Teplota 0 stupňů Celsia má délku. Příprava na Jednotnou státní zkoušku z matematiky v hodinách fyziky (nebo na Jednotnou státní zkoušku z fyziky v hodinách matematiky)
Při teplotě 0 °C má kolejnice délku L0 = 10 m. Při pokládání kolejí mezi kolejnicemi byla ponechána mezera 4,5 mm.
Mezera je vzdálenost, která zbývá mezi kolejnicemi, aby se mohly při zahřátí roztáhnout. K zahřívání dochází v důsledku tření, ke kterému dochází, když vlak projíždí po kolejích.
Vyjádřeme mezeru v metrech: 4,5 mm = 4,5 10-3 m.
L(t°) = L0 + mezera - délka kolejnice při prodloužení po zahřátí o t°.
Na druhé straně, L(t°) = L0(1+α·t°). Srovnejme pravé strany rovností, dosadíme tyto hodnoty, otevřeme závorky a dostaneme:
10 + 4,5 10-3 = 10 + 10 1,2 10-5 t° --> t° 12 10-5 = 4,5 10-3 --> t°=450 / 12 = 37,5°.
Odpověď: 37.5
Při teplotě 0 °C má kolejnice délku L0 = 12,5m. Při pokládání kolejí byla mezi kolejnicemi ponechána mezera 6 mm.
S rostoucí teplotou dochází k tepelné roztažnosti kolejnice a její délka se mění podle zákona L(t°) = L0 (1 +αt°), kde α = 1,2 10-5 (°C)-1 je koeficient tepelné roztažnosti, t° - teplota (ve stupních Celsia). v čem minimální teplota Zmizí mezera mezi kolejnicemi? (Svou odpověď vyjádřete ve stupních Celsia.)
Při teplotě 0 °C má kolejnice délku L0 = 15 m. Při pokládání kolejí mezi kolejnicemi byla ponechána mezera 6,3 mm.
S rostoucí teplotou dochází k tepelné roztažnosti kolejnice a její délka se mění podle zákona L(t°) = L0 (1 +αt°), kde α = 1,2 10-5 (°C)-1 je koeficient tepelné roztažnosti, t° - teplota (ve stupních Celsia). Při jaké minimální teplotě zmizí mezera mezi kolejnicemi? (Svou odpověď vyjádřete ve stupních Celsia.)
Po dešti může hladina vody ve studni stoupnout. Chlapec ji určí tak, že změří čas t malých oblázků padajících do studny a vypočítá ji pomocí vzorce h = -5t2. Před deštěm byla doba pádu oblázků 0,6 s. Do jaké minimální výšky musí stoupnout hladina vody po dešti, aby se naměřená doba změnila o více než 0,2 s? (Svou odpověď vyjádřete v m.)
Po dešti může hladina vody ve studni stoupnout. Chlapec ji určí tak, že změří čas t malých oblázků padajících do studny a vypočítá ji pomocí vzorce h = -5t2. Před deštěm byla doba pádu oblázků 1 s. Do jaké minimální výšky musí stoupnout hladina vody po dešti, aby se naměřená doba změnila o více než 0,2 s? (Svou odpověď vyjádřete v m.)
Odpověď: 1.8.
Po dešti může hladina vody ve studni stoupnout. Chlapec ji určí tak, že změří čas t malých oblázků padajících do studny a vypočítá ji pomocí vzorce h = -5t2. Před deštěm byla doba pádu oblázků 0,8 s. Do jaké minimální výšky musí stoupnout hladina vody po dešti, aby se naměřená doba změnila o více než 0,1 s? (Svou odpověď vyjádřete v m.)
Odpověď: 0,75.
Nechť h1 je hladina vody před deštěm, h2 je hladina vody po dešti, t1 je doba, kdy oblázek padá na povrch před deštěm, t2 je doba, kdy padá po dešti.
Za nulovou značku vezmeme bod ležící na povrchu země, pak h1 a h2 jsou souřadnice vodních hladin a jsou záporné, což lze vidět ze vzorce h = - 5t2.
Po dešti se hladina zvýšila o |h1 - h2| metrů.
Podle podmínky t1 = 0,6 s a t2 se snížilo o více než 0,2 s, tzn. t2 ≤ 0,4 s.
|h1 - h2| = | -5·t12 - (-5·t22)| = | -5·0,62 +5·0,42| = 5|0,62 - 0,42| = 5.0,2 = 1 (metr).
h1=h(0,6) = -5*0,36= -1,8
h2=h(0,4) = -5*0,16 = -0,8
h2-h1 = -0,8-(-1,8) = 1
Tito. po dešti se předchozí hladina zvýší o 1 metr.
Při teplotě 0°C má kolejnice délku l0 = 20 m S rostoucí teplotou dochází k tepelné roztažnosti kolejnice a její délka vyjádřená v metrech se mění podle zákona l(t°) = l0. (1 + a t°), kde a = 1,2·10-5(°C)-1 - koeficient tepelné roztažnosti, t° - teplota (ve stupních Celsia).
Prodloužení kolejnice je mezera, pouze 3 mm musí být vyjádřeno v metrech.
l(t°) - l0 =0,003 --> 20(1 + 1,2·10-5 ·t°) - 20 = 0,003 --> 24·10-5 ·t° = 3·10-3 -->t °= 12,5 °C
Často se stává, že v jednom problému B12 je funkce i vzorec. V takových problémech jsou kromě hlavní proměnné další neznámé, jejichž hodnoty je třeba hledat někde v textu.
Obecné schéma řešení se téměř neliší od úloh se vzorci (viz lekce „Práce se vzorci v problému B12“). Stručně řečeno: najděte v textu čísla a dosaďte je do původního vzorce. Pokud se to udělá správně, výsledkem je standardní rovnice s jednou proměnnou.
Úkol. Při rozpadu radioaktivního izotopu jeho hmotnost klesá podle zákona:
kde m 0 (mg) je počáteční hmotnost izotopu, t (min) je čas uplynulý od počátečního okamžiku, T (min) je poločas rozpadu. V počátečním okamžiku je hmotnost izotopu m 0 = 56 mg. Jeho poločas rozpadu je T = 7 minut. Po kolika minutách bude hmotnost izotopu rovna 7 mg?
Podle podmínky jsou známy následující hodnoty: m 0 = 56; T = 7. Dosadíme je do funkce - dostaneme m (t) = 56 · 2 −t /7. Musíte najít okamžik, kdy m(t) = 7 mg. Vytvořme a vyřešme rovnici:
56 · 2 -t/7 = 7;
2 −t /7 = 1/8 - vše děleno 56;
2 −t/7 = 2 −3 - reprezentováno 1/8 jako 2 −3;
−t/7 = −3;
t = 21.
Úkol. Pro jeden z monopolních podniků je závislost objemu poptávky po produktech q (jednotky za měsíc) na jeho ceně p (tisíc rublů) dána vzorcem: q = 75 − 5p. Určete maximální cenovou hladinu p (v tisících rublech), při které bude hodnota příjmů podniku za měsíc r = q · p činit nejméně 270 tisíc rublů.
Máme tedy funkci r = q · p a q je neznámá veličina. Navíc proměnná q sama o sobě je funkcí: podle podmínky q = 75 − 5p. Dosadíme tento výraz do funkce r. Dostáváme:
r = (75 − 5p) · p = 75p − 5p 2.
Nyní máme funkci, která vyjadřuje zisk z hlediska ceny. Všechny ceny jsou stanoveny v tisících rublech – to vyplývá z podmínky. Také podle podmínky musí být zisk alespoň 270 tisíc rublů, takže můžete napsat r = 270. Vytvořme a vyřešme rovnici:
270 = 75p − 5p 2;
5p 2 − 75p + 270 = 0 - přesunul vše doleva;
p 2 − 15p + 54 = 0 - vše děleno 5;
... (rozhodneme se kvadratická rovnice)
p 1 = 6; p2 = 9.
Protože nás to zajímá nejvyšší cena, zvolte p 2 = 9.
Úkol. Při teplotě 0 °C má kolejnice délku l 0 = 20 metrů. Při pokládání kolejí byla mezi kolejnicemi ponechána mezera 9 mm. S rostoucí teplotou dojde k tepelné roztažnosti kolejnice a její délka se bude měnit podle zákona l (t) = l 0 · (1 + a · t), kde a = 1,2 · 10 −5 (°C) −1 je koeficient tepelné roztažnosti, t je teplota (ve stupních Celsia). Při jaké minimální teplotě zmizí mezera mezi kolejnicemi? Vyjádřete svou odpověď ve stupních Celsia.
Zpočátku známe dvě veličiny: l 0 = 20 a a = 1,2 · 10 −5. Nejjemnějším bodem je pochopit, čemu se l (t) rovná. Konkrétně: mezera zmizí, když se kolejnice prodlouží o stejných 9 mm. Byl dlouhý 20 metrů, ale nyní má 20 metrů + 9 mm.
Převedeme vše do metrické soustavy. V jednom metru je 1000 mm, takže 9 mm = 9 10 −3 m celkem, l (t) = 20 + 9 10 −3. Nechme tento záznam přesně tak, jak je, nebudeme to sčítat. Výsledná rovnice je:
20 + 9 10 −3 = 20 (1 + 1,2 10 −5 t).
Otevřeme závorky - a po zřejmých transformacích bude rovnice zcela jednoduchá:
20 + 9 · 10 -3 = 20 + 20 · 1,2 · 10 -5 · t;
9 10 −3 = 24 10 −5 t - číslo 20 bylo odstraněno z obou stran.
Vynásobte obě strany 10 5 a dostanete:
9 10 −3 + 5 = 24 10 −5 + 5 t ;
9 · 10 2 = 24t - obyčejná lineární rovnice;
t = 900/24 = 37,5.
Jak vidíte, problém s kolejnicemi se ukázal být docela obtížný. A mnozí, kteří psali test Jednotná státní zkouška z matematiky, se s tímto úkolem nevyrovnali. Ve většině případů studenti zapomněli, že výsledná délka l (t) je součtem původní délky l 0 a prodloužení, které je ještě potřeba přepočítat na metry.
Obecné závěry z výše uvedených řešení:
- Někdy je v problémech s radioaktivními izotopy uveden název látky - nevěnujte tomu pozornost. Alespoň měď-64, alespoň xenon-133 - cokoliv. Tato čísla se nepodílejí na řešení, ale pouze zasypávají text úlohy. Možná to tvůrci úkolů dělají záměrně;
- V problémech s monopolními podniky byste se neměli bát měrných jednotek. I když se jedná o stovky tisíc rublů, není třeba k číslům uvedeným v problému přidávat nuly. Použijte to, co je dáno, a získejte správnou odpověď;
- Když mluvíme o tom o kolejích je důležité pochopit, že l(t) je délka celé kolejnice, nikoli pouze její prodloužení. Samotné prodloužení (nebo mezera) musí být převedeno na metry. Například 4,5 mm je 4,5 10 −3 m. Také nespěchejte se sčítáním délky kolejnice a mezery. Je lepší otevřít závorky - vzorec je složitý, ale množství výpočtů se mnohonásobně sníží. A nemusíte počítat 10 −5, jinak dostanete stotisícinu a bude to velmi smutné.
Komplexní problémy B12
Ale koleje nejsou všechno! Existují ještě složitější problémy, které vyžadují opravdu chytré myšlení. Oproti nim jsou i kolejnice v klidu. Pravděpodobnost, že na takový problém narazíte ve skutečné jednotné státní zkoušce, je malá, ale vědět, jak se řeší, je naprosto nezbytné.
Uvažujme dva takové problémy. Ve skutečnosti byly nabízeny v zkušební jednotná státní zkouška v matematice. Jen málokomu se s nimi podařilo vyrovnat.
Úkol. K určení efektivní teploty hvězd se používá Stefan-Boltzmannův zákon, podle kterého je výkon záření zahřátého tělesa přímo úměrný jeho povrchu a čtvrté mocnině teploty:
kde σ = 5,7 10 −8 je konstanta, plocha se měří v metrů čtverečních, teplota je v Kelvinech a výkon je ve wattech.
Je známo, že určitá hvězda má plochu S = (1/128) · 10 20 m 2 a její vyzařovaný výkon P je alespoň 1,14 · 10 25 W. Určete nejmenší možná teplota tato hvězda. Uveďte svou odpověď ve stupních Kelvina.
Vzorec se čtvrtou mocninou a čísly obsahující mocniny deseti samozřejmě vypadají hrozivě. Ale ve skutečnosti není všechno tak špatné. Známe mocninu P, plochu S a konstantu σ. Dosadíme je do vzorce a dostaneme:
1,14 · 1025 = 5,7 · 10 -8 · (1/128) · 1020 · T4.
Jednotky měření nezapisujeme – pouze zaplňují rovnici. Pro zjednodušení řešení vynásobme obě strany 128 a poté co nejvíce snižme počet faktorů. máme:
1,14 · 1025 · 128 = 5,7 · 10 -8 · (1/128) · 1020 · T4 · 128;
1,14 · 128 · 10 25 = 5,7 · 10 −8 · 10 20 · T 4 - redukoval faktory označené červeně;
1,14 · 128 · 1025 = 5,7 · 1012 · T4;
1,14 · 128 · 10 25 − 12 = 5,7 · 10 12 − 12 · T 4 - vše děleno 10 12;
1,14 · 128 · 1013 = 5,7 · T4;
1,14 · 128 · 10 13: 5,7 = 5,7 · T 4: 5,7 - vše vydělte 5,7;
0,2 · 128 · 1013 = T4 - protože 1,14: 5,7 = 0,2;
2 · 10 −1 · 128 · 10 13 = T 4 - zapsáno 0,2 = 2 · 10 −1 ;
256 · 10 12 = T 4 - skupina dvojky a desítky;
T 4 = 10 12 · 2 8 - protože 256 = 2 8;
T = 10 3 2 2 = 1 000 4 = 4 000.
V posledním kroku najdeme 4. kořen. Dovolte mi, abych vám připomněl: extrahování kořene snižuje stupně každý násobitel
Obecně řečeno, v rovnici budou dva reálné kořeny: T 1 = 4000 a T 2 = −4000. Teplota v Kelvinech ale nemůže být záporná, takže druhá možnost nás nezajímá.
Úkol. Na boční stěně vysoké válcové nádrže je úplně dole připevněn kohout. Po jejím otevření začne z nádrže vytékat voda, přičemž výška vodního sloupce v ní vyjádřená v metrech se mění podle zákona:
kde t je čas v sekundách, který uplynul od otevření kohoutku, H 0 = 20 m je počáteční výška vodního sloupce, k = 1/50 je poměr ploch průřezu kohoutku a nádrže , a g je zrychlení volného pádu (uvažujme g = 10 m /s 2).
Kolik sekund po otevření kohoutku zůstane v nádrži čtvrtina původního objemu vody?
Nejprve zjistíme, čemu se rovná požadované H (t). Podle stavu by v nádrži měla zůstat čtvrtina původního objemu vody. Proto H(t) = (1/4)20 = 5 um.
Nyní, když jsou známy všechny parametry, dosadíme čísla do funkce. Abychom nekomplikovali výpočty, poznamenejme následující:
Místo kořene tedy můžete bezpečně napsat číslo 20. Máme:
5 = 20 − 20 · (1/50) · t + (10/2) · (1/50) 2 · t2;
0 = 15 − 20 · (1/50) · t + 5 · (1/50) 2 · t 2 - přesunul vše na jednu stranu;
(1/50) 2 · t 2 − 4 · (1/50) · t + 3 = 0 - vše děleno 5.
Provedeme změnu proměnné: (1/50) t = x. Potom (1/50) 2 t 2 = x 2 a celá rovnice bude přepsána takto:
x 2 − 4x + 3 = 0;
(x − 3) · (x − 1) = 0 - kořeny kvadratické rovnice lze snadno uhodnout bez jakéhokoli diskriminantu (viz lekce „Vietův teorém“);
x 1 = 3; x 2 = 1.
Nyní si připomeňme, co je x. Protože jsme provedli náhradu x = (1/50) t, máme:
t = 50x;
ti = 50. 3 = 150;
t2 = 50 1 = 50.
Máme tedy dva kandidáty na odpověď: čísla 50 a 150. Všimněte si, že v čase t = 100 je výška vodního sloupce:
H (100) = 20 - 20 (1/50) 100 + 5 (1/50) 2 100 2 = 20 - 40 + 20 = 0.
Jinými slovy, po t = 100 sekundách voda zcela vyteče z nádrže a rovnice H(t) ztrácí svůj fyzikální význam. Proto nás možnost t = 150 nezajímá. Zbývá pouze t = 50.
Na závěr bych ještě jednou rád upozornil na poslední úkol. Odmocninu t = 150 jsme odstranili, protože se nachází příliš daleko od začátku – kde původní vzorec ztrácí veškerý fyzikální význam. Porovnat:
- Z matematického hlediska máme standard kvadratická funkce, jehož graf je parabola. A je zcela normální, že kvadratická rovnice má dva kořeny;
- Ale z hlediska fyziky po značce t = 100 graf vůbec neexistuje. Protože po 100 sekundách voda zcela vyteče z nádrže a funkce H(t) přestane popisovat příslušný proces. Vše za touto značkou je nesmysl, který nás nezajímá.
V problému o hvězdách jsme zvolili kladný kořen, také vedený fyzický význam. Tyto příklady jasně ukazují, jak nebezpečné je nechat se unášet matematickými rovnicemi bez ohledu na to reálných podmínkáchúkoly. Buďte opatrní!