Snížení logaritmů se stejným základem. Logaritmická pravidla pro práci s logaritmy
Jsou uvedeny základní vlastnosti přirozeného logaritmu, graf, definiční obor, množina hodnot, základní vzorce, derivace, integrál, rozšíření mocninné řady a reprezentace funkce ln x pomocí komplexních čísel.
Definice
Přirozený logaritmus je funkce y = ln x, převrácená hodnota exponenciály, x = e y, a je logaritmus k základu čísla e: ln x = log e x.
Přirozený logaritmus je široce používán v matematice, protože jeho derivace má nejjednodušší formu: (ln x)' = 1/ x.
Na základě definice, základem přirozeného logaritmu je číslo E:
e ≅ 2,718281828459045...;
.
Graf funkce y = ln x.
Graf přirozeného logaritmu (funkce y = ln x) se získá z exponenciálního grafu zrcadlovým odrazem vzhledem k přímce y = x.
Přirozený logaritmus je definován pro kladné hodnoty proměnné x.
Roste monotónně ve své oblasti definice. 0 V x →
limita přirozeného logaritmu je mínus nekonečno (-∞).
Jako x → + ∞ je limita přirozeného logaritmu plus nekonečno (+ ∞). Pro velké x se logaritmus zvyšuje poměrně pomalu. Jakákoli mocninná funkce x a s kladným exponentem a roste rychleji než logaritmus.
Vlastnosti přirozeného logaritmu
Oblast definice, množina hodnot, extrémy, nárůst, pokles
Přirozený logaritmus je monotónně rostoucí funkce, takže nemá žádné extrémy. Hlavní vlastnosti přirozeného logaritmu jsou uvedeny v tabulce.
ln x hodnoty
ln 1 = 0
Základní vzorce pro přirozené logaritmy
Vzorce vyplývající z definice inverzní funkce:
Hlavní vlastnost logaritmů a její důsledky
Vzorec pro náhradu báze
Jakýkoli logaritmus lze vyjádřit přirozenými logaritmy pomocí základního substitučního vzorce:
Důkazy těchto vzorců jsou uvedeny v části "Logaritmus".
Inverzní funkce
Inverzní k přirozenému logaritmu je exponent.
Pokud, pak
Pokud, tak.
Derivát ln x
.
Derivace přirozeného logaritmu:
.
Derivace přirozeného logaritmu modulu x:
.
Derivát n-tého řádu:
Odvozování vzorců >> >
Integrální
.
Integrál se vypočítá integrací po částech:
Výrazy pomocí komplexních čísel
Zvažte funkci komplexní proměnné z:
.
Vyjádřeme komplexní proměnnou z přes modul r a argument φ
:
.
Pomocí vlastností logaritmu máme:
.
Nebo
.
Argument φ není jednoznačně definován. Pokud dáte
, kde n je celé číslo,
bude to stejné číslo pro různé n.
Proto přirozený logaritmus jako funkce komplexní proměnné není jednohodnotovou funkcí.
Rozšíření výkonové řady
Když dojde k rozšíření:
Použitá literatura:
V. Bronstein, K.A. Semendyaev, Příručka matematiky pro inženýry a vysokoškolské studenty, „Lan“, 2009.
Jedním z prvků primitivní algebry úrovní je logaritmus. Název pochází z řečtiny ze slova „číslo“ nebo „moc“ a znamená moc, na kterou musí být číslo v základu zvýšeno, aby bylo nalezeno konečné číslo.
Typy logaritmů
- log a b – logaritmus čísla b k základu a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
- log b – dekadický logaritmus (logaritmus na základ 10, a = 10);
- ln b – přirozený logaritmus (logaritmus k základu e, a = e).
Jak řešit logaritmy?
Logaritmus b na základ a je exponent, který vyžaduje, aby b bylo zvýšeno na základ a. Získaný výsledek se vyslovuje takto: „logaritmus b na základ a“. Řešením logaritmických problémů je, že ze zadaných čísel potřebujete určit danou mocninu v číslech. Existuje několik základních pravidel pro určení nebo řešení logaritmu a také pro převod samotného zápisu. Pomocí nich se řeší logaritmické rovnice, nalézají se derivace, řeší integrály a provádí se mnoho dalších operací. V zásadě je řešením samotného logaritmu jeho zjednodušený zápis. Níže jsou uvedeny základní vzorce a vlastnosti:
Pro jakékoli a; a > 0; a ≠ 1 a pro libovolné x; y > 0.
- a log a b = b – základní logaritmická identita
- log a 1 = 0
- loga a = 1
- log a (x y) = log a x + log a y
- log a x/ y = log a x – log a y
- log a 1/x = -log a x
- log a x p = p log a x
- log a k x = 1/k log a x, pro k ≠ 0
- log a x = log a c x c
- log a x = log b x/ log b a – vzorec pro přesun na nový základ
- log a x = 1/log x a
Jak řešit logaritmy - pokyny k řešení krok za krokem
- Nejprve si zapište požadovanou rovnici.
Poznámka: pokud je základní logaritmus 10, pak se záznam zkrátí, což má za následek dekadický logaritmus. Pokud existuje přirozené číslo e, pak ho zapíšeme a zredukujeme na přirozený logaritmus. To znamená, že výsledkem všech logaritmů je mocnina, na kterou je základní číslo zvýšeno, aby bylo získáno číslo b.
Přímo řešení spočívá ve výpočtu tohoto stupně. Před řešením výrazu s logaritmem je nutné jej zjednodušit podle pravidla, tedy pomocí vzorců. Hlavní identity najdete tak, že se v článku vrátíte trochu zpět.
Při sčítání a odčítání logaritmů se dvěma různými čísly, ale se stejnými základy, nahraďte jedním logaritmem součin nebo dělení čísel b a c. V tomto případě můžete použít vzorec pro přesun na jinou základnu (viz výše).
Pokud používáte výrazy pro zjednodušení logaritmu, je třeba vzít v úvahu určitá omezení. A to je: základ logaritmu a je pouze kladné číslo, ale ne rovno jedné. Číslo b, stejně jako a, musí být větší než nula.
Existují případy, kdy zjednodušením výrazu nebudete schopni vypočítat logaritmus numericky. Stává se, že takový výraz nedává smysl, protože mnoho mocnin jsou iracionální čísla. Za této podmínky ponechte mocninu čísla jako logaritmus.
\(a^(b)=c\) \(\Šipka doleva\) \(\log_(a)(c)=b\)
Pojďme si to vysvětlit jednodušeji. Například \(\log_(2)(8)\) se rovná mocnině, na kterou musí být umocněno \(2\), aby bylo dosaženo \(8\). Z toho je zřejmé, že \(\log_(2)(8)=3\).
Příklady: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
protože \(5^(2)=25\) |
||
\(\log_(3)(81)=4\) |
protože \(3^(4)=81\) |
|||
\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
protože \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
Argument a základ logaritmu
Každý logaritmus má následující „anatomii“:
Argument logaritmu se obvykle zapisuje na jeho úrovni a základna se zapisuje v dolním indexu blíže znaménku logaritmu. A tento záznam zní takto: „logaritmus z dvaceti pěti na základ pět“.
Jak vypočítat logaritmus?
Chcete-li vypočítat logaritmus, musíte odpovědět na otázku: na jakou mocninu by se měla základna zvýšit, abyste získali argument?
Například, vypočítejte logaritmus: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
a) Na jakou mocninu se musí zvýšit \(4\), aby dostal \(16\)? Pochopitelně ten druhý. Proto:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
c) Na jakou mocninu musí být \(\sqrt(5)\) zvýšeno, aby bylo dosaženo \(1\)? Jaká síla dělá nějakou jedničku? Nula, samozřejmě!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
d) Na jakou mocninu musí být \(\sqrt(7)\) zvýšeno, aby bylo dosaženo \(\sqrt(7)\)? Za prvé, jakékoli číslo s první mocninou se rovná samo sobě.
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
e) Na jakou mocninu je třeba zvýšit \(3\), aby se získal \(\sqrt(3)\)? Z toho víme, že se jedná o zlomkovou mocninu, což znamená, že druhá odmocnina je mocninou \(\frac(1)(2)\) .
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
Příklad : Vypočítat logaritmus \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
Řešení :
\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
Musíme najít hodnotu logaritmu, označme ji jako x. Nyní použijeme definici logaritmu: |
|
\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
Co spojuje \(4\sqrt(2)\) a \(8\)? Dvě, protože obě čísla mohou být reprezentována dvojkami: |
|
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
Vlevo používáme vlastnosti stupně: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) a \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\) |
|
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
Základy se rovnají, přecházíme k rovnosti ukazatelů |
|
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
|
Vynásobte obě strany rovnice \(\frac(2)(5)\) |
|
Výsledná odmocnina je hodnota logaritmu |
Odpověď : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
Proč byl logaritmus vynalezen?
Abychom to pochopili, vyřešme rovnici: \(3^(x)=9\). Stačí přiřadit \(x\), aby rovnice fungovala. Samozřejmě, \(x=2\).
Nyní vyřešte rovnici: \(3^(x)=8\).Čemu se x rovná? To je podstata.
Ti nejchytřejší řeknou: "X je o něco méně než dva." Jak přesně napsat toto číslo? K zodpovězení této otázky byl vynalezen logaritmus. Díky němu zde může být odpověď zapsána jako \(x=\log_(3)(8)\).
Chci zdůraznit, že \(\log_(3)(8)\), jako každý logaritmus je jen číslo. Ano, vypadá to nezvykle, ale je to krátké. Protože pokud bychom to chtěli zapsat jako desetinné, vypadalo by to takto: \(1.892789260714.....\)
Příklad : Vyřešte rovnici \(4^(5x-4)=10\)
Řešení :
\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) a \(10\) nelze přenést na stejnou základnu. To znamená, že se bez logaritmu neobejdete. Použijme definici logaritmu: |
|
\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
Otočme rovnici tak, aby X bylo vlevo |
|
\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
Před námi. Přesuneme \(4\) doprava. A nebojte se logaritmu, zacházejte s ním jako s obyčejným číslem. |
|
\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
Vydělte rovnici 5 |
|
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
|
Toto je náš kořen. Ano, vypadá to nezvykle, ale nevybírají si odpověď. |
Odpověď : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
Desetinné a přirozené logaritmy
Jak je uvedeno v definici logaritmu, jeho základem může být jakékoli kladné číslo kromě jedné \((a>0, a\neq1)\). A mezi všemi možnými bázemi jsou dva, které se vyskytují tak často, že pro logaritmy s nimi byl vynalezen speciální krátký zápis:
Přirozený logaritmus: logaritmus, jehož základem je Eulerovo číslo \(e\) (rovné přibližně \(2,7182818…\)) a logaritmus je zapsán jako \(\ln(a)\).
to znamená, \(\ln(a)\) je totéž jako \(\log_(e)(a)\)
Desetinný logaritmus: Logaritmus, jehož základ je 10, se zapisuje \(\lg(a)\).
to znamená, \(\lg(a)\) je totéž jako \(\log_(10)(a)\), kde \(a\) je nějaké číslo.
Základní logaritmická identita
Logaritmy mají mnoho vlastností. Jedna z nich se nazývá „Základní logaritmická identita“ a vypadá takto:
\(a^(\log_(a)(c))=c\) |
Tato vlastnost vyplývá přímo z definice. Podívejme se, jak přesně tento vzorec vznikl.
Připomeňme si krátký zápis definice logaritmu:
jestliže \(a^(b)=c\), pak \(\log_(a)(c)=b\)
To znamená, že \(b\) je totéž jako \(\log_(a)(c)\). Potom můžeme do vzorce \(a^(b)=c\) místo \(b\) napsat \(\log_(a)(c)\). Ukázalo se, že \(a^(\log_(a)(c))=c\) - hlavní logaritmická identita.
Můžete najít další vlastnosti logaritmů. S jejich pomocí můžete zjednodušit a vypočítat hodnoty výrazů s logaritmy, které je obtížné vypočítat přímo.
Příklad : Najděte hodnotu výrazu \(36^(\log_(6)(5))\)
Řešení :
Odpověď : \(25\)
Jak zapsat číslo jako logaritmus?
Jak bylo uvedeno výše, každý logaritmus je pouze číslo. Platí to i naopak: libovolné číslo lze zapsat jako logaritmus. Například víme, že \(\log_(2)(4)\) se rovná dvěma. Potom můžete místo dvou napsat \(\log_(2)(4)\).
Ale \(\log_(3)(9)\) se také rovná \(2\), což znamená, že můžeme také psát \(2=\log_(3)(9)\) . Podobně s \(\log_(5)(25)\) as \(\log_(9)(81)\) atd. To znamená, že se ukazuje
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)
Pokud tedy potřebujeme, můžeme napsat dvojku jako logaritmus s libovolným základem kdekoli (ať už v rovnici, ve výrazu nebo v nerovnosti) - jednoduše zapíšeme základ na druhou jako argument.
S trojkou je to stejné – lze ji zapsat jako \(\log_(2)(8)\), nebo jako \(\log_(3)(27)\), nebo jako \(\log_(4)( 64) \)... Zde zapíšeme základ v krychli jako argument:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)
A se čtyřmi:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)
A s mínus jedna:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1) (7)\) \(...\)
A s jednou třetinou:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
Jakékoli číslo \(a\) může být reprezentováno jako logaritmus se základem \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)
Příklad : Najděte význam výrazu \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
Řešení :
Odpověď : \(1\)
Logaritmus čísla N na základě A nazývaný exponent X , ke kterému je potřeba postavit A získat číslo N
Pokud
,
,
Z definice logaritmu to vyplývá
, tj.
- tato rovnost je základní logaritmickou identitou.
Logaritmy do základu 10 se nazývají dekadické logaritmy. Místo
napsat
.
Logaritmy k základně E
se nazývají přírodní a jsou určeny
.
Základní vlastnosti logaritmů.
Logaritmus jedné se rovná nule pro jakýkoli základ.
Logaritmus součinu se rovná součtu logaritmů faktorů.
3) Logaritmus podílu se rovná rozdílu logaritmů
Faktor
se nazývá modul přechodu z logaritmu na základ A
na logaritmy na základně b
.
Pomocí vlastností 2-5 je často možné redukovat logaritmus komplexního výrazu na výsledek jednoduchých aritmetických operací na logaritmech.
Například,
Takové transformace logaritmu se nazývají logaritmy. Transformace inverzní k logaritmům se nazývají potenciace.
Kapitola 2. Základy vyšší matematiky.
1. Limity
Limit funkce
je konečné číslo A, jestliže, as xx
0
pro každou předem určenou
, existuje takové číslo
že jakmile
, To
.
Funkce, která má limitu, se od ní liší o nekonečně malé množství:
, kde- b.m.v., tzn.
.
Příklad. Zvažte funkci
.
Při snaze
, funkce y
má tendenci k nule:
1.1. Základní věty o limitách.
Limit konstantní hodnoty se rovná této konstantní hodnotě
.
Limita součtu (rozdílu) konečného počtu funkcí je rovna součtu (rozdílu) limit těchto funkcí.
Limita součinu konečného počtu funkcí je rovna součinu limit těchto funkcí.
Limita podílu dvou funkcí je rovna podílu limit těchto funkcí, pokud limita jmenovatele není nulová.
Úžasné limity
,
, Kde
1.2. Příklady výpočtu limitu
Ne všechny limity se však spočítají tak snadno. Častěji se při výpočtu limitu odhaluje nejistota typu: nebo .
.
2. Derivace funkce
Pojďme mít funkci
, kontinuální na segmentu
.
Argument dostal nějaký nárůst
. Poté funkce obdrží přírůstek
.
Hodnota argumentu odpovídá hodnotě funkce
.
Hodnota argumentu
odpovídá hodnotě funkce.
Proto, .
Najdeme limit tohoto poměru na
. Pokud tato limita existuje, pak se nazývá derivace dané funkce.
Definice 3 Derivace dané funkce
argumentem se nazývá limita poměru přírůstku funkce k přírůstku argumentu, kdy přírůstek argumentu libovolně tíhne k nule.
Derivace funkce
lze označit takto:
; ; ; .
Definice 4Zavolá se operace nalezení derivace funkce diferenciace.
2.1. Mechanický význam derivace.
Uvažujme přímočarý pohyb nějakého tuhého tělesa nebo hmotného bodu.
Nechte v určitém okamžiku pohyblivý bod
byl na dálku z výchozí pozice
.
Po nějaké době
posunula se o kus dál
. Postoj =- průměrná rychlost hmotného bodu
. Najdeme hranici tohoto poměru, vezmeme-li v úvahu to
.
V důsledku toho je určování okamžité rychlosti pohybu hmotného bodu redukováno na nalezení derivace dráhy s ohledem na čas.
2.2. Geometrická hodnota derivace
Mějme graficky definovanou funkci
.
Rýže. 1. Geometrický význam derivace
Li
, pak bod
, se bude pohybovat po křivce a přibližovat se k bodu
.
Proto
, tj. hodnota derivace pro danou hodnotu argumentu číselně se rovná tečně úhlu, který svírá tečna v daném bodě s kladným směrem osy
.
2.3. Tabulka základních diferenciačních vzorců.
Funkce napájení
Exponenciální funkce
Logaritmická funkce
Goniometrická funkce
Inverzní goniometrické funkce
2.4. Pravidla diferenciace.
Derivát z
Derivace součtu (rozdílu) funkcí
Derivace součinu dvou funkcí
Derivace podílu dvou funkcí
2.5. Derivace komplexní funkce.
Nechť je funkce dána
tak, aby mohl být reprezentován ve formě
A
, kde je proměnná je tedy střední argument
Derivace komplexní funkce je rovna součinu derivace dané funkce vzhledem k meziargumentu a derivace středního argumentu vzhledem k x.
Příklad 1
Příklad 2
3. Diferenciální funkce.
Nech to být
, diferencovatelné na určitém intervalu
a nechat na
tato funkce má derivaci
,
pak můžeme psát
(1),
Kde - nekonečně malé množství,
od kdy
Vynásobení všech členů rovnosti (1) číslem
máme:
Kde
- b.m.v. vyššího řádu.
Velikost
se nazývá diferenciál funkce
a je určeno
.
3.1. Geometrická hodnota diferenciálu.
Nechť je funkce dána
.
Obr.2. Geometrický význam diferenciálu.
.
Je zřejmé, že diferenciál funkce
se rovná přírůstku pořadnice tečny v daném bodě.
3.2. Deriváty a diferenciály různých řádů.
Pokud existuje
, Pak
se nazývá první derivace.
Derivace první derivace se nazývá derivace druhého řádu a zapisuje se
.
Derivace n-tého řádu funkce
se nazývá derivace (n-1) řádu a zapisuje se:
.
Diferenciál diferenciálu funkce se nazývá diferenciál druhého řádu nebo diferenciál druhého řádu.
.
.
3.3 Řešení biologických problémů pomocí diferenciace.
Úkol 1. Studie ukázaly, že růst kolonie mikroorganismů se řídí zákonem
, Kde N
– počet mikroorganismů (v tisících), t
– čas (dny).
b) Bude se populace kolonie během tohoto období zvyšovat nebo snižovat?
Odpověď. Velikost kolonie se zvětší.
Úkol 2. Voda v jezeře je pravidelně testována za účelem sledování obsahu patogenních bakterií. Přes t dní po testování je koncentrace bakterií určena poměrem
.
Kdy bude mít jezero minimální koncentraci bakterií a bude se v něm možné koupat?
Řešení: Funkce dosáhne maxima nebo minima, když je její derivace nulová.
,
Pojďme určit, že maximum nebo minimum bude za 6 dní. K tomu si vezměme druhou derivaci.
Odpověď: Po 6 dnech bude minimální koncentrace bakterií.
Dnes budeme mluvit o logaritmické vzorce a uvedeme orientační příklady řešení.
Samy implikují vzory řešení podle základních vlastností logaritmů. Než použijete logaritmické vzorce k řešení, připomeňme vám všechny vlastnosti:
Nyní si na základě těchto vzorců (vlastností) ukážeme příklady řešení logaritmů.
Příklady řešení logaritmů na základě vzorců.
Logaritmus kladné číslo b na základ a (označené log a b) je exponent, na který musí být a zvýšeno, abychom získali b, přičemž b > 0, a > 0 a 1.
Podle definice log a b = x, což je ekvivalent a x = b, tedy log a a x = x.
Logaritmy, příklady:
log 2 8 = 3, protože 2 3 = 8
log 7 49 = 2, protože 72 = 49
log 5 1/5 = -1, protože 5-1 = 1/5
Desetinný logaritmus- jedná se o běžný logaritmus, jehož základna je 10. Označuje se jako lg.
log 10 100 = 2, protože 102 = 100
Přirozený logaritmus- také obyčejný logaritmus, logaritmus, ale se základem e (e = 2,71828... - iracionální číslo). Označeno jako ln.
Vzorce nebo vlastnosti logaritmů je vhodné si zapamatovat, protože je budeme potřebovat později při řešení logaritmů, logaritmických rovnic a nerovnic. Pojďme znovu projít každý vzorec s příklady.
- Základní logaritmická identita
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Logaritmus součinu se rovná součtu logaritmů
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
- Logaritmus podílu se rovná rozdílu logaritmů
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Vlastnosti mocniny logaritmického čísla a základu logaritmu
Exponent logaritmického čísla log a b m = mlog a b
Exponent základu logaritmu log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
pokud m = n, dostaneme log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Přechod na nový základ
log a b = log c b/log c a,pokud c = b, dostaneme log b b = 1
pak log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Jak vidíte, vzorce pro logaritmy nejsou tak složité, jak se zdají. Nyní, když jsme se podívali na příklady řešení logaritmů, můžeme přejít k logaritmickým rovnicím. Na příklady řešení logaritmických rovnic se podíváme podrobněji v článku: "". Nenechte si to ujít!
Pokud máte stále dotazy k řešení, napište je do komentářů k článku.
Poznámka: rozhodli jsme se získat jinou třídu vzdělání a studium v zahraničí jako možnost.