Pohlavní struktura populace odráží. Základy populační ekologie
PŘEDNÁŠKY
Podle disciplíny:
Ekonomické a matematické
metody a modely
UČITEL MATSNEV A.P.
Moskva2004 rok
1. Modelování ekonomických systémů.
Základní pojmy a definice
1.1. Vznik a vývoj systémových konceptů
1.2. Modely a simulace. Klasifikace modelu
1.3. Typy podobnosti modelů
1.4. Přiměřenost modelů
2. MATEMATICKÉ MODELY A METODY JEJICH VÝPOČTU
2.1. Koncepce operačního výzkumu
2.2. Klasifikace a principy konstrukce matematických modelů
3. Pár informací z matematiky
3.1. Konvexní sady
3.2. Lineární nerovnosti
3.3. Hodnoty lineárního tvaru na konvexní množině
4. PŘÍKLADY PROBLÉMŮ LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ
4.1. Přepravní úkol
4.2. Obecná formulace problému lineárního programování
4.3. Grafická interpretaceřešení problémů lineárního programování
5. METODY ŘEŠENÍ PROBLÉMŮ LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ
5.1. Obecné a základní problémy lineárního programování
5.2. Geometrická metoda řešení úloh lineárního programování
5.3. Grafické řešení problému alokace zdrojů
5.4. Simplexní metoda
5.5. Analýza simplexových tabulek
5.6. Řešení dopravních problémů
6. NELINEÁRNÍ METODY PROGRAMOVÁNÍ
A MULTIKRITERIÁLNÍ OPTIMALIZACE
6.1. Sdělení problému nelineárního programování
6.2. Sdělení problému dynamického programování
Základní podmínky a rozsah
6.3. Vícekriteriální optimalizace
1. Modelování ekonomických systémů.
Základní pojmy a definice.
1.1.
Vznik a vývoj systémových konceptů Vědeckotechnická revoluce vedla ke vzniku takových koncepcí, jako je velké a složité ekonomické systémy s problémy, které jsou pro ně specifické. Potřeba řešit takové problémy vedla ke vzniku speciálních přístupů a metod, které se postupně kumulovaly a zobecňovaly, až nakonec vytvořily speciální věda
- analýza systému. Na počátku 80. let se systematika stala nejen teoretickou kategorií, ale i vědomým aspektem. Rozšířil se koncept, že naše úspěchy souvisí s tím, jak systematicky přistupujeme k řešení vznikajících problémů, a naše neúspěchy jsou způsobeny nedostatkem systematičnosti v našem jednání. Signálem nedostatečné systematičnosti v našem přístupu k řešení problému je objevení se problému a k vyřešení vzniklého problému dochází zpravidla tehdy, když přecházíme na novou, vyšší úroveň systematičnosti naší činnosti. Systematika tedy není jen stav, ale i proces.
Vznikly v různých oblastech lidské činnosti různé přístupy a odpovídající metody řešení specifických problémů, které dostaly různá jména: ve vojenských a ekonomických záležitostech - "operační výzkum" v politickém a administrativním řízení - "systémový přístup", ve filozofii "dialektický materialismus" v aplikovaném vědeckém výzkumu - "kybernetika". Později se ukázalo, že všechny tyto teoretické a aplikované disciplíny tvoří jakýsi jednotný proud, „systémové hnutí“, které se postupně formovalo ve vědě zvané „systémová analýza“. V současné době je systémová analýza samostatnou disciplínou, která má svůj vlastní předmět činnosti, vlastní poměrně silný arzenál nástrojů a vlastní aplikační oblast. Jako v podstatě aplikovaná dialektika využívá systémová analýza všechny moderní prostředky vědecký výzkum- matematika, modelování, výpočetní technika a přírodní experimenty.
Nejzajímavější a nejobtížnější část systémové analýzy - jedná se o „vytahování“ problému ze skutečného praktického problému, oddělování důležitého od nedůležitého, hledání správné formulace pro každý ze vznikajících problémů, tzn. čemu se říká „problémové prohlášení“.
Mnoho lidí dost často podceňuje práci spojenou s formulací problému. Mnoho odborníků se však domnívá, že „dobře položit problém znamená vyřešit jej napůl“. Přestože se zákazníkovi ve většině případů zdá, že svůj problém již formuloval, systémový analytik ví, že klientem navržené řešení problému je modelem jeho skutečné problémové situace a má nevyhnutelně cílovou povahu, zůstává přibližné a zjednodušené. Proto je nutné zkontrolovat přiměřenost tohoto modelu, což vede k vývoji a zdokonalování původního modelu. Velmi často počáteční formulace není napsána z hlediska jazyků potřebných k sestavení modelu.
1.2.
Zpočátku byl model nazýván určitým pomocným nástrojem, objektem, který v určitých situacích nahrazoval jiný objekt. Například figurína v určitém smyslu nahrazuje osobu, je vzorem lidské postavy. Staří filozofové věřili, že přírodu lze zobrazit pouze pomocí logiky a správného uvažování, tzn. podle moderní terminologie pomocí jazykových modelů. O několik století později se motto Anglické vědecké společnosti stalo sloganem: „Nic ve slovech!“ Byly uznány pouze závěry podpořené experimentálními nebo matematickými výpočty.
V současné době existují 3 způsoby, jak pochopit pravdu:
teoretický výzkum;
experiment;
modelování.
Model se nazývá náhradní objekt, který za určitých podmínek může nahradit původní objekt, reprodukující vlastnosti a vlastnosti originálu, které nás zajímají, a má významné výhody:
- láce;
- viditelnost;
- jednoduchost obsluhy atd.
V teorii modelů modelování je výsledkem mapování jedné abstraktní matematické struktury na jinou – rovněž abstraktní, nebo jako výsledek interpretace prvního modelu v termínech a obrazech druhého.
Vývoj konceptu modelu přesáhl hranice matematických modelů a začal se vztahovat na jakékoli znalosti a představy o světě. Vzhledem k tomu, že modely hrají mimořádně důležitou roli v organizaci jakékoli lidské činnosti, lze je rozdělit na kognitivní (kognitivní) a pragmatické, což odpovídá rozdělení cílů na teoretické i praktické.
Kognitivní model je zaměřena na přiblížení modelu realitě, kterou tento model odráží. Kognitivní modely jsou formou organizace a reprezentace znalostí, prostředkem propojování nových znalostí s existujícími znalostmi. Když je tedy zjištěn nesoulad mezi modelem a realitou, vyvstává úkol tento rozpor eliminovat změnou modelu.
Pragmatické modely jsou prostředkem řízení, prostředkem organizace praktických jednání, způsobem prezentace příkladně správných jednání nebo jejich výsledků, tzn. jsou pracovní reprezentací cílů. Proto, když je zjištěna nesrovnalost mezi modelem a realitou, je třeba zaměřit úsilí na změnu reality, aby se realita přiblížila modelu. Pragmatické modely jsou tedy svou povahou normativní a hrají roli modelu, kterému se přizpůsobuje realita. Příklady pragmatických modelů jsou plány, kodexy zákonů, pracovní výkresy atd.
Dalším principem pro klasifikaci cílů modelování může být rozdělení modelů na statické a dynamické.
Pro některé účely můžeme potřebovat model konkrétního stavu objektu v určitém okamžiku, jakýsi „snímek“ objektu. Takový Modely se nazývají statické . Příklady jsou strukturální modely systémy
V případech, kdy je potřeba zobrazit proces změny stavů, je to vyžadováno dynamické modely systémy
Člověk má k dispozici dva druhy materiálů pro konstrukci modelů – prostředky samotného vědomí a prostředky okolního hmotného světa. Podle toho se modely dělí na abstraktní (ideální) a materiální.
To je zřejmé abstraktní modely zahrnují jazykové konstrukty a matematické modely. Největší přesnost mají matematické modely, ale abyste se dostali k jejich použití v této oblasti, musíte získat dostatečné množství znalostí. Podle Kanta lze jakýkoli obor vědění nazvat vědou tím více, čím více se v něm používá matematika.
1.3.
Typy podobnosti modelů
Aby mohla být vzorem nějaká materiálová struktura, tzn. v určitém ohledu nahradil originál, musí být mezi originálem a modelem vytvořen vztah podobnosti. Existují různé způsoby, jak stanovit takovou podobnost, což dává modelům vlastnosti specifické pro každou metodu. Především jde o podobnost zjištěnou během procesu vytváření modelu. Říkejme tomu . podobnost s přímými
Příkladem takové podobnosti jsou fotografie, zmenšené modely letadel, lodí, modely staveb, vzory, panenky atd. Je třeba připomenout, že bez ohledu na to, jak dobrý je model, je to stále pouze náhrada za originál, pouze v v určitém ohledu
. I když je model přímé podobnosti vyroben ze stejného materiálu jako originál, tzn. je podobný tomu v substrátu, vznikají problémy při přenosu výsledků simulace do originálu. Například při testování zmenšeného modelu letadla v aerodynamickém tunelu se úkol přepočítat data modelového experimentu stává netriviální a vzniká rozvětvená, smysluplná teorie podobnosti, která umožňuje harmonizovat měřítko a podmínky experimentu. experiment, rychlost proudění, viskozita a hustota vzduchu. U fotokopií uměleckých děl a holografických obrazů uměleckých předmětů je obtížné dosáhnout zaměnitelnosti mezi předlohou a originálem. Druhý typ podobnosti mezi modelem a originálem se nazývá . Nepřímá podobnost mezi originálem a modelem objektivně existuje v přírodě a je detekována v podobě dostatečné blízkosti nebo shody jejich abstraktních matematických modelů a v důsledku toho je široce používána v praxi reálného modelování. Nejtypičtějším příkladem je elektromechanická analogie mezi kyvadlem a elektrickým obvodem.
Ukázalo se, že mnoho vzorců elektrických a mechanických procesů je popsáno stejnými rovnicemi, rozdíl spočívá v odlišné fyzikální interpretaci proměnných obsažených v této rovnici. Role modelů s nepřímou podobností je velmi velká a úlohu analogií (modelů nepřímé podobnosti) ve vědě a praxi nelze přeceňovat. Analogové počítače umožňují nalézt řešení téměř jakékoli diferenciální rovnice, představují tedy model, obdobu procesu popsaného touto rovnicí. Použití elektronických analogů v praxi je dáno tím, že elektrické signály lze snadno měřit a zaznamenávat, což dává známé výhody modelu.
Třetí, speciální třídu modelů tvoří modely, jejichž podobnost s originálem není přímá ani nepřímá, ale založeno dohodou . Tato podobnost se nazývá podmíněná. S modely podmíněné podobnosti se musíme potýkat velmi často, protože jsou způsobem materiálního ztělesnění abstraktních modelů. Příklady podmíněné podobnosti jsou peníze (hodnotový model), průkaz totožnosti (model vlastníka) a všechny druhy signálů (modely zpráv).
Všechny modely, které člověk používá v různých oblastech své činnosti, lze rozdělit do dvou skupin: materiální a abstraktní. Ty první jsou objektivní, vlastně se jich můžete dotknout rukama. Ty poslední existují pouze v lidské vědomí. V rámci tohoto článku se budeme zabývat pouze matematickými metodami a modely v ekonomii. Používají se k analýze procesů a jevů vyskytujících se v této oblasti. Jejich použití nám umožňuje stanovit nové ekonomické úkoly. Díky nim management rozhoduje o řízení organizace, společnosti a podniku.
Matematické operace v ekonomii jsou nejúčinnějším nástrojem pro studium problémů v této oblasti. V moderní vědecké a technické činnosti stávají se důležitou formou modelingu. A v praxi plánování a řízení je tato metoda hlavní.
Ekonomické a matematické metody a modely jsou základem, na kterém jsou implementovány různé programy, původně určené k řešení problémů plánování, analýzy a řízení. Spolu s technickými prostředky a databázemi jsou součástí systému člověk-stroj. Umožňuje vám používat modely a znalosti k řešení různých druhů problémů (nestrukturovaných i slabě strukturovaných).
V závislosti na kritériích, která jsou základem rozdělení, jsou ekonomické a matematické metody a modely klasifikovány následovně.
1. Podle jejich účelu jsou:
Aplikované, to znamená, že s jejich pomocí se řeší konkrétní problémy;
Teoreticko-analytické (používají se, když potřebujete prozkoumat obecné vzory a známky vývoje procesů probíhajících v ekonomice).
2. Podle toho, jaké vztahy příčina-následek odrážejí:
Deterministický;
Pravděpodobnostní (zohlednit faktor vznikající nejistoty).
3.Podle úrovně těch procesů v ekonomice, které studují:
Výrobní a technologické;
Socioekonomická.
4. Podle způsobu, jakým se odráží faktor času:
Dynamické, ukazují probíhající změny;
Statické, všechny závislosti zde odrážejí pouze jedno časové období nebo okamžik.
5. Podle úrovně podrobností:
Makromodely (agregované);
Mikromodely (podrobně).
6. Podle formy, ve které jsou matematické závislosti vyjádřeny:
Nelineární;
Lineární - jsou velmi vhodné pro výpočty a analýzy, což vedlo k jejich širší distribuci.
Ekonomicko-matematické metody a modely mají také své vlastní principy konstrukce. Patří sem:
1. Princip jednoznačnosti dat. Podle něj by na těch parametrech neměly záviset informace, které se použijí na začátku simulace budoucí systém, které jsou zapnuté v této fázi výzkum ještě není znám.
2. Zásada úplnosti výchozí informace. To znamená, že výchozí informace musí být velmi přesné, protože na nich závisí získané výsledky.
3. Princip kontinuity. Říká, že ty vlastnosti objektu, které se odrazily nebo ustálily v prvních modelech, musí být zachovány v každém dalším.
4. Princip efektivní implementace. Každý model musí být použit v praxi. V jeho implementaci by měly pomoci nejnovější výpočetní nástroje.
Ekonomické a matematické metody a modely jsou vždy budovány v několika fázích:
1) Definice problému, jeho analýza.
2) Design Jedná se o jeho vyjádření ve formě funkcí, diagramů, rovnic.
3) Analýza výsledného modelu pomocí matematických technik.
4) Příprava výchozích informací.
5) Jedná se o vlastní vývoj programů, sestavování algoritmů a provádění výpočtů.
6) Analýza získaných výsledků, jejich praktická aplikace.
Každá z těchto fází může mít svá specifika v závislosti na uvažované oblasti znalostí.
Ekonomické a matematické metody a modely
Metodické pokyny a kontrolní úkoly pro studenty
denní a částečné vzdělávání.
Stavropol 2007
Tato příručka je určena pro studenty ekonomické speciality. Učební plán kurzu je dlouhý 75 hodin a zahrnuje zkušební práce pro dálkové studium.
Příručka obsahuje řešení problémů na relevantní témata osnovy, nezbytné pokyny a jsou zadány úkoly ke zkoušce. Tuto příručku mohou používat na plný úvazek a korespondenční oddělení za samostatnou práci a přípravu na zkoušku.
Zavedení
V současnosti jsou rozhodovací procesy v ekonomii založeny na poměrně široké škále ekonomických a matematických metod a modelů. Žádné závažné rozhodnutí ovlivňující řízení odvětví a podniků, alokaci zdrojů, studium tržních podmínek, prognózování, plánování atd. se neobejde bez předběžné matematické studie konkrétního procesu nebo jeho částí.
V tomto ohledu je studium disciplíny „Ekonomické a matematické metody a modely“ zaměřeno jak na rozvíjení porozumění úloze moderní matematiky v ekonomii u studentů, tak na studium nejdůležitějších ekonomických a matematických metod pro studium modelů a optimalizace. problémy.
Cílem této disciplíny je studium matematických metod ŠVP, aplikace základních metod matematického modelování ŠVP při řešení optimalizačních úloh a rozvoj dovedností při řešení pracovně náročných aplikovaných ekonomických a matematických problémů s využitím výpočetní techniky.
Účelem studia této disciplíny je připravit ekonomického specialistu pro vědomé používání matematických metod pro studium SES na základě odpovídajících základních modelů.
Studium oboru zahrnuje kombinaci přednášek, praktických cvičení a samostatná práce studentů. Přednášky představují obsah disciplíny a analyzují základní matematické pojmy a metody. Praktická cvičení zaměřené na rozvoj dovedností studentů při řešení standardních ekonomických problémů. Vedena principem zvyšování úrovně základní matematické přípravy studentů s posilováním její aplikované ekonomické orientace autor navrhuje ekonomicky nejvýznamnější problémy, které jsou předmětem samostatného zájmu a umožňují relativně produktivně zvládnout algoritmus pro jejich řešení v nepřítomnosti. učebnice.
Po absolvování oboru „Ekonomické a matematické metody a modely“ musí student:
Mít porozumění metodám systémové analýzy a řízení systémů environmentální kontroly;
Znát základní pojmy, definice a základní matematické metody používané při sestavování modelů SES;
Umět provádět výpočty a odhady parametrů pro základní matematické modely SES;
Umět řešit aplikované ekonomické a matematické problémy na základě základní znalosti v matematice, odpovídající Státnímu vzdělávacímu standardu.
Obecné pokyny
Pro úplnější a sebevědomější rozvoj dovedností studentů řešit problémy v disciplíně „Ekonomické a matematické metody a modely“ jsou nabízeny tyto pokyny. Autor se řídil obecnými cílovými zásadami studia této disciplíny a také zásadou zvyšování úrovně základní matematické přípravy studentů k pochopení významu konstruování a zkoumání matematických modelů v ekonomii.
Uvedené pokyny lze využít při provádění samostatné a kontrolní práce, pohovorů při skládání testu.
Při vyplňování testu musí korespondenční studenti dodržovat následující pokyny:
Na obálce je uvedeno příjmení a iniciály studenta, úplný kód odbornosti, skupina, datum zápisu, příjmení a iniciály revizního učitele;
Řešení všech problémů a jejich vysvětlení musí být dostatečně podrobné; výpočty a výkresy - úplné a přesné.
Číslo zkušební práce odpovídá poslední číslici jejího tréninkového kódu.
Test se odevzdává na děkanátu nejpozději 10 dnů před zahájením zasedání. Při absolvování testu musí student poskytnout vysvětlení k vypracovaným úkolům.
1. Výzkum operací v ekonomii: Učebnice. příspěvek / ed. N.Sh. Kremer./ – M.: UNITY, 2000. - 407 s.
2. Workshop o vyšší matematice pro ekonomy: Proc. příručka pro vysoké školy / Kremer N.Sh. atd.; upravil prof. N.Sh.Kremera - M.: UNITY - DANA, 2005. - 423 s.
3. Akulich I.L. Matematické programování v příkladech a úlohách: Proc. příspěvek M..: postgraduální škola, 1986. - 319 s.
4. Morozov V.V., Sukharev A.T., Fedorov V.V. Výzkum operací v příkladech a problémech.: Proc. příspěvek. M.: Vyšší škola, 1986. – 287 s.
5. Ventzel E.S. Operační výzkum. Cíle, principy, metodologie. Učebnice manuál pro vysokoškoláky. – M.: Vyšší škola, 2001. – 208 s.
6. Zamkov O.O., Tolstopyatenko A.V., Cheremnykh Yu.N. Matematické metody v ekonomii: Učebnice 2. vyd. – M.: Moskevská státní univerzita pojmenovaná po. M.V. Lomonosov, nakladatelství „Delo a servis“, 1999. – 368 s.
7. Monachov A.V. Matematické metody ekonomické analýzy. – Petrohrad: Petr, 2002. – 176 s.
8. Ekonomické a matematické metody a aplikované modely: Učebnice. příručka pro vysoké školy / V.V. Fedosejev, A.N. Garmash, D.M. Dayitbegov a kol., ed. V.V. Fedoseeva. – M.: UNITY, 1999. -391 s.
Slovníček pojmů.
Aditivitu- vlastnost množství, která spočívá ve skutečnosti, že hodnota množství odpovídající celému objektu se rovná součtu hodnot množství odpovídajících jeho částem pro jakékoli rozdělení objektu na části. Charakteristika systému je aditivní, pokud se rovná součtu stejných charakteristik pro všechny subsystémy a prvky, které systém tvoří.
Adekvátnost modelu- jeho shoda s modelovaným objektem nebo procesem. Při modelování máme na mysli přiměřenost nikoli obecně, ale z hlediska těch vlastností modelu, které jsou pro studium považovány za zásadní.
Přiblížení- přibližný výraz komplexní funkce pomocí jednodušších, což často značně zjednodušuje řešení problému.
Předpovědi variant- prognózy založené na porovnání různých možností možný vývoj hospodářství za různých předpokladů ohledně toho, jak se technologie bude vyvíjet, co bude přijato ekonomická opatření atd.
Vektorová optimalizace -řešení úloh matematického programování, ve kterých je kritériem optimality vektor, jehož složkami jsou zase různá neredukovatelná kritéria optimality pro subsystémy zahrnuté v daném systému, například kritéria pro různé sociální skupiny v socioekonomickém plánování.
Verifikace simulačního modelu- kontrola souladu jejího chování s předpoklady experimentátora.
Pravděpodobnostní model - model, který na rozdíl od deterministického modelu obsahuje náhodné prvky. Když tedy specifikujete určitou sadu hodnot na vstupu modelu, jeho výstup může produkovat různé výsledky v závislosti na působení náhodného faktoru.
Zastupitelnost zdrojů- schopnost využívat různé zdroje k dosažení optima. To je přesně to, co určuje problém volby: tam, kde není zastupitelnost, neexistuje volba, a pak základní koncept optimality ztrácí smysl.
Genetická prognóza(“search”) - předpověď ukazující, jakých stavů dosáhne předpovídaný objekt v daném čase za určitých počátečních podmínek.
Globální modelování nebo modelování globálního rozvoje je oblast výzkumu věnovaná vývoji modelů největších sociálních, ekonomických a environmentálních procesů pokrývajících celý svět.
Gradientní metodyřešení úloh matematického programování - metody založené na hledání extrému (maxima nebo minima) funkce postupným přechodem k němu pomocí gradientu této funkce.
Dekompoziční metody řešení optimálních problémů- založené na racionálním dělení složitý úkol a řešení jednotlivých dílčích problémů s následnou koordinací častých řešení pro získání celkového optimálního řešení.
Popisný model- model určený k popisu a vysvětlení pozorovaných skutečností nebo predikce chování objektů - na rozdíl od normativních modelů určených k nalezení požadovaného stavu objektu (například optimálního).
Deterministický model- analytická reprezentace vzoru, operace atd., ve které lze pro danou sadu vstupních hodnot získat jediný výsledek na výstupu systému. Takový model může odrážet jak pravděpodobnostní systém (v tom případě jde o jeho určité zjednodušení), tak i deterministický systém.
Deterministický systém- takový systém, jehož výstupy (výsledky působení, konečné stavy atd.) jsou jednoznačně určeny řídicími vlivy, které na něj působí.
Dynamický systém- jakýkoli systém, který se v čase mění (na rozdíl od statického systému). Matematicky se to obvykle vyjadřuje pomocí proměnných (souřadnic), které se v čase mění. Proces změny je charakterizován trajektorií (tj. soubory souřadnic, z nichž každá je funkcí času).
Dynamické modely vstupní rovnováhy - speciální případ dynamických ekonomických modelů, jsou založeny na principu mezisektorové rovnováhy, do které jsou navíc zavedeny rovnice, které charakterizují změny sektorových vazeb v čase.
Iterační (iterativní) metody řešení problémů- spočívá v tom, že výpočetní proces začíná nějakým zkušebním (libovolným) proveditelným řešením a následně je aplikován algoritmus, který zajistí důsledné zlepšování tohoto řešení.
Iterace - opakovanou aplikací matematické operace (s upravenými daty) při řešení výpočetních úloh se postupně přibližovat k požadovanému výsledku. Iterativní výpočty na počítači jsou typické pro řešení ekonomických (zejména optimalizačních a bilančních) problémů. Čím méně přepočtů je potřeba, tím rychleji algoritmus konverguje.
Přímé poměry nákladů(technologický koeficienty) v meziodvětvové bilanci - průměrná hodnota přímých nákladů výrobků jednoho odvětví (jako výrobních prostředků) na výkon jednotky výroby jiného odvětví. Mohou být vyjádřeny v naturáliích (kWh atd.) nebo v hodnotě (rub.).
Kritérium optimalizace - ukazatel vyjadřující míru ekonomického efektu obchodního rozhodnutí učiněného pro srovnávací hodnocení možná řešení(alternativy) a výběr toho nejlepšího (například maximální zisk, minimální mzdové náklady, nejkratší dobu dosažení cíle atd.)
Celkové poměry nákladů na materiál ve vstupní bilanci - průměrné náklady i-tého výrobku na výrobu finálního výrobku j v celém řetězci související výroby. Skládají se tedy z přímých nákladů každého odvětví na daný produkt a nepřímých nákladů.
Přímé poměry nákladů(technologické koeficienty) v meziodvětvové bilanci jsou průměrné hodnoty přímých nákladů výrobků jednoho odvětví (jako výrobních prostředků) na výkon jednotky výroby jiného odvětví. Mohou být vyjádřeny v naturáliích (kWh atd.) nebo v hodnotě (rub.).
Matematické programování(optimální programování) je obor matematiky, který kombinuje různé matematické metody a disciplíny: lineární programování, nelineární programování, dynamické programování, konvexní programování atd. Obecným problémem matematického programování je najít optimální (maximální nebo minimální) hodnotu objektivní funkce a hodnoty proměnných musí patřit do určitého rozsahu přijatelných hodnot.
Maticové modely- modely postavené ve formě tabulek (matic). Zobrazují vztah mezi výrobními náklady a jejich výsledky, nákladovými normami, výrobou a ekonomická struktura farmy. Používají se v meziodvětvové bilanci, maticovém plánu podniku atd.
Strojová imitace- experimentální metoda studia objektu pomocí elektronických počítačů Proces simulace je následující: nejprve se sestaví matematický model studovaného objektu (simulační model), poté se tento model převede do počítačového programu.
Meziodvětvová bilance (IB) - rámcový model ekonomiky, tabulka, která ukazuje rozmanité přírodní a nákladové souvislosti v národním hospodářství. Analýza MOB poskytuje komplexní popis procesu tvorby a využití celkového sociálního produktu v odvětvovém kontextu.
Objektivně stanovené (optimální) odhady - jeden ze základních konceptů lineárního programování. Jedná se o posouzení produktů, zdrojů a práce vyplývající z podmínek řešeného optimalizačního problému. Nazývají se také duální odhady, rozlišovací multiplikátory, Lagrangeovy multiplikátory a řada dalších termínů.
Omezení modelu- záznam podmínek, za kterých jsou výpočty pomocí tohoto modelu platné. Obvykle představují soustavu rovnic a nerovnic, společně určují oblast přípustných řešení (přípustnou množinu). Lineární a nelineární omezení jsou běžná (na grafu jsou první znázorněna jako přímky, druhá jako zakřivené čáry).
Jistota v systému - situace, kdy existují přesné informace o možných stavech systému v případě přijímání určitých rozhodnutí.
Optimální plánování- soubor metod, které vám umožňují vybrat si jednu z mnoha možných (alternativních) možností plánu nebo programu nejlepší možnost, tedy nejlepší z hlediska daného kritéria optimality a určitých omezení.
Optimální programování - aplikace metod matematického programování v ekonomii.
Optimální ovládání- základní koncept matematické teorie optimálních procesů (spadající do stejnojmenného oboru matematiky: optimální řízení); znamená výběr takových parametrů řízení, které by z hlediska daného kritéria zajistily nejlepší tok procesu, nebo jinak řečeno nejlepší chování systému, jeho vývoj k cíli po optimální trajektorii.
Problém s optimalizací - ekonomický a matematický problém, jehož cílem je najít nejlepší (z hlediska nějakého kritéria) rozložení dostupných zdrojů. Řešeno pomocí optimalizačního modelu s využitím metod matematického programování.
Optimalizace- 1) proces hledání extrému funkce, tj. výběr nejlepší možnosti z řady možných; 2) proces uvedení systému do nejlepšího (optimálního) stavu. Fronta - v teorii front - je posloupnost požadavků nebo aplikací, které, když zjistí, že je servisní systém zaneprázdněn, neodejdou, ale čekají na jeho uvolnění (pak jsou obsluhovány v té či oné objednávce). Frontu lze také nazvat jako soubor čekajících (nečinných) kanálů nebo služeb.
Pasivní (nepodmíněná) statistická předpověď- prognóza vývoje založená na studiu statistických dat za minulé období a přenosu zjištěných vzorců do budoucnosti. Vnější faktory ovlivňující systém jsou přitom přijímány jako nezměněné a má se za to, že jeho vývoj je založen pouze na jeho vlastních, vnitřních tendencích.
Limitní a přírůstkové hodnoty v ekonomii. Mezní hodnota necharakterizuje stav (jako celkový resp průměrná hodnota), ale proces, změna. Vzhledem k tomu, že většina procesů v ekonomii (například růst produkce nebo změny její účinnosti) je funkcí řady argumentů (faktorů), limitní hodnoty zde obvykle fungují jako parciální derivace procesu pro každý z faktorů.
Prognózování- systém vědeckého výzkumu kvalitativního a kvantitativního charakteru zaměřený na zjišťování trendů ve vývoji národního hospodářství a hledání optimální způsoby, jak dosáhnout cíle tento vývoj.
Prognóza poptávky- výzkum budoucí (možné) poptávky po zboží a službách za účelem lepší odůvodnění odpovídající výrobní plány. Prognózování se dělí na krátkodobé (tržně orientované), střednědobé a dlouhodobé.
Produkční funkce- ekonomická a matematická rovnice, která spojuje proměnné hodnoty nákladů (zdrojů) s hodnotami produktů (výkonu). Matematicky mohou být produkční funkce (PF) reprezentovány v různých formách - od jednoduchých jako lineární závislost výsledek výroby od jednoho zkoumaného faktoru až po velmi složité soustavy rovnic, včetně rekurentních vztahů, které dávají do souvislosti stavy studovaného objektu v různá obdobíčas. Multiplikativní formy PF jsou rozšířené.
zůstatek - stav ekonomického systému charakterizovaný rovností nabídky a poptávky po všech zdrojích.
Regrese- závislost průměrné hodnoty náhodné veličiny na jiné hodnotě nebo několika hodnotách . Rozdělení těchto hodnot se nazývá podmíněné rozdělení na daný X. Vícenásobná regrese za určitých podmínek umožňuje zkoumat vliv kauzálních faktorů.
Rekurze- V v obecném smyslu výpočet funkce pomocí specifického algoritmu. Příkladem takových algoritmů jsou opakující se vzorce, které odvozují výpočet daného členu posloupnosti (obvykle numerického) z výpočtu několika předchozích členů.
Statistické modelování- způsob studia procesů řízení pravděpodobnostních systémů v podmínkách, kdy vnitřní interakce v těchto systémech nejsou známy.
Stochastická simulace- typ strojové simulace, který se liší od deterministické tím, že zahrnuje náhodné poruchy v modelu v té či oné formě, odrážející pravděpodobnostní povahu simulovaného systému.
Stabilita řešení- obvykle, když mluvíme o stabilitě řešení problému, mají na mysli, že malé změny v jakýchkoli charakteristikách, například počáteční podmínky, omezení nebo cílový funkční, nevedou k kvalitativní změnařešení.
Objektivní funkce v extrémních problémech - funkce, jejíž minimum nebo maximum je třeba najít. Tento klíčový koncept optimální programování. Po nalezení extrému účelové funkce, a tedy určení hodnot řízených proměnných, které k tomu vedou, najdeme optimální řešení problému.
Váhy- systém čísel nebo jiných prvků přijatých pro hodnocení nebo měření jakýchkoli veličin. Škály se používají k posouzení a identifikaci souvislostí a vztahů mezi prvky systémů. Jejich použití je zvláště rozšířené pro hodnocení veličin, které fungují jako kritéria pro kvalitu fungování systémů, zejména jako kritéria pro optimalitu při řešení ekonomických a matematických problémů.
Praktická lekce.
Podrobit. Metody lineární algebry v ekonomické analýze.
Cíl. Řešení ekonomických problémů s prvky modelování na základě základní základ lineární algebry.
1. Referenční materiál.
Pojem matice se často používá v praktických činnostech, například údaje o produkci několika druhů výrobků v každém čtvrtletí roku nebo nákladové sazby několika druhů zdrojů na výrobu několika typů výrobků, atd. Je vhodné jej zapsat v maticové formě.
Úkol 1. V některých odvětvích vyrábí m továren n typů výrobků. Matice stanoví objemy výroby v každém závodě v prvním čtvrtletí, matice podle toho ve druhém; (a ij, in ij) – objemy výrobků typu j v závodě i v 1. a 2. čtvrtletí, resp.
; .
a) objemy výroby;
b) zvýšení objemů výroby ve druhém čtvrtletí oproti prvnímu podle typů výrobků a rostlin;
c) hodnotové vyjádření vyrobených produktů za šest měsíců (v dolarech), pokud λ je směnný kurz dolaru vůči rublu.
Řešení:
a) Objemy výroby za pololetí jsou určeny součtem matic, tzn. С=А+В=, kde с ij je objem produktů j-tého typu vyrobených během půl roku I továrna.
b) Nárůst ve druhém čtvrtletí oproti prvnímu je určen rozdílem matic, tzn.
D=V-A= . Negativní prvky ukazují, že objem výroby v tomto závodě se snížil, pozitivní prvky se zvýšily a nula prvků se nezměnila.
c) Součin λC= λ(A+B) vyjadřuje náklady na objem výroby za čtvrtletí v dolarech pro každý závod a každý podnik.
Úkol 2. Podnik vyrábí n typů produktů s využitím m typů zdrojů. Nákladové sazby zdroje i-tého produktu na výrobu jednotky produktu j-tého typu jsou specifikovány nákladovou maticí. Nechte podnik vyrobit množství každého typu výrobku zaznamenané v matrici za určité časové období.
Určete S - matici celkových nákladů na zdroje každého druhu na výrobu všech výrobků za toto obdobíčas pokud
, . Řešení. Matice celkových nákladů na zdroje S je definována jako součin matic, tzn. S=AX.
, tj. za dané časové období bude spotřebováno 930 jednotek. zdroj 1. typu, 960 jednotek. zdroj 2. typu, 450 jednotek. zdroj 3. typu, 630 jednotek. zdroj 4. typu.
Úkol 3. Závod vyrábí motory, které mohou buď okamžitě vyžadovat dodatečné seřízení (ve 40 % případů), nebo mohou být okamžitě použity (v 60 % případů). Jak je ukázáno statistický výzkum motory, které původně vyžadovaly seřízení, budou vyžadovat dodatečné seřízení po měsíci v 65 % případů a ve 35 % případů budou po měsíci dobře fungovat. Stejné motory, které nevyžadovaly počáteční seřízení, to budou vyžadovat po měsíci ve 20 % případů a budou nadále dobře fungovat v 80 % případů. Jaké je procento motorů, které budou fungovat dobře nebo vyžadují ladění 2 měsíce po vydání? Za 3 měsíce?
Řešení.
V okamžiku po vydání je podíl dobrých motorů 0,6 a podíl těch, které vyžadují úpravu, je 0,4. Za měsíc bude podíl dobrých: 0,6. 0,8 + 0,4. 0,35 = 0,62. Poměr vyžadující úpravu: 0,6. 0,2 + 0,4. 0,65 = 0,38. zadejte stavový řádek X t v okamžiku t; X t = (x 1 t; x 2 t), kde x 1 t je podíl dobrých motorů, x 2 t je podíl motorů, které vyžadují seřízení v čase t.
Přechodová matice , kde je podíl motorů, které jsou aktuálně ve stavu (1- „dobrý“, 2- „potřebuje úpravu“) a po měsíci – ve stavu.
Je zřejmé, že pro přechodovou matici je součet prvků každého řádku roven 1, všechny prvky jsou nezáporné.
Je zřejmé = (0,6 0,4), .
Pak za měsíc ,
za 2 měsíce; za 3 měsíce .
Pojďme najít matice;
Všimněte si, že jestliže je přechodová matice, pak je také přechodová matice pro jakékoli přirozené t. Teď
,
Pochopitelně, .
Úkol 3. Společnost se skládá ze dvou poboček, jejichž celkový zisk je loničinil 12 milionů konvenčních jednotek. jednotek V letošním roce se plánuje zvýšení zisku první pobočky o 70%, druhé - o 40%. Celkový zisk by se tak měl zvýšit 1,5krát. Jaká je výše zisku jednotlivých oddělení: a) v loňském roce; b) letos?
Řešení.
Let a - zisky první a druhé pobočky v loňském roce. pak lze problémový stav zapsat jako systém: Po vyřešení systému získáme Investigator, a) zisk prvního oddělení za uplynulý rok je 4 miliony konvenčních jednotek. jednotek a druhý – 8 milionů konvenčních jednotek. jednotky; b) letošní zisk prvního oddělení je 1.7. 4 = 6,8 milionu konvenčních jednotek jednotky, druhý 1.4. 8 = 11,2 milionů konvenčních jednotek jednotek
2.1. Tři továrny vyrábějí čtyři druhy výrobků. Je nutné: a) najít matici produkce produktu za čtvrtletí, pokud jsou uvedeny matice měsíčních výkonů A 1, A 2, A 3; b) najděte růstové matice produkce pro každý měsíc B 1 a B 2 a analyzujte výsledky:
; ; .
2.2. Firma vyrábí tři druhy nábytku a prodává ho ve čtyřech regionech. Matice stanovuje prodejní cenu jednotky nábytku i-tého typu v j-tá oblast. Určete tržby podniku v každém regionu, pokud jsou prodeje nábytku za měsíc dán maticí.
2.3 . Podle podmínek úkolu 2 určete: 1) celkové náklady na zdroje 3 druhů na výrobu měsíčních produktů, pokud jsou nákladové sazby určeny maticí. a objem produkce každého ze dvou typů produktů;
2) náklady na všechny vynaložené zdroje, pokud jsou uvedeny náklady na jednotky každého zdroje .
2.4 . Opravna přijímá telefony, z nichž 70 % vyžaduje drobné opravy, 20 % střední opravy, 10 % komplexní opravy. Statisticky bylo zjištěno, že 10 % přístrojů, které prošly drobnými opravami, vyžaduje drobné opravy po roce, 60 % střední opravy a 30 % komplexní opravy. Z přístrojů, které prošly průměrnými opravami, vyžaduje 20 % drobné opravy po roce, 50 % střední opravy a 30 % komplexní opravy. Z přístrojů, které prošly složitými opravami, po roce 60 % vyžaduje drobné opravy, 40 % střední opravy. Najděte podíl zařízení opravených na začátku roku, která budou vyžadovat opravy toho či onoho druhu: po 1 roce; 2 roky;
Praktická lekce.
Podrobit. Metody matematické analýzy pro konstrukci modelů SEP.
Cíl. Řešení ekonomických problémů s prvky modelování pomocí metod matematické analýzy.
1. Referenční materiál.
Funkce jsou široce používány v ekonomické teorii a praxi. Rozsah funkcí používaných v ekonomii je velmi široký: od nejjednodušších lineárních až po funkce získané podle specifického algoritmu pomocí rekurentních vztahů, které spojují stavy zkoumaných objektů v různých časových obdobích.
Nejčastěji používané funkce v ekonomii jsou následující:
1. Užitková funkce (preferenční funkce) – závislost výsledku, vlivu nějaké akce na úrovni (intenzitě) této akce.
2. Produkční funkce - závislost výsledku výrobní činnosti na faktorech, které ji určovaly.
3. Výstupní funkce – závislost objemu výroby na dostupnosti nebo spotřebě zdrojů.
4. Nákladová funkce – závislost výrobních nákladů na objemu výroby.
5. Funkce poptávky, spotřeby a nabídky - závislost objemu poptávky, spotřeby nebo nabídky po jednotlivých statcích nebo službách na různých faktorech (například cena, důchod apod.).
Vzhledem k tomu, že ekonomické jevy a procesy jsou určovány působením různých faktorů, jsou k jejich studiu široce využívány funkce několika proměnných. Mezi těmito funkcemi se rozlišují multiplikativní funkce, které umožňují reprezentovat závislou proměnnou jako součin faktorových proměnných, které ji vynulují v nepřítomnosti působení alespoň jednoho faktoru.
Používají se také separovatelné funkce, které umožňují izolovat vliv různých proměnných faktorů na závisle proměnnou, a to zejména aditivní funkce, které reprezentují stejnou závisle proměnnou jak pod celkovým, ale odděleným vlivem více faktorů, tak i za jejich současného působení. vliv.
Kromě geometrického a mechanického významu existuje také ekonomický význam derivátu. Za prvé, derivací objemu produkce s ohledem na čas je v tuto chvíli produktivita práce. Za druhé, existuje další koncept, který charakterizuje ekonomický význam derivátu. Pokud výrobní náklady y považováno za funkci množství výstupu x , - zvýšení výroby, - zvýšení výrobních nákladů, a - průměrné zvýšení výrobních nákladů na jednotku produkce, pak derivace vyjadřuje mezní náklady výroby a přibližně charakterizuje dodatečné náklady na výrobu jednotky doplňkových výrobků.
Mezní náklady závisí na úrovni výroby (množství vyrobených produktů) x a jsou určeny nikoli stálými výrobními náklady, ale pouze variabilními (na suroviny, palivo atd.). Podobným způsobem lze určit mezní příjem, mezní příjem, mezní produkt, mezní užitečnost a další mezní hodnoty.
Mezní hodnoty necharakterizují stav, ale proces, tedy změnu ekonomický objekt. Derivát tedy působí jako rychlost změny nějakého ekonomického objektu (procesu) v čase nebo ve vztahu k jinému zkoumanému faktoru. Je třeba vzít v úvahu, že ekonomie ne vždy umožňuje použití mezních hodnot kvůli nedělitelnosti mnoha objektů ekonomických výpočtů a diskontinuitě (diskrétnosti) ekonomické ukazatele v čase (například roční, čtvrtletní, měsíční atd.). Přitom v řadě případů je možné ignorovat diskrétnost ukazatelů a efektivně limitovat hodnoty.
Ke studiu ekonomických procesů a řešení aplikovaných problémů se často používá pojem elasticita funkce.
Elasticita funkce je limitem poměru relativního přírůstku funkce y k relativnímu přírůstku proměnné x v :
. (1)
Elasticita funkce přibližně ukazuje, o kolik procent se funkce změní y = F ( x ) kdy se nezávislá proměnná změní x o 1 %. Jedná se o míru odezvy jedné proměnné na změnu jiné.
Všimněme si elastických vlastností funkce.
1. Elasticita funkce je rovna součinu nezávisle proměnné x na rychlosti změny funkce , tj. .
2. Elasticita součinu (kvocientu) dvou funkcí je rovna součtu (rozdílu) elasticit těchto funkcí: , .
Elasticita funkcí se využívá při analýze poptávky a spotřeby. Například elasticita poptávky y ohledně ceny x– koeficient určený vzorcem (1) a přibližně o kolik procent se změní poptávka (objem spotřeby), když se cena (nebo důchod) změní o 1 %.
Pokud elasticita poptávky (podle absolutní hodnota) pak je poptávka považována za elastickou, pokud - neutrální, pokud - neelastickou vzhledem k ceně (nebo příjmu).
V praktických činnostech se často setkáváme s problémy, které lze racionálně řešit metodami matematické analýzy. To jsou problémy najít objem výroby známý význam zisk, stanovení úrovně spotřeby statků se známým důchodem, stanovení časového bodu rentability výroby, stanovení velikosti příspěvku se známými počátečními investicemi atd.
Úkol 1. Náklady y (v rublech) na výrobu dávky dílů jsou určeny vzorcem , kde je objem dávky. Pro první možnost technologický postup. U druhé možnosti je známo, že (rub.) at (det.) a (rub.) at (det.). Vyhodnoťte dvě varianty technologického postupu a zjistěte výrobní náklady pro obě varianty na (podrobnosti)
Řešení .
Pro druhou možnost určíme parametry a ze soustavy rovnic:
odkud a , tzn. .
Bod (x 0 ,y 0) průsečíku dvou přímek zjistíme ze soustavy jejich rovnic:
odkud, .Je zřejmé, že s objemem vsázky je výhodnější druhá varianta technologického postupu, s první možností. Výrobní náklady (rubly) pro první možnost jsou , a pro druhou - .
Úkol 2. Fixní náklady činí 125 tisíc rublů. za měsíc a variabilní náklady - 700 rublů. pro každou jednotku produkce. Jednotková cena 1200 rublů. Najděte objem výroby, při kterém je zisk roven: a) nule (bod zvratu); b) 105 tisíc rublů. za měsíc.
Řešení:
a) Výrobní náklady na jednotky výroby budou: (tisíc rublů). Celkový příjem (výnos) z prodeje těchto produktů je zisk (tisíc rublů). Bod zvratu, ve kterém , se rovná (jednotkám).
b) Zisk (tisíc rublů), tzn. at (jednotky).
Úkol 3. Délka provádění (min.) pro opakované operace je závislá na počtu těchto operací podle závislosti . Vypočítejte, kolik minut práce trvá 50 operací, pokud je známo, že pro , a pro .
Řešení. Pojďme najít parametry as ohledem na to . Získáme systém: řešení, které najdeme, .
Takže kdy (min.)
Úkol 4. Objem výstupu u vytvořeného týmem pracovníků lze popsat rovnicí (jednotky), , kde t – pracovní doba v hodinách. Vypočítejte produktivitu práce, rychlost a rychlost její změny hodinu po začátku práce a hodinu před jejím koncem.
Řešení. Produktivita práce je vyjádřena jako derivát (jednotky/hodinu) a rychlost a rychlost změny v produktivitě jsou derivace a logaritmické derivace : (jednotky/hodina 2),
(jednotky/hodina).
V daných časových okamžicích a podle toho máme: z(t)=112,5 (jednotky/hodina), z'(t)=-20(jednotky/hodina 2), T z (7)=-0,24 (jednotky/ hodina).
Takže na konci práce produktivita práce výrazně klesá; Navíc změna znaménka z’(t) a T z (t) z plus na minus naznačuje, že nárůst produktivity práce v prvních hodinách pracovního dne je nahrazen jejím poklesem v posledních hodinách.
Úkol 5. Funkce nabídky a poptávky byly empiricky stanoveny, kde q A s – množství zboží nakoupeného a nabízeného k prodeji za jednotku času, p– cena produktu.
Najděte: a) rovnovážnou cenu, tj. cenu, při které se poptávka rovná nabídce;
b) elasticita nabídky a poptávky po této ceně;
c) změna příjmu, když cena vzroste o 5 % z rovnovážné ceny.
Řešení. a) Z podmínky se zjistí rovnovážná cena q = s, Pak , kde p = 2, tj. rovnovážná cena jsou 2 peněžní jednotky.
b) Najděte elasticitu nabídky a poptávky pomocí vzorce (1)
; . Za rovnovážnou cenu p =2 máme ; . Protože získané hodnoty elasticity v absolutní hodnotě jsou menší než 1, pak jak poptávka, tak nabídka tohoto produktu za rovnovážnou (tržní) cenu jsou nepružné vzhledem k ceně. To znamená, že změna ceny nepovede k prudké změně nabídky a poptávky. Tedy s nárůstem ceny p o 1 %, poptávka se sníží o 0,3 % a nabídka se zvýší o 0,8 %.
c) Když se cena zvýší p o 5 % rovnovážné poptávky se sníží o 5. 0,3=1,5%, příjem se tedy zvýší o 3,5%.
Úkol 6. Vztah mezi výrobními náklady y a objem produktů x vyjádřeno funkcí (den. jednotky). Určete průměrné a mezní náklady pro objem výroby 10 jednotek.
Řešení. Funkce průměrných nákladů je vyjádřena vztahem ; na x = 10průměrné náklady (na jednotku produkce) se rovnají (den. jednotky). Funkce mezních nákladů je vyjádřena derivací ; na x = 10 budou mezní náklady (peněžní jednotky). Jsou-li tedy průměrné náklady na výrobu jednotky výstupu 45 peněžních jednotek, pak mezní náklady, tzn. dodatečné náklady na výrobu další jednotky výstupu, když tuto úroveň produkce (objem produkce 10 jednotek), činí 35 peněžních jednotek.
Úkol 7. Zjistěte, jaké jsou mezní a průměrné celkové náklady podniku, pokud je elasticita celkových nákladů rovna 1?
Řešení. Nechť celkové náklady podniku y jsou vyjádřeny funkcí , kde x– objem vyrobených produktů. Pak průměrné náklady y 1 na jednotku produkce. Elasticita podílu dvou funkcí je rovna rozdílu jejich elasticit, tzn. .
Podle podmínek tedy . To znamená, že se změnou objemu výroby se nemění průměrné náklady na jednotku výroby, tedy kde se mění .
Mezní náklady podniku jsou určeny derivátem. To znamená, že mezní náklady se rovnají průměrným nákladům (výsledné tvrzení platí pouze pro lineární nákladové funkce).
2. Zadání pro samostatnou práci.
2.1. Náklady na dopravu dvěma druhy dopravy jsou vyjádřeny rovnicemi: a , kde jsou vzdálenosti ve stovkách kilometrů a jsou náklady na dopravu. Od jaké vzdálenosti je druhý způsob dopravy ekonomičtější?
2.2. S vědomím, že změna objemu výroby se změnou produktivity práce nastává po přímce, vytvořte její rovnici, jestliže při =3 =185 a při =5 =305. Určete objem výroby při =20.
2.3 . Společnost koupila auto v hodnotě 150 tisíc rublů. Roční odpisová sazba je 9 %. Za předpokladu, že závislost ceny vozu na čase je lineární, najděte cenu vozu za 4,5 roku.
2.4. Závislost úrovně spotřeby určitého druhu zboží na úrovni rodinných příjmů vyjadřuje vzorec: . Najděte úroveň spotřeby zboží na úrovni rodinného příjmu 158 peněžních jednotek. Je známo, že když =50 =0; = 74 = 0,8; = 326 = 2,3.
2.5. Banka platí ročně 5 % ročně (složený úrok). Určete: a) výši vkladu po 3 letech, pokud byl počáteční vklad 10 tisíc rublů; b) výše počátečního vkladu, při které bude po 4 letech vklad (spolu s úroky) 10 000 rublů.
Poznámka: Vložit částku přes t let se určuje podle vzorce , Kde p - úroková sazba za rok, Q 0 – počáteční příspěvek.
2.6. Výrobní náklady (v tisících rublech) jsou vyjádřeny rovnicí , kde je počet měsíců. Příjmy z prodeje výrobků jsou vyjádřeny rovnicí. Od kterého měsíce bude výroba zisková?
2.7. Vztah mezi jednotkovými výrobními náklady y(tisíc rublů) a výstup produktu x(miliardy rublů) je vyjádřena funkcí. Najděte elasticitu nákladů pro výrobní výstup rovnající se 60 miliardám rublů.
Praktická lekce.
Podrobit. Limitní analýza ekonomických procesů.
Cíl. Zvažte použití matematických metod pro nalezení mezních hodnot v optimalizačních problémech.
1. Referenční materiál.
Nákladová funkce C(x) určuje náklady potřebné na výrobu x jednotky tohoto produktu. Zisk kde D ( x ) - příjmy z výroby x jednotky produktu.
Průměrné náklady A ( x ) při výrobě x jednotky produktu jsou .Mezní náklady.
Optimální hodnota vydání pro výrobce je hodnota x jednotky produktu, z nichž zisk P ( x ) se ukáže jako největší.
Úkol 1. Nákladová funkce má tvar . V počáteční fázi společnost organizuje výrobu tak, aby minimalizovala průměrné náklady A ( x ) . Následně je cena za produkt stanovena na 4 konvenční jednotky. na jednotku. O kolik jednotek by měla firma zvýšit produkci?
Řešení. Průměrné náklady vezměte minimální hodnotu na x=10. Mezní náklady. Za pevnou cenu optimální hodnotu P ( x ) výstup je dán podmínkou maximalizace zisku: , tzn. 4= M ( x ) , kde . Proto by se výroba měla zvýšit o 10 kusů.
Úkol 2. Určete optimální výstupní hodnotu pro výrobce x 0 p =14 , pokud je znám typ nákladové funkce .
Řešení. Pomocí vzorce zisku dostaneme, .
Najděte derivaci zisku podle objemu: , Pak x opt = 2.
Úkol 3. Najděte maximální zisk, který může výrobní společnost obdržet za předpokladu, že se veškeré zboží prodává za pevnou cenu za jednotku r=10,5 a nákladová funkce má tvar .
Řešení. Najděte hodnotu zisku.
Derivát zisku podle objemu má tvar: . Potom, . .
2. Zadání pro samostatnou práci .
2.1 Určete optimální výstupní hodnotu pro výrobce x 0 za předpokladu, že veškeré zboží je prodáváno za pevnou cenu za jednotku p=8 a tvar nákladové funkce je znám .
2.2 Zjistěte maximální zisk, který může výrobní společnost obdržet za předpokladu, že veškeré zboží se prodává za pevnou cenu za jednotku p=40 a tvar nákladové funkce je znám .
2.3 Při výrobě monopolem x jednotek zboží na jednotku . Určete optimální výstupní hodnotu pro monopol x 0 (předpokládá se, že veškeré vyrobené zboží je prodáno), pokud náklady mají formu .
2.4 Nákladová funkce má tvar . Příjem z prodeje jednotky výroby je 50. Najděte maximální hodnotu zisku, kterou může výrobce obdržet.
2.5 V počáteční fázi výroby firma minimalizuje průměrné náklady a nákladová funkce má formu . Následně je stanovena rovná cena za jednotku zboží r=37. O kolik jednotek by měla firma zvýšit produkci? Jak moc se změní průměrné náklady?
Zadání testů.
Úkol 1.
Jsou dány závislosti poptávky D(p) a nabídky S(p) na ceně.
Najděte: 1) rovnovážnou cenu a výnos při rovnovážné ceně;
2) cena, za kterou je výnos maximální, a to samo o sobě
maximální příjem.
Vytvořte graf závislosti.
Úkol 2.
Uvažujme trh se třemi účastníky, z nichž každý má stejnou užitnou funkci . Nechť je počáteční vlastnost 1., 2. a 3. účastníka specifikována vektory a ceny na trhu nechť jsou p=1, p=2, p=3.
Zkontrolujte: 1) zda je poloha v rovnováze;
2) je splněn Walrasův zákon nadměrné poptávky:
Úkol 3.
Nechť je Leontiefův model dán maticí A.
Najděte objem výroby, který poskytuje spotřební vektor Y.
Možnost č. | 1 úkol | 2 úkol | 3 úkol |
1 | (3,2,3), (2,4,6), (6,4,6) | ||
2 | (2,2,3), (2,4,5), (6,6,6) | ||
3 | (2,4,3), (2,3,4), (4,4,5) | ||
4 | (4,2,3), (2,5,4), (3,4,7) | ||
5 | (5,2,3), (2,5,4,), (5,4,5) | ||
6 | (6,2,3), (2,3,6), (3,6,5) | ||
7 | (4,2,3), (4,3,4), (4,4,5) | ||
8 | (4,2,3), (5,3,4), (6,4,2) | ||
9 | (3,2,3), (4,3,4), (3,5,2) | ||
10 | (3,2,3), (2,4,6), (6,4,6) | ||
11 | (2,2,3), (2,4,5), (6,6,6) | ||
12 | (2,4,3), (2,3,4), (4,4,5) | ||
13 | (2,4,3), (2,3,4), (4,4,5) | ||
14 | (2,2,3), (2,4,5), (6,6,6) | ||
15 | (4,2,3), (2,5,4), (3,4,7) | ||
16 | (4,2,3), (4,3,4), |
||
17 | (3,2,3), (4,3,4), |
||
18 | (3,2,3), (2,4,6), |
||
19 |
Charakteristika hlavních ekonomických a matematických metod ACD
Aplikace metod lineárního programování při řešení specifických analytických problémů.
Aplikace metod dynamického programování při řešení specifických analytických problémů.
1. Ekonomické a matematické metody - to jsou matematické metody používané k analýze ekonomické jevy a procesy. Využití matematických metod v ekonomické analýze umožňuje zvýšit jeho účinnost zkrácením doby potřebné pro analýzu, komplexnějším pokrytím vlivu faktorů na výsledky komerčních aktivit, nahrazením přibližných nebo zjednodušených výpočtů exaktními výpočty, nastavením a řešením nových problémů vícerozměrné analýzy, které je prakticky nemožné provádět ručně nebo tradičními metodami .
Použití matematických metod v ekonomické analýze vyžaduje splnění řady podmínek, včetně:
Systematický přístup ke studiu ekonomiky podniků zohledňující celý soubor významných vztahů mezi různými aspekty podnikové činnosti;
Vývoj souboru ekonomických a matematických modelů, které odrážejí kvantitativní charakteristiky ekonomických procesů a problémů řešených pomocí ekonomické analýzy;
Zlepšení systému ekonomických informací o práci podniků;
Dostupnost technických prostředků (počítače atd.), které uchovávají, zpracovávají a přenášejí ekonomické informace pro účely ekonomické analýzy;
Organizace speciálního týmu analytiků, který se skládá z ekonomů výroby, specialistů na ekonomické a matematické modelování, matematiků, počítačových operátorů, programátorů, operátorů atd.
Současný stav vývoje principů a specifických forem využití matematiky a dalších exaktní vědy pro řešení ekonomických problémů odráží přibližné schéma hlavních matematických metod používaných při analýze ekonomických činností podniků.
Výše uvedené schéma zatím není klasifikátorem ekonomických a matematických metod, protože je sestaveno bez ohledu na jakékoli klasifikační kritérium. Je nezbytná pro inventarizaci a charakterizaci základních matematických metod používaných při analýze ekonomických činností podniků. Zvažme to
Ekonomické a matematické metody v analýze
Metody elementární matematiky
Heuristické metody
Metody operačního výzkumu
Matematická teorie optimálních procesů
Metody ekonomické kybernetiky
Klasické metody matematické analýzy
Metody matematické statistiky
Ekonometrické metody
Metody matematického programování
Ekonomické a matematické metody analýzy ekonomické aktivity.
Metody elementární matematiky používá se v běžných tradičních ekonomických kalkulacích při zdůvodňování potřeb zdrojů, účtování výrobních nákladů, vypracovávání plánů, projektů, v bilančních kalkulacích atd. Izolace metody klasické vyšší matematiky v diagramu je způsobeno tím, že se používají nejen v rámci jiných metod, např. metod matematické statistiky a matematického programování, ale i samostatně. Faktorovou analýzu změn mnoha ekonomických ukazatelů lze tedy provádět pomocí diferenciace a integrace.
Metody matematické statistikyširoce používané v ekonomické analýze. Používají se v případech, kdy lze změnu analyzovaných ukazatelů reprezentovat jako náhodný proces. Statistické metody, které jsou hlavním prostředkem studia hmoty, opakující se jevy hrát důležitou roli v predikci chování ekonomických ukazatelů. Pokud vztah mezi analyzovanými charakteristikami není deterministický, ale stochastický, pak jsou statistické a pravděpodobnostní metody prakticky jediným výzkumným nástrojem. Nejpoužívanějšími matematickými a statistickými metodami v ekonomické analýze jsou metody vícenásobné a párové korelační analýzy.
Studovat jednorozměrné statistické agregáty používané: variační řady, distribuční zákony, vzorkovací metoda. Studovat vícerozměrné statistické agregáty Používají korelace, regrese, disperze, kovariance, spektrální, komponentní a faktorové typy analýzy, studované v kurzech teorie statistiky.
Další skupinou ekonomických a matematických metod jsou ekonometrické metody.Ekonometrie- vědní obor, který studuje kvantitativní aspekty ekonomických jevů a procesů pomocí matematické a statistické analýzy založené na modelování ekonomických procesů. V souladu s tím jsou ekonometrické metody založeny na syntéze tří oblastí znalostí: ekonomie, matematiky a statistiky. Základem ekonometrie je ekonomický model, který je chápán jako schematické znázornění ekonomického jevu nebo procesu pomocí vědecké abstrakce, reflektující je charakteristické rysy. Z ekometrických metod je v moderní ekonomii nejpoužívanější metoda analýzy „vstup-výstup“. Za její rozvoj obdržel vynikající ekonom V. Leontiev v roce 1973 Nobelovu cenu. Metoda analýzy vstupů a výstupů je ekonometrická metoda analýzy, která spočívá v konstrukci maticových (bilančních) modelů pomocí šachovnicového vzoru a umožňuje prezentovat vztah mezi náklady a výsledky výroby v nejkompaktnější podobě. Pohodlí výpočtů a přehlednost ekonomické interpretace jsou hlavními výhodami použití maticových modelů. To je důležité při vytváření mechanizovaných systémů zpracování dat a při plánování výroby produktů pomocí počítače.
Metody matematického programování v ekonomii- Jedná se o četné metody řešení problémů optimalizace výrobní, ekonomické a především plánované činnosti ekonomického subjektu. Tyto metody jsou ve své podstatě prostředkem plánovaných výpočtů. Jejich hodnota pro ekonomickou analýzu realizace podnikatelských záměrů spočívá v tom, že umožňují posoudit intenzitu plánovaných cílů, určit omezující skupiny zařízení, druhy surovin a materiálů, získat odhady vzácnosti výrobních zdrojů atd. .
V rámci operačního výzkumu rozumí metodě cílených akcí (operací), kvantitativnímu hodnocení získaných řešení a výběru toho nejlepšího. Předmětem operačního výzkumu jsou ekonomické systémy včetně výrobní a ekonomické činnosti podniků. Cílem je kombinace strukturně propojených prvků systémů, která nejlépe vyhovuje úkolu získat nejlepší ekonomický ukazatel z řady možných.
Jako obor operačního výzkumu teorie her je teorie konstrukce matematických modelů pro přijímání optimálních rozhodnutí v podmínkách nejistoty nebo konfliktu více stran s různými zájmy.
Teorie fronty - je teorie, která rozvíjí matematické metody pro kvantitativní hodnocení procesů ve frontě na základě teorie pravděpodobnosti. Jako objekt systému služeb tak může být reprezentována jakákoliv strukturální divize průmyslového podniku.
Společným rysem všech problémů spojených s frontou je náhodná povaha zkoumaných jevů. Počet servisních požadavků a časové intervaly mezi jejich příchodem jsou náhodné a nelze je s jednoznačnou jistotou předvídat. Ve svém souhrnu však mnoho takových požadavků podléhá určitým statistickým zákonům, jejichž kvantitativní studium je předmětem teorie front.
Rozvíjejí se metody ekonomické kybernetiky ekonomická kybernetika - vědní disciplína, která analyzuje ekonomické jevy a procesy jako velmi komplexní systémy, z pohledu zákonů a mechanismů řízení a toku informací v nich. Z metod ekonomické kybernetiky jsou v ekonomické analýze nejpoužívanější
31 metod modelování a systémové analýzy.
V posledních letech v ekonomii vzrostl zájem o metody empirického hledání optimálních podmínek pro proces s využitím lidských zkušeností a intuice. To se odráží v aplikaci heuristické metody (rozhodnutí), což jsou neformální metody řešení ekonomických problémů souvisejících s aktuální ekonomickou situací, založené na intuici, minulých zkušenostech, znalecké posudky specialisté atd.
K analýze výrobních, ekonomických a obchodních činností, mnoho metod z výše uvedených přibližný diagram nenašly praktické uplatnění a jsou pouze rozvíjeny v teorii ekonomické analýzy. Toto schéma zároveň neodráží některé ekonomické a matematické metody zvažované v odborné literatuře o ekonomické analýze: teorie fuzzy množin, teorie katastrof atd. V tomto učebnice pozornost je zaměřena na základní ekonomické a matematické metody, které jsou již široce používány v praxi ekonomické analýzy.
Aplikace konkrétní matematické metody v ekonomické analýze je založena na metodika ekonomického a matematického modelování ekonomických procesů a vědecky podložené klasifikace analytických metod a úkolů.
Podle klasifikačního kritéria optimality jsou všechny ekonomické a matematické metody (problémy) rozděleny do dvou skupin: optimalizační a neoptimalizační. Optimalizační metody- skupina ekonomických a matematických metod analýzy, které umožňují hledat řešení problému podle daného kritéria optimality. Neoptimalizační metody- skupina ekonomických a matematických metod analýzy používaných k řešení problémů bez kritéria optimality.
Na základě získání přesného řešení jsou všechny ekonomické a matematické metody rozděleny na přesné a přibližné. NA přesné metody zahrnují skupinu ekonomických a matematických metod, jejichž algoritmus umožňuje získat pouze jedno řešení na základě daného kritéria optimality nebo bez něj. NA přibližné metody zahrnují skupinu ekonomických a matematických metod používaných v případě, kdy se při hledání řešení používá stochastických informací a řešení problému lze získat s libovolnou přesností, jakož i těch, jejichž použití nezaručuje získání unikátní řešení podle daného kritéria optimality nebo bez něj.
Na základě použití pouze dvou klasifikačních kritérií jsou tedy všechny ekonomické a matematické metody rozděleny do čtyři skupiny:
1) optimalizační exaktní metody;
2) optimalizační přibližné metody;
3) neoptimalizační přesné metody;
4) neoptimalizační přibližné metody.
Tedy do přesné metody optimalizace Patří sem metody teorie optimálních procesů, některé metody matematického programování a metody operačního výzkumu. NA optimalizační přibližné metody zahrnují: jednotlivé metody matematického programování; metody operačního výzkumu, metody ekonomické kybernetiky; metody matematické teorie plánování extrémních experimentů; heuristické metody. NA neoptimalizační přesné metody zahrnují: metody elementární matematiky a klasické metody matematické analýzy, ekonometrické metody. NA neoptimalizační přibližné metody zahrnují: metodu statistického testování a další metody matematické statistiky.
Z rozšířených skupin ekonomických a matematických metod, které jsme představili, se některé metody z těchto skupin používají k řešení různých problémů - optimalizačních i neoptimalizačních; jak přesné, tak přibližné.
2 . Metody lineárního programování. Všechny ekonomické problémy řešené metodami lineárního programování se vyznačují alternativními řešeními a určitými omezujícími podmínkami. Vyřešit takový problém znamená vybrat tu nejlepší, optimální ze značného počtu všech možných možností. To je význam a hodnota používání metod lineárního programování v ekonomii. Vyřešit takové problémy jinými metodami je téměř nemožné.
Lineární programování je založeno na řešení systému lineární rovnice(s transformací do rovnic a nerovnic), kdy vztah mezi zkoumanými jevy je přísně funkční. Vyznačuje se: matematickým vyjádřením proměnných, určitým řádem, posloupností výpočtů (algoritmem), logickou analýzou. Lze jej použít pouze v případech, kdy zkoumané proměnné a faktory mají matematickou jistotu a kvantitativní omezení, kdy v důsledku známé posloupnosti výpočtů dochází k zaměnitelnosti faktorů, kdy se logika ve výpočtech, matematická logika kombinuje s logické pochopení podstaty zkoumaného jevu.
Použití metod lineárního programování v průmyslová výroba, např. se vypočítá optimální celková produktivita strojů, celků, výrobních linek (pro daný sortiment výrobků a jiné dané hodnoty), řeší se problém racionálního dělení materiálů (s optimální výtěžností obrobků). V zemědělství slouží ke stanovení minimálních nákladů na krmné dávky pro dané množství krmiva (podle druhu a obsahu v nich obsažených živin). Problém směsí může najít uplatnění i ve slévárenské výrobě (složení hutní vsázky). Tyto stejné metody řeší problém dopravy, problém racionálního připojení spotřebitelských podniků k výrobním podnikům.
3. Metody dynamického programování. Metody dynamického programování se používají k řešení optimalizačních problémů, ve kterých jsou účelová funkce a/nebo omezení charakterizovány nelineárními závislostmi.
Známky nelinearity jsou zejména přítomnost proměnných, jejichž exponent se liší od jednoty, a dále přítomnost proměnné v exponentu, pod kořenem, pod znaménkem logaritmu.
V ekonomii obecně a v podnikové ekonomice zvláště existuje mnoho příkladů nelineárních závislostí. Ekonomická efektivita výroby se tedy zvyšuje nebo snižuje neúměrně změnám v rozsahu výroby; Náklady na výrobu série dílů se zvyšují s rostoucí velikostí série, ale ne úměrně tomu. Nelineární vztah je charakterizován změnami míry opotřebení výrobního zařízení v závislosti na době jeho provozu, měrné spotřebě benzínu (na 1 km jízdy) - na rychlosti pohybu vozidel a mnoha dalších ekonomických situacích.
Moderní ekonomická teorie zahrnuje matematické modely a metody jako nezbytný nástroj. Využití matematiky v ekonomii nám umožňuje řešit komplex vzájemně souvisejících problémů.
Nejprve identifikovat a formálně popsat nejdůležitější, významné souvislosti mezi ekonomickými proměnnými a objekty. Toto ustanovení je zásadní, protože studium jakéhokoli jevu nebo procesu vyžaduje vzhledem k určité míře složitosti vysoký stupeň abstrakce.
Za druhé, z formulovaných výchozích dat a vztahů pomocí deduktivních metod lze dospět k závěrům, které jsou adekvátní studovanému objektu ve stejném rozsahu jako vytvořené předpoklady.
Za třetí, metody matematiky a statistiky umožňují získat nové poznatky o objektu pomocí indukce, například vyhodnotit tvar a parametry závislostí jeho proměnných v v největší míře v souladu s existujícími pozorováními.
Za čtvrté, použití matematické terminologie umožňuje přesně a kompaktně prezentovat ustanovení ekonomické teorie, formulovat její koncepty a závěry.
Vývoj makroekonomického plánování v moderní podmínky je spojeno se zvýšením úrovně jeho formalizace. Základ pro tento proces položil pokrok v oboru aplikovaná matematika, a to: teorie her, matematické programování, matematická statistika a další vědní disciplíny. Velký přínos pro matematické modelování ekonomie bývalý SSSR přispěli slavní sovětští vědci V.S. Němčinov, V.V. Novožilov, L.V. Kantorovič, N.P. Fedorenko. S. S. Shatalin a další Rozvoj ekonomického a matematického směru souvisel především s pokusy o formální popis tzv. „systému optimálního fungování socialistické ekonomiky“ (SOFE), v souladu s nímž jsou víceúrovňové systémy modelů modelové řady. bylo vybudováno národohospodářské plánování, optimalizační modely průmyslových odvětví a podniků .
Ekonomické a matematické metody mají následující směry:
Ekonomické a statistické metody, zahrnují metody ekonomické a matematické statistiky. Ekonomická statistika se zabývá statistickým studiem národního hospodářství jako celku a jeho jednotlivých odvětví na základě periodického výkaznictví. Používané nástroje matematické statistiky ekonomický výzkum, jsou disperzní a faktorová analýza korelace a regrese.
Modelování ekonomických procesů spočívá v konstruování ekonomických a matematických modelů a algoritmů, provádění výpočtů s cílem získat nové informace o modelovaném objektu. Pomocí ekonomického a matematického modelování lze řešit problémy analýzy ekonomických objektů a procesů, predikce možných cest jejich vývoje (sehrávání různých scénářů) a přípravy informací pro rozhodování specialistů.
Při modelování ekonomických procesů rozšířený přijaté: produkční funkce, modely ekonomického růstu, meziodvětvová bilance, simulační metody atd.
Operační výzkum– vědecký směr související s vývojem metod analýzy účelových jednání a kvantitativního zdůvodňování rozhodnutí. Mezi typické problémy operačního výzkumu patří: problémy s řazením do front, řízení zásob, opravy a výměny zařízení, plánování, distribuční problémy atd. K jejich řešení slouží metody matematického programování (lineární, diskrétní, dynamické a stochastické), metody teorie řazení a teorie her. , teorie řízení zásob, teorie plánování atd., stejně jako metody programového cíle a metody plánování a řízení sítě.
Ekonomická kybernetika– vědecký směr zabývající se výzkumem a zlepšováním ekonomických systémů založených na obecná teorie kybernetika. Její hlavní směry: teorie ekonomických systémů, teorie ekonomických informací, teorie systémů řízení v ekonomii. S ohledem na management národní hospodářství Jak informačního procesu Ekonomická kybernetika slouží jako vědecký základ pro rozvoj automatizované systémyřízení.
Ekonomicko-matematické metody jsou založeny na popisu sledovaných ekonomických procesů a jevů prostřednictvím modelů.
Matematický model ekonomického objektu - jeho homomorfní zobrazení ve formě soustavy rovnic, nerovnic, logických vztahů, grafů, spojování skupin vztahů prvků zkoumaného objektu do podobných vztahů prvků modelu. Model je konvenční obraz ekonomického objektu, vytvořený tak, aby zjednodušil studium ekonomického objektu. Předpokládá se, že studium modelu má dvojí význam: na jedné straně poskytuje nové poznatky o objektu, na druhé straně umožňuje určit nejlepší řešení ve vztahu k různým situacím.
Matematické modely používané v ekonomii lze rozdělit do tříd podle řady charakteristik souvisejících s charakteristikou modelovaného objektu, účelem modelování a použitými nástroji. Jedná se o makro- a mikroekonomické modely, teoretické a aplikované, rovnovážné a optimalizační, deskriptivní, maticové, statické a dynamické, deterministické a stochastické, simulační atd.