Stacionární body. Kritické body na grafu funkce
Stacionární body funkce.
Nezbytná podmínka pro lokální extrém funkce
První postačující podmínka pro lokální extrém
Druhá a třetí postačující podmínky pro lokální extrém
Nejmenší a největší hodnoty funkce na segmentu
Konvexní funkce a inflexní body
1. Stacionární body funkce. Nezbytná podmínka pro lokální extrém funkce
Definice 1 
. 
Nechť je funkce definována na 
. Tečka 
se nazývá stacionární bod funkce 
, Pokud 
.
v určitém bodě diferencované
A 
Věta 1 (nutná podmínka pro lokální extrém funkce) 
. Nechte funkci 
určeno na
a má na místě
lokální extrém. Pak je splněna jedna z podmínek:
Abychom tedy našli body, které jsou pro extrém podezřelé, je nutné najít stacionární body funkce a body, ve kterých derivace funkce neexistuje, ale které patří do definičního oboru funkce. 
Příklad 
. Nechat
. Najděte za to body, které jsou extrémně podezřelé. Abychom problém vyřešili, nejprve najdeme definiční obor funkce: 
. Nyní najdeme derivaci funkce:
Body, ve kterých derivace neexistuje: 
. Stacionární funkční body: 
Od a
, A
patří do definičního oboru funkce, pak oba budou extrémě podezřelé. Ale k závěru, zda tam opravdu bude extrém, je nutné pro extrém uplatnit dostatečné podmínky.
A 
Věta 1 (nutná podmínka pro lokální extrém funkce) 
2. První postačující podmínka pro lokální extrém 
Věta 1 (první dostatečná podmínka pro lokální extrém) 
a diferencované na tomto intervalu všude, snad kromě bodu 
, ale v tomto bodě 
funkce 
je kontinuální. Pokud existují takové pravé a levé polosousedství bodu
, v každém z nich 
zachovává si tedy určité znamení 
. Tečka 
1) funkce
má v bodě lokální extrém 
přebírá hodnoty různých znaků v odpovídajících semi-sousedstvích; 
2) funkce 
nemá v bodě lokální extrém
, je-li vpravo a vlevo od bodu
má stejné znamení. 
Důkaz 
. 1) Předpokládejme, že v semi-sousedství 
.
derivát 
a diferencované na tomto intervalu všude, snad kromě bodu 
a v
2) Předpokládejme, že vlevo a vpravo od bodu 
derivát si zachovává své znaménko, např. 
. Pak dál 
, Pokud 
a diferencované na tomto intervalu všude, snad kromě bodu 
roste přísně monotónně, to znamená:
Tedy extrém v bodě 
a diferencované na tomto intervalu všude, snad kromě bodu 
nemá, což bylo potřeba prokázat.
Poznámka 1
. Pokud derivát 
při průjezdu bodem 
změní znaménko z „+“ na „-“, poté na bod 
a diferencované na tomto intervalu všude, snad kromě bodu 
má lokální maximum, a pokud se znaménko změní z „-“ na „+“, pak má lokální minimum.
Poznámka 2
. Důležitou podmínkou je kontinuita funkce 
na místě 
. Pokud tato podmínka není splněna, pak Věta 1 nemusí platit.
lokální extrém. Pak je splněna jedna z podmínek: . Uvažuje se funkce (obr. 1):
Tato funkce je definována na 
a je spojitý všude kromě bodu 
, kde má odnímatelnou mezeru. Při průjezdu bodem 
změní znaménko z „-“ na „+“, ale funkce v tomto bodě nemá lokální minimum, ale má podle definice lokální maximum. Opravdu, blízko bodu 
je možné sestavit okolí tak, že pro všechny argumenty z tohoto okolí budou hodnoty funkce menší než hodnota 
. Věta 1 nefungovala, protože v bodě 
funkce měla mezeru.
Poznámka 3
. První postačující podmínka pro lokální extrém nelze použít při derivaci funkce 
změní své znaménko v každém levém a každém pravém polosousedství bodu 
.
lokální extrém. Pak je splněna jedna z podmínek: . Uvažovaná funkce je:
Od 
, To 
, a proto 
, Ale 
. Tedy:
,
těch. na místě 
a diferencované na tomto intervalu všude, snad kromě bodu 
má podle definice lokální minimum. Pojďme se podívat, zda zde funguje první dostatečná podmínka pro lokální extrém.
Pro 
:
Pro první člen na pravé straně výsledného vzorce máme:
,
a tedy v malém sousedství bodu 
znaménko derivace je určeno znaménkem druhého členu, tedy:
,
což znamená, že v libovolném okolí bodu 
bude mít kladné i záporné hodnoty. Opravdu, zvažte libovolné okolí bodu 
:
. Když
,
Že 
(obr. 2) a 
mění zde své znamení nekonečně mnohokrát. V uvedeném příkladu tedy nelze použít první postačující podmínku pro lokální extrém.
Definice:
Extrémní volání maximální nebo minimální hodnoty funkce na dané množině.
Extrémní bod je bod, ve kterém je dosaženo maximální nebo minimální hodnoty funkce.
Maximální bod je bod, ve kterém je dosaženo maximální hodnoty funkce.
Minimální bod je bod, ve kterém je dosaženo minimální hodnoty funkce.
Vysvětlení.
Na obrázku v okolí bodu x = 3 funkce dosahuje své maximální hodnoty (tj. v okolí tohoto konkrétního bodu není žádný bod výš). V okolí x = 8 má opět maximální hodnotu (upřesněme si znovu: právě v tomto okolí není bod výš). V těchto bodech nárůst ustupuje poklesu. Jsou to maximální body:
x max = 3, x max = 8.
V okolí bodu x = 5 je dosaženo minimální hodnoty funkce (tedy v okolí x = 5 není žádný bod níže). V tomto okamžiku pokles ustupuje nárůstu. Je to minimální bod:
Maximální a minimální počet bodů je extrémní body funkce a hodnoty funkce v těchto bodech jsou její extrémy.
Kritické a stacionární body funkce:
Nutná podmínka pro extrém:
Dostatečná podmínka pro extrém:
Na segmentu funkce y = F(x) může dosáhnout nejmenší nebo největší hodnoty buď v kritických bodech nebo na koncích segmentu .
Algoritmus pro studium spojité funkcey = F(x) pro monotónnost a extrémy:
Proces zkoumání funkce na přítomnost stacionárních bodů a také jejich nalezení je jedním z důležitých prvků při konstrukci grafu funkce. Stacionární body funkce můžete najít, pokud máte určitou sadu matematických znalostí.
budete potřebovat
- - funkce, kterou je třeba vyšetřit na přítomnost stacionárních bodů;
- - definice stacionárních bodů: stacionární body funkce jsou body (hodnoty argumentů), ve kterých derivace funkce prvního řádu zaniká.
Instrukce
- Pomocí tabulky derivací a vzorců pro derivování funkcí je nutné najít derivaci funkce. Tento krok je během úkolu nejobtížnější a nejzodpovědnější. Pokud v této fázi uděláte chybu, další výpočty nebudou mít smysl.
- Zkontrolujte, zda derivace funkce závisí na jejím argumentu. Pokud nalezená derivace nezávisí na argumentu, to znamená, že je to číslo (například f"(x) = 5), pak v tomto případě funkce nemá stacionární body. Takové řešení je možné, pouze pokud studovaná funkce je lineární funkcí prvního řádu (například f(x) = 5x+1), pokud derivace funkce závisí na argumentu, pokračujte k poslednímu kroku.
- Sestavte rovnici f"(x) = 0 a vyřešte ji. Rovnice nemusí mít žádná řešení - v tomto případě funkce nemá stacionární body. Pokud rovnice má řešení, pak tyto konkrétní hodnoty argumentu budou stacionární body funkce V tomto bodě by mělo být řešení rovnice ověřeno substitucí argumentů.
Kritické body– to jsou body, ve kterých je derivace funkce rovna nule nebo neexistuje. Pokud je derivace rovna 0, pak funkce v tomto bodě trvá místní minimum nebo maximum. Na grafu v takových bodech má funkce vodorovnou asymptotu, to znamená, že tečna je rovnoběžná s osou Ox.
Takové body se nazývají stacionární. Pokud na grafu spojité funkce vidíte „hrb“ nebo „díru“, nezapomeňte, že maxima nebo minima je dosaženo v kritickém bodě. Vezměme si jako příklad následující úkol.
Příklad 1 Najděte kritické body funkce y=2x^3-3x^2+5.
Řešení. Algoritmus pro nalezení kritických bodů je následující:
Funkce má tedy dva kritické body.
Dále, pokud potřebujete studovat funkci, určíme znaménko derivace nalevo a napravo od kritického bodu. Pokud derivace při průchodu kritickým bodem změní znaménko z „-“ na „+“, funkce převezme místní minimum. Pokud od „+“ do „-“ by mělo místní maximum.
Druhý typ kritických bodů to jsou nuly ve jmenovateli zlomkových a iracionálních funkcí
Logaritmické a goniometrické funkce, které v těchto bodech nejsou definovány 
Třetí typ kritických bodů mají po částech spojité funkce a moduly.
Například jakákoli modulová funkce má minimum nebo maximum v bodě přerušení.
Například modul y = | x -5 |
v bodě x = 5 má minimum (kritický bod).
Derivace v něm neexistuje, ale vpravo a vlevo má hodnotu 1 a -1.
1)
2)
3)
4)
5)
Pokuste se určit kritické body funkcí
Pokud je odpověď y, dostanete hodnotu
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1. pak už víte jak najít kritické body
