Derivace odmocniny ze tří. Derivace komplexní funkce
Na kterém jsme zkoumali nejjednodušší derivace, a také se seznámili s pravidly diferenciace a některými technickými technikami hledání derivací. Pokud tedy nejste s derivacemi funkcí příliš zběhlí nebo vám některé body v tomto článku nejsou zcela jasné, přečtěte si nejprve výše uvedenou lekci. Prosím o vážnou náladu - materiál není jednoduchý, ale přesto se jej pokusím podat jednoduše a srozumitelně.
V praxi se musíte s derivací komplexní funkce vypořádat velmi často, dokonce bych řekl, že téměř vždy, když dostanete úkoly na hledání derivací.
Podíváme se do tabulky na pravidlo (č. 5) pro derivování komplexní funkce:
Pojďme na to přijít. V první řadě si dejte pozor na zadání. Zde máme dvě funkce – a , přičemž funkce je, obrazně řečeno, vnořena do funkce . Funkce tohoto typu (když je jedna funkce vnořena do jiné) se nazývá komplexní funkce.
Zavolám funkci vnější funkce a funkce – vnitřní (nebo vnořená) funkce.
! Tyto definice nejsou teoretické a neměly by se objevit v konečném návrhu zadání. Neformální výrazy „externí funkce“, „interní“ funkce používám pouze proto, abych vám usnadnil pochopení látky.
Chcete-li objasnit situaci, zvažte:
Příklad 1
Najděte derivaci funkce
Pod sinem nemáme jen písmeno „X“, ale celý výraz, takže nalezení derivace hned z tabulky nebude fungovat. Všimli jsme si také, že zde nelze použít první čtyři pravidla, zdá se, že existuje rozdíl, ale faktem je, že sinus nelze „roztrhat na kusy“:
V tomto příkladu je již z mých vysvětlení intuitivně jasné, že funkce je komplexní funkce a polynom je vnitřní funkce (vložení) a vnější funkce.
První krok co musíte udělat, když najdete derivaci komplexní funkce, je to pochopit, která funkce je vnitřní a která vnější.
V případě jednoduchých příkladů se zdá jasné, že pod sinus je vnořen polynom. Ale co když není vše zřejmé? Jak přesně určit, která funkce je vnější a která vnitřní? K tomu navrhuji použít následující techniku, kterou lze provést mentálně nebo v konceptu.
Představme si, že potřebujeme vypočítat hodnotu výrazu at na kalkulačce (místo jedné může být libovolné číslo).
Co budeme počítat jako první? Především budete muset provést následující akci: , proto bude polynom vnitřní funkcí:
Za druhé bude nutné najít, takže sinus – bude externí funkce:
Po nás VYPRODÁNO s vnitřními a vnějšími funkcemi je čas uplatnit pravidlo diferenciace komplexních funkcí .
Začněme se rozhodovat. Z lekce Jak najít derivát? pamatujeme si, že návrh řešení jakékoli derivace vždy začíná takto - výraz uzavřeme do hranatých závorek a dáme tah vpravo nahoře:
Nejprve najdeme derivaci externí funkce (sinus), podíváme se na tabulku derivací elementárních funkcí a všimneme si, že . Všechny tabulkové vzorce jsou také použitelné, pokud je „x“ nahrazeno složitým výrazem, v tomto případě:
Vezměte prosím na vědomí, že vnitřní funkce se nezměnilo, nedotýkáme se ho.
No, to je celkem zřejmé
Výsledek použití vzorce ve finální podobě to vypadá takto:
Konstantní faktor je obvykle umístěn na začátku výrazu:
Pokud dojde k nějakému nedorozumění, napište si řešení na papír a znovu si přečtěte vysvětlení.
Příklad 2
Najděte derivaci funkce
Příklad 3
Najděte derivaci funkce
Jako vždy zapisujeme:
Pojďme zjistit, kde máme vnější funkci a kde vnitřní. K tomu se snažíme (mentálně nebo v konceptu) vypočítat hodnotu výrazu v . Co byste měli udělat jako první? Nejprve musíte vypočítat, čemu se rovná základna: proto je polynom vnitřní funkcí:
A teprve potom se provádí umocňování, proto je mocninná funkce externí funkcí:
Podle vzorce Nejprve musíte najít derivaci externí funkce, v tomto případě stupeň. Požadovaný vzorec hledáme v tabulce: . Znovu opakujeme: jakýkoli tabulkový vzorec platí nejen pro „X“, ale také pro komplexní výraz. Tedy výsledek aplikace pravidla pro derivování komplexní funkce další:
Znovu zdůrazňuji, že když vezmeme derivaci vnější funkce, naše vnitřní funkce se nezmění:
Nyní zbývá jen najít velmi jednoduchou derivaci vnitřní funkce a výsledek trochu upravit:
Příklad 4
Najděte derivaci funkce
Toto je příklad, který můžete vyřešit sami (odpověď na konci lekce).
Pro upevnění vašeho chápání derivace komplexní funkce uvedu příklad bez komentáře, zkuste si na to přijít sami, důvod, kde je vnější a kde vnitřní funkce, proč jsou úlohy řešeny tímto způsobem?
Příklad 5
a) Najděte derivaci funkce
b) Najděte derivaci funkce
Příklad 6
Najděte derivaci funkce
Zde máme kořen, a abychom mohli kořen rozlišit, musí být reprezentován jako mocnina. Nejprve tedy funkci převedeme do tvaru vhodného pro derivování:
Při analýze funkce dojdeme k závěru, že součet tří členů je vnitřní funkcí a umocnění je vnější funkcí. Aplikujeme pravidlo derivace komplexních funkcí :
Opět znázorňujeme stupeň jako radikál (odmocninu) a pro derivaci vnitřní funkce použijeme jednoduché pravidlo pro derivování součtu:
Připraveno. Výraz můžete také zredukovat na společného jmenovatele v závorkách a zapsat vše jako jeden zlomek. Je to samozřejmě krásné, ale když vám vzniknou těžkopádné dlouhé derivace, je lepší to nedělat (snadno se splete, uděláte zbytečnou chybu a pro učitele bude nepohodlné to kontrolovat).
Příklad 7
Najděte derivaci funkce
Toto je příklad, který můžete vyřešit sami (odpověď na konci lekce).
Je zajímavé, že někdy místo pravidla pro derivování komplexní funkce můžete použít pravidlo pro derivování kvocientu , ale takové řešení bude vypadat jako neobvyklá perverze. Zde je typický příklad:
Příklad 8
Najděte derivaci funkce
Zde můžete použít pravidlo diferenciace kvocientu , ale mnohem výhodnější je najít derivaci pomocí pravidla derivace komplexní funkce:
Připravíme funkci pro derivování - posuneme mínus ze znaménka derivace a zvedneme kosinus do čitatele:
Kosinus je vnitřní funkce, umocňování je vnější funkce.
Použijme naše pravidlo :
Najdeme derivaci vnitřní funkce a resetujeme kosinus zpět:
Připraveno. V uvažovaném příkladu je důležité nenechat se zmást ve znameních. Mimochodem, zkuste to vyřešit pomocí pravidla , odpovědi se musí shodovat.
Příklad 9
Najděte derivaci funkce
Toto je příklad, který můžete vyřešit sami (odpověď na konci lekce).
Dosud jsme se zabývali případy, kdy jsme měli pouze jedno vnoření v komplexní funkci. V praktických úlohách se často můžete setkat s odvozeninami, kde se jako hnízdící panenky jedna do druhé vnořují 3 nebo dokonce 4-5 funkcí najednou.
Příklad 10
Najděte derivaci funkce
Pojďme pochopit přílohy této funkce. Zkusme spočítat výraz pomocí experimentální hodnoty. Jak bychom počítali s kalkulačkou?
Nejprve musíte najít , což znamená, že arcsinus je nejhlubší vložení:
Tento arkussinus jedné by pak měl být na druhou:
A nakonec zvýšíme sedm na mocninu:
To znamená, že v tomto příkladu máme tři různé funkce a dvě vložení, přičemž nejvnitřnější funkcí je arkussinus a nejvzdálenější funkcí je exponenciální funkce.
Začněme se rozhodovat
Podle pravidla Nejprve musíte vzít derivaci vnější funkce. Podíváme se na tabulku derivací a najdeme derivaci exponenciální funkce: Jediný rozdíl je v tom, že místo „x“ máme komplexní výraz, který nepopírá platnost tohoto vzorce. Tedy výsledek aplikace pravidla pro derivování komplexní funkce další.
Operace hledání derivace se nazývá diferenciace.
V důsledku řešení problémů hledání derivací nejjednodušších (a nepříliš jednoduchých) funkcí definováním derivace jako limity poměru přírůstku k přírůstku argumentu se objevila tabulka derivací a přesně definovaná pravidla derivace. . První, kdo pracoval v oblasti hledání derivátů, byli Isaac Newton (1643-1727) a Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Proto v naší době, abychom našli derivaci libovolné funkce, nepotřebujeme vypočítat výše zmíněnou mez poměru přírůstku funkce k přírůstku argumentu, ale stačí použít tabulku derivace a pravidla diferenciace. Pro nalezení derivace je vhodný následující algoritmus.
Chcete-li najít derivát, potřebujete výraz pod prvočíslem rozdělit jednoduché funkce na komponenty a určit, jaké akce (součin, součet, podíl) tyto funkce spolu souvisí. Dále najdeme derivace elementárních funkcí v tabulce derivací a vzorce pro derivace součinu, součtu a kvocientu - v pravidlech derivování. Tabulka derivací a pravidla diferenciace jsou uvedeny po prvních dvou příkladech.
Příklad 1 Najděte derivaci funkce
Řešení. Z pravidel derivace zjistíme, že derivace součtu funkcí je součtem derivací funkcí, tzn.
Z tabulky derivací zjistíme, že derivace "x" je rovna jedné a derivace sinu je rovna kosinu. Tyto hodnoty dosadíme do součtu derivací a najdeme derivaci požadovanou podmínkou problému:
Příklad 2 Najděte derivaci funkce
Řešení. Derivujeme jako derivaci součtu, ve kterém má druhý člen konstantní faktor, lze jej vyjmout ze znaménka derivace:
Pokud stále vyvstávají otázky, odkud něco pochází, jsou obvykle vyjasněny po seznámení se s tabulkou derivací a nejjednoduššími pravidly diferenciace. Právě k nim přecházíme.
Tabulka derivací jednoduchých funkcí
1. Derivace konstanty (čísla). Jakékoli číslo (1, 2, 5, 200...), které je ve výrazu funkce. Vždy se rovná nule. To je velmi důležité mít na paměti, protože je to velmi často vyžadováno | |
2. Derivace nezávisle proměnné. Nejčastěji "X". Vždy se rovná jedné. To je také důležité si dlouho pamatovat | |
3. Derivace stupně. Při řešení problémů je potřeba převést neodmocniny na mocniny. | |
4. Derivace proměnné k mocnině -1 | |
5. Derivace odmocniny | |
6. Derivace sinusu | |
7. Derivace kosinusu | |
8. Derivace tečny | |
9. Derivace kotangens | |
10. Derivace arcsinusu | |
11. Derivace arkuskosinusu | |
12. Derivace arkustangens | |
13. Derivace obloukového kotangens | |
14. Derivace přirozeného logaritmu | |
15. Derivace logaritmické funkce | |
16. Derivace exponentu | |
17. Derivace exponenciální funkce |
Pravidla diferenciace
1. Derivace součtu nebo rozdílu | |
2. Derivát produktu | |
2a. Derivace výrazu násobená konstantním faktorem | |
3. Derivace kvocientu | |
4. Derivace komplexní funkce |
Pravidlo 1.Pokud funkce
jsou v určitém bodě diferencovatelné, pak jsou funkce diferencovatelné ve stejném bodě
a
těch. derivace algebraického součtu funkcí se rovná algebraickému součtu derivací těchto funkcí.
Následek. Pokud se dvě diferencovatelné funkce liší konstantním členem, pak jsou jejich derivace stejné, tj.
Pravidlo 2.Pokud funkce
jsou v určitém bodě diferencovatelné, pak je jejich produkt diferencovatelný ve stejném bodě
a
těch. Derivace součinu dvou funkcí se rovná součtu součinů každé z těchto funkcí a derivace druhé.
Důsledek 1. Konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka derivace:
Důsledek 2. Derivace součinu několika diferencovatelných funkcí se rovná součtu součinů derivace každého faktoru a všech ostatních.
Například pro tři násobiče:
Pravidlo 3.Pokud funkce
v určitém okamžiku rozlišitelné A , pak v tomto bodě je jejich kvocient také diferencovatelnýu/v a
těch. derivace podílu dvou funkcí se rovná zlomku, jehož čitatel je rozdílem součinů jmenovatele a derivace v čitateli a čitatele a derivace jmenovatele, a jmenovatel je druhá mocnina bývalý čitatel.
Kde hledat věci na jiných stránkách
Při hledání derivace součinu a kvocientu v reálných problémech je vždy nutné aplikovat více diferenciačních pravidel najednou, proto je v článku více příkladů na tyto derivace"Derivace produktu a kvocient funkcí".
Komentář. Neměli byste zaměňovat konstantu (tedy číslo) jako člen v součtu a jako konstantní faktor! V případě členu je jeho derivace rovna nule a v případě konstantního faktoru je vyjmuta ze znaménka derivací. Toto je typická chyba, která se vyskytuje v počáteční fázi studia odvozenin, ale protože průměrný student řeší několik jedno- a dvoudílných příkladů, již tuto chybu nedělá.
A pokud při rozlišování produktu nebo kvocientu máte termín u"proti, ve kterém u- číslo, například 2 nebo 5, tedy konstanta, pak bude derivace tohoto čísla rovna nule, a tedy celý člen bude roven nule (tento případ je probrán v příkladu 10).
Další častou chybou je mechanické řešení derivace komplexní funkce jako derivace jednoduché funkce. Proto derivace komplexní funkce je věnován samostatný článek. Nejprve se ale naučíme najít derivace jednoduchých funkcí.
Po cestě se neobejdete bez transformace výrazů. Chcete-li to provést, možná budete muset otevřít příručku v nových oknech. Akce se silami a kořeny A Operace se zlomky .
Pokud hledáte řešení pro derivace zlomků s mocninou a odmocninou, tedy když funkce vypadá a poté postupujte podle lekce „Derivace součtů zlomků s mocninami a odmocninami“.
Pokud máte úkol jako , poté absolvujete lekci „Derivace jednoduchých goniometrických funkcí“.
Příklady krok za krokem - jak najít derivaci
Příklad 3 Najděte derivaci funkce
Řešení. Definujeme části funkčního výrazu: celý výraz představuje součin a jeho činitele jsou součty, ve druhém z nich jeden z členů obsahuje konstantní činitel. Aplikujeme pravidlo diferenciace součinu: derivace součinu dvou funkcí se rovná součtu součinů každé z těchto funkcí derivací druhé:
Dále použijeme pravidlo součtového derivování: derivace algebraického součtu funkcí se rovná algebraickému součtu derivací těchto funkcí. V našem případě má v každém součtu druhý člen znaménko mínus. V každém součtu vidíme jak nezávislou proměnnou, jejíž derivace je rovna jedné, tak konstantu (číslo), jejíž derivace je rovna nule. Takže „X“ se změní na jedničku a mínus 5 na nulu. Ve druhém výrazu je "x" násobeno 2, takže násobíme dva stejnou jednotkou jako derivace "x". Získáme následující derivační hodnoty:
Nalezené derivace dosadíme do součtu součinů a získáme derivaci celé funkce, kterou vyžaduje podmínka problému:
Příklad 4. Najděte derivaci funkce
Řešení. Musíme najít derivaci kvocientu. Aplikujeme vzorec pro derivování kvocientu: derivace kvocientu dvou funkcí se rovná zlomku, jehož čitatel je rozdílem součinů jmenovatele a derivace čitatele a čitatele a derivace jmenovatel a jmenovatel je druhá mocnina dřívějšího čitatele. Dostáváme:
Derivaci faktorů v čitateli jsme již našli v příkladu 2. Nezapomeňme také, že součin, který je v aktuálním příkladu druhým faktorem v čitateli, je brán se znaménkem mínus:
Pokud hledáte řešení problémů, ve kterých potřebujete najít derivaci funkce, kde je souvislá hromada odmocnin a mocnin, jako je např. , pak vítejte ve třídě "Derivace součtů zlomků s mocninou a odmocninou" .
Pokud se potřebujete dozvědět více o derivacích sinů, kosinů, tečen a dalších goniometrických funkcí, tedy když funkce vypadá , pak lekce pro vás "Derivace jednoduchých goniometrických funkcí" .
Příklad 5. Najděte derivaci funkce
Řešení. V této funkci vidíme součin, jehož jedním z faktorů je druhá odmocnina nezávisle proměnné, s jejíž derivací jsme se seznámili v tabulce derivací. Pomocí pravidla pro derivování součinu a tabulkové hodnoty derivace odmocniny získáme:
Příklad 6. Najděte derivaci funkce
Řešení. V této funkci vidíme kvocient, jehož dividenda je druhou odmocninou nezávislé proměnné. Pomocí pravidla derivace kvocientů, které jsme zopakovali a použili v příkladu 4, a tabulkové hodnoty derivace odmocniny, získáme:
Chcete-li se zbavit zlomku v čitateli, vynásobte čitatel a jmenovatel číslem .
Odvození vzorce pro derivaci mocninné funkce (x na mocninu a). Uvažují se derivace od kořenů x. Vzorec pro derivaci mocninné funkce vyššího řádu. Příklady výpočtu derivací.
Derivace x na mocninu a je rovna a krát x x na mocninu mínus jedna:
(1)
.
Derivace n-té odmocniny x na m-tou mocninu je:
(2)
.
Odvození vzorce pro derivaci mocninné funkce
Případ x > 0
Uvažujme mocninnou funkci proměnné x s exponentem a:
(3)
.
Zde a je libovolné reálné číslo. Podívejme se nejprve na případ.
K nalezení derivace funkce (3) použijeme vlastnosti mocninné funkce a převedeme ji do následujícího tvaru:
.
Nyní najdeme derivaci pomocí:
;
.
Zde .
Formule (1) se osvědčila.
Odvození vzorce pro derivaci kořene stupně n ze stupně x na stupeň m
Nyní zvažte funkci, která je kořenem následujícího formuláře:
(4)
.
Abychom našli derivaci, transformujeme odmocninu na mocninnou funkci:
.
Při porovnání se vzorcem (3) to vidíme
.
Pak
.
Pomocí vzorce (1) najdeme derivaci:
(1)
;
;
(2)
.
V praxi není potřeba se učit nazpaměť vzorec (2). Mnohem pohodlnější je nejprve převést kořeny na mocninné funkce a poté najít jejich derivace pomocí vzorce (1) (viz příklady na konci stránky).
Případ x = 0
Jestliže , pak je pro hodnotu proměnné x = definována mocninná funkce 0
. 0
Najděte derivaci funkce (3) v x =
.
. 0
:
.
K tomu používáme definici derivátu:
Dosadíme x =
.
V tomto případě derivací rozumíme pravostrannou limitu, pro kterou .
Tak jsme našli:
Tak jsme našli:
Z toho je zřejmé, že pro , .
(1)
.
V , . 0
.
Tento výsledek je také získán ze vzorce (1):< 0
Proto vzorec (1) platí i pro x =
(3)
.
Případ x
,
Zvažte znovu funkci (3):
Pro určité hodnoty konstanty a je definována i pro záporné hodnoty proměnné x. 3
Jmenovitě, nechť a je racionální číslo. Pak to může být reprezentováno jako neredukovatelný zlomek: 1
kde m a n jsou celá čísla, která nemají společného dělitele.
.
Pokud je n liché, pak je výkonová funkce definována i pro záporné hodnoty proměnné x.
Například, když n =
.
a m =
.
máme odmocninu x:
.
Je také definován pro záporné hodnoty proměnné x.
.
Najděte derivaci mocninné funkce (3) pro a pro racionální hodnoty konstanty a, pro kterou je definována. Za tímto účelem znázorníme x v následujícím tvaru:
.
Pak
.
pak ,
(1)
.
Derivaci najdeme tak, že konstantu umístíme mimo znaménko derivace a použijeme pravidlo pro derivování komplexní funkce:
Zde . Ale
(3)
.
Od té doby
.
To znamená, že vzorec (1) platí také pro:
.
Deriváty vyššího řádu
;
.
Nyní najdeme derivace vyššího řádu mocninné funkce Již jsme našli derivaci prvního řádu: Když vezmeme konstantu a mimo znaménko derivace, najdeme derivaci druhého řádu:
.
Podobně najdeme deriváty třetího a čtvrtého řádu: Z toho je jasné, že derivace libovolného n-tého řádu
.
má následující podobu:
,
Všimněte si toho
je-li a přirozené číslo
, pak je n-tá derivace konstantní:
Pak jsou všechny následující derivace rovny nule:
.
v .
Příklady výpočtu derivací
;
.
Příklad
.
Najděte derivaci funkce:
;
.
Řešení
.