Rovnoměrný pohyb těla v kruhu. Prezentace "Pohyb tělesa v kruhu"
Protože lineární rychlost rovnoměrně mění směr, kruhový pohyb nelze nazvat rovnoměrným, je rovnoměrně zrychlený.
Úhlová rychlost
Vyberme si bod na kružnici 1 . Postavíme rádius. Za jednotku času se bod přesune do bodu 2 . V tomto případě poloměr popisuje úhel. Úhlová rychlost je číselně rovna úhlu natočení poloměru za jednotku času.
Období a frekvence
Doba střídání T- to je doba, za kterou tělo udělá jednu otáčku.
Frekvence otáčení je počet otáček za sekundu.
Frekvence a období jsou vzájemně propojeny vztahem
Vztah s úhlovou rychlostí
Lineární rychlost
Každý bod na kružnici se pohybuje určitou rychlostí. Tato rychlost se nazývá lineární. Směr vektoru lineární rychlosti se vždy shoduje s tečnou ke kružnici. Například jiskry zpod brusky se pohybují a opakují směr okamžité rychlosti.
Uvažujme bod na kružnici, který udělá jednu otáčku, čas strávený je období T. Dráha, kterou bod prochází, je obvod.
Centripetální zrychlení
Při pohybu po kružnici je vektor zrychlení vždy kolmý k vektoru rychlosti a směřuje ke středu kružnice.
Pomocí předchozích vzorců můžeme odvodit následující vztahy
Body ležící na stejné přímce vycházející ze středu kružnice (například by to mohly být body, které leží na paprscích kola) budou mít stejné úhlové rychlosti, periodu a frekvenci. To znamená, že se budou otáčet stejným způsobem, ale s různými lineárními rychlostmi. Čím dále je bod od středu, tím rychleji se bude pohybovat.
Zákon sčítání rychlostí platí i pro rotační pohyb. Pokud pohyb tělesa nebo vztažné soustavy není rovnoměrný, pak zákon platí pro okamžité rychlosti. Například rychlost osoby jdoucí po okraji rotujícího kolotoče je rovna vektorovému součtu lineární rychlosti rotace okraje karuselu a rychlosti osoby.
Země se účastní dvou hlavních rotačních pohybů: denního (kolem své osy) a orbitálního (kolem Slunce). Doba rotace Země kolem Slunce je 1 rok nebo 365 dní. Země se otáčí kolem své osy ze západu na východ, doba této rotace je 1 den nebo 24 hodin. Zeměpisná šířka je úhel mezi rovinou rovníku a směrem od středu Země k bodu na jejím povrchu.
Podle druhého Newtonova zákona je příčinou jakéhokoli zrychlení síla. Pokud pohybující se těleso zažívá dostředivé zrychlení, pak povaha sil, které toto zrychlení způsobují, může být odlišná. Pokud se například těleso pohybuje po kruhu na laně k němu přivázaném, pak působící silou je síla pružná.
Pokud se těleso ležící na disku otáčí s diskem kolem své osy, pak taková síla je síla třecí. Pokud síla přestane působit, těleso se bude dále pohybovat přímočaře
Uvažujme pohyb bodu po kružnici z A do B. Lineární rychlost je rovna v A A vB respektive. Zrychlení je změna rychlosti za jednotku času. Pojďme najít rozdíl mezi vektory.
Rovnoměrný pohyb po kruhu- toto je nejjednodušší příklad. Například konec ručičky hodin se pohybuje v kruhu kolem číselníku. Rychlost tělesa pohybujícího se po kružnici se nazývá lineární rychlost.
Při rovnoměrném pohybu tělesa po kružnici se modul rychlosti tělesa v čase nemění, tedy v = konst, a mění se pouze směr vektoru rychlosti v tomto případě nedochází ke změně (a r = 0) a změnu vektoru rychlosti ve směru charakterizuje veličina tzv dostředivé zrychlení() a n nebo CS. V každém bodě je vektor dostředivého zrychlení nasměrován ke středu kruhu podél poloměru.
Modul dostředivého zrychlení je roven
a CS =v2/R
Kde v je lineární rychlost, R je poloměr kružnice
Rýže. 1.22. Pohyb tělesa v kruhu.
Při popisu pohybu tělesa po kruhu používáme úhel natočení poloměru– úhel φ, o který se za čas t otočí poloměr nakreslený ze středu kružnice do bodu, ve kterém se v daném okamžiku nachází pohybující se těleso. Úhel natočení se měří v radiánech.
rovna úhlu mezi dvěma poloměry kružnice, přičemž délka oblouku mezi nimiž se rovná poloměru kružnice (obr. 1.23). To znamená, že pokud l = R, pak
1 radián = l / R Protože obvod
rovná se
l = 2πR
360 o = 2πR / R = 2π rad.
Proto
1 rad. = 57,2958 o = 57 o 18' rovnoměrný pohyb tělesa po kružnici je hodnota ω, která se rovná poměru úhlu natočení poloměru φ k časovému úseku, během kterého k tomuto otočení dochází:
ω = φ / t
Jednotkou měření úhlové rychlosti je radián za sekundu [rad/s]. Modul lineární rychlosti je určen poměrem délky ujeté dráhy l k časovému intervalu t:
v=l/t
Lineární rychlost při rovnoměrném pohybu po kružnici směřuje podél tečny v daném bodě kružnice. Když se bod pohybuje, délka l oblouku kružnice, kterou bod přejde, souvisí s úhlem natočení φ výrazem
l = Rφ
kde R je poloměr kružnice.
Pak v případě rovnoměrného pohybu bodu jsou lineární a úhlové rychlosti ve vztahu:
v = l/t = Rφ/t = Rω nebo v = Rω
Rýže. 1.23. Radian.
Doba oběhu– to je časový úsek T, za který těleso (bod) udělá jednu otáčku po kružnici. Frekvence– to je převrácená hodnota periody otáček – počet otáček za jednotku času (za sekundu). Frekvence oběhu je označena písmenem n.
n = 1/T
Za jednu periodu je úhel natočení φ bodu roven 2π rad, tedy 2π = ωT, odkud
T = 2π/ω
To znamená, že úhlová rychlost je rovna
ω = 2π / T = 2πn
Centripetální zrychlení lze vyjádřit periodou T a cirkulační frekvencí n:
a CS = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2
1. Poměrně často lze pozorovat pohyb tělesa, jehož trajektorií je kruh. Například bod na ráfku kola se při otáčení pohybuje po kružnici, body na rotujících částech obráběcích strojů, konec ručičky hodin, dítě sedící na nějaké postavě rotujícího kolotoče.
Při pohybu v kruhu se může měnit nejen směr rychlosti těla, ale také jeho modul. Je možný pohyb, při kterém se mění pouze směr rychlosti a jeho velikost zůstává konstantní. Tento pohyb se nazývá rovnoměrný pohyb těla v kruhu. Pojďme si představit charakteristiku tohoto hnutí.
2. Kruhový pohyb tělesa se opakuje v určitých intervalech, které se rovnají periodě otáčení.
Období otáčení je doba, během níž těleso dokončí jednu úplnou otáčku.
Období oběhu je označeno písmenem T. Za jednotku doby oběhu v SI se považuje druhý (1 s).
Pokud během doby t tělo spáchalo N plné otáčky, pak se doba revoluce rovná:
T = .
Frekvence otáčení je počet úplných otočení tělesa za jednu sekundu.
Frekvence oběhu je označena písmenem n.
n = .
Za jednotku cirkulační frekvence v SI se považuje druhá k mínus první mocnině (1 s – 1).
Frekvence a doba otáčení souvisí následovně:
n = . |
3. Uvažujme veličinu charakterizující polohu tělesa na kružnici. Nechť v počátečním okamžiku je tělo v bodě A a včas t posunulo se to do bodu B(obr. 38).
Nakreslíme vektor poloměru od středu kružnice k bodu A a vektor poloměru od středu kružnice k bodu B. Když se těleso pohybuje po kružnici, bude se vektor poloměru otáčet v čase t pod úhlem j. Znáte-li úhel natočení vektoru poloměru, můžete určit polohu těla na kružnici.
Jednotka úhlu natočení vektoru poloměru v SI - radián (1 rad).
Při stejném úhlu natočení vektoru poloměru bodu A A B, umístěný v různých vzdálenostech od svého středu rovnoměrně rotujícího disku (obr. 39), se bude pohybovat různými cestami.
4. Když se těleso pohybuje po kruhu, nazývá se okamžitá rychlost lineární rychlost.
Lineární rychlost tělesa pohybujícího se rovnoměrně po kružnici, přičemž velikost zůstává konstantní, mění směr a v libovolném bodě směřuje tečně k trajektorii.
Modul lineární rychlosti lze určit podle vzorce:
proti = .
Nechte těleso pohybující se v kruhu o poloměru R, udělal jednu plnou otáčku, Pak se dráha, kterou urazí, rovná obvodu: l= 2p R a čas se rovná revolučnímu období T. Proto lineární rychlost těla:
proti = . |
Od T= , pak můžeme psát
proti= 2p Rn.
Rychlost otáčení tělesa je charakterizována úhlová rychlost.
Úhlová rychlost je fyzikální veličina rovna poměru úhlu natočení vektoru poloměru k časovému úseku, během kterého k tomuto otočení došlo.
Úhlová rychlost je označena w.
w = . |
Jednotkou SI úhlové rychlosti je radiány za sekundu (1 rad/s):
[w] == 1 rad/s.
Po dobu rovnající se době oběhu T, těleso provede celou otáčku a úhel natočení vektoru poloměru j = 2p. Proto je úhlová rychlost tělesa:
w = nebo w = 2p n.
Lineární a úhlové rychlosti spolu souvisí. Zapišme si poměr lineární rychlosti k úhlové rychlosti:
== R.
Tedy,
proti=w R. |
Při stejné úhlové rychlosti bodů A A B, umístěný na rovnoměrně se otáčejícím disku (viz obr. 39), lineární rychlost bodu A větší než lineární rychlost bodu B: v A > vB.
5. Když se těleso pohybuje rovnoměrně po kružnici, velikost jeho lineární rychlosti zůstává konstantní, ale směr rychlosti se mění. Protože rychlost je vektorová veličina, změna směru rychlosti znamená, že se těleso pohybuje po kružnici se zrychlením.
Pojďme zjistit, jak je toto zrychlení směrováno a čemu se rovná.
Připomeňme, že zrychlení tělesa je určeno vzorcem:
A == ,
kde D proti- vektor změny rychlosti těla.
Směr vektoru zrychlení A se shoduje se směrem vektoru D proti.
Nechte těleso pohybující se v kruhu s poloměrem R, na krátkou dobu t přesunuto z bodu A k věci B(obr. 40). Chcete-li zjistit změnu rychlosti těla D proti, k věci A přesunout vektor rovnoběžně k sobě proti a odečíst od toho proti 0, což je ekvivalentní přidání vektoru proti s vektorem - proti 0 Vektor režírovaný z proti 0 k proti a existuje vektor D proti.
Zvažte trojúhelníky AOB A ACD. Oba jsou rovnoramenní ( A.O. = O.B. A A.C. = INZERÁT. protože proti 0 = proti) a mají stejné úhly: _ AOB = _CAD(jako úhly se vzájemně kolmými stranami: A.O. B proti 0 , O.B. B proti). Proto jsou tyto trojúhelníky podobné a můžeme zapsat poměr odpovídajících stran: = .
Od bodů A A B umístěné blízko sebe, pak tětiva AB je malý a lze jej nahradit obloukem. Délka oblouku je dráha, kterou urazí těleso v čase t konstantní rychlostí proti: AB = vt.
Kromě, A.O. = R, DC=D proti, INZERÁT = proti. Proto,
= ;= ;= A.
Odkud pochází zrychlení těla?
A = . |
Z obrázku 40 je zřejmé, že čím menší je tětiva AB, tím přesnější je směr vektoru D proti se shoduje s poloměrem kružnice. Proto vektor změny rychlosti D proti a vektor zrychlení A směřující radiálně ke středu kruhu. Proto se nazývá zrychlení při rovnoměrném pohybu tělesa po kružnici dostředivý.
Tedy,
Pohybuje-li se těleso rovnoměrně po kružnici, je jeho zrychlení konstantní a v libovolném bodě směřuje podél poloměru kružnice k jejímu středu.
Vzhledem k tomu proti=w R, můžeme napsat další vzorec pro dostředivé zrychlení:
A= w 2 R. |
6. Příklad řešení problému
Frekvence otáčení karuselu je 0,05 s–1. Člověk točící se na kolotoči je ve vzdálenosti 4 m od osy otáčení. Určete mužovo dostředivé zrychlení, dobu otáčení a úhlovou rychlost kolotoče.
Dáno: |
Řešení |
n= 0,05 s– 1 R= 4 m |
Centripetální zrychlení se rovná: A= w2 R= (2p n)2R= 4p2 n 2R. Doba léčby: T = . Úhlová rychlost karuselu: w = 2p n. |
A? T? |
A= 4 (3,14) 2 (0,05s–1) 2 4 m 0,4 m/s 2;
T== 20 s;
w = 2 3,14 0,05 s– 1 0,3 rad/s.
Odpověď: A 0,4 m/s2; T= 20 s; w 0,3 rad/s.
Samotestovací otázky
1. Jaký druh pohybu se nazývá rovnoměrný kruhový pohyb?
2. Jak se nazývá orbitální období?
3. Co se nazývá frekvence oběhu? Jak souvisí perioda a frekvence?
4. Jak se nazývá lineární rychlost? Jak je to nasměrováno?
5. Jak se nazývá úhlová rychlost? Jaká je jednotka úhlové rychlosti?
6. Jak souvisí úhlová a lineární rychlost tělesa?
7. Jaký je směr dostředivého zrychlení? Podle jakého vzorce se to počítá?
Úkol 9
1. Jaká je lineární rychlost bodu na ráfku kola, je-li poloměr kola 30 cm a vykoná jednu otáčku za 2 s? Jaká je úhlová rychlost kola?
2. Rychlost vozu je 72 km/h. Jaká je úhlová rychlost, frekvence a perioda otáčení kola automobilu, je-li průměr kola 70 cm? Kolik otáček udělá kolo za 10 minut?
3. Jakou vzdálenost urazí konec minutové ručičky budíku za 10 minut, je-li její délka 2,4 cm?
4. Jaké je dostředivé zrychlení bodu na ráfku kola automobilu, je-li průměr kola 70 cm? Rychlost vozu je 54 km/h.
5. Bod na ráfku kola jízdního kola udělá jednu otáčku za 2 s. Poloměr kola je 35 cm Jaké je dostředivé zrychlení bodu ráfku kola?
Kruhový pohyb je nejjednodušší případ křivočarého pohybu tělesa. Když se těleso pohybuje kolem určitého bodu, spolu s vektorem posunutí je vhodné zadat úhlové posunutí ∆ φ (úhel natočení vzhledem ke středu kružnice), měřené v radiánech.
Znáte-li úhlové posunutí, můžete vypočítat délku kruhového oblouku (dráhy), kterou tělo prošlo.
∆ l = R ∆ φ
Pokud je úhel natočení malý, pak ∆ l ≈ ∆ s.
Ukažme si, co bylo řečeno:
Úhlová rychlost
S křivočarým pohybem se zavádí pojem úhlové rychlosti ω, tedy rychlosti změny úhlu natočení.
Definice. Úhlová rychlost
Úhlová rychlost v daném bodě trajektorie je limitem poměru úhlového posunutí ∆ φ k časovému intervalu ∆ t, během kterého k němu došlo. ∆ t → 0 .
ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .
Jednotkou měření úhlové rychlosti je radián za sekundu (r a d s).
Existuje vztah mezi úhlovou a lineární rychlostí tělesa při pohybu po kružnici. Vzorec pro zjištění úhlové rychlosti:
Při rovnoměrném pohybu po kružnici zůstávají rychlosti v a ω nezměněny. Mění se pouze směr vektoru lineární rychlosti.
V tomto případě rovnoměrný pohyb po kružnici působí na těleso dostředivým neboli normálovým zrychlením, směřujícím po poloměru kružnice do jejího středu.
a n = ∆ v → ∆ t, ∆ t → 0
Modul dostředivého zrychlení lze vypočítat pomocí vzorce:
a n = v 2 R = ω 2 R
Dokažme tyto vztahy.
Uvažujme, jak se změní vektor v → za krátkou dobu ∆ t. ∆ v → = v B → - v A → .
V bodech A a B je vektor rychlosti nasměrován tečně ke kružnici, přičemž moduly rychlosti jsou v obou bodech stejné.
Podle definice zrychlení:
a → = ∆ v → ∆ t, ∆ t → 0
Podívejme se na obrázek:
Trojúhelníky OAB a BCD jsou podobné. Z toho plyne, že O A A B = B C C D .
Pokud je hodnota úhlu ∆ φ malá, je vzdálenost A B = ∆ s ≈ v · ∆ t. Vezmeme-li v úvahu, že O A = R a C D = ∆ v pro podobné trojúhelníky uvažované výše, dostaneme:
R v ∆ t = v ∆ v nebo ∆ v ∆ t = v 2 R
Když ∆ φ → 0, směr vektoru ∆ v → = v B → - v A → se blíží směru ke středu kružnice. Za předpokladu, že ∆ t → 0, dostaneme:
a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆ t → 0 ; a n → = v2R.
Při rovnoměrném pohybu po kružnici zůstává modul zrychlení konstantní a směr vektoru se mění s časem, přičemž se zachovává orientace ke středu kruhu. Proto se toto zrychlení nazývá dostředivé: vektor je v každém okamžiku nasměrován ke středu kruhu.
Zápis dostředivého zrychlení ve vektorové podobě vypadá takto:
a n → = - ω 2 R → .
Zde R → je vektor poloměru bodu na kružnici s počátkem ve středu.
Obecně se zrychlení při pohybu po kružnici skládá ze dvou složek – normálové a tečné.
Uvažujme případ, kdy se těleso pohybuje po kružnici nerovnoměrně. Představme si pojem tečné (tangenciální) zrychlení. Jeho směr se shoduje se směrem lineární rychlosti tělesa a v každém bodě kružnice k němu směřuje tečně.
a τ = ∆ v τ ∆ t; ∆ t → 0
Zde ∆ v τ = v 2 - v 1 - změna modulu rychlosti v intervalu ∆ t
Směr celkového zrychlení je určen vektorovým součtem normálového a tečného zrychlení.
Kruhový pohyb v rovině lze popsat pomocí dvou souřadnic: x a y. V každém časovém okamžiku lze rychlost tělesa rozložit na složky v x a v y.
Pokud je pohyb rovnoměrný, budou se veličiny v x a v y i příslušné souřadnice v čase měnit podle harmonického zákona s periodou T = 2 π R v = 2 π ω
Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter
Pohyb tělesa v kruhu je speciální případ křivočarého pohybu. Spolu s vektorem posunutí je vhodné zvážit úhlový pohyb Δφ (nebo úhel natočení), měřeno v radiány(obr. 1.6.1). Délka oblouku souvisí s úhlem natočení vztahem
Při malých úhlech natočení Δ l ≈ Δ s.
Úhlová rychlost ω tělesa v daném bodě kruhové trajektorie se nazývá limita (v Δ t→0) poměr malého úhlového posunutí Δφ k malému časovému intervalu Δ t:
Úhlová rychlost se měří v rad/s.
Vztah mezi lineárním modulem rychlosti υ a úhlovou rychlostí ω:
Při rovnoměrném pohybu tělesa po kružnici zůstávají veličiny υ a ω nezměněny. V tomto případě se při pohybu mění pouze směr vektoru
Rovnoměrný pohyb tělesa po kružnici je pohyb se zrychlením. Akcelerace
směřující radiálně ke středu kruhu. Říká se tomu normální resp dostředivé zrychlení . Modul dostředivého zrychlení souvisí s lineárními υ a úhlovými rychlostmi pomocí následujících vztahů:
Chcete-li tento výraz dokázat, zvažte změnu vektoru rychlosti v krátkém časovém úseku Δ t. Podle definice zrychlení
Rychlostní vektory a body A A B směřující tečně ke kružnici v těchto bodech. Rychlostní moduly jsou stejné υ A =υ B = υ.
Z podobnosti trojúhelníků OAB A BCD(obr. 1.6.2) následuje:
Při malých úhlech Δφ = ωΔ t vzdálenost | AB| =Δ s ≈ υΔ t. Od | O.A.| = R a | CD| = Δυ, z podobnosti trojúhelníků na Obr. 1.6.2 dostaneme:
Při malých úhlech Δφ směr vektoru se blíží ke středu kruhu. Proto přechod na limit v Δ t→0, dostaneme:
Když se změní poloha těla na kružnici, změní se směr ke středu kružnice. Když se těleso pohybuje rovnoměrně po kruhu, zrychlovací modul zůstává nezměněn, ale směr vektoru zrychlení se mění s časem. Vektor zrychlení v libovolném bodě kruhu směřuje k jeho středu. Proto se zrychlení při rovnoměrném pohybu tělesa po kružnici nazývá dostředivé.
Ve vektorové formě lze dostředivé zrychlení zapsat jako
kde je vektor poloměru bodu na kružnici, jejíž počátek je v jejím středu.
Pokud se těleso po kružnici pohybuje nerovnoměrně, objeví se také tečna(nebo tangenciální) složka zrychlení (viz 1.1):
V tomto vzorci Δυ τ = υ 2 - υ 1 - změna modulu rychlosti za časové období Δ t.
Směr vektoru celkového zrychlení je určen v každém bodě kruhové trajektorie hodnotami normálového a tečného zrychlení (obr. 1.6.3).