Nejsou zde žádné průsečíky s osou Oy, protože        .
        3) Funkce není ani sudá, ani lichá. Kolem souřadnicové osy není žádná symetrie. Neexistuje také žádná symetrie ohledně původu. Protože
.
Vidíme, že         a        .
        4) Funkce je spojitá v doméně definice
.
; .
; .
V důsledku toho je bod         bodem diskontinuity druhého druhu (nekonečná diskontinuita).
5) Vertikální asymptoty:       
Pojďme najít šikmou asymptotu        . Zde
;
.
V důsledku toho máme horizontální asymptotu: y=0. Nejsou žádné šikmé asymptoty.
        6) Pojďme najít první derivaci. První derivace:
.
A tady je důvod
.
Najděte stacionární body, kde je derivace rovna nule, tzn
.
        7) Pojďme najít druhou derivaci. Druhý derivát:
.
A to je snadné ověřit, protože
Tato lekce pokrývá téma "Vyšetřování funkce a související problémy." Tato lekce se zabývá grafováním funkcí pomocí derivací. Funkce je studována, je sestrojen její graf a řešena řada souvisejících problémů.
Téma: Derivát
Lekce: Zkoumání funkcea související úkoly
Je potřeba tuto funkci nastudovat, sestrojit graf, najít intervaly monotonie, maxima, minima a jaké problémy provázejí znalosti o této funkci.
Nejprve plně využijeme informace poskytované funkcí bez derivace.
1. Najděte intervaly konstantního znaménka funkce a sestrojte náčrt grafu funkce:
1) Pojďme najít.
2) Funkční kořeny: , odtud
3) Intervaly konstantního znaménka funkce (viz obr. 1):
Rýže. 1. Intervaly konstantního znaménka funkce.
Nyní víme, že v intervalu a grafu je nad osou X, v intervalu - pod osou X.
2. Sestavme graf v blízkosti každého kořene (viz obr. 2).
Rýže. 2. Graf funkce v okolí kořene.
3. Sestrojte graf funkce v blízkosti každého bodu nespojitosti v definičním oboru. Doména definice se zlomí v bodě . Pokud je hodnota blízká bodu, pak má hodnota funkce tendenci (viz obr. 3).
Rýže. 3. Graf funkce v okolí bodu nespojitosti.
4. Určeme, jak se graf chová v blízkosti bodů v nekonečnu:
Pojďme to napsat pomocí limitů
. Je důležité, že pro velmi velké hodnoty se funkce téměř neliší od jednoty.
Najdeme derivaci, intervaly jejího konstantního znaménka a budou to pro funkci intervaly monotonie, najdeme ty body, ve kterých je derivace rovna nule, a zjistíme, kde je maximální bod a kde minimum.
Odtud, . Tyto body jsou vnitřními body definičního oboru. Zjistíme, jaké znaménko derivace je na intervalech a který z těchto bodů je maximální a který minimální (viz obr. 4).
Rýže. 4. Intervaly konstantního znaménka derivace.
Z Obr. 4 je vidět, že bod je minimální bod, bod je maximální bod. Hodnota funkce v bodě je . Hodnota funkce v bodě je 4. Nyní sestavíme graf funkce (viz obr. 5).
Rýže. 5. Funkční graf.
Tak jsme postavili graf funkce. Pojďme si to popsat. Zapišme intervaly, ve kterých funkce monotónně klesá: , jsou intervaly, kde je derivace záporná. Funkce monotónně roste na intervalech a . - minimální bod, - maximální bod.
Najděte počet kořenů rovnice v závislosti na hodnotách parametrů.
1. Sestrojte graf funkce. Graf této funkce je vykreslen výše (viz obr. 5).
2. Rozdělte graf pomocí řady rovných čar a zapište odpověď (viz obr. 6).
Rýže. 6. Průsečík grafu funkce s přímkami.
1) Když - jedno řešení.
2) Pro - dvě řešení.
3) Když - tři řešení.
4) Když - dvě řešení.
5) Když - tři řešení.
6) Když - dvě řešení.
7) Když - jedno řešení.
Tím jsme vyřešili jeden z důležitých problémů, totiž nalezení počtu řešení rovnice v závislosti na parametru . Mohou existovat různé speciální případy, například ve kterých bude jedno řešení, dvě řešení nebo tři řešení. Všimněte si, že tyto speciální případy, všechny odpovědi na tyto speciální případy jsou obsaženy v obecné odpovědi.
1. Algebra a začátek analýzy, ročník 10 (ve dvou částech). Učebnice pro všeobecně vzdělávací instituce (profilová úroveň), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebra a začátek analýzy, ročník 10 (ve dvou částech). Kniha problémů pro vzdělávací instituce (úroveň profilu), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra a matematická analýza pro 10. ročník (učebnice pro studenty škol a tříd s hloubkovým studiem matematiky - M.: Prosveshchenie, 1996).
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Hloubkové studium algebry a matematické analýzy.-M.: Education, 1997.
5. Sbírka úloh z matematiky pro uchazeče o studium na vysokých školách (editoval M.I. Skanavi - M.: Higher School, 1992).
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraický simulátor.-K.: A.S.K., 1997.
7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algebra a počátky analýzy. 8-11 ročník: Příručka pro školy a třídy s prohloubeným studiem matematiky (didaktické materiály - M.: Drop, 2002).
8. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problémy z algebry a principů analýzy (příručka pro studenty 10.-11. ročníku všeobecně vzdělávacích institucí - M.: Prosveshchenie, 2003).
9. Karp A.P. Sbírka úloh z algebry a principů analýzy: učebnice. příspěvek pro 10-11 ročníků. s hloubkou studoval Matematika.-M.: Vzdělávání, 2006.
10. Glazer G.I. Dějiny matematiky ve škole. Ročníky 9-10 (příručka pro učitele).-M.: Výchova, 1983
Další webové zdroje
2. Portál přírodních věd ().
Vyrobte si to doma
č. 45.7, 45.10 (Algebra a počátky analýzy, ročník 10 (ve dvou částech). Sešit úloh pro všeobecně vzdělávací instituce (úroveň profilu) vyd. A. G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2007.)