Inverzní vztah. Vstupní úroveň
Dnes se podíváme na to, jak se veličinám říká nepřímo úměrné, jak vypadá graf nepřímé úměrnosti a jak se vám to všechno může hodit nejen v hodinách matematiky, ale i mimo školu.
Takové různé proporce
Proporcionalita vyjmenuj dvě veličiny, které jsou na sobě vzájemně závislé.
Závislost může být přímá a inverzní. V důsledku toho jsou vztahy mezi veličinami popsány přímou a nepřímou úměrností.
Přímá úměrnost- jde o takový vztah mezi dvěma veličinami, kdy zvýšení nebo snížení jedné z nich vede ke zvýšení nebo snížení druhé. Tito. jejich postoj se nemění.
Například čím více úsilí věnujete studiu na zkoušky, tím vyšší je vaše hodnocení. Nebo čím více věcí si s sebou na túru vezmete, tím těžší batoh unesete. Tito. Množství úsilí vynaloženého na přípravu na zkoušky je přímo úměrné dosaženým známkám. A počet věcí sbalených v batohu je přímo úměrný jeho váze.
Inverzní úměrnost– jedná se o funkční závislost, kdy několikanásobné snížení nebo zvýšení nezávislé hodnoty (říká se tomu argument) způsobí proporcionální (tj. stejný početkrát) zvýšení nebo snížení závislé hodnoty (označuje se jako funkce).
Ukažme si to na jednoduchém příkladu. Chcete koupit jablka na trhu. Jablka na pultě a množství peněz ve vaší peněžence jsou v nepřímém poměru. Tito. Čím více jablek koupíte, tím méně peněz vám zbude.
Funkce a její graf
Funkci nepřímé úměrnosti lze popsat jako y = k/x. Ve kterém x≠ 0 a k≠ 0.
Tato funkce má následující vlastnosti:
- Jeho definičním oborem je množina všech reálných čísel kromě x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
- Rozsah jsou všechna reálná čísla kromě y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
- Nemá maximální ani minimální hodnoty.
- Je lichý a jeho graf je symetrický podle počátku.
- Neperiodické.
- Jeho graf neprotíná souřadnicové osy.
- Nemá žádné nuly.
- Li k> 0 (tj. argument se zvětšuje), funkce klesá proporcionálně na každém ze svých intervalů. Li k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- Jak argument narůstá ( k> 0) záporné hodnoty funkce jsou v intervalu (-∞; 0) a kladné hodnoty jsou v intervalu (0; +∞). Když argument klesá ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
Graf funkce inverzní úměrnosti se nazývá hyperbola. Zobrazeno následovně:
Problémy s inverzní proporcionalitou
Aby to bylo jasnější, podívejme se na několik úkolů. Nejsou příliš složité a jejich řešení vám pomůže představit si, co je to nepřímá úměrnost a jak mohou být tyto znalosti užitečné ve vašem každodenním životě.
Úkol č. 1. Automobil se pohybuje rychlostí 60 km/h. Trvalo mu 6 hodin, než se dostal do cíle. Jak dlouho mu bude trvat, než urazí stejnou vzdálenost, pokud se bude pohybovat dvojnásobnou rychlostí?
Můžeme začít tím, že si zapíšeme vzorec, který popisuje vztah mezi časem, vzdáleností a rychlostí: t = S/V. Souhlasím, velmi nám to připomíná funkci nepřímé úměrnosti. A naznačuje, že čas, který auto stráví na silnici, a rychlost, kterou se pohybuje, jsou v nepřímém poměru.
Abychom si to ověřili, najdeme V 2, které je podle podmínky 2x vyšší: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Poté vypočítáme vzdálenost pomocí vzorce S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Nyní není těžké zjistit čas t 2, který je od nás požadován podle podmínek problému: t 2 = 360/120 = 3 hodiny.
Jak vidíte, doba jízdy a rychlost jsou skutečně nepřímo úměrné: při rychlosti 2krát vyšší, než je původní rychlost, auto stráví 2krát méně času na silnici.
Řešení tohoto problému lze také napsat jako poměr. Nejprve tedy vytvoříme toto schéma:
↓ 60 km/h – 6 h
↓120 km/h – x h
Šipky označují nepřímo úměrný vztah. Navrhují také, že při sestavování poměru musí být pravá strana záznamu otočena: 60/120 = x/6. Kde získáme x = 60 * 6/120 = 3 hodiny.
Úkol č. 2. Dílna zaměstnává 6 pracovníků, kteří zvládnou dané množství práce za 4 hodiny. Pokud se počet pracovníků sníží na polovinu, jak dlouho bude zbývajícím pracovníkům trvat, než dokončí stejné množství práce?
Zapišme si podmínky problému ve formě vizuálního diagramu:
↓ 6 pracovníků – 4 hodiny
↓ 3 pracovníci – x h
Zapišme to jako podíl: 6/3 = x/4. A dostaneme x = 6 * 4/3 = 8 hodin Pokud je 2krát méně pracovníků, zbývající stráví 2krát více času veškerou prací.
Úkol č. 3. Do bazénu vedou dvě trubky. Jednou trubkou protéká voda rychlostí 2 l/s a naplní bazén za 45 minut. Dalším potrubím se bazén naplní za 75 minut. Jakou rychlostí vstupuje voda tímto potrubím do bazénu?
Pro začátek zredukujme všechny nám dané veličiny podle podmínek úlohy na stejné měrné jednotky. K tomu vyjadřujeme rychlost napouštění bazénu v litrech za minutu: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.
Vzhledem k tomu, že z podmínky plyne, že se bazén druhým potrubím napouští pomaleji, znamená to, že rychlost proudění vody je nižší. Proporcionalita je inverzní. Vyjádřeme neznámou rychlost pomocí x a nakreslete následující diagram:
↓ 120 l/min – 45 min
↓ x l/min – 75 min
A pak vytvoříme poměr: 120/x = 75/45, odkud x = 120 * 45/75 = 72 l/min.
V problému je rychlost naplnění bazénu vyjádřena v litrech za sekundu, redukujeme odpověď, kterou jsme dostali, na stejný tvar: 72/60 = 1,2 l/s.
Úkol č. 4. Malá soukromá tiskárna tiskne vizitky. Zaměstnanec tiskárny pracuje rychlostí 42 vizitek za hodinu a pracuje celý den - 8 hodin. Kdyby pracoval rychleji a vytiskl 48 vizitek za hodinu, o kolik dříve by mohl jít domů?
Postupujeme osvědčenou cestou a sestavíme diagram podle podmínek problému, přičemž požadovanou hodnotu označíme jako x:
↓ 42 vizitek/hod – 8 hodin
↓ 48 vizitek/h – x h
Máme nepřímo úměrný vztah: kolikrát více vizitek vytiskne zaměstnanec tiskárny za hodinu, stejně kolikrát méně času bude potřebovat na dokončení stejné práce. Když to víme, vytvoříme poměr:
42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 hodin.
Po dokončení práce za 7 hodin tak zaměstnanec tiskárny mohl jít domů o hodinu dříve.
Závěr
Zdá se nám, že tyto problémy s inverzní úměrností jsou opravdu jednoduché. Doufáme, že nyní na ně takto myslíte i vy. A hlavní je, že znalosti o nepřímo úměrné závislosti veličin se vám opravdu mohou nejednou hodit.
Nejen v hodinách matematiky a u zkoušek. Ale i potom, když se chystáte na výlet, nakupujete, rozhodnete se o prázdninách si trochu přivydělat atd.
Řekněte nám v komentářích, jaké příklady inverzních a přímo úměrných vztahů si kolem sebe všímáte. Ať je to taková hra. Uvidíte, jak je to vzrušující. Nezapomeňte tento článek sdílet na sociálních sítích, aby si mohli zahrát i vaši přátelé a spolužáci.
webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na zdroj.
Zopakujme si teorii o funkcích. Funkce je pravidlo, podle kterého je každý prvek jedné množiny (argument) spojen s určitým ( jediný!) prvek jiné množiny (množiny funkčních hodnot). Tedy pokud existuje nějaká funkce \(y = f(x)\), to znamená, že pro každou platnou hodnotu proměnné \(x\)(který se nazývá „argument“) odpovídá jedné hodnotě proměnné \(y\)(tzv. „funkce“).
Funkce popisující inverzní vztah
Toto je funkce formuláře \(y = \frac(k)(x)\), kde \(k\ne 0.\)
Jiným způsobem se nazývá inverzní úměrnost: zvýšení argumentu způsobí proporcionální snížení funkce.
Definujme doménu definice. Čemu se může rovnat \(x\)? Nebo jinými slovy, čemu se to nemůže rovnat?
Jediné číslo, které nelze dělit, je 0, takže \(x\ne 0.\):
\(D(y) = (- \infty ;0) \hrnek (0; + \infty)\)
nebo, což je totéž:
\(D(y) = R\obrácené lomítko \( 0\).\)
Tento zápis znamená, že \(x\) může být libovolné číslo kromě 0: znaménko „R“ označuje množinu reálných čísel, tedy všechna možná čísla; znaménko „\“ označuje vyloučení něčeho z této množiny (obdobně jako znaménko „mínus“) a číslo 0 ve složených závorkách znamená jednoduše číslo 0; Ukazuje se, že ze všech možných čísel vyloučíme 0.
Ukazuje se, že sada funkčních hodnot je úplně stejná: koneckonců, pokud \(k \ne 0.\) , pak bez ohledu na to, čím ji vydělíme, 0 nebude fungovat:
\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty)\)
nebo \(E(y) = R\obrácené lomítko \( 0\).\)
Jsou také možné některé variace vzorce \(y = \frac(k)(x)\). Například, \(y = \frac(k)((x + a))\) je také funkce, která popisuje inverzní vztah. Rozsah a rozsah hodnot této funkce jsou následující:
\(D(y) = (- \infty ; - a) \cup (- a; + \infty)\)
\(E(y) = (- \infty ;0) \hrnek (0; + \infty).\)
Uvažujme příklad, zredukujme výraz na formu inverzního vztahu:
\(y = \frac((x + 2))((x - 3)).\)
\(y = \frac((x + 2))((x - 3)) = \frac((x - 3 + 3 + 2))((x - 3)) = \frac(((x - 3) ) + 5))((x - 3)).\)
Uměle jsme do čitatele zavedli hodnotu 3 a nyní čitatele rozdělíme jmenovatelem člen po člen, dostaneme:
\(y = \frac(((x - 3) + 5))((x - 3)) = \frac((x - 3))((x - 3)) + \frac(5)((x - 3)) = 1 + \frac(5)((x - 3)).\)
Dostali jsme inverzní vztah plus číslo 1.
Graf inverzního vztahu
Začněme jednoduchým případem \(y = \frac(1)(x).\)
Vytvořme tabulku hodnot:
Nakreslíme body na souřadnicové rovině:
Spojte tečky, graf bude vypadat takto:
Tento graf se nazývá "hyperbola". Stejně jako parabola má hyperbola dvě větve, pouze nejsou vzájemně propojeny. Každý z nich má tendenci přibližovat své konce k osám Vůl A Oj, ale nikdy se k nim nedostane.
Všimněme si některých vlastností funkce:
- Pokud má funkce před zlomkem mínus, pak se graf překlopí, to znamená, že se zobrazí symetricky vzhledem k ose Vůl.
- Čím větší je číslo ve jmenovateli, tím dále graf „utíká“ od počátku.
Inverzní závislost v životě
Kde takovou funkci v praxi najdeme? Příkladů je mnoho. Nejběžnější je pohyb: čím větší rychlostí se pohybujeme, tím méně času nám zabere překonání stejné vzdálenosti. Připomeňme si vzorec rychlosti:
\(v = \frac(S)(t),\)
kde v je rychlost, t je doba jízdy, S je vzdálenost (cesta).
Odtud můžeme vyjádřit čas: \(t = \frac(S)(v).\)
Vstupní úroveň
Inverzní vztah.
Vstupní úroveň.
Nyní budeme hovořit o inverzní závislosti, nebo jinými slovy - inverzní úměrnosti, jako funkci. Pamatujete si, že funkce je určitý druh závislosti? Pokud jste téma ještě nečetli, důrazně doporučuji vše zahodit a přečíst si to, protože nemůžete studovat žádnou konkrétní funkci, aniž byste pochopili, co to je - funkce.
Před zahájením tohoto tématu je také velmi užitečné zvládnout dvě jednodušší funkce: a . Tam si upevníte pojem funkce a naučíte se pracovat s koeficienty a grafy.
Takže, pamatujete si, co je to funkce? jediný! Zopakujme si: funkce je pravidlo, podle kterého je každý prvek jedné množiny (argument) spojen s určitým ( ) prvek jiné množiny (množiny funkčních hodnot). To znamená, že pokud máte funkci, znamená to, že pro každou platnou hodnotu proměnné (nazývané „argument“) existuje odpovídající hodnota proměnné (nazývaná „funkce“). Co znamená „přijatelné“? Pokud na tuto otázku nemůžete odpovědět, vraťte se znovu k tématu „“! Vše je v konceptu"definiční doména"
: U některých funkcí nejsou všechny argumenty stejně užitečné a lze je dosadit do závislostí. Například pro funkci nejsou povoleny záporné hodnoty argumentů.
Funkce popisující inverzní vztah
Jiným způsobem se nazývá inverzní úměrnost: zvýšení argumentu způsobí proporcionální snížení funkce.
Toto je funkce formuláře where.
Definujme doménu definice. Čemu se to může rovnat? Nebo jinými slovy, čemu se to nemůže rovnat?
Jediné číslo, které nelze dělit, je tedy:
(takový zápis znamená, že to může být libovolné číslo, kromě: znaménka „ “ označuje množinu reálných čísel, tedy všech možných čísel; znaménko „ “ značí vyloučení něčeho z této množiny (obdobně jako „mínus“) ”) a číslo ve složených závorkách znamená pouze číslo, ze všech možných čísel vylučujeme).
Ukazuje se, že sada hodnot funkcí je úplně stejná: koneckonců, pokud, bez ohledu na to, čím ji rozdělíme, nebude fungovat:
Jsou také možné některé variace vzorce. Jedná se například také o funkci, která popisuje inverzní vztah.
Sami si určete doménu definice a rozsah hodnot této funkce. Mělo by to vypadat takto:
Podívejme se na tuto funkci: . Souvisí to nepřímo?
Na první pohled těžko říct: vždyť s nárůstem roste jak jmenovatel zlomku, tak čitatel, takže není jasné, zda se funkce bude snižovat, a pokud ano, bude úměrně klesat? Abychom to pochopili, musíme výraz transformovat tak, aby v čitateli nebyla žádná proměnná:
Ve skutečnosti jsme obdrželi inverzní vztah, ale s výhradou: .
Zde je další příklad: .
Tady je to složitější: koneckonců čitatel a jmenovatel se nyní rozhodně neruší. Ale stále můžeme zkusit:
Chápeš, co jsem udělal? V čitateli jsem přidal a odečetl stejné číslo (), takže jsem jakoby nic neměnil, ale nyní je v čitateli část, která se rovná jmenovateli. Nyní rozdělím člen po členu, to znamená, že tento zlomek rozdělím na součet dvou zlomků:
(opravdu, pokud to, co jsem dostal, zredukujeme na společného jmenovatele, dostaneme náš počáteční zlomek):
Páni! Už to zase funguje inverzní vztah, teprve nyní je k němu přidáno číslo.
Tato metoda se nám bude velmi hodit později při konstrukci grafů.
Nyní převeďte výrazy sami do inverzního vztahu:
Odpovědi:
2. Zde si musíte zapamatovat, jak se čtvercová trojčlenka faktorizuje (toto je podrobně popsáno v tématu „“). Dovolte mi, abych vám připomněl, že k tomu musíte najít kořeny odpovídající kvadratické rovnice: . Najdu je slovně pomocí Vietovy věty: , . Jak se to dělá? To se můžete dozvědět přečtením tématu.
Takže dostáváme: , tedy:
3. Zkoušeli jste to už vyřešit sami? v čem je háček? Faktem je, že máme v čitateli a ve jmenovateli - je to jednoduché. To není problém. Budeme muset snížit o, takže v čitateli bychom to měli dát ze závorek (takže v závorkách to dostaneme bez koeficientu):
Graf inverzního vztahu
Jako vždy začneme tím nejjednodušším případem: .
Udělejme tabulku:
Nakreslíme body na souřadnicové rovině:
Nyní je třeba je hladce propojit, ale jak? Je vidět, že body na pravé a levé straně tvoří zdánlivě nesouvisející zakřivené linie. Tak to je. Graf bude vypadat takto:
Tento graf se nazývá "hyperbola"(v tom názvu je něco jako "parabola", že?). Stejně jako parabola má hyperbola dvě větve, pouze nejsou vzájemně propojeny. Každý z nich se svými konci snaží přiblížit se k osám a nikdy jich nedosáhne. Pokud se na stejnou hyperbolu podíváte z dálky, dostanete následující obrázek:
To je pochopitelné: protože graf nemůže křížit osu. Ale také, takže graf se nikdy nedotkne osy.
Nyní se podívejme, co ovlivňují koeficienty. Zvažme tyto funkce:
:
Páni, jaká krása!
Všechny grafy jsou vykresleny v různých barvách, aby bylo snazší je od sebe odlišit.
Čemu bychom tedy měli věnovat pozornost jako prvnímu? Pokud má například funkce před zlomkem mínus, pak se graf překlopí, to znamená, že se zobrazí symetricky vzhledem k ose.
Za druhé: čím větší je číslo ve jmenovateli, tím dále graf „utíká“ od počátku.
Co když funkce vypadá složitější, například ?
V tomto případě bude hyperbola úplně stejná jako ta obvyklá, jen se trochu posune. Přemýšlejme, kde?
Čemu se to teď nemůže rovnat? Správně, . To znamená, že graf nikdy nedosáhne přímky. Čemu se to nemůže rovnat? Teď. To znamená, že nyní bude graf směřovat k přímce, ale nikdy ji nepřekročí. Nyní tedy přímky hrají pro funkci stejnou roli jako souřadné osy. Takové čáry se nazývají asymptoty(čáry, ke kterým má graf tendenci, ale nedosahuje):
O tom, jak se takové grafy konstruují, se více dozvíme v tématu.
Nyní zkuste vyřešit několik příkladů pro konsolidaci:
1. Obrázek ukazuje graf funkce. Definovat.
2. Obrázek ukazuje graf funkce. Definovat
3. Obrázek ukazuje graf funkce. Definovat.
4. Obrázek ukazuje graf funkce. Definovat.
5. Obrázek ukazuje grafy funkcí a.
Vyberte správný poměr:
Odpovědi:
Inverzní závislost v životě
Kde takovou funkci v praxi najdeme? Příkladů je mnoho. Nejběžnější je pohyb: čím větší rychlostí se pohybujeme, tím méně času nám zabere překonání stejné vzdálenosti. Pamatujme si vzorec pro rychlost: , kde je rychlost, je doba jízdy, je vzdálenost (cesta).
Odtud můžeme vyjádřit čas:
Příklad:
Člověk jede do práce průměrnou rychlostí km/h a dojede za hodinu. Kolik minut stráví na stejné silnici, pokud pojede rychlostí km/h?
Řešení:
Obecně jsi takové problémy řešil už v 5. a 6. třídě. Vymyslel jsi poměr:
To znamená, že koncept nepřímé úměrnosti je vám již známý. Tak jsme si vzpomněli. A teď to samé, jen dospělým způsobem: prostřednictvím funkce.
Funkce (tedy závislost) času v minutách na rychlosti:
Je známo, že pak:
Potřebujete najít:
Nyní uveďme pár příkladů ze života, ve kterých je přítomna nepřímá úměrnost.
Vy jste na to přišel? Dobře, pokud ano. Hodně štěstí!
REVERZNÍ ZÁVISLOST. KRÁTCE O HLAVNÍCH VĚCÍCH
1. Definice
Funkce popisující inverzní vztah je funkcí tvaru kde.
Jiným způsobem se tato funkce nazývá nepřímá úměrnost, protože zvýšení argumentu způsobí proporcionální snížení funkce.
Jediné číslo, které nelze dělit, je tedy:
Inverzní graf je hyperbola.
2. Koeficienty a.
Zodpovědný za „plochost“ a směr grafu: čím větší je tento koeficient, tím dále je hyperbola umístěna od počátku, a proto se „otáčí“ méně strmě (viz obrázek). Znaménko koeficientu ovlivňuje, ve kterých čtvrtích se graf nachází:
- jestliže, pak jsou větve hyperboly umístěny v a čtvrtích;
- pokud, tak v a.
x=a je vertikální asymptota, tedy vertikálu, ke které graf tíhne.
Číslo je zodpovědné za posunutí funkčního grafu nahoru o hodnotu if a posunutí dolů, pokud .
Proto je toto horizontální asymptota.
1 lekce na dané téma
Dokončeno:
Telegina L.B.
Cíl lekce:
- zopakujte si celou látku prostudovanou na funkcích.
- představit definici nepřímé úměrnosti a naučit se sestavit její graf.
- rozvíjet logické myšlení.
- kultivovat pozornost, přesnost, preciznost.
Plán lekce:
- Opakování.
- Vysvětlení nového materiálu.
- Tělesná výchova minuta.
- Konsolidace.
Vybavení: plakáty.
Průběh lekce:
- Lekce začíná opakováním. Žáci mají vyluštit křížovku (která je předem připravena na velký list papíru).
7 11 | |||||||||||||||||||
Křížovky:
1. Závislost mezi proměnnými, ve které každé hodnotě nezávisle proměnné odpovídá jedna hodnota závislé proměnné. [Funkce].
2. Nezávislá proměnná. [Argument].
3. Sada bodů souřadnicové roviny, které se rovnají hodnotám argumentu, a souřadnice se rovnají hodnotám funkce. [Naplánovat].
4. Funkce daná vzorcem y=kx+b. [Lineární].
5. Jaký koeficient se nazývá číslo? k ve vzorci y=kx+b? [Roh].
6. Jaký je graf lineární funkce? [Rovně].
7. Je-li k≠0, pak graf y=kx+b tuto osu protíná, a je-li k=0, je s ní rovnoběžný. Jakým písmenem je tato osa označena? [X].
8. Slovo v názvu funkce y=kx? [Proporcionalita].
9. Funkce daná vzorcem y=x 2. [Kvadratický].
10. Název grafu kvadratické funkce. [Parabola].
11. Písmeno latinské abecedy, které často označuje funkci. [Igrek].
12. Jeden ze způsobů zadání funkce. [Vzorec].
Učitel : Jaké jsou hlavní způsoby specifikace funkce, kterou známe?
(Jeden student dostane na tabuli úkol: vyplňte tabulku hodnot funkce 12/x pomocí daných hodnot jejího argumentu a poté vykreslete odpovídající body na souřadnicové rovině).
Zbytek odpovídá na otázky učitele: (které jsou předem napsány na tabuli)
1. Jak se jmenují následující funkce dané vzorci: y=kx, y=kx+b, y=x 2, y=x3?
2. Zadejte definiční obor následujících funkcí: y=x 2 +8, y=1/x-7, y= 4x-1/5, y=2x, y=7-5x, y=2/x, y=x 3, y=-10/x.
Poté studenti pracují podle tabulky a odpovídají na otázky učitele:
1. Který obrázek z tabulky ukazuje grafy:
a) lineární funkce;
b) přímá úměrnost;
c) kvadratická funkce;
d) funkce tvaru y=kx 3 ?
2. Jaké znaménko má koeficient k ve vzorcích tvaru y=kx+b, které odpovídají grafům na obrázcích 1, 2, 4, 5 tabulky?
3. Najděte v tabulce grafy lineárních funkcí, jejichž sklony jsou:
a) rovný;
b) stejné velikosti a opačného znaménka.
(Poté celá třída zkontroluje, zda žák přivolaný k tabuli správně vyplnil tabulku a umístil body na souřadnicovou rovinu).
2. Vysvětlení začíná motivací.
Učitel: Jak víte, každá funkce popisuje některé procesy probíhající ve světě kolem nás.
Představte si například obdélník se stranami x a y a plocha 12 cm2 . Je známo, že x*y=12, ale co se stane, když začnete měnit jednu ze stran obdélníku, řekněme stranu s délkou x?
Délka strany y lze zjistit ze vzorce y=12/x. Li x zvýšit o 2 krát, bude mít y=12/2x, tzn. strana y se sníží 2krát. Pokud je hodnota x zvýšit o 3, 4, 5... krát, pak hodnotu y se sníží o stejnou částku. Naopak, pokud x pak několikrát snížit y se zvýší o stejnou částku. (Pracujte podle tabulky).
Proto se funkce tvaru y=12/x nazývá nepřímá úměrnost. Obecně se zapisuje jako y=k/x, kde k je konstanta a k≠0.
To je téma dnešní lekce, zapsali jsme si to do sešitů. Dávám striktní definici. Pro funkci y=12/x, což je speciální typ inverzní úměrnosti, jsme si do tabulky již zapsali řadu hodnot argumentů a funkcí a zobrazíme odpovídající body na souřadnicové rovině. Jak vypadá graf této funkce? Je těžké posoudit celý graf na základě sestrojených bodů, protože body lze libovolně spojovat. Pokusme se společně vyvodit závěry o grafu funkce vyplývající z uvažování tabulky a vzorce.
Otázky pro třídu:
- Jaký je definiční obor funkce y=12/x?
- Jsou hodnoty y kladné nebo záporné, jestliže
a) x
b) x>0?
3. Jak se mění hodnota proměnné y s měnící se hodnotou x?
Tak,
- bod (0,0) do grafu nepatří, tzn. neprotíná ani osu OX, ani osu OY;
- graf je v souřadnicových čtvrtích Ι a ΙΙΙ;
- plynule se přibližuje k souřadnicovým osám jak v souřadnicové čtvrtině Ι, tak v ΙΙΙ, a přibližuje se k osám tak blízko, jak je požadováno.
Když máme tyto informace, můžeme již spojovat tečky na obrázku (učitel to dělá sám na tabuli) a vidět celý graf funkce y=12/x. Výsledná křivka se nazývá hyperbola, což v řečtině znamená „procházet něčím“. Tuto křivku objevili matematici starověké řecké školy kolem 4. století před naším letopočtem. Termín hyperbola zavedl Apollonius z města Pergamum (Malá Asie), který žil v 6.–8. př.n.l
Nyní vedle grafu funkce y=12/x sestrojíme graf funkce y=-12/x. (Studenti plní tento úkol v sešitech a jeden žák u tabule).
Při porovnání obou grafů si studenti všimnou, že druhý zabírá 2 a 4 souřadnicové čtvrtiny. Navíc, pokud je graf funkce y=12/x zobrazen symetricky vzhledem k ose operačního zesilovače, pak bude získán graf funkce y=-12/x.
Otázka: Jak závisí umístění grafu hyperboly y=k/x na znaménku a hodnotě koeficientu k?
Studenti jsou přesvědčeni, že pokud k>0, pak se graf nachází v Ι A ΙΙΙ souřadnicové čtvrtiny, a pokud k
- Hodinu tělesné výchovy vede vyučující.
- Upevňování probíraného probíhá při vyplňování č. 180, 185 z učebnice.
- Hodina je shrnuta, známky, domácí úkol: str. 8 č. 179, 184.
Lekce 2 na toto téma
"Funkce inverzní úměrnosti a její graf."
Dokončeno:
Telegina L.B.
Cíl lekce:
- upevnit dovednost sestrojit graf funkce nepřímé úměrnosti;
- rozvíjet zájem o předmět, logické myšlení;
- pěstovat samostatnost a pozornost.
Plán lekce:
- Kontrola dokončení domácího úkolu.
- Ústní práce.
- Řešení problémů.
- Tělesná výchova minuta.
- Víceúrovňová samostatná práce.
- Shrnutí, hodnocení, domácí úkoly.
Vybavení: karty.
Průběh lekce:
- Učitel oznámí téma hodiny, cíle a plán hodiny.
Poté dva studenti doplní na tabuli přidělená čísla domů 179, 184.
- Zbytek studentů pracuje frontálně a odpovídá na otázky učitele.
otázky:
- Definujte funkci inverzní úměrnosti.
- Jaký je graf funkce nepřímé úměrnosti.
- Jak závisí umístění grafu hyperboly y=k/x na hodnotě koeficientu k?
Úkoly:
- Mezi funkcemi uvedenými ve vzorcích jsou funkce nepřímé úměrnosti:
a) y = x 2 +5, b) y=1/x, c) y= 4x-1, d) y=2x, e) y=7-5x, f) y=-11/x, g) y=x 3, h) y=15/x-2.
2. U funkcí nepřímé úměrnosti pojmenujte koeficient a uveďte, ve kterých čtvrtinách graf leží.
3. Najděte definiční obor funkcí nepřímé úměrnosti.
(Potom si studenti navzájem tužkou zkontrolují domácí úkol na základě učitelem zkontrolovaných řešení čísel na tabuli a dají známku).
Frontální práce podle učebnice č. 190, 191, 192, 193 (ústní).
- Provedení do sešitů a na tabuli z učebnice č. 186(b), 187(b), 182.
4. Hodinu tělesné výchovy vede vyučující.
5. Samostatná práce je uvedena ve třech variantách různé složitosti (rozmístěných na kartách).
já c (lehká).
Nakreslete graf funkce inverzní úměrnosti y=-6/x pomocí tabulky:
Pomocí grafu najděte:
a) hodnota y, jestliže x = - 1,5; 2;
b) hodnota x, při které y = - 1; 4.
Já století (střední obtížnost)
Nakreslete graf funkce inverzní úměrnosti y=16/x, nejprve vyplňte tabulku.
Pomocí grafu zjistěte, na jakých hodnotách x y > 0.
Já století (zvýšená obtížnost)
Nakreslete graf funkce inverzní úměrnosti y=10/x-2, nejprve vyplňte tabulku.
Najděte doménu definice této funkce.
(Studenti odevzdávají k testování listy s vynesenými grafy).
6. Shrne hodinu, známky, domácí úkol: č. 186 (a), 187 (a).