Faktorizace mocenských rozdílů. Jak faktorizovat algebraickou rovnici
Rozložení polynomu. Část 2
V tomto článku budeme pokračovat v rozhovoru o tom, jak faktor polynom. Už jsme to řekli faktorizace je univerzální technika, která pomáhá řešit složité rovnice a nerovnice. První myšlenka, která by vás měla napadnout při řešení rovnic a nerovnic, ve kterých je na pravé straně nula, je pokusit se vynásobit levou stranu.
Uveďme si to hlavní způsoby rozkladu polynomu:
- uvedení společného faktoru ze závorek
- pomocí zkrácených vzorců pro násobení
- pomocí vzorce pro rozklad kvadratického trinomu
- seskupovací metoda
- dělení polynomu binomem
- metoda neurčených koeficientů.
Už jsme se na to podrobně podívali. V tomto článku se zaměříme na čtvrtou metodu, seskupovací metoda.
Pokud počet členů v polynomu přesáhne tři, pak se pokusíme aplikovat seskupovací metoda. Je to takto:
1.Seskupujeme termíny určitým způsobem, aby bylo možné každou skupinu nějakým způsobem faktorizovat. Kritériem správného seskupení termínů je přítomnost identických faktorů v každé skupině.
2. Stejné faktory vyjmeme ze závorek.
Protože se tato metoda používá nejčastěji, rozebereme ji na příkladech.
Příklad 1
Řešení. 1. Spojme pojmy do skupin:
2. Vyberme společný faktor z každé skupiny:
3. Vyberme faktor společný pro obě skupiny:
Příklad 2 Zvažte výraz:
1. Seskupme poslední tři termíny a rozložme je pomocí vzorce na druhou:
2. Rozložme výsledný výraz na faktor pomocí vzorce rozdílu čtverců:
Příklad 3Řešte rovnici:
Na levé straně rovnice jsou čtyři členy. Zkusme faktorizovat levou stranu pomocí seskupení.
1. Aby byla struktura levé strany rovnice přehlednější, zavedeme změnu proměnné: ,
Dostaneme takovou rovnici:
2. Rozdělme levou stranu na faktor seskupení:
Pozor! Aby nedošlo k mýlce se znaménky, doporučuji spojovat pojmy do skupin „tak jak jsou“, tedy beze změny znamének koeficientů, a v dalším kroku případně vyřadit „mínus“ z držák.
3. Dostali jsme rovnici:
4. Vraťme se k původní proměnné:
Vydělme obě strany . Dostáváme: . Odtud
Odpověď: 0
Příklad 4.Řešte rovnici:
Aby byla struktura rovnice „transparentnější“, zavádíme změnu proměnné:
Dostaneme rovnici:
Rozložme levou stranu rovnice na faktor. Za tímto účelem seskupíme první a druhý výraz a vyjmeme je z hranatých závorek:
Vyjmeme to ze závorek:
Vraťme se k rovnici:
Odtud, resp.
Vraťme se k původní proměnné:
Obecně tento úkol vyžaduje kreativní přístup, protože neexistuje žádná univerzální metoda pro jeho řešení. Ale zkusme dát pár tipů.
V drtivé většině případů je faktorizace polynomu založena na důsledku Bezoutovy věty, to znamená, že se najde nebo vybere kořen a stupeň polynomu se sníží o jednu dělením . Hledá se kořen výsledného polynomu a proces se opakuje až do úplného rozšíření.
Pokud kořen nelze nalézt, použijí se specifické metody rozšíření: od seskupování až po zavedení dalších vzájemně se vylučujících termínů.
Další prezentace je založena na dovednostech řešení rovnic vyšších stupňů s celočíselnými koeficienty.
Vydělení společného faktoru.
Začněme tím nejjednodušším případem, kdy je volný člen roven nule, tedy polynom má tvar .
Je zřejmé, že kořen takového polynomu je , to znamená, že polynom můžeme reprezentovat ve tvaru .
Tato metoda není nic jiného než uvedení společného faktoru ze závorek.
Příklad.
Faktor polynomu třetího stupně.
Řešení.
Je zřejmé, co je kořenem polynomu, tzn X lze vyjmout ze závorek:
Pojďme najít kořeny kvadratického trinomu
Tedy,
Začátek stránky
Rozložení polynomu s racionálními kořeny.
Nejprve uvažujme metodu pro rozšíření polynomu celočíselnými koeficienty tvaru , koeficient nejvyššího stupně je roven jedné.
V tomto případě, pokud má polynom celočíselné kořeny, pak jsou to dělitelé volného členu.
Příklad.
Řešení.
Zkontrolujeme, zda tam jsou neporušené kořeny. Chcete-li to provést, zapište dělitele čísla -18
: . To znamená, že pokud má polynom celočíselné kořeny, pak jsou mezi zapsanými čísly. Zkontrolujme tato čísla postupně pomocí Hornerova schématu. Jeho výhoda spočívá také v tom, že nakonec získáme expanzní koeficienty polynomu:
to znamená, x=2 A x=-3 jsou kořeny původního polynomu a můžeme jej reprezentovat jako součin:
Zbývá rozšířit kvadratický trinom.
Diskriminant tohoto trinomu je záporný, proto nemá žádné skutečné kořeny.
Odpověď:
Komentář:
Místo Hornerova schématu by se dalo použít výběr kořene a následné dělení polynomu polynomem.
Nyní zvažte expanzi polynomu s celočíselnými koeficienty tvaru , a koeficient nejvyššího stupně není roven jedné.
V tomto případě může mít polynom zlomkově racionální kořeny.
Příklad.
Zohledněte výraz.
Řešení.
Provedením proměnné změny y=2x, přejdeme k polynomu s koeficientem rovným jedné na nejvyšším stupni. Chcete-li to provést, nejprve výraz vynásobte 4 .
Pokud má výsledná funkce celočíselné kořeny, pak patří mezi dělitele volného členu. Pojďme si je zapsat:
Pojďme postupně vypočítat hodnoty funkce g(y) v těchto bodech, dokud není dosaženo nuly.
Faktorování polynomů je transformace identity, v jejímž důsledku se polynom transformuje na součin více faktorů - polynomů nebo monočlenů.
Existuje několik způsobů, jak faktorizovat polynomy.
Metoda 1. Vyjmutí společného činitele ze závorek.
Tato transformace je založena na distributivním zákonu násobení: ac + bc = c(a + b). Podstatou transformace je izolovat společný faktor ve dvou uvažovaných složkách a „vyjmout“ jej ze závorek.
Vynásobme polynom 28x 3 – 35x 4.
Řešení.
1. Najděte společného dělitele pro prvky 28x3 a 35x4. Pro 28 a 35 to bude 7; pro x 3 a x 4 – x 3. Jinými slovy, náš společný faktor je 7x 3.
2. Každý z prvků reprezentujeme jako součin faktorů, z nichž jeden
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.
3. Vyjmeme společný faktor ze závorek
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).
Metoda 2. Použití zkrácených vzorců pro násobení. „Mistrovstvím“ použití této metody je všimnout si jednoho ze zkrácených vzorců pro násobení ve výrazu.
Vynásobme polynom x 6 – 1.
Řešení.
1. Na tento výraz můžeme aplikovat vzorec rozdílu čtverců. K tomu si představte x 6 jako (x 3) 2 a 1 jako 1 2, tzn. 1. Výraz bude mít tvar:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).
2. Na výsledný výraz můžeme aplikovat vzorec pro součet a rozdíl kostek:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Tak,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Metoda 3. Seskupování. Seskupovací metoda spočívá ve spojení složek polynomu tak, aby s nimi bylo snadné provádět operace (sčítání, odčítání, odečítání společného činitele).
Vynásobme polynom x 3 – 3x 2 + 5x – 15.
Řešení.
1. Seskupíme komponenty takto: 1. s 2. a 3. se 4.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).
2. Ve výsledném výrazu vyjmeme ze závorek společné činitele: x 2 v prvním případě a 5 ve druhém.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5 (x – 3).
3. Vyjmeme společný faktor x – 3 ze závorek a dostaneme:
x 2 (x – 3) + 5 (x – 3) = (x – 3) (x 2 + 5).
Tak,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5 (x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).
Zajistíme materiál.
Faktor polynomu a 2 – 7ab + 12b 2.
Řešení.
1. Představme monomiál 7ab jako součet 3ab + 4ab. Výraz bude mít tvar:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.
Otevřeme závorky a dostaneme:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.
2. Seskupme složky polynomu takto: 1. s 2. a 3. se 4.. Dostáváme:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).
3. Vyjmeme ze závorek běžné faktory:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).
4. Vyjmeme společný faktor (a – 3b) ze závorek:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).
Tak,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).
blog.site, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na původní zdroj.
Rozložení polynomu. Část 1
Faktorizace je univerzální technika, která pomáhá řešit složité rovnice a nerovnice. První myšlenka, která by vás měla napadnout při řešení rovnic a nerovnic, ve kterých je na pravé straně nula, je pokusit se vynásobit levou stranu.
Uveďme si to hlavní způsoby rozkladu polynomu:
- uvedení společného faktoru ze závorek
- pomocí zkrácených vzorců pro násobení
- pomocí vzorce pro rozklad kvadratického trinomu
- seskupovací metoda
- dělení polynomu binomem
- metoda nejistých koeficientů
V tomto článku se budeme podrobně zabývat prvními třemi metodami a zbytek zvážíme v následujících článcích.
1. Vyjmutí společného činitele ze závorek.
Chcete-li vyjmout společný faktor ze závorek, musíte jej nejprve najít. Společný multiplikační faktor roven největšímu společnému děliteli všech koeficientů.
Dopisová část společný činitel se rovná součinu výrazů obsažených v každém členu s nejmenším exponentem.
Schéma pro přidání společného násobitele vypadá takto:
Pozor!
Počet termínů v závorkách se rovná počtu termínů v původním výrazu. Pokud se některý z členů shoduje se společným činitelem, pak při jeho dělení společným činitelem dostaneme jedničku.
Příklad 1
Faktor polynomu:
Vyjmeme společný faktor ze závorek. Abychom to mohli udělat, nejprve jej najdeme.
1. Najděte největšího společného dělitele všech koeficientů polynomu, tzn. čísla 20, 35 a 15. Rovná se 5.
2. Zjistíme, že proměnná je obsažena ve všech členech a nejmenší z jejích exponentů je roven 2. Proměnná je obsažena ve všech členech a nejmenší z jejích exponentů je 3.
Proměnná je obsažena pouze ve druhém členu, není tedy součástí společného faktoru.
Takže celkový faktor je
3. Vyjmeme multiplikátor ze závorek pomocí výše uvedeného schématu:
Příklad 2Řešte rovnici:
Řešení. Rozložme levou stranu rovnice na faktor. Vyjmeme faktor ze závorek:
Takže dostaneme rovnici
Srovnejme každý faktor s nulou:
Dostaneme - kořen první rovnice.
Kořeny:
Odpověď: -1, 2, 4
2. Faktorizace pomocí zkrácených násobicích vzorců.
Pokud je počet členů v polynomu, který budeme faktorizovat, menší nebo roven třem, pak se pokusíme použít zkrácené násobící vzorce.
1. Pokud je polynomrozdíl dvou termínů, pak se pokusíme uplatnit vzorec čtvercového rozdílu:
nebo vzorec rozdílu kostek:
Tady jsou písmena a označují číslo nebo algebraický výraz.
2. Je-li polynom součtem dvou členů, pak jej možná lze faktorizovat pomocí vzorce součet kostek:
3. Pokud se polynom skládá ze tří členů, pak se pokusíme aplikovat vzorec čtvercového součtu:
nebo vzorec pro čtvercový rozdíl:
Nebo se pokusíme faktorizovat podle vzorec pro rozklad kvadratického trinomu:
Zde a jsou kořeny kvadratické rovnice
Příklad 3Zvažte výraz:
Řešení. Máme před sebou součet dvou členů. Zkusme použít vzorec pro součet kostek. Chcete-li to provést, musíte nejprve reprezentovat každý výraz jako krychli nějakého výrazu a poté použít vzorec pro součet krychlí:
Příklad 4. Zvažte výraz:
Rozhodnutí. Zde máme rozdíl druhých mocnin dvou výrazů. První výraz: , druhý výraz:
Použijme vzorec pro rozdíl čtverců:
Otevřeme závorky a přidáme podobné výrazy, dostaneme:
Aby bylo možné faktorizovat, je nutné zjednodušit výrazy. To je nezbytné, aby bylo možné jej dále snížit. Expanze polynomu má smysl, když jeho stupeň není nižší než dva. Polynom s prvním stupněm se nazývá lineární.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Článek pokryje všechny pojmy dekompozice, teoretické základy a metody faktorizace polynomu.
Teorie
Věta 1Když libovolný polynom se stupněm n, mající tvar P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, jsou reprezentovány jako součin s konstantním faktorem s nejvyšším stupněm a n a n lineárních faktorů (x - x i), i = 1, 2, ..., n, pak P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , kde x i, i = 1, 2, …, n jsou kořeny polynomu.
Věta je určena pro kořeny komplexního typu x i, i = 1, 2, …, n a pro komplexní koeficienty a k, k = 0, 1, 2, …, n. To je základ každého rozkladu.
Když koeficienty tvaru a k, k = 0, 1, 2, …, n jsou reálná čísla, pak se komplexní kořeny budou vyskytovat v konjugovaných párech. Například kořeny x 1 a x 2 související s polynomem ve tvaru P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 jsou považovány za komplexně sdružené, pak jsou ostatní kořeny reálné, z čehož získáme, že polynom nabývá tvaru P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, kde x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .
Komentář
Kořeny polynomu se mohou opakovat. Uvažujme důkaz algebrické věty, důsledek Bezoutovy věty.
Základní věta algebry
Věta 2Každý polynom se stupněm n má alespoň jeden kořen.
Bezoutova věta
Po dělení polynomu tvaru P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 na (x - s), pak dostaneme zbytek, který se rovná polynomu v bodě s, pak dostaneme
P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , kde Q n - 1 (x) je polynom se stupněm n - 1.
Důsledek Bezoutovy věty
Když kořen polynomu P n (x) považujeme za s, pak P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Qn - 1 (x) . Tento důsledek je dostatečný, když je použit k popisu řešení.
Rozložení kvadratického trinomu
Čtvercový trinom ve tvaru a x 2 + b x + c lze rozložit na lineární faktory. pak dostaneme, že a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , kde x 1 a x 2 jsou kořeny (komplexní nebo reálné).
To ukazuje, že samotná expanze se redukuje na následné řešení kvadratické rovnice.
Příklad 1
Faktor kvadratického trinomu.
Řešení
Je nutné najít kořeny rovnice 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Chcete-li to provést, musíte pomocí vzorce najít hodnotu diskriminantu, pak dostaneme D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. Odtud to máme
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
Z toho dostaneme, že 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
Chcete-li provést kontrolu, musíte otevřít závorky. Pak dostaneme výraz ve tvaru:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
Po kontrole dojdeme k původnímu výrazu. To znamená, že můžeme dojít k závěru, že rozklad byl proveden správně.
Příklad 2
Faktor kvadratický trinom tvaru 3 x 2 - 7 x - 11 .
Řešení
Zjistíme, že je nutné vypočítat výslednou kvadratickou rovnici tvaru 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.
Chcete-li najít kořeny, musíte určit hodnotu diskriminantu. Chápeme to
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6
Z toho dostaneme, že 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.
Příklad 3
Faktor polynomu 2 x 2 + 1.
Řešení
Nyní potřebujeme vyřešit kvadratickou rovnici 2 x 2 + 1 = 0 a najít její kořeny. Chápeme to
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i
Tyto kořeny se nazývají komplexně konjugované, což znamená, že samotná expanze může být popsána jako 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.
Příklad 4
Rozložte kvadratický trinom x 2 + 1 3 x + 1 .
Řešení
Nejprve je třeba vyřešit kvadratickou rovnici tvaru x 2 + 1 3 x + 1 = 0 a najít její kořeny.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i
Po získání kořenů píšeme
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i
Komentář
Pokud je diskriminační hodnota záporná, pak polynomy zůstanou polynomy druhého řádu. Z toho vyplývá, že je nebudeme rozšiřovat na lineární faktory.
Metody faktorizace polynomu stupně vyššího než dva
Při rozkladu se předpokládá univerzální metoda. Většina všech případů je založena na důsledku Bezoutovy věty. K tomu je potřeba vybrat hodnotu odmocniny x 1 a snížit její stupeň dělením polynomem 1 dělením (x - x 1). Výsledný polynom potřebuje najít kořen x 2 a proces hledání je cyklický, dokud nedosáhneme úplného rozšíření.
Pokud se kořen nenajde, použijí se jiné metody faktorizace: seskupení, další termíny. Toto téma zahrnuje řešení rovnic s vyšší mocninou a celočíselnými koeficienty.
Vyjmutí společného faktoru ze závorek
Uvažujme případ, kdy je volný člen roven nule, pak tvar polynomu bude P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1x.
Je vidět, že kořen takového polynomu bude roven x 1 = 0, pak lze polynom znázornit jako výraz P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)
Tato metoda je považována za vyjmutí společného faktoru ze závorek.
Příklad 5
Faktor polynomu třetího stupně 4 x 3 + 8 x 2 - x.
Řešení
Vidíme, že x 1 = 0 je kořenem daného polynomu, pak můžeme odstranit x ze závorek celého výrazu. Dostáváme:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Přejdeme k hledání kořenů čtvercového trinomu 4 x 2 + 8 x - 1. Pojďme najít diskriminant a kořeny:
D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2
Z toho pak plyne
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Pro začátek vezměme v úvahu rozkladovou metodu obsahující celočíselné koeficienty tvaru P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, kde koeficient nejvyššího stupně je 1.
Když má polynom celočíselné kořeny, pak jsou považovány za dělitele volného členu.
Příklad 6
Rozložte výraz f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.
Řešení
Zvažme, zda existují úplné kořeny. Je nutné zapsat dělitele čísla - 18. Dostaneme, že ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Z toho vyplývá, že tento polynom má celočíselné kořeny. Můžete to zkontrolovat pomocí Hornerova schématu. Je to velmi pohodlné a umožňuje vám rychle získat expanzní koeficienty polynomu:
Z toho vyplývá, že x = 2 a x = - 3 jsou kořeny původního polynomu, který lze znázornit jako součin tvaru:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Přistoupíme k rozvoji kvadratického trinomu ve tvaru x 2 + 2 x + 3.
Protože diskriminant je záporný, znamená to, že neexistují žádné skutečné kořeny.
Odpověď: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Komentář
Místo Hornerova schématu je povoleno používat výběr kořenů a dělení polynomu polynomem. Přejděme k uvažování o expanzi polynomu obsahujícího celočíselné koeficienty tvaru P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , z nichž nejvyšší se rovná jedné.
Tento případ nastává pro racionální zlomky.
Příklad 7
Faktorizujte f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Řešení
Je nutné nahradit proměnnou y = 2 x, měli byste přejít k polynomu s koeficienty rovnými 1 na nejvyšším stupni. Musíte začít vynásobením výrazu 4. Chápeme to
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Když má výsledná funkce tvaru g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 celočíselné kořeny, pak je jejich umístění mezi děliteli volného členu. Záznam bude vypadat takto:
±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60
Přejděme k výpočtu funkce g (y) v těchto bodech, abychom ve výsledku dostali nulu. Chápeme to
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
Zjistíme, že y = - 5 je kořenem rovnice ve tvaru y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, což znamená, že x = y 2 = - 5 2 je kořen původní funkce.
Příklad 8
Je nutné dělit sloupcem 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 x + 5 2.
Řešení
Pojďme si to zapsat a získat:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Kontrola dělitelů zabere hodně času, proto je výhodnější výsledný kvadratický trinom tvaru x 2 + 7 x + 3 faktorizovat. Přirovnáním k nule najdeme diskriminant.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Z toho vyplývá
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Umělé techniky faktorizace polynomu
Racionální kořeny nejsou vlastní všem polynomům. Chcete-li to provést, musíte použít speciální metody k nalezení faktorů. Ale ne všechny polynomy mohou být rozšířeny nebo reprezentovány jako součin.
Metoda seskupování
Existují případy, kdy můžete seskupit členy polynomu, abyste našli společný faktor a dali jej mimo závorky.
Příklad 9
Faktor polynomu x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.
Řešení
Protože koeficienty jsou celá čísla, pak kořeny mohou být pravděpodobně také celá čísla. Pro kontrolu vezměte hodnoty 1, - 1, 2 a - 2, abyste mohli vypočítat hodnotu polynomu v těchto bodech. Chápeme to
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
To ukazuje, že neexistují žádné kořeny, je nutné použít jiný způsob expanze a řešení.
Je nutné seskupit:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
Po seskupení původního polynomu jej musíte reprezentovat jako součin dvou čtvercových trinomů. K tomu potřebujeme faktorizovat. dostaneme to
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
Komentář
Jednoduchost seskupování neznamená, že výběr výrazů je dostatečně snadný. Neexistuje žádná konkrétní metoda řešení, proto je nutné používat speciální věty a pravidla.
Příklad 10
Faktor polynomu x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .
Řešení
Daný polynom nemá celočíselné kořeny. Termíny by měly být seskupeny. Chápeme to
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
Po faktorizaci to dostaneme
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2–5 2
Použití zkrácených vzorců pro násobení a Newtonova binomu k faktoru polynomu
Ze vzhledu často není vždy jasné, jakou metodu při rozkladu použít. Po provedení transformací můžete sestavit úsečku skládající se z Pascalova trojúhelníku, jinak se nazývají Newtonův binom.
Příklad 11
Faktor polynomu x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.
Řešení
Je nutné převést výraz do formy
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
Posloupnost koeficientů součtu v závorkách je označena výrazem x + 1 4 .
To znamená, že máme x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.
Po nanesení rozdílu čtverců dostaneme
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Zvažte výraz, který je ve druhé závorce. Je jasné, že tam nejsou žádní rytíři, takže bychom měli znovu použít vzorec rozdílu čtverců. Dostaneme vyjádření formy
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Příklad 12
Faktorizujte x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Řešení
Začněme transformovat výraz. Chápeme to
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Je nutné použít vzorec pro zkrácené násobení rozdílu kostek. Dostáváme:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Metoda pro nahrazení proměnné při faktorizaci polynomu
Při nahrazení proměnné se stupeň sníží a polynom se rozloží.
Příklad 13
Faktor polynomu tvaru x 6 + 5 x 3 + 6 .
Řešení
Podle podmínky je zřejmé, že je nutné provést náhradu y = x 3. Dostáváme:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Kořeny výsledné kvadratické rovnice jsou tedy y = - 2 a y = - 3
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Je nutné použít vzorec pro zkrácené násobení součtu kostek. Dostaneme výrazy ve tvaru:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
To znamená, že jsme získali požadovaný rozklad.
Výše uvedené případy pomohou při zvažování a faktorizaci polynomu různými způsoby.
Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter