Umístění kořenů čtvercového trojčlenu.
Učitel nejvyšší kategorie: Minaichenko N.S., gymnázium č. 24, Sevastopol
Lekce v 8. třídě: „Čtvercový trojčlen a jeho kořeny“
Typ lekce : lekce nových znalostí.
Cíl lekce:
organizovat aktivity studentů k upevnění a rozvoji znalostí o rozkladu kvadratického trinomu na lineární činitele a redukci zlomků;
rozvíjet dovednosti v aplikaci znalostí všech metod faktorizace: závorky, používání zkrácených vzorců násobení a metod seskupování s cílem připravit se na úspěšné složení zkoušky z algebry;
vytvářet podmínky pro rozvoj kognitivního zájmu o předmět, formování logického myšlení a sebeovládání při použití faktorizace.
Zařízení: multimediální projektor, plátno, prezentace: „Kořeny čtvercového trojčlenu“, křížovka, test, písemky.
Základní pojmy . Rozložení kvadratického trinomu.
Samostatná činnost studentů. Aplikace věty o faktorizaci kvadratického trinomu při řešení úloh.
Plán lekce
Řešení problémů.Odpovědi na studentské otázky
IV. Primární test osvojování znalostí. Odraz
Poselství učitele.
Studentský vzkaz
V. Domácí úkol
Psaní na tabuli
Metodický komentář:
Toto téma je základní v části „Identické transformace algebraických výrazů“. Proto je důležité, aby studenti byli automaticky schopni nejen vidět faktorizační vzorce v příkladech, ale také je aplikovat v dalších úlohách: např. řešení rovnic, transformace výrazů, dokazování identit.
Toto téma se zaměřuje na faktorizaci kvadratického trinomu:
sekera+ bx + c = a(x – x) (x – x),
kde x a x – kořeny kvadratické rovnice ax + bx + c = 0.
To vám umožní rozšířit zorné pole studenta, naučit ho myslet v nestandardní situaci s využitím studovaného materiálu, tzn. pomocí vzorce pro rozklad kvadratického trinomu:
schopnost redukovat algebraické zlomky;
schopnost zjednodušovat algebraické výrazy;
schopnost řešit rovnice;
schopnost prokázat totožnost.
Hlavní obsah lekce:
a) 3x + 5x – 2;
b) –x + 16x – 15;
c) x – 12x + 24;
d) –5x + 6x – 1.
№2. Zmenšete zlomek:
№3. Zjednodušte výraz:
№4. Řešte rovnici:
b)
Průběh lekce:
I. Etapa aktualizace znalostí.
Motivace k učebním činnostem.
a) z historie:
b) křížovka:
Zahřátí-trénovat mysl – křížovka:
Horizontální:
1) Kořen druhého stupně se nazývá…. (náměstí)
2) Hodnoty proměnné, při které se rovnice stává skutečnou rovností (odmocniny)
3) Rovnost obsahující neznámou se nazývá... (rovnice)
4) Indický vědec, který stanovil obecné pravidlo pro řešení kvadratických rovnic (Brahmagupta)
5) Koeficienty kvadratické rovnice jsou... (čísla)
6) Starověký řecký vědec, který vynalezl geometrickou metodu řešení rovnic (Euclid)
7) Věta o koeficientech a kořenech kvadratické rovnice (Vieta)
8) „diskriminační“, určující kořeny kvadratické rovnice – to je... (diskriminační)
navíc:
Pokud D>0, kolik kořenů? (dva)
Pokud D=0, kolik kořenů? (jeden)
Pokud D<0, сколько корней? (нет действительных корней)
Horizontální a vertikální téma lekce: „Čtvercový trojčlen“
b) motivace:
Toto téma je základní v části „Identické transformace algebraických výrazů“. Proto je důležité, abyste byli automaticky schopni nejen vidět faktorizační vzorce v příkladech, ale také je aplikovat v jiných úlohách: jako je zmenšování zlomků, řešení rovnic, transformace výrazů, dokazování identit.
Dnes se zaměříme na faktorizaci kvadratického trinomu:
II. Učení nového materiálu.
Téma: Čtvercový trojčlen a jeho kořeny.
Obecná teorie polynomů mnoha proměnných daleko přesahuje rámec školního kurzu. Proto se omezíme na studium polynomů jedné reálné proměnné, a to pouze v těch nejjednodušších případech. Uvažujme polynomy jedné proměnné, redukované na standardní tvar.
Kořen polynomu je hodnota proměnné, při které je hodnota polynomu rovna nule. To znamená, že pro nalezení kořenů polynomu je potřeba jej přirovnat k nule, tzn. řešit rovnici.
Kořen polynomu prvního stupně
snadné najít
. Zkouška:
.
Kořeny kvadratického trinomu lze nalézt řešením rovnice:
.
Pomocí vzorce pro kořeny kvadratické rovnice zjistíme:
;
Li A -odmocniny čtvercového trojčlenu
, Kde ≠ 0,
To .
Důkaz:
Proveďme následující transformace kvadratického trinomu:
=
=
=
=
=
=
=
=
Vzhledem k tomu, diskriminant
, dostaneme:
=
=
Použijme vzorec rozdílu čtverců v závorkách a dostaneme:
=
=
,
protože
;
. Věta byla prokázána.
Výsledný vzorec se nazývá vzorecrozklad kvadratického trinomu.
III. Formování dovedností a schopností.
№1. Faktor kvadratického trinomu:
a) 3x + 5x – 2;Řešení:
Odpověď: 3x+5x–2=3(x+2)(x-)=(x+2)(3x-1)
Na desce:
b) –5x + 6x – 1;
navíc:
c) x – 12x + 24;
d) –x + 16x – 15.
№2. Zmenšete zlomek:
A)
№4. Řešte rovnici:
b)
IV. Primární test osvojování znalostí.
A) Test.
Možnost 1.
1. Najděte kořeny kvadratického trinomu:2x 2 -9x-5
Odpověď:
2. Který polynom musí být dosazen za elipsu, aby byla rovnost pravdivá:
b) Vzájemné ověřování opcí (odpovědi a parametry hodnocení jsou znázorněny).
c) Reflexe.
V. Domácí úkol.
Téma „Čtvercový trojčlen a jeho kořeny“ se probírá v 9. ročníku kurzu algebra. Jako každá jiná hodina matematiky i hodina na toto téma vyžaduje speciální výukové nástroje a metody. Viditelnost je nutná. To zahrnuje tuto video lekci, která byla navržena speciálně pro usnadnění práce učitele.
Tato lekce trvá 6:36 minut. Za tu dobu se autorovi podaří téma zcela odhalit. Učitel bude muset pouze vybrat úkoly k tématu, aby upevnil látku.
Lekce začíná ukázkou příkladů polynomů s jednou proměnnou. Poté se na obrazovce objeví definice kořene polynomu. Tuto definici podporuje příklad, kdy je potřeba najít kořeny polynomu. Po vyřešení rovnice autor získá kořeny polynomu.
Následuje poznámka, že kvadratické trinomy zahrnují také ty polynomy druhého stupně, ve kterých se druhý, třetí nebo oba koeficienty, kromě toho vedoucího, rovnají nule. Tuto informaci dokládá příklad, kde je volný koeficient nula.
Autor pak vysvětluje, jak najít kořeny kvadratického trinomu. K tomu je potřeba vyřešit kvadratickou rovnici. A autor navrhuje ověřit to pomocí příkladu, kde je uveden kvadratický trinom. Musíme najít jeho kořeny. Řešení je sestrojeno na základě řešení kvadratické rovnice získané z daného kvadratického trinomu. Řešení je na obrazovce napsáno podrobně, jasně a srozumitelně. Při řešení tohoto příkladu si autor zapamatuje, jak vyřešit kvadratickou rovnici, zapíše si vzorce a dostane výsledek. Odpověď je zaznamenána na obrazovce.
Hledání kořenů čtvercové trojčlenky autor vysvětlil na příkladu. Když studenti pochopí podstatu, mohou přejít k obecnějším bodům, což autor dělá. Proto vše výše uvedené dále shrnuje. Obecně v matematickém jazyce autor zapisuje pravidlo pro hledání kořenů čtvercového trinomu.
Následuje poznámka, že v některých úlohách je pohodlnější napsat kvadratický trinom trochu jinak. Tento záznam se zobrazí na obrazovce. To znamená, že se ukazuje, že ze čtvercového trinomu lze extrahovat čtvercový binom. Navrhuje se zvážit takovou transformaci s příkladem. Řešení tohoto příkladu je zobrazeno na obrazovce. Stejně jako v předchozím příkladu je řešení konstruováno podrobně se všemi potřebnými vysvětleními. Autor pak uvažuje o problému, který využívá právě uvedené informace. Toto je problém geometrického důkazu. Řešení obsahuje ilustraci ve formě výkresu. Řešení problému je popsáno podrobně a jasně.
Tím lekce končí. Učitel ale může na základě schopností žáků vybrat úkoly, které budou odpovídat danému tématu.
Tuto video lekci lze použít jako vysvětlení nového materiálu v lekcích algebry. Je ideální pro samostatnou přípravu studentů na hodinu.
Prezentace k hodině matematiky pro 9. ročník na téma „Čtvercová trojčlenka a její kořeny“ obsahující úkoly pro hlubší úroveň studia předmětu. Prezentace je navržena pro nepřetržité používání po celou dobu lekce. Obsahově různé úkoly.
Stáhnout:
Náhled:
Chcete-li používat náhledy prezentací, vytvořte si účet Google a přihlaste se k němu: https://accounts.google.com
Popisky snímků:
Položka plánu Položka plánu Položka plánu Položka plánu Aktualizace znalostí Nastudování tématu hodiny Encyklopedický odkaz Dynamická minuta Domácí úkol Čtvercovou trojčlenku a její kořeny připravila učitelka matematiky: 1KK Radčenko Natalja Fedorovna
Aktualizace znalostí Prostudování tématu lekce Encyklopedický odkaz Dynamická minuta Domácí úkol Aktualizace znalostí ◊ 1 Opakování látky o funkcích; ◊ 2 Teoretické základy řešení kvadratické rovnice; ◊ 3 Vietova věta; ◊ 4 Celkem.
Aktualizace znalostí Opakování látky: mezi těmito funkcemi uveďte lineární klesající funkce: y= x²+12 y= -x-24 y= 9x+8 h= 23-23x h= 1/x² g= (x+16)² g = - 3
Aktualizace znalostí Jak se určuje přítomnost a počet kořenů kvadratické rovnice? Jak vypočítat diskriminant kvadratické rovnice D = 2. Pojmenujte vzorce pro kořeny kvadratické rovnice D>0, pak x 1,2 = D = 0, pak x =
Aktualizace znalostí t² - 2t – 3 = 0 3. Vypočítejte diskriminant a odpovězte na otázku „Kolik kořenů má kvadratická rovnice?“ D= 16 >0, dva kořeny Jaký je součin kořenů? X 1 x 2 = - 3 5. Jaký je součet kořenů rovnice? X 1 + x 2 = 2 6. Co lze říci o znacích kořenů? Kořeny různých znamení 7. Najděte kořeny výběrem. Xi = 3, x2 = -1
Prostudování tématu lekce ◊ 1 Nahlášení tématu lekce; ◊ 2 Teoretické základy pojmu „Čtvercový trinom a jeho kořeny“; ◊ 3 výroky velkých myslitelů o matematice; ◊ 4 Analýza příkladů témat; Prostudování tématu lekce Encyklopedický odkaz Dynamická minuta Domácí úkol
Čtvercový trinom a jeho kořeny Čtvercový trinom je polynom ve tvaru ax² + bx + c, kde x je proměnná, a, b a c jsou nějaká čísla a a≠ 0. Kořen kvadratického trinomu je hodnota proměnné, při které je hodnota tohoto trinomu nula Chcete-li najít kořeny kvadratického trinomu ax² + bx + c, musíte vyřešit kvadratickou rovnici ax² + bx + c =0.
Čtvercová trojčlenka a její kořeny Nestačí mít dobrou mysl, hlavní je dobře ji používat. R. Descartes Důsledně přemýšlet, prokazatelně soudit a vyvracet nesprávné závěry by měl umět každý: fyzik i básník, traktorista i chemik. E. Kolman
Encyklopedický odkaz ◊ 1 Pojem „parametr“; ◊ 2 Význam slova „parametr“ v ruských slovnících a slovníku cizích slov; ◊ 3 Označení a rozsah použití parametru; ◊ 4 Příklady s parametry. Encyklopedický odkaz Dynamická minuta Domácí úkol
Encyklopedický odkaz PARAMETR (z řeckého παραμετρέω - měřím, odcházím). Veličina obsažená v matematickém vzorci a udržující konstantní hodnotu v rámci jednoho jevu nebo pro danou konkrétní úlohu..., (mat.) Parametr je konstantní hodnota vyjádřená písmenem, která si zachovává svou konstantní hodnotu pouze za podmínek a zadaný úkol... „Slovník cizích slov.“ 3. Při jaké hodnotě parametru m má čtvercová trojčlenka 2x ² + 2тх – m – 0,5 jedinou odmocninu? Najděte tento kořen.
Dynamická pauza ◊ 1 Řešení „problémového problému“; ◊ 2 Historické pozadí: dopis z minulosti; Dynamický minutový domácí úkol
Dynamická pauza Při jaké hodnotě parametru t má čtvercová trojčlenka 2х ² + 2тх – т – 0,5 = 0 a má jednu odmocninu? Najděte tento kořen. Kvadratická rovnice má jeden kořen D=0 D= b² - 4ac; a=2, b=2m, c= - m – 0,5 D= (2m)² - 4 2 (- m – 0,5) = 4m² + 8m +4 D=0, 4m² + 8m +4 = 0 m² + 2m +1 = 0 (m + 1)² = 0 m= - 1 Dosaďte zjištěnou hodnotu m do původní rovnice: 2x ² - 2x + 1 – 0,5 = 0 4x ² - 4x + 1 = 0 ( 2x – 1 ) ² = 0 2x -1 = 0 x = 0,5
Dynamická pauza V domácím úkolu měli studenti 8. ročníku najít kořeny kvadratického trinomu (x² - 5x +7) ² - 2(x² - 5x +7) - 3 Po přemýšlení Vitya uvažoval takto: nejprve musíte otevřete závorky a poté uveďte podobné výrazy . Ale Styopa řekl, že existuje jednodušší způsob, jak to vyřešit a není vůbec nutné otevírat závorky. Pomozte Vitě najít racionální řešení
Dynamická pauza Problémy hledání kořenů kvadratického trinomu a skládání kvadratických rovnic najdeme již ve staroegyptských matematických papyrech. Obecné pravidlo pro hledání kořenů a řešení rovnic ve tvaru: ax ² + bx = c, kde a > 0, b a c jsou libovolné, formuloval Brahmagupta (7. století n. l.). Brahmagupta ještě nevěděl, že kvadratická rovnice může mít i záporný kořen. Bhaskara Acharya (12. století) formuloval vztahy mezi koeficienty rovnice. Nadělal spoustu problémů.
Zobecnění, domácí úkol ◊ 1 Řešení úloh s parametrem: různé typy úloh; ◊ 2 Shrnutí studovaného tématu; ◊ 3 Domácí úkol: podle úrovně. Domácí úkol
Zobecnění, domácí úkol Najděte kořeny kvadratického trinomu (x-4)² +(4y-12)². Najděte hodnoty parametru a, pro každý z nich má kvadratický trinom x²+ 4 x + 2ax+8a+1 jedno řešení. Zadání domácího úkolu: str.3; Skupina 1: č. 45 (c, d), č. 49 (c, d); Skupina 2: a) najděte hodnotu parametru a, pro kterou nemá čtvercová trojčlenka x²-6x+2ax+4a řešení; b) najděte kořeny kvadratického trinomu (2x-6)²+(3y-12)²
zdroj šablony Natalia Vladimirovna Chernakova Učitelka chemie a biologie, Státní vzdělávací instituce NPO Archangelská oblast „Odborná škola č. 31“ „http://pedsovet.su/“
Pomocí diskriminantu můžete najít odmocninu čtvercového trinomu. Navíc pro redukovaný polynom druhého stupně platí Vietův teorém založený na poměru koeficientů.
Instrukce
- Kvadratické rovnice jsou poměrně obsáhlým tématem školní algebry. Levá strana takové rovnice je polynom druhého stupně tvaru A x² + B x + C, tzn. vyjádření tří monomiálů různého stupně neznámého x. Chcete-li najít odmocninu čtvercového trinomu, musíte vypočítat hodnotu x, ve které je tento výraz roven nule.
- Chcete-li vyřešit kvadratickou rovnici, musíte najít diskriminant. Jeho vzorec je důsledkem izolace úplného čtverce polynomu a představuje určitý poměr jeho koeficientů: D = B² – 4 A C.
- Diskriminant může nabývat různých hodnot, včetně záporu. A pokud mladší školáci mohou s úlevou říci, že taková rovnice nemá kořeny, pak už je středoškoláci dokážou určit na základě teorie komplexních čísel. Mohou tedy být tři možnosti: Diskriminační – kladné číslo. Potom jsou kořeny rovnice rovny: x1 = (-B + √D)/2 A; x2 = (-B - √D)/2 A;
Diskriminant šel na nulu. Teoreticky má v tomto případě rovnice také dva kořeny, ale prakticky jsou stejné: x1 = x2 = -B/2 A;
Diskriminant je menší než nula. Do výpočtu je zavedena určitá hodnota i² = -1, která nám umožňuje napsat komplexní řešení: x1 = (-B + i √|D|)/2 A; x2 = (-B - i √|D|)/2 A. - Diskriminační metoda je platná pro jakoukoli kvadratickou rovnici, ale jsou situace, kdy je vhodné použít rychlejší metodu, zejména pro malé celočíselné koeficienty. Tato metoda se nazývá Vietův teorém a skládá se z dvojice vztahů mezi koeficienty v redukovaném trinomu: x² + P x + Q
xi + x2 = -P;
x1 x2 = Q. Zbývá jen najít kořeny. - Je třeba poznamenat, že rovnici lze redukovat do podobného tvaru. K tomu je třeba vydělit všechny členy trojčlenu koeficientem nejvyšší mocniny A: A x² + B x + C |A
x² + B/A x + C/A
xi + x2 = -B/A;
x1 x2 = C/A.
Rozšiřování polynomů za účelem získání produktu se někdy může zdát matoucí. Ale není to tak těžké, pokud postup pochopíte krok za krokem. Článek podrobně popisuje, jak faktorizovat kvadratický trinom.
Mnoho lidí nerozumí tomu, jak vyčíslit čtvercovou trojčlenku a proč se to dělá. Zpočátku se to může zdát jako marné cvičení. Ale v matematice se nic nedělá pro nic za nic. Transformace je nezbytná pro zjednodušení vyjadřování a usnadnění výpočtu.
Polynom ve tvaru – ax²+bx+c, nazývaný kvadratický trinom. Výraz "a" musí být záporný nebo kladný. V praxi se tento výraz nazývá kvadratická rovnice. Proto to někdy říkají jinak: jak rozšířit kvadratickou rovnici.
Zajímavý! Polynom se nazývá čtverec kvůli jeho největšímu stupni, čtverci. A trojčlen - kvůli 3 složkám.
Některé další typy polynomů:
- lineární binom (6x+8);
- kubický kvadrinom (x³+4x²-2x+9).
Rozložení kvadratického trinomu
Nejprve je výraz roven nule, pak musíte najít hodnoty kořenů x1 a x2. Nemusí tam být žádné kořeny, může to být jeden nebo dva kořeny. Přítomnost kořenů je určena diskriminantem. Musíte znát jeho vzorec nazpaměť: D=b²-4ac.
Pokud je výsledek D záporný, neexistují žádné kořeny. Pokud je kladný, existují dva kořeny. Pokud je výsledek nula, odmocnina je jedna. Kořeny se také vypočítají pomocí vzorce.
Pokud je při výpočtu diskriminantu výsledek nula, můžete použít kterýkoli ze vzorců. V praxi se vzorec jednoduše zkracuje: -b / 2a.
Vzorce pro různé diskriminační hodnoty jsou různé.
Pokud je D kladné:
Pokud je D nula:
Online kalkulačky
Na internetu existuje online kalkulačka. Lze jej použít k faktorizaci. Některé zdroje poskytují možnost prohlédnout si řešení krok za krokem. Takové služby pomáhají lépe porozumět tématu, ale je třeba se snažit mu dobře porozumět.
Užitečné video: Faktorizace kvadratického trinomu
Příklady
Doporučujeme podívat se na jednoduché příklady, jak faktorizovat kvadratickou rovnici.
Příklad 1
To jasně ukazuje, že výsledkem jsou dvě x, protože D je kladné. Je třeba je do vzorce dosadit. Pokud se ukáže, že kořeny jsou záporné, znaménko ve vzorci se změní na opak.
Známe vzorec pro rozklad kvadratického trinomu: a(x-x1)(x-x2). Hodnoty vložíme do závorek: (x+3)(x+2/3). Před výrazem v mocnině není žádné číslo. To znamená, že tam jeden je, jde dolů.
Příklad 2
Tento příklad jasně ukazuje, jak vyřešit rovnici, která má jeden kořen.
Výslednou hodnotu dosadíme:
Příklad 3
Dané: 5x²+3x+7
Nejprve spočítejme diskriminant, jako v předchozích případech.
D=9-4*5*7=9-140= -131.
Diskriminant je záporný, což znamená, že neexistují žádné kořeny.
Po obdržení výsledku byste měli otevřít závorky a zkontrolovat výsledek. Měl by se objevit původní trojčlen.
Alternativní řešení
Někteří lidé se nikdy nedokázali spřátelit s diskriminátorem. Existuje další způsob rozkladu kvadratického trinomu. Pro usnadnění je metoda uvedena na příkladu.
Dané: x²+3x-10
Víme, že bychom měli dostat 2 závorky: (_)(_). Když výraz vypadá takto: x²+bx+c, na začátek každé závorky vložíme x: (x_)(x_). Zbývající dvě čísla jsou součin, který dává "c", tj. v tomto případě -10. Jediný způsob, jak zjistit, jaká čísla to jsou, je výběr. Dosazená čísla musí odpovídat zbývajícímu termínu.
Například vynásobením následujících čísel získáte -10:
- -1, 10;
- -10, 1;
- -5, 2;
- -2, 5.
- (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Žádný.
- (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Žádný.
- (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Žádný.
- (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Vyhovuje.
To znamená, že transformace výrazu x2+3x-10 vypadá takto: (x-2)(x+5).
Důležité! Měli byste být opatrní, abyste si nezaměnili znamení.
Rozšíření komplexního trinomu
Pokud je „a“ větší než jedna, začínají potíže. Všechno ale není tak těžké, jak se zdá.
Chcete-li faktorizovat, musíte nejprve zjistit, zda lze něco vyřadit.
Například za předpokladu, že výraz: 3x²+9x-30. Zde je číslo 3 vyjmuto ze závorek:
3(x²+3x-10). Výsledkem je již známý trinom. Odpověď vypadá takto: 3(x-2)(x+5)
Jak rozložit, pokud je člen, který je ve čtverci, záporný? V tomto případě je číslo -1 vyjmuto ze závorek. Například: -x²-10x-8. Výraz pak bude vypadat takto:
Schéma se od předchozího liší jen málo. Je tu jen pár nových věcí. Řekněme, že je dán výraz: 2x²+7x+3. Odpověď je také zapsána ve 2 závorkách, které je třeba vyplnit (_)(_). V 2. závorce je napsáno x a v 1. co zbývá. Vypadá to takto: (2x_) (x_). V opačném případě se opakuje předchozí schéma.
Číslo 3 je dáno čísly:
- -1, -3;
- -3, -1;
- 3, 1;
- 1, 3.
Rovnice řešíme dosazením těchto čísel. Poslední možnost je vhodná. To znamená, že transformace výrazu 2x²+7x+3 vypadá takto: (2x+1)(x+3).
Jiné případy
Ne vždy je možné výraz převést. U druhé metody není řešení rovnice nutné. Ale možnost transformace termínů na produkt je kontrolována pouze prostřednictvím diskriminantu.
Vyplatí se procvičovat řešení kvadratických rovnic, aby při používání vzorců nebyly žádné potíže.
Užitečné video: rozklad trojčlenu
Závěr
Můžete jej použít jakýmkoliv způsobem. Ale je lepší cvičit obojí, dokud se nestanou automatickými. Naučit se dobře řešit kvadratické rovnice a faktorové polynomy je také nezbytné pro ty, kteří plánují spojit svůj život s matematikou. Na tom jsou postavena všechna následující matematická témata.