Nejmenší společný jmenovatel (LCD) algebraických zlomků, jeho nalezení. Redukce zlomků na společného jmenovatele (Moskalenko M.V.)
Většina operací s algebraickými zlomky, jako je sčítání a odčítání, vyžaduje nejprve redukci těchto zlomků na stejné jmenovatele. Takové jmenovatele se také často označují jako „společný jmenovatel“. V tomto tématu se podíváme na definici pojmů „společný jmenovatel algebraických zlomků“ a „nejmenší společný jmenovatel algebraických zlomků (LCD)“, zvážíme algoritmus pro nalezení společného jmenovatele bod po bodu a vyřešíme několik problémů na téma.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Společný jmenovatel algebraických zlomků
Pokud mluvíme o obyčejných zlomcích, pak společným jmenovatelem je číslo, které je dělitelné kterýmkoli ze jmenovatelů původních zlomků. Pro obyčejné zlomky 1 2 A 5 9 číslo 36 může být společným jmenovatelem, protože je dělitelné 2 a 9 beze zbytku.
Společný jmenovatel algebraických zlomků je určen podobným způsobem, pouze místo čísel jsou použity polynomy, protože jsou čitateli a jmenovateli algebraického zlomku.
Definice 1
Společný jmenovatel algebraického zlomku je polynom, který je dělitelný jmenovatelem libovolného zlomku.
Vzhledem ke zvláštnostem algebraických zlomků, o kterých bude řeč dále, se budeme často zabývat společnými jmenovateli reprezentovanými jako součin spíše než jako standardní polynom.
Příklad 1
Polynom zapsaný jako součin 3 x 2 (x + 1), odpovídá polynomu standardního tvaru 3 x 3 + 3 x 2. Tento polynom může být společným jmenovatelem algebraických zlomků 2 x, - 3 x y x 2 a y + 3 x + 1, protože je dělitelný x, na x 2 a dál x+1. Informace o dělitelnosti polynomů jsou k dispozici v odpovídajícím tématu našeho zdroje.
Nejmenší společný jmenovatel (LCD)
Pro dané algebraické zlomky může být počet společných jmenovatelů nekonečný.
Příklad 2
Vezměme si jako příklad zlomky 1 2 x a x + 1 x 2 + 3. Jejich společným jmenovatelem je 2 x (x 2 + 3), jako − 2 x (x 2 + 3), jako x (x 2 + 3), jako 6, 4 x (x 2 + 3) (y + y 4), jako − 31 x 5 (x 2 + 3) 3 atd.
Při řešení úloh si můžete usnadnit práci použitím společného jmenovatele, který má z celé množiny jmenovatelů nejjednodušší podobu. Tento jmenovatel je často označován jako nejnižší společný jmenovatel.
Definice 2
Nejmenší společný jmenovatel algebraických zlomků je společným jmenovatelem algebraických zlomků, který má nejjednodušší tvar.
Mimochodem, termín „nejnižší společný jmenovatel“ není obecně přijímán, takže je lepší omezit se na termín „společný jmenovatel“. A tady je důvod.
Dříve jsme zaměřili vaši pozornost na frázi „jmenovatel nejjednoduššího druhu“. Hlavní význam této fráze je následující: jmenovatel nejjednoduššího tvaru musí beze zbytku dělit jakýkoli jiný společný jmenovatel dat v podmínce problému algebraických zlomků. V tomto případě lze v součinu, který je společným jmenovatelem zlomků, použít různé číselné koeficienty.
Příklad 3
Vezměme zlomky 1 2 · x a x + 1 x 2 + 3 . Již jsme zjistili, že pro nás bude nejjednodušší pracovat se společným jmenovatelem ve tvaru 2 · x · (x 2 + 3). Společným jmenovatelem těchto dvou zlomků může být také x (x 2 + 3), která neobsahuje číselný koeficient. Otázkou je, který z těchto dvou společných jmenovatelů je považován za nejmenšího společného jmenovatele zlomků. Neexistuje jednoznačná odpověď, proto je správnější jednoduše mluvit o společném jmenovateli a pracovat s možností, se kterou bude nejvhodnější pracovat. Můžeme tedy použít takové společné jmenovatele jako x 2 (x 2 + 3) (y + y 4) nebo − 15 x 5 (x 2 + 3) 3, které mají složitější vzhled, ale provádění akcí s nimi může být obtížnější.
Hledání společného jmenovatele algebraických zlomků: algoritmus akcí
Předpokládejme, že máme několik algebraických zlomků, pro které potřebujeme najít společného jmenovatele. K vyřešení tohoto problému můžeme použít následující algoritmus akcí. Nejprve potřebujeme faktorizovat jmenovatele původních zlomků. Poté skládáme dílo, do kterého postupně zařazujeme:
- všechny faktory ze jmenovatele prvního zlomku spolu s mocninami;
- všechny faktory přítomné ve jmenovateli druhého zlomku, které však nejsou v písemném součinu nebo jejich míra je nedostatečná;
- všechny chybějící faktory ze jmenovatele třetího zlomku a tak dále.
Výsledný produkt bude společným jmenovatelem algebraických zlomků.
Jako faktory součinu můžeme vzít všechny jmenovatele zlomků uvedené v zadání úlohy. Multiplikátor, který nakonec dostaneme, však bude mít význam daleko od NCD a jeho použití bude iracionální.
Příklad 4
Určete společného jmenovatele zlomků 1 x 2 y, 5 x + 1 a y - 3 x 5 y.
Řešení
V tomto případě nepotřebujeme faktorizovat jmenovatele původních zlomků. Algoritmus proto začneme aplikovat složením práce.
Ze jmenovatele prvního zlomku vezmeme násobitel x 2 roky, ze jmenovatele druhého zlomku násobitel x+1. Dostáváme produkt x 2 y (x + 1).
Jmenovatel třetího zlomku nám může dát násobitel x 5 let, nicméně produkt, který jsme sestavili dříve, již má faktory x 2 A y. Proto přidáváme další x 5 − 2 = x 3. Dostáváme produkt x 2 y (x + 1) x 3, který lze zredukovat do podoby x 5 y (x + 1). To bude naše NOZ algebraických zlomků.
Odpověď: x 5 · y · (x + 1) .
Nyní se podívejme na příklady problémů, kde jmenovatelé algebraických zlomků obsahují celočíselné číselné faktory. V takových případech se také řídíme algoritmem, když jsme předtím rozložili celočíselné numerické faktory na jednoduché faktory.
Příklad 5
Najděte společného jmenovatele zlomků 1 12 x a 1 90 x 2.
Řešení
Rozdělením čísel ve jmenovatelích zlomků na prvočinitele dostaneme 1 2 2 3 x a 1 2 3 2 5 x 2. Nyní můžeme přejít k sestavení společného jmenovatele. Za tímto účelem vezmeme součin ze jmenovatele prvního zlomku 2 2 3 x a přidejte k tomu faktory 3, 5 a x od jmenovatele druhého zlomku. Dostáváme 2 2 3 x 3 5 x = 180 x 2. To je náš společný jmenovatel.
Odpověď: 180 x 2.
Pokud se pozorně podíváte na výsledky dvou analyzovaných příkladů, všimnete si, že společné jmenovatele zlomků obsahují všechny faktory přítomné v rozšířeních jmenovatelů, a pokud je určitý faktor přítomen v několika jmenovatelích, pak se bere s největším dostupným exponentem. A pokud mají jmenovatelé celočíselné koeficienty, pak společný jmenovatel obsahuje číselný faktor rovný nejmenšímu společnému násobku těchto číselných koeficientů.
Příklad 6
Jmenovatelé obou algebraických zlomků 1 12 x a 1 90 x 2 mají koeficient x. Ve druhém případě je faktor x na druhou. Abychom vytvořili společného jmenovatele, musíme tento faktor vzít v největší míře, tzn. x 2. Neexistují žádné další multiplikátory s proměnnými. Celočíselné číselné koeficienty původních zlomků 12 A 90 a jejich nejmenší společný násobek je 180 . Ukazuje se, že požadovaný společný jmenovatel má tvar 180 x 2.
Nyní můžeme napsat další algoritmus pro nalezení společného faktoru algebraických zlomků. Za to my:
- faktor jmenovatelů všech zlomků;
- skládáme součin všech faktorů písmen (pokud existuje faktor ve více rozšířeních, vezmeme možnost s největším exponentem);
- k výslednému produktu přidáme LCM číselných koeficientů expanzí.
Uvedené algoritmy jsou ekvivalentní, takže k řešení problémů lze použít kterýkoli z nich. Je důležité věnovat pozornost detailům.
Existují případy, kdy společné faktory ve jmenovatelích zlomků mohou být za číselnými koeficienty neviditelné. Zde je vhodné nejprve číselné koeficienty u vyšších mocnin proměnných vyřadit ze závorek v každém z faktorů přítomných ve jmenovateli.
Příklad 7
Jaký společný jmenovatel mají zlomky 3 5 - x a 5 - x · y 2 2 · x - 10?
Řešení
V prvním případě musí být ze závorek vyjmuto mínus jedna. Dostaneme 3-x-5. Čitatele a jmenovatele vynásobíme - 1, abychom se zbavili mínusu ve jmenovateli: - 3 x - 5.
Ve druhém případě vyjmeme dva ze závorek. To nám umožňuje získat zlomek 5 - x · y 2 2 · x - 5.
Je zřejmé, že společným jmenovatelem těchto algebraických zlomků - 3 x - 5 a 5 - x · y 2 2 · x - 5 je 2 (x − 5).
Odpověď:2 (x − 5).
Data ve stavu problému zlomků mohou mít zlomkové koeficienty. V těchto případech se musíte nejprve zbavit zlomkových koeficientů vynásobením čitatele a jmenovatele určitým číslem.
Příklad 8
Zjednodušte algebraické zlomky 1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 a - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 a poté určete jejich společného jmenovatele.
Řešení
Zbavme se zlomkových koeficientů vynásobením čitatele a jmenovatele v prvním případě 14, v druhém případě 3. Dostáváme:
1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 = 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 = 7 x + 1 x 2 + 2 a - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 = 3 · - 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = - 6 2 · x 2 + 4 = - 6 2 · x 2 + 2 .
Po transformacích se ukáže, že společným jmenovatelem je 2 (x 2 + 2).
Odpověď: 2 (x 2 + 2).
Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter
Tato metoda má smysl, pokud stupeň polynomu není nižší než dva. V tomto případě může být společným činitelem nejen binom prvního stupně, ale i vyšších stupňů.
K nalezení společného faktorčleny polynomu je nutné provést řadu transformací. Nejjednodušší dvojčlen nebo monočlen, který lze vyjmout ze závorek, bude jedním z kořenů mnohočlenu. Je zřejmé, že v případě, kdy polynom nemá volný člen, bude na prvním stupni neznámá - polynom rovna 0.
Obtížnější je najít společný faktor v případě, kdy se volný termín nerovná nule. Pak jsou použitelné metody jednoduchého výběru nebo seskupování. Nechť jsou například všechny kořeny polynomu racionální a všechny koeficienty polynomu jsou celá čísla: y^4 + 3 y³ – y² – 9 y – 18.
Zapište všechny celočíselné dělitele volného členu. Pokud má polynom racionální kořeny, pak jsou mezi nimi. Výsledkem selekce jsou kořeny 2 a -3. To znamená, že společnými faktory tohoto polynomu budou binomy (y - 2) a (y + 3).
Běžná metoda faktoringu je jednou ze součástí faktorizace. Výše popsaná metoda je použitelná, je-li koeficient nejvyššího stupně roven 1. Pokud tomu tak není, musí být nejprve provedena řada transformací. Například: 2y³ + 19 y² + 41 y + 15.
Proveďte substituci tvaru t = 2³·y³. Chcete-li to provést, vynásobte všechny koeficienty polynomu číslem 4: 2³·y³ + 19·2²·y² + 82·2·y + 60. Po nahrazení: t³ + 19·t² + 82·t + 60. najít společný faktor, použijeme výše uvedenou metodu.
Navíc účinnou metodou pro nalezení společného faktoru jsou prvky polynomu. Je zvláště užitečné, když první metoda ne, tzn. Polynom nemá racionální kořeny. Seskupení však není vždy zřejmé. Například: Polynom y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 nemá kořeny celého čísla.
Použijte seskupení: y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 = y^4 + 4 y³ – 2 y² + y² – 8 y – 2 = (y^4 – 2 y²) + ( 4 y³ – 8 let) + y² – 2 = (y² - 2)*(y² + 4 y + 1 Společný faktor prvků tohoto polynomu je (y² - 2).
Násobení a dělení, stejně jako sčítání a odčítání, jsou základní aritmetické operace. Bez toho, aby se člověk naučil řešit příklady násobení a dělení, narazí na mnoho potíží nejen při studiu složitějších oborů matematiky, ale i v těch nejobyčejnějších každodenních záležitostech. Násobení a dělení spolu úzce souvisí a neznámé složky příkladů a problémů zahrnujících jednu z těchto operací se počítají pomocí druhé operace. Zároveň je potřeba jasně pochopit, že při řešení příkladů je naprosto jedno, které předměty rozdělujete nebo násobíte.
budete potřebovat
- - násobilka;
- - kalkulačka nebo list papíru a tužka.
Instrukce
Napište příklad, který potřebujete. Označte neznámé faktor jako x. Příklad může vypadat takto: a*x=b. Namísto faktoru a a součinu b v příkladu může být libovolné nebo čísla. Pamatujte na základní princip násobení: změna místa faktorů nemění součin. Tak neznámý faktor x lze umístit naprosto kamkoli.
K nalezení neznámého faktor v příkladu, kde jsou pouze dva faktory, stačí vydělit produkt známými faktor. To znamená, že se to provede následovně: x=b/a. Pokud se vám zdá obtížné operovat s abstraktními veličinami, zkuste si tento problém představit v podobě konkrétních objektů. Vy, máte jen jablka a kolik jich sníte, ale nevíte, kolik jablek všichni dostanou. Máte například 5 členů rodiny a 15 jablek Označte počet jablek určených pro každého jako x. Potom bude rovnice vypadat takto: 5(jablka)*x=15(jablka). Neznámý faktor se nachází stejným způsobem jako v rovnici s písmeny, tedy rozdělte 15 jablek mezi pět členů rodiny, nakonec se ukáže, že každý snědl 3 jablka.
Stejným způsobem se nachází neznámé faktor s množstvím faktorů. Příklad vypadá například a*b*c*x*=d. Teoreticky najděte s faktor je to možné stejným způsobem jako v pozdějším příkladu: x=d/a*b*c. Ale rovnici můžete dovést do jednodušší podoby tak, že součin známých faktorů označíte jiným písmenem - například m. Zjistěte, čemu se m rovná, vynásobením čísel a, b a c: m=a*b*c. Potom lze celý příklad znázornit jako m*x=d a neznámá veličina se bude rovnat x=d/m.
Pokud je známo faktor a součin jsou zlomky, příklad je řešen úplně stejně jako u . Ale v tomto případě si musíte pamatovat akce. Při násobení zlomků se násobí jejich čitatelia a jmenovatelé. Při dělení zlomků se čitatel dělence násobí jmenovatelem dělitele a jmenovatel děliče se násobí čitatelem dělitele. To znamená, že v tomto případě bude příklad vypadat takto: a/b*x=c/d. Abyste našli neznámé množství, musíte produkt vydělit známým faktor. To znamená, že x=a/b:c/d =a*d/b*c.
Video k tématu
Vezměte prosím na vědomí
Při řešení příkladů se zlomky lze zlomek známého faktoru jednoduše obrátit a akci provést jako násobení zlomků.
Polynom je součet monočlenů. Monomial je součinem několika faktorů, kterými jsou číslo nebo písmeno. Stupeň neznámý je počet, kolikrát se sám násobí.
Instrukce
Uveďte jej, pokud tak již nebylo provedeno. Podobné monočleny jsou monočleny stejného typu, tedy monočleny se stejnými neznámými stejného stupně.
Vezměte si například polynom 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y². Tento polynom má dvě neznámé - x a y.
Připojte podobné monomily. Monomy s druhou mocninou y a třetí mocninou x dostanou tvar y²*x³ a monočleny se čtvrtou mocninou y se zruší. Vyjde to y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³.
Vezměte y jako hlavní neznámé písmeno. Najděte maximální stupeň pro neznámé y. Jedná se o jednočlenný y²*x³ a tedy stupeň 2.
Udělejte závěr. Stupeň polynom 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y² v x se rovná třem a v y se rovná dvěma.
Najděte titul polynom√x+5*y x y. Rovná se maximálnímu stupni y, tedy jedné.
Najděte titul polynom√x+5*y v x. Neznámé x se nachází, což znamená, že jeho stupeň bude zlomkem. Protože odmocnina je odmocnina, mocnina x je 1/2.
Udělejte závěr. Pro polynom√x+5*y mocnina x je 1/2 a mocnina y je 1.
Video k tématu
Zjednodušení algebraických výrazů je vyžadováno v mnoha oblastech matematiky, včetně řešení rovnic vyšších řádů, derivování a integrace. Používá se několik metod, včetně faktorizace. Chcete-li použít tuto metodu, musíte najít a vytvořit obecný faktor pro závorky.
Křížové násobení
Metoda společného dělitele
Úkol. Najděte významy výrazů:
Úkol. Najděte významy výrazů:
Abyste pochopili, jak velký rozdíl přináší metoda nejméně společného vícenásobku, zkuste tyto stejné příklady spočítat pomocí křížové metody.
Společný jmenovatel zlomků
Samozřejmě bez kalkulačky. Myslím, že po tomto komentáře budou zbytečné.
Viz také:
Původně jsem chtěl do sekce Sčítání a odečítání zlomků zahrnout techniky společného jmenovatele. Ale ukázalo se, že informací je tolik a jejich význam je tak velký (ostatně nejen číselné zlomky mají společné jmenovatele), že je lepší tuto problematiku studovat samostatně.
Řekněme tedy, že máme dva zlomky s různými jmenovateli. A chceme zajistit, aby jmenovatelé byli stejní. Na pomoc přichází základní vlastnost zlomku, která, připomínám, zní takto:
Zlomek se nezmění, pokud se jeho čitatel a jmenovatel vynásobí stejným číslem jiným než nulou.
Pokud tedy zvolíte faktory správně, jmenovatelé zlomků se vyrovnají - tento proces se nazývá. A zavolají se požadovaná čísla, která „vyrovnají“ jmenovatele.
Proč potřebujeme zlomky redukovat na společného jmenovatele? Zde je jen několik důvodů:
- Sčítání a odčítání zlomků s různými jmenovateli. Neexistuje žádný jiný způsob, jak tuto operaci provést;
- Porovnávání zlomků. Někdy redukce na společného jmenovatele značně zjednodušuje tento úkol;
- Řešení problémů se zlomky a procenty. Procenta jsou v podstatě běžné výrazy, které obsahují zlomky.
Existuje mnoho způsobů, jak najít čísla, která po vynásobení učiní jmenovatele zlomků stejně. Budeme zvažovat pouze tři z nich - v pořadí rostoucí složitosti a v jistém smyslu účinnosti.
Křížové násobení
Nejjednodušší a nejspolehlivější metoda, která zaručeně vyrovná jmenovatele. Budeme jednat „bezhlavě“: první zlomek vynásobíme jmenovatelem druhého zlomku a druhý jmenovatelem prvního. V důsledku toho se jmenovatelé obou zlomků budou rovnat součinu původních jmenovatelů. Podívejte se:
Úkol. Najděte významy výrazů:
Jako další faktory zvažte jmenovatele sousedních zlomků. Dostáváme:
Ano, je to tak jednoduché. Pokud se studiem zlomků teprve začínáte, je lepší pracovat s touto metodou - tímto způsobem se pojistíte proti mnoha chybám a zaručeně dostanete výsledek.
Jedinou nevýhodou této metody je, že musíte hodně počítat, protože jmenovatelé se násobí „celkem“ a výsledkem mohou být velmi velká čísla. To je cena za spolehlivost.
Metoda společného dělitele
Tato technika pomáhá výrazně omezit výpočty, ale bohužel se používá poměrně zřídka. Metoda je následující:
- Než půjdete rovně (tj. pomocí křížové metody), podívejte se na jmenovatele. Možná je jeden z nich (ten, který je větší) rozdělen na druhý.
- Číslo vyplývající z tohoto dělení bude dalším faktorem pro zlomek s menším jmenovatelem.
- Zlomek s velkým jmenovatelem není v tomto případě potřeba násobit vůbec ničím – v tom je úspora. Zároveň se výrazně snižuje pravděpodobnost chyby.
Úkol. Najděte významy výrazů:
Všimněte si, že 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Protože v obou případech se jeden jmenovatel dělí beze zbytku druhým, použijeme metodu společných činitelů. máme:
Všimněte si, že druhý zlomek nebyl vynásoben vůbec ničím. Ve skutečnosti jsme snížili objem výpočtu na polovinu!
Mimochodem, zlomky v tomto příkladu jsem nevzal náhodou. Pokud vás to zajímá, zkuste je spočítat metodou křížem krážem. Po zmenšení budou odpovědi stejné, ale bude s tím mnohem více práce.
Toto je síla metody společných dělitelů, ale opět ji lze použít pouze v případě, že jeden ze jmenovatelů je beze zbytku dělitelný druhým. Což se stává docela zřídka.
Nejméně běžná vícenásobná metoda
Když zlomky zredukujeme na společného jmenovatele, v podstatě se snažíme najít číslo, které je dělitelné každým jmenovatelem. Potom přivedeme jmenovatele obou zlomků k tomuto číslu.
Takových čísel je mnoho a nejmenší z nich se nemusí nutně rovnat přímému součinu jmenovatelů původních zlomků, jak se předpokládá u metody křížem krážem.
Například pro jmenovatele 8 a 12 je číslo 24 docela vhodné, protože 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Toto číslo je mnohem menší než součin 8 12 = 96.
Nejmenší číslo, které je dělitelné každým ze jmenovatelů, se nazývá jejich (LCM).
Zápis: Nejmenší společný násobek aab se označuje LCM(a; b). Například LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.
Pokud se vám podaří takové číslo najít, celkové množství výpočtů bude minimální. Podívejte se na příklady:
Jak najít nejmenšího společného jmenovatele
Najděte významy výrazů:
Všimněte si, že 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktory 2 a 3 jsou coprime (nemají žádné společné faktory kromě 1) a faktor 117 je společný. Proto LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.
Podobně 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktory 3 a 4 jsou coprime a faktor 5 je společný. Proto LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.
Nyní přivedeme zlomky ke společným jmenovatelům:
Všimněte si, jak užitečné bylo rozklad původních jmenovatelů:
- Po objevení identických faktorů jsme okamžitě dospěli k nejmenšímu společnému násobku, což je obecně netriviální problém;
- Z výsledného rozšíření můžete zjistit, které faktory v jednotlivých zlomcích „chybějí“. Například 234 · 3 = 702, proto pro první zlomek je dodatečný faktor 3.
Nemyslete si, že ve skutečných příkladech nebudou tak složité zlomky. Setkávají se neustále a výše uvedené úkoly nejsou limitem!
Jediný problém je, jak najít právě toto NOC. Někdy lze vše najít během několika sekund, doslova „od oka“, ale obecně se jedná o složitý výpočetní úkol, který vyžaduje samostatné posouzení. Toho se zde nebudeme dotýkat.
Viz také:
Redukce zlomků na společného jmenovatele
Původně jsem chtěl do sekce Sčítání a odečítání zlomků zahrnout techniky společného jmenovatele. Ale ukázalo se, že informací je tolik a jejich význam je tak velký (ostatně nejen číselné zlomky mají společné jmenovatele), že je lepší tuto problematiku studovat samostatně.
Řekněme tedy, že máme dva zlomky s různými jmenovateli. A chceme zajistit, aby jmenovatelé byli stejní. Na pomoc přichází základní vlastnost zlomku, která, připomínám, zní takto:
Zlomek se nezmění, pokud se jeho čitatel a jmenovatel vynásobí stejným číslem jiným než nulou.
Pokud tedy zvolíte faktory správně, jmenovatelé zlomků se vyrovnají - tento proces se nazývá. A zavolají se požadovaná čísla, která „vyrovnají“ jmenovatele.
Proč potřebujeme zlomky redukovat na společného jmenovatele?
Společný jmenovatel, pojem a definice.
Zde je jen několik důvodů:
- Sčítání a odčítání zlomků s různými jmenovateli. Neexistuje žádný jiný způsob, jak tuto operaci provést;
- Porovnávání zlomků. Někdy redukce na společného jmenovatele značně zjednodušuje tento úkol;
- Řešení problémů se zlomky a procenty. Procenta jsou v podstatě běžné výrazy, které obsahují zlomky.
Existuje mnoho způsobů, jak najít čísla, která po vynásobení učiní jmenovatele zlomků stejně. Budeme zvažovat pouze tři z nich - v pořadí rostoucí složitosti a v jistém smyslu účinnosti.
Křížové násobení
Nejjednodušší a nejspolehlivější metoda, která zaručeně vyrovná jmenovatele. Budeme jednat „bezhlavě“: první zlomek vynásobíme jmenovatelem druhého zlomku a druhý jmenovatelem prvního. V důsledku toho se jmenovatelé obou zlomků budou rovnat součinu původních jmenovatelů. Podívejte se:
Úkol. Najděte významy výrazů:
Jako další faktory zvažte jmenovatele sousedních zlomků. Dostáváme:
Ano, je to tak jednoduché. Pokud se studiem zlomků teprve začínáte, je lepší pracovat s touto metodou - tímto způsobem se pojistíte proti mnoha chybám a zaručeně dostanete výsledek.
Jedinou nevýhodou této metody je, že musíte hodně počítat, protože jmenovatelé se násobí „celkem“ a výsledkem mohou být velmi velká čísla. To je cena za spolehlivost.
Metoda společného dělitele
Tato technika pomáhá výrazně omezit výpočty, ale bohužel se používá poměrně zřídka. Metoda je následující:
- Než půjdete rovně (tj. pomocí křížové metody), podívejte se na jmenovatele. Možná je jeden z nich (ten, který je větší) rozdělen na druhý.
- Číslo vyplývající z tohoto dělení bude dalším faktorem pro zlomek s menším jmenovatelem.
- Zlomek s velkým jmenovatelem není v tomto případě potřeba násobit vůbec ničím – v tom je úspora. Zároveň se výrazně snižuje pravděpodobnost chyby.
Úkol. Najděte významy výrazů:
Všimněte si, že 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Protože v obou případech se jeden jmenovatel dělí beze zbytku druhým, použijeme metodu společných činitelů. máme:
Všimněte si, že druhý zlomek nebyl vynásoben vůbec ničím. Ve skutečnosti jsme snížili objem výpočtu na polovinu!
Mimochodem, zlomky v tomto příkladu jsem nevzal náhodou. Pokud vás to zajímá, zkuste je spočítat metodou křížem krážem. Po zmenšení budou odpovědi stejné, ale bude s tím mnohem více práce.
Toto je síla metody společných dělitelů, ale opět ji lze použít pouze v případě, že jeden ze jmenovatelů je beze zbytku dělitelný druhým. Což se stává docela zřídka.
Nejméně běžná vícenásobná metoda
Když zlomky zredukujeme na společného jmenovatele, v podstatě se snažíme najít číslo, které je dělitelné každým jmenovatelem. Potom přivedeme jmenovatele obou zlomků k tomuto číslu.
Takových čísel je mnoho a nejmenší z nich se nemusí nutně rovnat přímému součinu jmenovatelů původních zlomků, jak se předpokládá u metody křížem krážem.
Například pro jmenovatele 8 a 12 je číslo 24 docela vhodné, protože 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Toto číslo je mnohem menší než součin 8 12 = 96.
Nejmenší číslo, které je dělitelné každým ze jmenovatelů, se nazývá jejich (LCM).
Zápis: Nejmenší společný násobek aab se označuje LCM(a; b). Například LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.
Pokud se vám podaří takové číslo najít, celkové množství výpočtů bude minimální. Podívejte se na příklady:
Úkol. Najděte významy výrazů:
Všimněte si, že 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktory 2 a 3 jsou coprime (nemají žádné společné faktory kromě 1) a faktor 117 je společný. Proto LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.
Podobně 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktory 3 a 4 jsou coprime a faktor 5 je společný. Proto LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.
Nyní přivedeme zlomky ke společným jmenovatelům:
Všimněte si, jak užitečné bylo rozklad původních jmenovatelů:
- Po objevení identických faktorů jsme okamžitě dospěli k nejmenšímu společnému násobku, což je obecně netriviální problém;
- Z výsledného rozšíření můžete zjistit, které faktory v jednotlivých zlomcích „chybějí“. Například 234 · 3 = 702, proto pro první zlomek je dodatečný faktor 3.
Abyste pochopili, jak velký rozdíl přináší metoda nejméně společného vícenásobku, zkuste tyto stejné příklady spočítat pomocí křížové metody. Samozřejmě bez kalkulačky. Myslím, že po tomto komentáře budou zbytečné.
Nemyslete si, že ve skutečných příkladech nebudou tak složité zlomky. Setkávají se neustále a výše uvedené úkoly nejsou limitem!
Jediný problém je, jak najít právě toto NOC. Někdy lze vše najít během několika sekund, doslova „od oka“, ale obecně se jedná o složitý výpočetní úkol, který vyžaduje samostatné posouzení. Toho se zde nebudeme dotýkat.
Viz také:
Redukce zlomků na společného jmenovatele
Původně jsem chtěl do sekce Sčítání a odečítání zlomků zahrnout techniky společného jmenovatele. Ale ukázalo se, že informací je tolik a jejich význam je tak velký (ostatně nejen číselné zlomky mají společné jmenovatele), že je lepší tuto problematiku studovat samostatně.
Řekněme tedy, že máme dva zlomky s různými jmenovateli. A chceme zajistit, aby jmenovatelé byli stejní. Na pomoc přichází základní vlastnost zlomku, která, připomínám, zní takto:
Zlomek se nezmění, pokud se jeho čitatel a jmenovatel vynásobí stejným číslem jiným než nulou.
Pokud tedy zvolíte faktory správně, jmenovatelé zlomků se vyrovnají - tento proces se nazývá. A zavolají se požadovaná čísla, která „vyrovnají“ jmenovatele.
Proč potřebujeme zlomky redukovat na společného jmenovatele? Zde je jen několik důvodů:
- Sčítání a odčítání zlomků s různými jmenovateli. Neexistuje žádný jiný způsob, jak tuto operaci provést;
- Porovnávání zlomků. Někdy redukce na společného jmenovatele značně zjednodušuje tento úkol;
- Řešení problémů se zlomky a procenty. Procenta jsou v podstatě běžné výrazy, které obsahují zlomky.
Existuje mnoho způsobů, jak najít čísla, která po vynásobení učiní jmenovatele zlomků stejně. Budeme zvažovat pouze tři z nich - v pořadí rostoucí složitosti a v jistém smyslu účinnosti.
Křížové násobení
Nejjednodušší a nejspolehlivější metoda, která zaručeně vyrovná jmenovatele. Budeme jednat „bezhlavě“: první zlomek vynásobíme jmenovatelem druhého zlomku a druhý jmenovatelem prvního. V důsledku toho se jmenovatelé obou zlomků stanou stejnými jako součin původních jmenovatelů.
Podívejte se:
Úkol. Najděte významy výrazů:
Jako další faktory zvažte jmenovatele sousedních zlomků. Dostáváme:
Ano, je to tak jednoduché. Pokud se studiem zlomků teprve začínáte, je lepší pracovat s touto metodou - tímto způsobem se pojistíte proti mnoha chybám a zaručeně dostanete výsledek.
Jedinou nevýhodou této metody je, že musíte hodně počítat, protože jmenovatelé se násobí „celkem“ a výsledkem mohou být velmi velká čísla. To je cena za spolehlivost.
Metoda společného dělitele
Tato technika pomáhá výrazně omezit výpočty, ale bohužel se používá poměrně zřídka. Metoda je následující:
- Než půjdete rovně (tj. pomocí křížové metody), podívejte se na jmenovatele. Možná je jeden z nich (ten, který je větší) rozdělen na druhý.
- Číslo vyplývající z tohoto dělení bude dalším faktorem pro zlomek s menším jmenovatelem.
- Zlomek s velkým jmenovatelem není v tomto případě potřeba násobit vůbec ničím – v tom je úspora. Zároveň se výrazně snižuje pravděpodobnost chyby.
Úkol. Najděte významy výrazů:
Všimněte si, že 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Protože v obou případech se jeden jmenovatel dělí beze zbytku druhým, použijeme metodu společných činitelů. máme:
Všimněte si, že druhý zlomek nebyl vynásoben vůbec ničím. Ve skutečnosti jsme snížili objem výpočtu na polovinu!
Mimochodem, zlomky v tomto příkladu jsem nevzal náhodou. Pokud vás to zajímá, zkuste je spočítat metodou křížem krážem. Po zmenšení budou odpovědi stejné, ale bude s tím mnohem více práce.
Toto je síla metody společných dělitelů, ale opět ji lze použít pouze v případě, že jeden ze jmenovatelů je beze zbytku dělitelný druhým. Což se stává docela zřídka.
Nejméně běžná vícenásobná metoda
Když zlomky zredukujeme na společného jmenovatele, v podstatě se snažíme najít číslo, které je dělitelné každým jmenovatelem. Potom přivedeme jmenovatele obou zlomků k tomuto číslu.
Takových čísel je mnoho a nejmenší z nich se nemusí nutně rovnat přímému součinu jmenovatelů původních zlomků, jak se předpokládá u metody křížem krážem.
Například pro jmenovatele 8 a 12 je číslo 24 docela vhodné, protože 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Toto číslo je mnohem menší než součin 8 12 = 96.
Nejmenší číslo, které je dělitelné každým ze jmenovatelů, se nazývá jejich (LCM).
Zápis: Nejmenší společný násobek aab se označuje LCM(a; b). Například LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.
Pokud se vám podaří takové číslo najít, celkové množství výpočtů bude minimální. Podívejte se na příklady:
Úkol. Najděte významy výrazů:
Všimněte si, že 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktory 2 a 3 jsou coprime (nemají žádné společné faktory kromě 1) a faktor 117 je společný. Proto LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.
Podobně 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktory 3 a 4 jsou coprime a faktor 5 je společný. Proto LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.
Nyní přivedeme zlomky ke společným jmenovatelům:
Všimněte si, jak užitečné bylo rozklad původních jmenovatelů:
- Po objevení identických faktorů jsme okamžitě dospěli k nejmenšímu společnému násobku, což je obecně netriviální problém;
- Z výsledného rozšíření můžete zjistit, které faktory v jednotlivých zlomcích „chybějí“. Například 234 · 3 = 702, proto pro první zlomek je dodatečný faktor 3.
Abyste pochopili, jak velký rozdíl přináší metoda nejméně společného vícenásobku, zkuste tyto stejné příklady spočítat pomocí křížové metody. Samozřejmě bez kalkulačky. Myslím, že po tomto komentáře budou zbytečné.
Nemyslete si, že ve skutečných příkladech nebudou tak složité zlomky. Setkávají se neustále a výše uvedené úkoly nejsou limitem!
Jediný problém je, jak najít právě toto NOC. Někdy lze vše najít během několika sekund, doslova „od oka“, ale obecně se jedná o složitý výpočetní úkol, který vyžaduje samostatné posouzení. Toho se zde nebudeme dotýkat.
Viz také:
Redukce zlomků na společného jmenovatele
Původně jsem chtěl do sekce Sčítání a odečítání zlomků zahrnout techniky společného jmenovatele. Ale ukázalo se, že informací je tolik a jejich význam je tak velký (ostatně nejen číselné zlomky mají společné jmenovatele), že je lepší tuto problematiku studovat samostatně.
Řekněme tedy, že máme dva zlomky s různými jmenovateli. A chceme zajistit, aby jmenovatelé byli stejní. Na pomoc přichází základní vlastnost zlomku, která, připomínám, zní takto:
Zlomek se nezmění, pokud se jeho čitatel a jmenovatel vynásobí stejným číslem jiným než nulou.
Pokud tedy zvolíte faktory správně, jmenovatelé zlomků se vyrovnají - tento proces se nazývá. A zavolají se požadovaná čísla, která „vyrovnají“ jmenovatele.
Proč potřebujeme zlomky redukovat na společného jmenovatele? Zde je jen několik důvodů:
- Sčítání a odčítání zlomků s různými jmenovateli. Neexistuje žádný jiný způsob, jak tuto operaci provést;
- Porovnávání zlomků. Někdy redukce na společného jmenovatele značně zjednodušuje tento úkol;
- Řešení problémů se zlomky a procenty. Procenta jsou v podstatě běžné výrazy, které obsahují zlomky.
Existuje mnoho způsobů, jak najít čísla, která po vynásobení učiní jmenovatele zlomků stejně. Budeme zvažovat pouze tři z nich - v pořadí rostoucí složitosti a v jistém smyslu účinnosti.
Křížové násobení
Nejjednodušší a nejspolehlivější metoda, která zaručeně vyrovná jmenovatele. Budeme jednat „bezhlavě“: první zlomek vynásobíme jmenovatelem druhého zlomku a druhý jmenovatelem prvního. V důsledku toho se jmenovatelé obou zlomků budou rovnat součinu původních jmenovatelů. Podívejte se:
Úkol. Najděte významy výrazů:
Jako další faktory zvažte jmenovatele sousedních zlomků. Dostáváme:
Ano, je to tak jednoduché. Pokud se studiem zlomků teprve začínáte, je lepší pracovat s touto metodou - tímto způsobem se pojistíte proti mnoha chybám a zaručeně dostanete výsledek.
Jedinou nevýhodou této metody je, že musíte hodně počítat, protože jmenovatelé se násobí „celkem“ a výsledkem mohou být velmi velká čísla.
Redukce zlomků na společného jmenovatele
To je cena za spolehlivost.
Metoda společného dělitele
Tato technika pomáhá výrazně omezit výpočty, ale bohužel se používá poměrně zřídka. Metoda je následující:
- Než půjdete rovně (tj. pomocí křížové metody), podívejte se na jmenovatele. Možná je jeden z nich (ten, který je větší) rozdělen na druhý.
- Číslo vyplývající z tohoto dělení bude dalším faktorem pro zlomek s menším jmenovatelem.
- Zlomek s velkým jmenovatelem není v tomto případě potřeba násobit vůbec ničím – v tom je úspora. Zároveň se výrazně snižuje pravděpodobnost chyby.
Úkol. Najděte významy výrazů:
Všimněte si, že 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Protože v obou případech se jeden jmenovatel dělí beze zbytku druhým, použijeme metodu společných činitelů. máme:
Všimněte si, že druhý zlomek nebyl vynásoben vůbec ničím. Ve skutečnosti jsme snížili objem výpočtu na polovinu!
Mimochodem, zlomky v tomto příkladu jsem nevzal náhodou. Pokud vás to zajímá, zkuste je spočítat metodou křížem krážem. Po zmenšení budou odpovědi stejné, ale bude s tím mnohem více práce.
Toto je síla metody společných dělitelů, ale opět ji lze použít pouze v případě, že jeden ze jmenovatelů je beze zbytku dělitelný druhým. Což se stává docela zřídka.
Nejméně běžná vícenásobná metoda
Když zlomky zredukujeme na společného jmenovatele, v podstatě se snažíme najít číslo, které je dělitelné každým jmenovatelem. Potom přivedeme jmenovatele obou zlomků k tomuto číslu.
Takových čísel je mnoho a nejmenší z nich se nemusí nutně rovnat přímému součinu jmenovatelů původních zlomků, jak se předpokládá u metody křížem krážem.
Například pro jmenovatele 8 a 12 je číslo 24 docela vhodné, protože 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Toto číslo je mnohem menší než součin 8 12 = 96.
Nejmenší číslo, které je dělitelné každým ze jmenovatelů, se nazývá jejich (LCM).
Zápis: Nejmenší společný násobek aab se označuje LCM(a; b). Například LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.
Pokud se vám podaří takové číslo najít, celkové množství výpočtů bude minimální. Podívejte se na příklady:
Úkol. Najděte významy výrazů:
Všimněte si, že 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktory 2 a 3 jsou coprime (nemají žádné společné faktory kromě 1) a faktor 117 je společný. Proto LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.
Podobně 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktory 3 a 4 jsou coprime a faktor 5 je společný. Proto LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.
Nyní přivedeme zlomky ke společným jmenovatelům:
Všimněte si, jak užitečné bylo rozklad původních jmenovatelů:
- Po objevení identických faktorů jsme okamžitě dospěli k nejmenšímu společnému násobku, což je obecně netriviální problém;
- Z výsledného rozšíření můžete zjistit, které faktory v jednotlivých zlomcích „chybějí“. Například 234 · 3 = 702, proto pro první zlomek je dodatečný faktor 3.
Abyste pochopili, jak velký rozdíl přináší metoda nejméně společného vícenásobku, zkuste tyto stejné příklady spočítat pomocí křížové metody. Samozřejmě bez kalkulačky. Myslím, že po tomto komentáře budou zbytečné.
Nemyslete si, že ve skutečných příkladech nebudou tak složité zlomky. Setkávají se neustále a výše uvedené úkoly nejsou limitem!
Jediný problém je, jak najít právě toto NOC. Někdy lze vše najít během několika sekund, doslova „od oka“, ale obecně se jedná o složitý výpočetní úkol, který vyžaduje samostatné posouzení. Toho se zde nebudeme dotýkat.
Pro zmenšení zlomků na nejmenšího společného jmenovatele je potřeba: 1) najít nejmenší společný násobek jmenovatelů daných zlomků, bude to nejmenší společný jmenovatel. 2) najděte další faktor pro každý zlomek vydělením nového jmenovatele jmenovatelem každého zlomku. 3) vynásobte čitatel a jmenovatel každého zlomku jeho dalším faktorem.
Příklady. Zredukujte následující zlomky na jejich nejmenšího společného jmenovatele.
Najdeme nejmenší společný násobek jmenovatelů: LCM(5; 4) = 20, protože 20 je nejmenší číslo, které je dělitelné jak 5, tak 4. Najděte pro 1. zlomek navíc faktor 4 (20 : 5=4). Pro 2. zlomek je dodatečný faktor 5 (20 : 4=5). Čitatel a jmenovatel 1. zlomku vynásobíme 4 a čitatel a jmenovatel 2. zlomku 5. Tyto zlomky jsme zredukovali na nejmenšího společného jmenovatele ( 20 ).
Nejnižším společným jmenovatelem těchto zlomků je číslo 8, protože 8 je dělitelné 4 a sebou samým. Pro 1. zlomek nebude žádný další faktor (nebo můžeme říci, že je roven jedné), pro 2. zlomek je dodatečný faktor 2 (8 : 4=2). Čitatele a jmenovatele 2. zlomku vynásobíme 2. Tyto zlomky jsme zredukovali na nejmenšího společného jmenovatele ( 8 ).
Tyto zlomky nejsou neredukovatelné.
Zmenšíme 1. zlomek o 4 a 2. zlomek zmenšíme o 2. ( viz příklady redukce obyčejných zlomků: Mapa stránek → 5.4.2. Příklady redukce běžných zlomků). Najděte LOC(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Dodatečný násobitel pro 1. zlomek je 5 (80 : 16=5). Dodatečný faktor pro 2. zlomek je 4 (80 : 20=4). Čitatel a jmenovatel 1. zlomku vynásobíme 5 a čitatel a jmenovatel 2. zlomku 4. Tyto zlomky jsme zredukovali na nejmenšího společného jmenovatele ( 80 ).
Najdeme nejnižšího společného jmenovatele NCD(5 ; 6 a 15)=NOK(5 ; 6 a 15) = 30. Dodatečný faktor k 1. zlomku je 6 (30 : 5=6), dodatečný faktor ke 2. zlomku je 5 (30 : 6=5), dodatečný faktor ke 3. zlomku je 2 (30 : 15=2). Čitatele a jmenovatele 1. zlomku vynásobíme 6, čitatele a jmenovatele 2. zlomku 5, čitatele a jmenovatele 3. zlomku 2. Tyto zlomky jsme zredukovali na nejmenšího společného jmenovatele ( 30 ).
Strana 1 z 1 1
V této lekci se podíváme na redukci zlomků na společného jmenovatele a vyřešíme problémy na toto téma. Definujme pojem společného jmenovatele a dalšího faktoru a vzpomeňme na relativně prvočísla. Definujme pojem nejnižší společný jmenovatel (LCD) a vyřešme řadu problémů k jeho nalezení.
Téma: Sčítání a odčítání zlomků s různými jmenovateli
Lekce: Redukce zlomků na společného jmenovatele
Opakování. Hlavní vlastnost zlomku.
Pokud se čitatel a jmenovatel zlomku vynásobí nebo vydělí stejným přirozeným číslem, dostaneme stejný zlomek.
Například čitatel a jmenovatel zlomku lze vydělit 2. Dostaneme zlomek. Tato operace se nazývá redukce zlomků. Inverzní transformaci můžete provést také vynásobením čitatele a jmenovatele zlomku dvěma. V tomto případě říkáme, že jsme zlomek zredukovali na nového jmenovatele. Číslo 2 se nazývá dodatečný faktor.
Závěr. Zlomek lze redukovat na libovolného jmenovatele, který je násobkem jmenovatele daného zlomku. Aby se zlomek dostal na nového jmenovatele, jeho čitatel a jmenovatel se vynásobí dalším faktorem.
1. Zmenšete zlomek na jmenovatele 35.
Číslo 35 je násobkem 7, to znamená, že 35 je dělitelné 7 beze zbytku. To znamená, že tato transformace je možná. Pojďme najít další faktor. Chcete-li to provést, vydělte 35 7. Dostaneme 5. Vynásobte čitatel a jmenovatel původního zlomku 5.
2. Zmenšete zlomek na jmenovatele 18.
Pojďme najít další faktor. Chcete-li to provést, vydělte nového jmenovatele původním. Dostaneme 3. Čitatele a jmenovatele tohoto zlomku vynásobíme 3.
3. Zmenšete zlomek na jmenovatele 60.
Vydělením 60 15 získáte další faktor. Je rovna 4. Čitatele a jmenovatele vynásobte 4.
4. Zmenšete zlomek na jmenovatele 24
V jednoduchých případech se redukce na nového jmenovatele provádí mentálně. Je obvyklé pouze označovat dodatečný faktor za závorkou mírně vpravo a nad původní zlomek.
Zlomek lze zmenšit na jmenovatele 15 a zlomek lze zmenšit na jmenovatele 15. Zlomky mají také společného jmenovatele 15.
Společným jmenovatelem zlomků může být libovolný společný násobek jejich jmenovatelů. Pro zjednodušení jsou zlomky redukovány na jejich nejmenšího společného jmenovatele. Je rovna nejmenšímu společnému násobku jmenovatelů daných zlomků.
Příklad. Zmenšete zlomky a na nejnižšího společného jmenovatele.
Nejprve najdeme nejmenší společný násobek jmenovatelů těchto zlomků. Toto číslo je 12. Najdeme další faktor pro první a druhý zlomek. Chcete-li to provést, vydělte 12 4 a 6. Tři je dodatečný faktor pro první zlomek a dva pro druhý. Přivedeme zlomky ke jmenovateli 12.
Zlomky jsme přivedli na společného jmenovatele, to znamená, že jsme našli stejné zlomky, které mají stejného jmenovatele.
Pravidlo. Chcete-li zlomky zmenšit na jejich nejmenšího společného jmenovatele, musíte
Nejprve najděte nejmenší společný násobek jmenovatelů těchto zlomků, bude to jejich nejmenší společný jmenovatel;
Za druhé, vydělte nejnižšího společného jmenovatele jmenovateli těchto zlomků, tj. najděte pro každý zlomek další faktor.
Za třetí, vynásobte čitatel a jmenovatel každého zlomku jeho dalším faktorem.
a) Zmenšete zlomky a na společného jmenovatele.
Nejnižší společný jmenovatel je 12. Dodatečný faktor pro první zlomek je 4, pro druhý - 3. Zlomky redukujeme na jmenovatele 24.
b) Zmenšete zlomky a na společného jmenovatele.
Nejnižší společný jmenovatel je 45. Vydělením 45 9 15 dostaneme 5, respektive 3 Zlomky zredukujeme na jmenovatele 45.
c) Zmenšete zlomky a na společného jmenovatele.
Společným jmenovatelem je 24. Další faktory jsou 2 a 3.
Někdy může být obtížné slovně najít nejmenší společný násobek jmenovatelů daných zlomků. Potom se pomocí prvočíselného rozkladu najde společný jmenovatel a další faktory.
Zmenšete zlomky a na společného jmenovatele.
Rozložme čísla 60 a 168 na prvočinitele. Vypíšeme si rozšíření čísla 60 a doplníme chybějící faktory 2 a 7 z druhého rozšíření. Vynásobme 60 14 a dostaneme společného jmenovatele 840. Dodatečný faktor pro první zlomek je 14. Dodatečný faktor pro druhý zlomek je 5. Zlomky přivedeme na společného jmenovatele 840.
Reference
1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. a další Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. třída. - Gymnázium, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stránkami učebnice matematiky. - Osvícení, 1989.
4. Rurukin A.N., Čajkovskij I.V. Úkoly do kurzu matematiky pro 5.–6. ročník. - ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Čajkovskij K.G. Matematika 5-6. Manuál pro žáky 6. ročníku korespondenční školy MEPhI. - ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. a další Matematika: Učebnice-rozhovor pro 5-6 ročníky střední školy. Knihovna učitele matematiky. - Osvícení, 1989.
Můžete si stáhnout knihy uvedené v článku 1.2. této lekce.
Domácí úkol
Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. a další Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (odkaz viz 1.2)
Domácí úkol: č. 297, č. 298, č. 300.
Další úkoly: č. 270, č. 290