Přímé a nepřímé úměrné vztahy - Znalostní hypermarket. Inverzní úměrnost v matematice a v životě
Proporcionalita je vztah mezi dvěma veličinami, ve kterém změna jedné z nich znamená změnu druhé o stejnou hodnotu.
Proporcionalita může být přímá nebo inverzní. V této lekci se podíváme na každou z nich.
Obsah lekcePřímá úměrnost
Předpokládejme, že se auto pohybuje rychlostí 50 km/h. Pamatujeme si, že rychlost je vzdálenost ujetá za jednotku času (1 hodina, 1 minuta nebo 1 sekunda). V našem příkladu se auto pohybuje rychlostí 50 km/h, to znamená, že za hodinu urazí vzdálenost padesát kilometrů.
Znázorněme na obrázku vzdálenost ujetou autem za 1 hodinu.
Nechte auto jet další hodinu stejnou rychlostí padesát kilometrů za hodinu. Pak to vyjde, že auto ujede 100 km
Jak je vidět z příkladu, zdvojnásobení času vedlo ke zvýšení ujeté vzdálenosti o stejnou hodnotu, tedy dvojnásobek.
Veličiny jako čas a vzdálenost se nazývají přímo úměrné. A vztah mezi takovými veličinami se nazývá přímá úměrnost.
Přímá úměrnost je vztah mezi dvěma veličinami, ve kterém zvýšení jedné z nich znamená zvýšení druhé o stejnou hodnotu.
a naopak, pokud jedna veličina klesne o určitý počet krát, pak se druhá sníží o stejný počet krát.
Předpokládejme, že původní plán byl ujet autem 100 km za 2 hodiny, ale po ujetí 50 km se řidič rozhodl odpočívat. Pak se ukáže, že zmenšením vzdálenosti na polovinu se o stejnou hodnotu zkrátí i čas. Jinými slovy, snížení ujeté vzdálenosti povede ke zkrácení času o stejnou hodnotu.
Zajímavostí přímo úměrných veličin je, že jejich poměr je vždy konstantní. To znamená, že když se změní hodnoty přímo úměrných veličin, jejich poměr zůstane nezměněn.
V uvažovaném příkladu byla vzdálenost zpočátku 50 km a čas jedna hodina. Poměr vzdálenosti k času je číslo 50.
Cestovní čas jsme ale prodloužili 2krát, takže to byly dvě hodiny. V důsledku toho se ujetá vzdálenost zvýšila o stejnou hodnotu, to znamená, že se rovnala 100 km. Poměr sto kilometrů ku dvěma hodinám je opět číslo 50
Volá se číslo 50 koeficient přímé úměrnosti. Ukazuje, jak velká vzdálenost je za hodinu pohybu. V tomto případě hraje koeficient roli rychlosti pohybu, protože rychlost je poměr ujeté vzdálenosti k času.
Proporce lze vytvořit z přímo úměrných množství. Například poměry tvoří poměr:
Padesát kilometrů je jedna hodina a sto kilometrů jsou dvě hodiny.
Příklad 2. Náklady a množství zakoupeného zboží jsou přímo úměrné. Pokud 1 kg sladkostí stojí 30 rublů, pak 2 kg stejných sladkostí bude stát 60 rublů, 3 kg 90 rublů. S rostoucí cenou nakupovaného produktu se jeho množství zvyšuje o stejnou částku.
Protože náklady na produkt a jeho množství jsou přímo úměrné veličiny, je jejich poměr vždy konstantní.
Zapišme si, jaký je poměr třiceti rublů k jednomu kilogramu
Nyní si zapišme, jaký je poměr šedesáti rublů ke dvěma kilogramům. Tento poměr bude opět roven třiceti:
Zde je koeficient přímé úměrnosti číslo 30. Tento koeficient ukazuje, kolik rublů je na kilogram sladkostí. V tomto příkladu hraje koeficient roli ceny jednoho kilogramu zboží, protože cena je poměr nákladů na zboží k jeho množství.
Inverzní úměrnost
Zvažte následující příklad. Vzdálenost mezi oběma městy je 80 km. Motocyklista vyjel z prvního města a rychlostí 20 km/h dojel do druhého města za 4 hodiny.
Pokud byla rychlost motocyklisty 20 km/h, znamená to, že každou hodinu urazil vzdálenost dvaceti kilometrů. Znázorněme na obrázku vzdálenost ujetou motocyklistou a dobu jeho pohybu:
Při zpáteční cestě jel motorkář rychlostí 40 km/h, na stejné cestě strávil 2 hodiny.
Je snadné si všimnout, že při změně rychlosti se o stejnou hodnotu změní i doba pohybu. Navíc se to změnilo v opačném směru - tedy rychlost se zvýšila, ale čas se naopak snížil.
Veličiny jako rychlost a čas se nazývají nepřímo úměrné. A vztah mezi takovými veličinami se nazývá inverzní úměrnost.
Inverzní úměrnost je vztah mezi dvěma veličinami, ve kterém zvýšení jedné z nich znamená snížení druhé o stejnou hodnotu.
a naopak, pokud se jedna veličina zmenší o určitý počet krát, pak se druhá o stejný počet krát zvýší.
Pokud by například na zpáteční cestě byla rychlost motocyklisty 10 km/h, pak by stejných 80 km urazil za 8 hodin:
Jak je vidět z příkladu, snížení rychlosti vedlo ke zvýšení doby pohybu o stejnou hodnotu.
Zvláštností nepřímo úměrných veličin je, že jejich součin je vždy konstantní. To znamená, že když se změní hodnoty nepřímo úměrných veličin, jejich součin zůstane nezměněn.
V uvažovaném příkladu byla vzdálenost mezi městy 80 km. Při změně rychlosti a času pohybu motocyklisty zůstala tato vzdálenost vždy nezměněna
Motocyklista by tuto vzdálenost mohl ujet rychlostí 20 km/h za 4 hodiny, rychlostí 40 km/h za 2 hodiny a rychlostí 10 km/h za 8 hodin. Ve všech případech byl součin rychlosti a času roven 80 km
Líbila se vám lekce?
Připojte se k naší nové skupině VKontakte a začněte dostávat upozornění na nové lekce
O výhodách učení pomocí videolekcí můžeme mluvit donekonečna. Za prvé prezentují své myšlenky jasně a srozumitelně, důsledně a strukturovaně. Za druhé, zaberou určitý pevně stanovený čas a nejsou, často zdlouhavé a únavné. Za třetí, jsou pro studenty více vzrušující než běžné hodiny, na které jsou zvyklí. Můžete si je prohlédnout v klidném prostředí.
V mnoha úlohách z kurzu matematiky budou studenti 6. ročníku čelit přímým a nepřímým úměrným vztahům. Než začnete studovat toto téma, stojí za to připomenout, jaké jsou proporce a jaké základní vlastnosti mají.
Předchozí video lekce je věnována tématu „Proporce“. Tohle je logické pokračování. Stojí za zmínku, že téma je poměrně důležité a často se s ním setkáváme. Stojí za to to jednou provždy správně pochopit.
Abychom ukázali důležitost tématu, videolekce začíná úkolem. Stav se objeví na obrazovce a je oznámen hlasatelem. Záznam dat je uveden ve formě jakéhosi schématu, aby student sledující videozáznam co nejlépe pochopil. Bylo by lepší, kdyby se zpočátku držel této formy nahrávání.
Neznámá, jak je ve většině případů zvykem, se označuje latinským písmenem x. Chcete-li to najít, musíte nejprve vynásobit hodnoty napříč. Získá se tedy rovnost obou poměrů. To naznačuje, že to souvisí s proporcemi a stojí za to pamatovat si jejich hlavní vlastnost. Vezměte prosím na vědomí, že všechny hodnoty jsou uvedeny ve stejné měrné jednotce. Jinak je bylo nutné zmenšit do jednoho rozměru.
Po zhlédnutí způsobu řešení ve videu byste s takovými problémy neměli mít žádné potíže. Hlasatel každý tah komentuje, vysvětluje všechny úkony a připomíná nastudovanou látku, která se používá.
Ihned po zhlédnutí první části video lekce „Přímé a inverzně úměrné závislosti“ můžete studenta požádat, aby vyřešil stejný problém bez pomoci nápověd. Poté můžete nabídnout alternativní úkol.
V závislosti na mentálních schopnostech žáka lze postupně zvyšovat náročnost následných úkolů.
Po prvním uvažovaném problému je uvedena definice přímo úměrných veličin. Definici čte hlasatel. Hlavní koncept je zvýrazněn červeně.
Dále je demonstrován další problém, na jehož základě je vysvětlen nepřímo úměrný vztah. Nejlepší je, když si žák tyto pojmy zapíše do sešitu. V případě potřeby může student před testy snadno najít všechna pravidla a definice a znovu si je přečíst.
Po zhlédnutí tohoto videa žák 6. třídy pochopí, jak používat proporce v určitých úkolech. Jde o poměrně důležité téma, které by za žádných okolností nemělo chybět. Pokud student není schopen vnímat látku prezentovanou učitelem během hodiny mezi ostatními studenty, pak budou takové vzdělávací prostředky velkou záchranou!
Příklad
1,6/2 = 0,8;4/5 = 0,8;
5,6 / 7 = 0,8 atd. Faktor proporcionality Nazývá se konstantní vztah úměrných veličin
faktor proporcionality
faktor proporcionality. Koeficient úměrnosti ukazuje, kolik jednotek jedné veličiny připadá na jednotku jiné. Přímá úměrnost- funkční závislost, kdy určitá veličina závisí na jiné veličině tak, že jejich poměr zůstává konstantní. Jinými slovy, tyto proměnné se mění
Matematicky je přímá úměrnost zapsána jako vzorec:
F(x) = Ax,A = CÓnst
Inverzní úměrnost
Inverzní úměrnost- jedná se o funkční závislost, při které zvýšení nezávislé hodnoty (argumentu) způsobí proporcionální snížení závislé hodnoty (funkce).
Matematicky je nepřímá úměrnost zapsána jako vzorec:
Vlastnosti funkce:
Zdroje
Nadace Wikimedia.
2010.
Pojem přímé úměrnosti
Představte si, že si plánujete koupit své oblíbené bonbóny (nebo cokoliv, co máte opravdu rádi). Sladkosti v obchodě mají svou cenu. Řekněme 300 rublů za kilogram. Čím více bonbonů koupíte, tím více peněz zaplatíte. To znamená, že pokud chcete 2 kilogramy, zaplaťte 600 rublů, ale pokud chcete 3 kilogramy, zaplaťte 900 rublů. Zdá se, že je to všechno jasné, že?
Pokud ano, pak už je vám jasné, co je to přímá úměrnost – jde o pojem, který popisuje vztah dvou veličin na sobě závislých. A poměr těchto veličin zůstává nezměněn a konstantní: o kolik dílů se jedna z nich zvětší nebo zmenší, o stejný počet dílů se druhá úměrně zvětší nebo zmenší.
Přímou úměrnost lze popsat následujícím vzorcem: f(x) = a*x a a v tomto vzorci je konstantní hodnota (a = konst). V našem příkladu o cukroví je cena konstantní hodnotou, konstantou. Nezvyšuje se ani nesnižuje, bez ohledu na to, kolik bonbonů se rozhodnete koupit. Nezávislá proměnná (argument) x udává, kolik kilogramů cukroví se chystáte koupit. A závislá proměnná f(x) (funkce) udává, kolik peněz nakonec zaplatíte za svůj nákup. Můžeme tedy dosadit čísla do vzorce a získat: 600 rublů. = 300 rublů. * 2 kg.
Mezizávěr je tento: zvětší-li se argument, zvětšuje se i funkce, klesá-li argument, klesá i funkce
Funkce a její vlastnosti Přímá úměrná funkce
Aby to bylo jasnější, uveďme další příklad. Představte si, že se auto pohybuje z bodu A do bodu B. Jeho rychlost je 60 km/h. Pokud předpokládáme, že rychlost pohybu zůstává konstantní, pak ji lze brát jako konstantu. A pak podmínky zapíšeme ve tvaru: S = 60*t, přičemž tento vzorec je podobný funkci přímé úměrnosti y = k *x. Uveďme paralelu dále: jestliže k = y/x, pak lze rychlost auta vypočítat se znalostí vzdálenosti mezi A a B a času stráveného na silnici: V = S /t.
A nyní, od aplikované aplikace poznatků o přímé úměrnosti, se vraťme zpět k její funkci. Mezi jejich vlastnosti patří:
jeho definičním oborem je množina všech reálných čísel (stejně jako jejich podmnožiny);
funkce je lichá;
změna proměnných je přímo úměrná po celé délce číselné osy.
Přímá úměrnost a její graf
Graf funkce přímé úměrnosti je přímka, která protíná počátek. K jeho sestavení stačí označit pouze jeden bod navíc. A spojte jej a počátek souřadnic přímkou.
V případě grafu je k sklon. Pokud je sklon menší než nula (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), graf a osa x svírají ostrý úhel a funkce je rostoucí.
A ještě jedna vlastnost grafu funkce přímé úměrnosti přímo souvisí se sklonem k. Předpokládejme, že máme dvě neidentické funkce a podle toho dva grafy. Pokud jsou tedy koeficienty k těchto funkcí stejné, jejich grafy jsou umístěny rovnoběžně se souřadnicovou osou. A pokud se koeficienty k navzájem nerovnají, grafy se protnou.
Ukázkové problémy
Nyní vyřešíme pár problémy s přímou úměrností
Začněme něčím jednoduchým.
Úloha 1: Představte si, že 5 slepic snese 5 vajec za 5 dní. A když je 20 slepic, kolik vajec snesou za 20 dní?
Řešení: Neznámé označme kx. A budeme uvažovat takto: kolikrát se stalo kuřat? Vydělte 20 5 a zjistěte, že je to 4 krát. Kolikrát více vajec snese 20 slepic za stejných 5 dní? Také 4x více. Takže naše najdeme takto: 5*4*4 = 80 vajec snese 20 slepic za 20 dní.
Nyní je příklad trochu složitější, pojďme parafrázovat problém z Newtonovy „obecné aritmetiky“. Problém 2: Spisovatel dokáže sestavit 14 stran nové knihy za 8 dní. Kdyby měl asistenty, kolik lidí by potřebovalo napsat 420 stran za 12 dní?
Řešení: Domníváme se, že počet lidí (spisovatel + asistenti) roste s objemem práce, pokud by měla být provedena za stejný čas. Ale kolikrát? Vydělením 420 14 zjistíme, že se zvýší 30krát. Ale protože podle podmínek úkolu je na práci dáno více času, počet asistentů se nezvyšuje 30krát, ale tímto způsobem: x = 1 (spisovatel) * 30 (krát): 12/8 ( dny). Transformujme se a zjistíme, že x = 20 lidí napíše 420 stran za 12 dní.
Pojďme vyřešit další problém podobný těm v našich příkladech.
Problém 3: Dvě auta se vydají na stejnou cestu. Jeden se pohyboval rychlostí 70 km/h a stejnou vzdálenost urazil za 2 hodiny jako druhý za 7 hodin. Najděte rychlost druhého auta.
Řešení: Jak si pamatujete, dráha je určena rychlostí a časem - S = V *t. Protože obě auta ujela stejnou vzdálenost, můžeme dát tyto dva výrazy rovnítko: 70*2 = V*7. Jak zjistíme, že rychlost druhého auta je V = 70*2/7 = 20 km/h.
A ještě pár příkladů úloh s funkcemi přímé úměrnosti. Někdy problémy vyžadují nalezení koeficientu k.
Úkol 4: Vzhledem k funkcím y = - x/16 a y = 5x/2 určete jejich koeficienty úměrnosti.
Řešení: Jak si pamatujete, k = y/x. To znamená, že pro první funkci je koeficient roven -1/16 a pro druhou k = 5/2.
Můžete se také setkat s úkolem, jako je Úkol 5: Zapište přímou úměrnost pomocí vzorce. Jeho graf a graf funkce y = -5x + 3 jsou umístěny paralelně.
Řešení: Funkce, která je nám dána v podmínce, je lineární. Víme, že přímá úměrnost je speciální případ lineární funkce. A také víme, že pokud jsou koeficienty k funkcí stejné, jejich grafy jsou rovnoběžné. To znamená, že stačí vypočítat koeficient známé funkce a nastavit přímou úměrnost pomocí nám známého vzorce: y = k *x. Koeficient k = -5, přímá úměrnost: y = -5*x.
Závěr
Nyní jste se naučili (nebo si vzpomněli, pokud jste toto téma již dříve probírali), co se nazývá přímá úměrnost a podíval se na to příklady. Mluvili jsme také o funkci přímé úměrnosti a jejím grafu a řešili jsme několik příkladů.
Pokud byl tento článek užitečný a pomohl vám porozumět tématu, řekněte nám o tom v komentářích. Abychom věděli, jestli bychom vám mohli prospět.
blog.site, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na původní zdroj.
Obě veličiny se nazývají přímo úměrné, pokud se jeden z nich zvýší několikrát, druhý se zvýší o stejnou částku. V souladu s tím, když jeden z nich klesne několikrát, druhý se sníží o stejnou hodnotu.
Vztah mezi takovými veličinami je přímo úměrný vztah. Příklady přímo úměrné závislosti:
1) při konstantní rychlosti je ujetá vzdálenost přímo úměrná času;
2) obvod čtverce a jeho strana jsou přímo úměrné veličiny;
3) náklady na produkt zakoupený za jednu cenu jsou přímo úměrné jeho množství.
Chcete-li rozlišit přímou úměrnost od inverzní, můžete použít přísloví: "Čím dále do lesa, tím více palivového dříví."
Úlohy týkající se přímo úměrných veličin je vhodné řešit pomocí proporcí.
1) Na výrobu 10 dílů potřebujete 3,5 kg kovu. Kolik kovu půjde na výrobu 12 těchto dílů?
(Uvažujeme takto:
1. Do vyplněného sloupce umístěte šipku ve směru od největšího čísla k nejmenšímu.
2. Čím více dílů, tím více kovu je potřeba k jejich výrobě. To znamená, že se jedná o přímo úměrný vztah.
Na výrobu 12 dílů nechť je potřeba x kg kovu. Vytvoříme poměr (ve směru od začátku šipky k jejímu konci):
12:10=x:3,5
Chcete-li najít , musíte rozdělit součin extrémních členů známým středním členem:
To znamená, že bude potřeba 4,2 kg kovu.
Odpověď: 4,2 kg.
2) Za 15 metrů látky zaplatili 1680 rublů. Kolik stojí 12 metrů takové látky?
(1. Do vyplněného sloupce umístěte šipku ve směru od největšího čísla k nejmenšímu.
2. Čím méně látky koupíte, tím méně za ni musíte zaplatit. To znamená, že se jedná o přímo úměrný vztah.
3. Druhá šipka je tedy ve stejném směru jako první).
Ať stojí x rublů 12 metrů látky. Vytvoříme proporci (od začátku šipky po její konec):
15:12=1680:x
Chcete-li najít neznámý extrémní člen podílu, vydělte součin středních členů známým extrémním členem podílu:
To znamená, že 12 metrů stojí 1344 rublů.
Odpověď: 1344 rublů.