Goniometrické funkce jsou vzájemně inverzní. Inverzní goniometrické funkce
Inverzní goniometrické funkce jsou matematické funkce, které jsou inverzní k goniometrickým funkcím.
Funkce y=arcsin(x)
Arkussinus čísla α je číslo α z intervalu [-π/2;π/2], jehož sinus je roven α.
Graf funkce
Funkce у= sin(x) na intervalu [-π/2;π/2] je přísně rostoucí a spojitá; má tedy inverzní funkci, přísně rostoucí a spojitou.
Inverzní funkce pro funkci y= sin(x), kde x ∈[-π/2;π/2], se nazývá arkussinus a značí se y=arcsin(x), kde x∈[-1;1 ].
Takže podle definice inverzní funkce je doménou definice arkussinus segment [-1;1] a množinou hodnot je segment [-π/2;π/2].
Všimněte si, že graf funkce y=arcsin(x), kde x ∈[-1;1], je symetrický ke grafu funkce y= sin(x), kde x∈[-π/2;π /2], s ohledem na osu souřadnicových úhlů první a třetí čtvrtiny.
Funkční rozsah y=arcsin(x).
Příklad č. 1.
Najít arcsin(1/2)?
Protože rozsah hodnot funkce arcsin(x) patří do intervalu [-π/2;π/2], je vhodná pouze hodnota π/6, arcsin(1/2) =π/. 6.
Odpověď: π/6
Příklad č. 2.
Najít arcsin(-(√3)/2)?
Protože rozsah hodnot arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2], je vhodná pouze hodnota -π/3, arcsin(-(√3)/2) =- π /3.
Funkce y=arccos(x)
Obloukový kosinus čísla α je číslo α z intervalu, jehož kosinus je roven α.
Graf funkce
Funkce y= cos(x) na segmentu je striktně klesající a spojitá; má tedy funkci inverzní, přísně klesající a spojitou.
Je volána inverzní funkce pro funkci y= cosx, kde x ∈ oblouk kosinus a je označeno y=arccos(x), kde x ∈[-1;1].
Takže podle definice inverzní funkce je doménou definice arc cosinus segment [-1;1] a množinou hodnot je segment.
Všimněte si, že graf funkce y=arccos(x), kde x ∈[-1;1] je symetrický s grafem funkce y= cos(x), kde x ∈, vzhledem k ose souřadnicové úhly první a třetí čtvrtiny.
Funkční rozsah y=arccos(x).
Příklad č. 3.
Najít arccos(1/2)?
Protože rozsah hodnot je arccos(x) x∈, pak je vhodná pouze hodnota π/3, arccos(1/2) =π/3.
Příklad č. 4.
Najít arccos(-(√2)/2)?
Protože rozsah hodnot funkce arccos(x) patří do intervalu, je vhodná pouze hodnota 3π/4, arccos(-(√2)/2) = 3π/4.
Odpověď: 3π/4
Funkce y=arctg(x)
Arkustangens čísla α je číslo α z intervalu [-π/2;π/2], jehož tangens je roven α.
Graf funkce
Funkce tečny je spojitá a přísně rostoucí na intervalu (-π/2;π/2); má tedy inverzní funkci, která je spojitá a přísně rostoucí.
Inverzní funkce pro funkci y= tan(x), kde x∈(-π/2;π/2); se nazývá arkustangens a značí se y=arctg(x), kde x∈R.
Takže podle definice inverzní funkce je doménou definice arkustangens interval (-∞;+∞) a množinou hodnot je interval
(-π/2;π/2).
Všimněte si, že graf funkce y=arctg(x), kde x∈R, je symetrický ke grafu funkce y= tanx, kde x ∈ (-π/2;π/2), vzhledem k osy souřadnicových úhlů první a třetí čtvrtiny.
Rozsah funkce y=arctg(x).
Příklad č. 5?
Najděte arctan((√3)/3).
Protože rozsah hodnot arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), pak je vhodná pouze hodnota π/6, proto arctg((√3)/3) =π/6.
Příklad č. 6.
Najít arctg(-1)?
Protože rozsah hodnot arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), je vhodná pouze hodnota -π/4, arctg(-1) = - π/4.
Funkce y=arcctg(x)
Obloukový kotangens čísla α je číslo α z intervalu (0;π), jehož kotangens je roven α.
Graf funkce
Na intervalu (0;π) funkce kotangens striktně klesá; navíc je spojitý v každém bodě tohoto intervalu; proto má tato funkce na intervalu (0;π) inverzní funkci, která je striktně klesající a spojitá.
Inverzní funkce pro funkci y=ctg(x), kde x ∈(0;π), se nazývá arkotangens a označuje se y=arcctg(x), kde x∈R.
Takže podle definice inverzní funkce bude definiční obor arckotangens R a množina hodnot bude interval (0;π) Graf funkce y=arcctg(x). , kde x∈R je symetrické ke grafu funkce y=ctg(x) x∈(0 ;π), vzhledem k sečině souřadnicových úhlů první a třetí čtvrtiny.
Rozsah funkce y=arcctg(x).
Příklad č. 7.
Najít arcctg((√3)/3)?
Protože rozsah hodnot arcctg(x) x ∈(0;π), pak je vhodná pouze hodnota π/3, proto arccos((√3)/3) =π/3.
Příklad č. 8.
Najít arcctg(-(√3)/3)?
Protože rozsah hodnot je arcctg(x) x∈(0;π), pak je vhodná pouze hodnota 2π/3, arccos(-(√3)/3) = 2π/3.
Střih: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna
Jsou uvedeny definice inverzních goniometrických funkcí a jejich grafy. Stejně jako vzorce spojující inverzní goniometrické funkce, vzorce pro součty a rozdíly.
Definice inverzních goniometrických funkcí
Protože goniometrické funkce jsou periodické, jejich inverzní funkce nejsou jedinečné. Takže rovnice y = hřích x, pro daný , má nekonečně mnoho kořenů. Vzhledem k periodicitě sinusu, je-li x takový kořen, pak také je x + 2πn(kde n je celé číslo) bude také kořenem rovnice. Tedy, inverzní goniometrické funkce jsou vícehodnotové. Pro usnadnění práce s nimi je představen koncept jejich hlavních významů. Uvažujme například sinus: y = hřích x. hřích x Pokud omezíme argument x na interval , pak na něm funkce y = monotónně narůstá. Proto má jedinečnou inverzní funkci, která se nazývá arkussinus: x =.
arcsin y
Pokud není uvedeno jinak, inverzními goniometrickými funkcemi rozumíme jejich hlavní hodnoty, které jsou určeny následujícími definicemi. Arcsine ( y =) arcsin x je inverzní funkce sinus ( x =
hříšný Arcsine ( Arc cosinus () arccos x je inverzní funkce sinus ( je inverzní funkce kosinus ( cos y
), který má doménu definice a soubor hodnot. Arcsine ( arktangens () arctan x je inverzní funkce sinus ( je inverzní funkce tečny ( cos y
tg y Arcsine ( arkotangens () arcctg x je inverzní funkce sinus ( je inverzní funkce kotangens ( cos y
ctg y
Grafy inverzních goniometrických funkcí
Arcsine ( y =
Arcsine ( Arc cosinus (
Arcsine ( arktangens (
Arcsine ( arkotangens (
Grafy inverzních goniometrických funkcí získáme z grafů goniometrických funkcí zrcadlovým odrazem vzhledem k přímce y = x.
Viz sekce Sinus, kosinus, Tangent, kotangens.
Základní vzorce Zde byste měli věnovat zvláštní pozornost intervalům, pro které platí vzorce.
arcsin(sin x) = x
na Zde byste měli věnovat zvláštní pozornost intervalům, pro které platí vzorce.
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x Zde byste měli věnovat zvláštní pozornost intervalům, pro které platí vzorce.
cos(arccos x) = x
arctan(tg x) = x Zde byste měli věnovat zvláštní pozornost intervalům, pro které platí vzorce.
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x
ctg(arcctg x) = x
Vzorce vztahující se k inverzním goniometrickým funkcím
Součtové a rozdílové vzorce
na nebo
Vzorce vztahující se k inverzním goniometrickým funkcím
Součtové a rozdílové vzorce
na nebo
v a
v a
v a
v a
na jsou široce používány v matematické analýze. Většině středoškoláků však úkoly spojené s tímto typem funkcí způsobují značné potíže. Je to dáno především tím, že mnoho učebnic a učebních pomůcek se úkolům tohoto typu věnuje příliš málo. A pokud se studenti alespoň nějak vypořádají s problémy výpočtu hodnot inverzních goniometrických funkcí, pak rovnice a nerovnice obsahující takové funkce z velké části děti zmátnou. Vlastně to není překvapivé, protože prakticky žádná učebnice nevysvětluje, jak řešit i ty nejjednodušší rovnice a nerovnice obsahující inverzní goniometrické funkce.
Podívejme se na několik rovnic a nerovnic zahrnujících inverzní goniometrické funkce a vyřešme je s podrobným vysvětlením.
Příklad 1.
Řešte rovnici: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.
Řešení.
Vyjádřením inverzní goniometrické funkce z rovnice dostaneme:
arccos (2x + 3) = 5π/6. Nyní použijeme definici arc cosinus.
Obloukový kosinus určitého čísla a, patřícího do segmentu od -1 do 1, je úhel y od segmentu od 0 do π takový, že jeho kosinus je roven číslu x. Můžeme to tedy napsat takto:
2x + 3 = cos 5π/6.
Zapišme pravou stranu výsledné rovnice pomocí redukčního vzorce:
2x + 3 = cos (π – π/6).
2x + 3 = -cos π/6;
2x + 3 = -√3/2;
2x = -3 – √3/2.
Zredukujeme pravou stranu na společného jmenovatele.
2x = -(6 + √3) / 2;
x = -(6 + √3) / 4.
Odpověď: -(6 + √3) / 4 .
Příklad 2
Vyřešte rovnici: cos (arccos (4x – 9)) = x 2 – 5x + 5.
Řešení.
Protože cos (arcсos x) = x s x patřícím do [-1; 1], pak je tato rovnice ekvivalentní soustavě:
(4x – 9 = x 2 – 5x + 5,
(-1 ≤ 4x – 9 ≤ 1.
Pojďme řešit rovnici obsaženou v soustavě.
4x – 9 = x 2 – 5x + 5.
Je to čtvercové, takže to chápeme
x 2 – 9x + 14 = 0;
D = 81 – 4 14 = 25;
x 1 = (9 + 5) / 2 = 7;
x 2 = (9 – 5) / 2 = 2.
Vyřešme dvojitou nerovnost obsaženou v systému.
1 ≤ 4x – 9 ≤ 1. Přidejte 9 ke všem dílům, máme:
8 ≤ 4x ≤ 10. Vydělte každé číslo 4, dostaneme:
2 ≤ x ≤ 2,5.
Nyní zkombinujme odpovědi, které jsme dostali. Je snadné vidět, že kořen x = 7 nevyhovuje odpovědi na nerovnici. Proto je jediným řešením rovnice x = 2.
Odpověď: 2.
Příklad 3
Řešte rovnici: tg (arctg (0,5 – x)) = x 2 – 4x + 2,5.
Řešení.
Protože tg (arctg x) = x pro všechna reálná čísla, je tato rovnice ekvivalentní rovnici:
0,5 – x = x 2 – 4x + 2,5.
Vyřešme výslednou kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu, když ji nejprve převedeme do standardního tvaru.
x 2 – 3x + 2 = 0;
D = 9 – 4 2 = 1;
x 1 = (3 + 1) / 2 = 2;
x 2 = (3 – 1) / 2 = 1.
Odpověď: 1; 2.
Příklad 4.
Řešte rovnici: arcctg (2x – 1) = arcctg (x 2 /2 + x/2).
Řešení.
Protože arcctg f(x) = arcctg g(x) právě tehdy, když f(x) = g(x), pak
2x – 1 = x 2 /2 + x/2. Vyřešme výslednou kvadratickou rovnici:
4x – 2 = x 2 + x;
x 2 – 3 x + 2 = 0.
To získáme Vietovou větou
x = 1 nebo x = 2.
Odpověď: 1; 2.
Příklad 5.
Vyřešte rovnici: arcsin (2x – 15) = arcsin (x 2 – 6x – 8).
Řešení.
Protože rovnice ve tvaru arcsin f(x) = arcsin g(x) je ekvivalentní systému
(f(x) = g(x),
(f(x) € [-1; 1],
pak původní rovnice je ekvivalentní soustavě:
(2x – 15 = x 2 – 6x + 8,
(-1 ≤ 2x – 15 ≤ 1.
Pojďme vyřešit výsledný systém:
(x 2 – 8x + 7 = 0,
(14 ≤ 2x ≤ 16.
Z první rovnice pomocí Vietovy věty máme, že x = 1 nebo x = 7. Při řešení druhé nerovnosti soustavy zjistíme, že 7 ≤ x ≤ 8. Pro konečnou je tedy vhodný pouze kořen x = 7 odpověď.
Odpověď: 7.
Příklad 6.
Vyřešte rovnici: (arccos x) 2 – 6 arccos x + 8 = 0.
Řešení.
Nechť arccos x = t, pak t patří segmentu a rovnice má tvar:
t 2 – 6t + 8 = 0. Vyřešte výslednou kvadratickou rovnici pomocí Vietovy věty, zjistíme, že t = 2 nebo t = 4.
Protože t = 4 nepatří do segmentu, získáme, že t = 2, tzn. arccos x = 2, což znamená x = cos 2.
Odpověď: protože 2.
Příklad 7.
Řešte rovnici: (arcsin x) 2 + (arccos x) 2 = 5π 2 /36.
Řešení.
Použijme rovnost arcsin x + arccos x = π/2 a zapišme rovnici ve tvaru
(arcsin x) 2 + (π/2 – arcsin x) 2 = 5π 2 /36.
Nechť arcsin x = t, pak t patří segmentu [-π/2; π/2] a rovnice má tvar:
t 2 + (π/2 – t) 2 = 5π 2 /36.
Vyřešme výslednou rovnici:
t 2 + π 2 /4 – πt + t 2 = 5π 2 /36;
2t 2 – πt + 9π 2 /36 – 5π 2 /36 = 0;
2t 2 – πt + 4π 2 /36 = 0;
2t 2 – πt + π 2 /9 = 0. Vynásobením každého členu 9, abychom se zbavili zlomků v rovnici, dostaneme:
18t 2 – 9πt + π 2 = 0.
Pojďme najít diskriminant a vyřešit výslednou rovnici:
D = (-9π) 2 – 4 · 18 · π 2 = 9π 2 .
t = (9π – 3π) / 2 18 nebo t = (9π + 3π) / 2 18;
t = 6π/36 nebo t = 12π/36.
Po redukci máme:
t = π/6 nebo t = π/3. Pak
arcsin x = π/6 nebo arcsin x = π/3.
Tedy x = sin π/6 nebo x = sin π/3. To znamená, že x = 1/2 nebo x =√3/2.
Odpověď: 1/2; √3/2.
Příklad 8.
Najděte hodnotu výrazu 5nx 0, kde n je počet kořenů a x 0 je záporný kořen rovnice 2 arcsin x = - π – (x + 1) 2.
Řešení.
Protože -π/2 ≤ arcsin x ≤ π/2, pak -π ≤ 2 arcsin x ≤ π. Navíc (x + 1) 2 ≥ 0 pro všechna reálná x,
pak -(x + 1) 2 ≤ 0 a -π – (x + 1) 2 ≤ -π.
Rovnice tedy může mít řešení, pokud jsou obě její strany současně rovny –π, tzn. rovnice je ekvivalentní soustavě:
(2 arcsin x = -π,
(-π – (x + 1) 2 = -π.
Vyřešme výslednou soustavu rovnic:
(arcsin x = -π/2,
((x + 1) 2 = 0.
Z druhé rovnice máme, že x = -1, respektive n = 1, pak 5nx 0 = 5 · 1 · (-1) = -5.
Odpověď: -5.
Jak ukazuje praxe, nezbytnou podmínkou pro úspěšné složení zkoušek je schopnost řešit rovnice s inverzními goniometrickými funkcemi. Proto je školení v řešení takových problémů při přípravě na jednotnou státní zkoušku prostě nezbytné a povinné.
Stále máte otázky? Nevíte, jak řešit rovnice?
Chcete-li získat pomoc od lektora -.
První lekce je zdarma!
blog.site, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na původní zdroj.
Lekce 32-33. Inverzní goniometrické funkce
09.07.2015 5917 0Cíl: zvážit inverzní goniometrické funkce a jejich použití pro zápis řešení goniometrických rovnic.
I. Komunikace tématu a účelu lekcí
II. Učení nového materiálu
1. Inverzní goniometrické funkce
Začněme naši diskusi na toto téma následujícím příkladem.
Příklad 1
Pojďme řešit rovnici: a) sin x = 1/2; b) hřích x = a.
a) Na ose pořadnic vyneseme hodnotu 1/2 a sestrojíme úhly x 1 a x2, pro které hřích x = 1/2. V tomto případě x1 + x2 = π, odkud x2 = π – x 1 . Pomocí tabulky hodnot goniometrických funkcí pak najdeme hodnotu x1 = π/6Vezměme v úvahu periodicitu funkce sinus a zapišme řešení této rovnice:kde k ∈ Z.
b) Je zřejmé, že algoritmus pro řešení rovnice hřích x = a je stejné jako v předchozím odstavci. Nyní je samozřejmě hodnota a vynesena podél svislé osy. Je potřeba nějak určit úhel x1. Dohodli jsme se, že tento úhel označíme symbolem arcsin A. Potom lze řešení této rovnice zapsat ve tvaruTyto dva vzorce lze spojit do jednoho: ve stejnou dobu
Zbývající inverzní goniometrické funkce jsou zavedeny podobným způsobem.
Velmi často je potřeba určit velikost úhlu ze známé hodnoty jeho goniometrické funkce. Takový problém je vícehodnotový – existuje nespočet úhlů, jejichž goniometrické funkce se rovnají stejné hodnotě. Proto jsou na základě monotonie goniometrických funkcí zavedeny následující inverzní goniometrické funkce pro jednoznačné určení úhlů.
Arksinus čísla a (arcsin , jehož sinus je roven a, tzn.
Arc cosinus čísla a(arccos a) je úhel a z intervalu, jehož kosinus je roven a, tzn.
Arkustangens čísla a(arctg a) - takový úhel a z intervalujehož tečna je rovna a, tzn.tg a = a.
Arkotangens čísla a(arcctg a) je úhel a z intervalu (0; π), jehož kotangens je roven a, tzn. ctg a = a.
Příklad 2
Pojďme najít:
Vezmeme-li v úvahu definice inverzních goniometrických funkcí, získáme:
Příklad 3
Pojďme počítat
Nechť úhel a = arcsin 3/5, pak podle definice sin a = 3/5 a . Proto musíme najít cos A. Pomocí základní goniometrické identity získáme:Bere se v úvahu, že cos a ≥ 0.
Vlastnosti funkce | Funkce |
|||
y = arcsin x | y = arccos x | y = arktan x | y = arcctg x |
|
Definiční doména | x ∈ [-1; 1] | x ∈ [-1; 1] | x ∈ (-∞; +∞) | x ∈ (-∞ +∞) |
Rozsah hodnot | y ∈ [ -π/2 ; π /2 ] | y ∈ | y ∈ (-π/2 ; π /2 ) | y ∈ (0; π) |
Parita | Zvláštní | Ani sudé, ani liché | Zvláštní | Ani sudé, ani liché |
Funkce nuly (y = 0) | Při x = 0 | Při x = 1 | Při x = 0 | y ≠ 0 |
Intervaly stálosti znaménka | y > 0 pro x ∈ (0; 1], na< 0 при х ∈ [-1; 0) | y > 0 pro x ∈ [-1; 1) | y > 0 pro x ∈ (0; +∞), na< 0 при х ∈ (-∞; 0) | y > 0 pro x ∈ (-∞; +∞) |
Monotónní | Rostoucí | Klesající | Rostoucí | Klesající |
Vztah k goniometrické funkci | hřích y = x | cos y = x | tg y = x | ctg y = x |
Naplánovat |
Uveďme řadu typičtějších příkladů souvisejících s definicemi a základními vlastnostmi inverzních goniometrických funkcí.
Příklad 4
Pojďme najít definiční obor funkce
Aby byla funkce y definována, je nutné splnit nerovnicicož je ekvivalentní systému nerovnostíŘešením první nerovnosti je interval x∈ (-∞; +∞), druhý - Tento interval a je řešením systému nerovnic, a tedy oborem definice funkce
Příklad 5
Pojďme najít oblast změny funkce
Uvažujme chování funkce z = 2x - x2 (viz obrázek).
Je jasné, že z ∈ (-∞; 1]. Vzhledem k tomu, že argument z funkce kotangens oblouku se mění v zadaných mezích, to získáme z tabulkových datTakže oblast změny
Příklad 6
Dokažme, že funkce y = arctg x liché. NechatPotom tg a = -x nebo x = - tg a = tg (- a) a Proto - a = arctg x nebo a = - arctg X. Tak to vidímetj. y(x) je lichá funkce.
Příklad 7
Vyjádřeme se prostřednictvím všech inverzních goniometrických funkcí
Nechat To je zřejmé Od té doby
Pojďme si představit úhel Protože Že
Proto také A
Tak,
Příklad 8
Sestavme graf funkce y = cos(arcsin x).
Označme tedy a = arcsin x Vezměme v úvahu, že x = sin a a y = cos a, tedy x 2 + y2 = 1 a omezení na x (x∈ [-1; 1]) a y (y ≥ 0). Potom graf funkce y = cos(arcsin x) je půlkruh.
Příklad 9
Sestavme graf funkce y = arccos (cos x).
Vzhledem k tomu, cos funkce x se mění na intervalu [-1; 1], pak je funkce y definována na celé číselné ose a mění se na segmentu . Mějme na paměti, že y = arccos (cosx) = x na segmentu; funkce y je sudá a periodická s periodou 2π. Vzhledem k tomu, že funkce má tyto vlastnosti cos x Nyní je snadné vytvořit graf.
Všimněme si některých užitečných rovností:
Příklad 10
Pojďme najít nejmenší a největší hodnoty funkce Označme Pak Pojďme získat funkci Tato funkce má v bodě minimum z = π/4 a rovná se Největší hodnota funkce je dosažena v bodě z = -π/2 a je rovno Tak, a
Příklad 11
Pojďme řešit rovnici
Vezměme to v úvahu Potom rovnice vypadá takto:nebo kde Definicí arctangens dostaneme:
2. Řešení jednoduchých goniometrických rovnic
Podobně jako v příkladu 1 můžete získat řešení nejjednodušších goniometrických rovnic.
Rovnice | Řešení |
tgx = a | |
ctg x = a |
Příklad 12
Pojďme řešit rovnici
Protože je funkce sinus lichá, zapíšeme rovnici ve tvaruŘešení této rovnice:odkud to najdeme?
Příklad 13
Pojďme řešit rovnici
Pomocí uvedeného vzorce zapíšeme řešení rovnice:a najdeme
Všimněte si, že ve speciálních případech (a = 0; ±1) při řešení rovnic sin x = a a cos x = a je jednodušší a pohodlnější nepoužívat obecné vzorce, ale zapisovat řešení na základě jednotkového kruhu:
pro rovnici sin x = 1 řešení
pro rovnici sin x = 0 řešení x = π k;
pro rovnici sin x = -1 řešení
pro rovnici cos x = 1 řešení x = 2π k;
pro rovnici cos x = 0 řešení
pro rovnici cos x = -1 řešení
Příklad 14
Pojďme řešit rovnici
Protože v tomto příkladu existuje speciální případ rovnice, zapíšeme řešení pomocí příslušného vzorce:odkud to najdeme?
III. Kontrolní otázky (frontální průzkum)
1. Definujte a vyjmenujte hlavní vlastnosti inverzních goniometrických funkcí.
2. Uveďte grafy inverzních goniometrických funkcí.
3. Řešení jednoduchých goniometrických rovnic.
IV. Zadání lekce
§ 15, č. 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12 (b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (a, b); 19 (c); 21;
§ 16, č. 4 (a, b); 7(a); 8(b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);
§ 17, č. 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9(b); 10 (a, c).
V. Domácí úkol
§ 15, č. 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8(b); 12(a); 13(b); 15 (g); 16 (b); 18 (c, d); 19 (g); 22;
§ 16, č. 4 (c, d); 7(b); 8(a); 16 (c, d); 18 (b); 19 (a, b);
§ 17, č. 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (g); 10 (b, d).
VI. Kreativní úkoly
1. Najděte doménu funkce:
Odpovědi:
2. Najděte rozsah funkce:
Odpovědi:
3. Nakreslete graf funkce:
VII. Shrnutí lekcí