Jak řešit rovnice se zlomky. Exponenciální řešení rovnic se zlomky
Dosud jsme řešili pouze celočíselné rovnice s ohledem na neznámou, tedy rovnice, ve kterých jmenovatelé (pokud existují) neznámou neobsahují.
Často musíte řešit rovnice, které obsahují ve jmenovatelích neznámou: takové rovnice se nazývají zlomkové rovnice.
Abychom tuto rovnici vyřešili, vynásobíme obě strany tím, že polynom obsahující neznámou. Bude nová rovnice ekvivalentní této? Abychom odpověděli na otázku, vyřešme tuto rovnici.
Vynásobením obou stran číslem dostaneme:
Řešením této rovnice prvního stupně zjistíme:
Rovnice (2) má tedy jeden kořen
Když to dosadíme do rovnice (1), dostaneme:
To znamená, že je také kořenem rovnice (1).
Rovnice (1) nemá žádné další kořeny. V našem příkladu je to vidět například z toho, že v rovnici (1)
Jak se neznámý dělitel musí rovnat dělenci 1 děleném podílem 2, tzn
Rovnice (1) a (2) tedy mají jeden kořen, což znamená, že jsou ekvivalentní.
2. Nyní vyřešme následující rovnici:
Nejjednodušší společný jmenovatel: ; vynásobte jím všechny členy rovnice:
Po redukci dostaneme:
Rozbalíme závorky:
Přinášíme podobné termíny, máme:
Řešením této rovnice zjistíme:
Dosazením do rovnice (1) dostaneme:
Na levé straně jsme dostali výrazy, které nedávají smysl.
To znamená, že rovnice (1) není kořen. Z toho vyplývá, že rovnice (1) a nejsou ekvivalentní.
V tomto případě říkají, že rovnice (1) získala cizí kořen.
Porovnejme řešení rovnice (1) s řešením rovnic, které jsme uvažovali dříve (viz § 51). Při řešení této rovnice jsme museli provést dvě operace, se kterými jsme se dosud nesetkali: za prvé jsme vynásobili obě strany rovnice výrazem obsahujícím neznámou (společný jmenovatel) a za druhé jsme redukovali algebraické zlomky o faktory obsahující neznámou. .
Porovnáním rovnice (1) s rovnicí (2) vidíme, že ne všechny hodnoty x, které jsou platné pro rovnici (2), jsou platné pro rovnici (1).
Právě čísla 1 a 3 nejsou přijatelné hodnoty neznámé pro rovnici (1), ale v důsledku transformace se staly přijatelnými pro rovnici (2). Jedno z těchto čísel se ukázalo být řešením rovnice (2), ale samozřejmě nemůže být řešením rovnice (1). Rovnice (1) nemá řešení.
Tento příklad ukazuje, že když jsou obě strany rovnice vynásobeny faktorem obsahujícím neznámou, a když jsou algebraické zlomky redukovány, lze získat rovnici, která není ekvivalentní dané rovnici, totiž: mohou se objevit cizí kořeny.
Odtud vyvodíme následující závěr. Při řešení rovnice obsahující ve jmenovateli neznámou je třeba výsledné kořeny zkontrolovat dosazením do původní rovnice. Cizí kořeny musí být vyřazeny.
Zveme vás na lekci o řešení rovnic se zlomky S největší pravděpodobností jste se s takovými rovnicemi již v minulosti setkali, proto si v této lekci zopakujeme a shrneme informace, které znáte.
Více lekcí na webu
Zlomková-racionální rovnice je rovnice, ve které jsou racionální zlomky, tedy proměnná ve jmenovateli. Pravděpodobně jste se s podobnými rovnicemi v minulosti setkali, takže v této lekci si zopakujeme a shrneme, co víte.
Nejprve navrhuji obrátit se na předchozí lekci na toto téma - lekci „Řešení kvadratických rovnic“. V této lekci byl zvažován příklad řešení zlomkové racionální rovnice. Zvažme to
Řešení této rovnice se provádí v několika fázích:
- Převod rovnice obsahující racionální zlomky.
- Přejít na celou rovnici a zjednodušit ji;
- Řešení kvadratické rovnice.
Při řešení jakékoli zlomkové racionální rovnice je nutné projít prvními 2 fázemi. Třetí fáze je volitelná, protože rovnice získaná jako výsledek zjednodušení nemusí být kvadratická, ale lineární; řešení lineární rovnice je mnohem jednodušší. Při řešení zlomkové racionální rovnice je ještě jeden důležitý krok. Bude to vidět při řešení další rovnice.
Co byste měli udělat jako první? – Samozřejmě, přiveďte zlomky ke společnému jmenovateli. A je velmi důležité najít přesně nejméně společný jmenovatel, jinak bude rovnice dále v procesu řešení komplikovaná. Zde si všimneme, že jmenovatel posledního zlomku lze faktorizovat na A y+2. Právě tento součin bude společným jmenovatelem této rovnice. Nyní musíme určit další faktory pro každý ze zlomků. Přesněji řečeno, pro poslední zlomek není takový násobitel potřeba, protože jeho jmenovatel se rovná společnému. Nyní, když všechny zlomky mají stejné jmenovatele, můžeme přejít k celé rovnici složené ze stejných čitatelů. Je ale nutné učinit jednu poznámku, že nalezená hodnota neznámé nemůže snížit žádný ze jmenovatelů na nulu. Toto je ODZ: y≠0, y≠2. Tím je první z dříve popsaných stupňů řešení hotový a přecházíme k druhému – výslednou celou rovnici zjednodušíme. Chcete-li to provést, otevřete závorky, přesuňte všechny členy na jednu stranu rovnice a uveďte podobné. Udělejte to sami a zkontrolujte, zda jsou mé výpočty, které poskytly rovnici, správné 3 roky 2 – 12 let = 0. Tato rovnice je kvadratická, je zapsána ve standardním tvaru a jeden z jejích koeficientů je nula.
Řešení zlomkových racionálních rovnic
Referenční příručka
Racionální rovnice jsou rovnice, ve kterých jsou levá i pravá strana racionálními výrazy.
(Pamatujte si: racionální výrazy jsou celočíselné a zlomkové výrazy bez radikálů, včetně operací sčítání, odčítání, násobení nebo dělení – například: 6x; (m – n)2; x/3y atd.)
Zlomkové racionální rovnice jsou obvykle redukovány do tvaru:
Kde P(x) A Q(x) jsou polynomy.
Chcete-li takové rovnice vyřešit, vynásobte obě strany rovnice Q(x), což může vést ke vzniku vnějších kořenů. Při řešení zlomkových racionálních rovnic je proto nutné zkontrolovat nalezené kořeny.
Racionální rovnice se nazývá celá nebo algebraická, pokud se nedělí výrazem obsahujícím proměnnou.
Příklady celé racionální rovnice:
5x – 10 = 3 (10 – x)
3x
- = 2x - 10
4
Jestliže v racionální rovnici existuje dělení výrazem obsahujícím proměnnou (x), pak se rovnice nazývá zlomková racionální.
Příklad zlomkové racionální rovnice:
15
x + - = 5x – 17
x
Zlomkové racionální rovnice se obvykle řeší takto:
1) najděte společného jmenovatele zlomků a vynásobte jím obě strany rovnice;
2) vyřešit výslednou celou rovnici;
3) vyloučit z jeho kořenů ty, které redukují společného jmenovatele zlomků na nulu.
Příklady řešení celočíselných a zlomkových racionálních rovnic.
Příklad 1. Vyřešme celou rovnici
x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6
Řešení:
Hledání nejmenšího společného jmenovatele. To je 6. Vydělte 6 jmenovatelem a výsledný výsledek vynásobte čitatelem každého zlomku. Dostaneme rovnici ekvivalentní této:
3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6
Protože levá a pravá strana mají stejného jmenovatele, lze jej vynechat. Pak dostaneme jednodušší rovnici:
3(x – 1) + 4x = 5x.
Vyřešíme to otevřením závorek a kombinací podobných výrazů:
3x – 3 + 4x = 5x
3x + 4x – 5x = 3
Příklad je vyřešen.
Příklad 2. Řešte zlomkovou racionální rovnici
x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x (x – 5)
Hledání společného jmenovatele. Toto je x(x – 5). Tak:
x 2 – 3 x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)
Nyní se opět zbavíme jmenovatele, protože je stejný pro všechny výrazy. Zredukujeme podobné členy, přirovnáme rovnici k nule a získáme kvadratickou rovnici:
x 2 – 3x + x – 5 = x + 5
x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0
x 2 – 3 x – 10 = 0.
Po vyřešení kvadratické rovnice najdeme její kořeny: –2 a 5.
Pojďme zkontrolovat, zda tato čísla jsou kořeny původní rovnice.
Při x = –2 společný jmenovatel x(x – 5) nezmizí. To znamená, že –2 je kořen původní rovnice.
Při x = 5 se společný jmenovatel dostane na nulu a dva ze tří výrazů ztratí smysl. To znamená, že číslo 5 není kořenem původní rovnice.
Odpověď: x = –2
Další příklady
Příklad 1
x 1 = 6, x 2 = - 2,2.
Odpověď: -2,2;6.
Příklad 2
Už jsme se naučili řešit kvadratické rovnice. Nyní rozšíříme studované metody na racionální rovnice.
Co je racionální vyjádření? S tímto konceptem jsme se již setkali. Racionální výrazy jsou výrazy složené z čísel, proměnných, jejich mocnin a symbolů matematických operací.
V souladu s tím jsou racionální rovnice rovnicemi tvaru: , kde - racionální projevy.
Dříve jsme uvažovali pouze ty racionální rovnice, které lze redukovat na lineární. Nyní se podívejme na ty racionální rovnice, které lze redukovat na kvadratické rovnice.
Příklad 1
Řešte rovnici: .
Řešení:
Zlomek se rovná 0 právě tehdy, když je jeho čitatel roven 0 a jmenovatel není roven 0.
Získáme následující systém:
První rovnice systému je kvadratická rovnice. Než to vyřešíme, vydělme všechny jeho koeficienty 3. Dostaneme:
Získáme dva kořeny: ; .
Protože 2 se nikdy nerovná 0, musí být splněny dvě podmínky: . Protože žádný z kořenů rovnice získané výše se neshoduje s neplatnými hodnotami proměnné, které byly získány při řešení druhé nerovnosti, jsou obě řešením této rovnice.
Odpověď:.
Pojďme tedy formulovat algoritmus pro řešení racionálních rovnic:
1. Přesuňte všechny termíny na levou stranu tak, aby pravá strana skončila 0.
2. Transformujte a zjednodušte levou stranu, přiveďte všechny zlomky na společného jmenovatele.
3. Výsledný zlomek srovnejte s 0 pomocí následujícího algoritmu: .
4. Zapište ty kořeny, které byly získány v první rovnici, a uspokojte druhou nerovnost v odpovědi.
Podívejme se na další příklad.
Příklad 2
Řešte rovnici: .
Řešení
Na začátku přesuneme všechny členy doleva tak, aby 0 zůstala napravo.
Nyní přivedeme levou stranu rovnice ke společnému jmenovateli:
Tato rovnice je ekvivalentní soustavě:
První rovnice systému je kvadratická rovnice.
Koeficienty této rovnice: . Vypočítáme diskriminant:
Získáme dva kořeny: ; .
Nyní vyřešme druhou nerovnost: součin faktorů není roven 0 právě tehdy, když žádný z faktorů není roven 0.
Musí být splněny dvě podmínky: . Zjistíme, že ze dvou kořenů první rovnice je vhodný pouze jeden - 3.
Odpověď:.
V této lekci jsme si připomněli, co je racionální výraz, a také jsme se naučili řešit racionální rovnice, které se redukují na kvadratické rovnice.
V další lekci se podíváme na racionální rovnice jako na modely reálných situací a také na pohybové problémy.
Reference
- Bašmakov M.I. Algebra, 8. třída. - M.: Vzdělávání, 2004.
- Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. a další, 8. 5. vyd. - M.: Vzdělávání, 2010.
- Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. třída. Učebnice pro všeobecně vzdělávací instituce. - M.: Vzdělávání, 2006.
- Festival pedagogických nápadů „Otevřená lekce“ ().
- School.xvatit.com ().
- Rudocs.exdat.com ().
Domácí úkol
§ 1 Celočíselné a zlomkové racionální rovnice
V této lekci se podíváme na pojmy jako racionální rovnice, racionální vyjádření, celé vyjádření, zlomkové vyjádření. Uvažujme o řešení racionálních rovnic.
Racionální rovnice je rovnice, ve které jsou levá a pravá strana racionálními výrazy.
Racionální výrazy jsou:
Zlomkové.
Celočíselný výraz se skládá z čísel, proměnných, celočíselných mocnin pomocí operací sčítání, odčítání, násobení a dělení číslem jiným než nula.
Například:
Zlomkové výrazy zahrnují dělení proměnnou nebo výraz s proměnnou. Například:
Zlomkový výraz nedává smysl pro všechny hodnoty proměnných, které jsou v něm obsaženy. Například výraz
při x = -9 to nedává smysl, protože při x = -9 jde jmenovatel na nulu.
To znamená, že racionální rovnice může být celočíselná nebo zlomková.
Celá racionální rovnice je racionální rovnice, ve které jsou levá a pravá strana celými výrazy.
Například:
Zlomková racionální rovnice je racionální rovnice, ve které jsou buď levá nebo pravá strana zlomkové výrazy.
Například:
§ 2 Řešení celé racionální rovnice
Uvažujme řešení celé racionální rovnice.
Například:
Vynásobme obě strany rovnice nejmenším společným jmenovatelem ze jmenovatelů zlomků v ní zahrnutých.
Postup:
1. najděte společného jmenovatele pro jmenovatele 2, 3, 6. Je roven 6;
2. najít další faktor pro každý zlomek. Chcete-li to provést, vydělte společného jmenovatele 6 každým jmenovatelem
další faktor pro zlomek
další faktor pro zlomek
3. vynásobte čitatele zlomků jejich odpovídajícími dodatečnými faktory. Tak dostaneme rovnici
což je ekvivalentní dané rovnici
Otevřeme závorky vlevo, přesuneme pravou část doleva a změníme znaménko termínu při převodu na opačné.
Uveďme podobné členy polynomu a dostaňme
Vidíme, že rovnice je lineární.
Když to vyřešíme, zjistíme, že x = 0,5.
§ 3 Řešení zlomkové racionální rovnice
Zvažme řešení zlomkové racionální rovnice.
Například:
1.Vynásobte obě strany rovnice nejmenším společným jmenovatelem ze jmenovatelů racionálních zlomků v ní zahrnutých.
Pojďme najít společného jmenovatele pro jmenovatele x + 7 a x - 1.
Je roven jejich součinu (x + 7) (x - 1).
2. Pro každý racionální zlomek najdeme další faktor.
Chcete-li to provést, vydělte společný jmenovatel (x + 7) (x - 1) každým jmenovatelem. Další násobitel pro zlomky
rovná se x - 1,
další faktor pro zlomek
rovná se x+7.
3.Vynásobte čitatele zlomků jejich odpovídajícími doplňkovými faktory.
Získáme rovnici (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7), která je ekvivalentní této rovnici
4.Vynásobte dvojčlen binomem vlevo a vpravo a dostanete následující rovnici
5. Přesuneme pravou stranu doleva a při převodu změníme znaménko každého termínu:
6. Uveďme podobné členy polynomu:
7. Obě strany lze vydělit -1. Dostaneme kvadratickou rovnici:
8. Po vyřešení najdeme kořeny
Protože v rov.
levá a pravá strana jsou zlomkové výrazy a ve zlomkových výrazech se pro některé hodnoty proměnných může jmenovatel stát nulou, pak je nutné zkontrolovat, zda společný jmenovatel neklesne na nulu, když jsou nalezeny x1 a x2 .
Při x = -27 společný jmenovatel (x + 7)(x - 1) nezaniká při x = -1, společný jmenovatel také není nula.
Proto oba kořeny -27 a -1 jsou kořeny rovnice.
Při řešení zlomkové racionální rovnice je lepší okamžitě uvést rozsah přijatelných hodnot. Odstraňte ty hodnoty, při kterých se společný jmenovatel dostane na nulu.
Uvažujme další příklad řešení zlomkové racionální rovnice.
Například vyřešme rovnici
Faktorizujeme jmenovatele zlomku na pravé straně rovnice
Dostáváme rovnici
Pojďme najít společného jmenovatele pro jmenovatele (x - 5), x, x (x - 5).
Bude to výraz x(x - 5).
Nyní najdeme rozsah přijatelných hodnot rovnice
Abychom to udělali, přirovnáme společného jmenovatele k nule x(x - 5) = 0.
Získáme rovnici, jejímž řešením zjistíme, že při x = 0 nebo x = 5 jde společný jmenovatel k nule.
To znamená, že x = 0 nebo x = 5 nemohou být kořeny naší rovnice.
Nyní lze nalézt další multiplikátory.
Přídavný faktor pro racionální zlomky
dodatečný faktor pro zlomek
bude (x - 5),
a další faktor zlomku
Čitatele vynásobíme odpovídajícími doplňkovými faktory.
Dostaneme rovnici x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).
Otevřeme závorky vlevo a vpravo, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.
Přesuneme termíny zprava doleva a změníme znaménko přenesených termínů:
X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0
A po přivedení podobných členů dostaneme kvadratickou rovnici x2 - 3x - 10 = 0. Po jejím vyřešení najdeme kořeny x1 = -2; x2 = 5.
Ale už jsme zjistili, že v x = 5 jde společný jmenovatel x(x - 5) k nule. Proto kořen naší rovnice
bude x = -2.
§ 4 Stručné shrnutí lekce
Důležité si pamatovat:
Při řešení zlomkových racionálních rovnic postupujte takto:
1. Najděte společného jmenovatele zlomků zahrnutých v rovnici. Navíc, pokud lze rozdělit jmenovatele zlomků, pak je vynásobte a pak najděte společného jmenovatele.
2.Vynásobte obě strany rovnice společným jmenovatelem: najděte další faktory, vynásobte čitatele dalšími faktory.
3.Vyřešte výslednou celou rovnici.
4. Odstraňte z kořenů ty, které způsobují, že společný jmenovatel mizí.
Seznam použité literatury:
- Makarychev Yu.N., N.G Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Editoval Telyakovsky S.A. Algebra: učebnice. pro 8. třídu. všeobecné vzdělání institucí. - M.: Vzdělávání, 2013.
- Mordkovich A.G. Algebra. 8. třída: Ve dvou částech. Část 1: Učebnice. pro všeobecné vzdělání institucí. - M.: Mnemosyne.
- Rurukin A.N. Vývoj hodin algebry: 8. ročník - M.: VAKO, 2010.
- Algebra 8. třída: plány hodin podle učebnice Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshková, S.B. Suvorová / Auth.-comp. T.L. Afanasyeva, L.A. Tapilina. Volgograd: Učitel, 2005.