Jak najít oblast kruhu na kostkovaném papíře. Oblast kruhu v problému B5
Kruhy vyžadují opatrnější přístup a jsou mnohem méně časté v úkolech B5. Obecné schéma řešení je přitom ještě jednodušší než v případě polygonů (viz lekce „Plochy polygonů na souřadnicové síti“).
Vše, co je v takových úlohách vyžadováno, je najít poloměr kružnice R. Poté můžete vypočítat plochu kruhu pomocí vzorce S = πR 2. Z tohoto vzorce také vyplývá, že k jeho vyřešení stačí najít R 2.
K nalezení uvedených hodnot stačí označit bod na kružnici, který leží v průsečíku čar mřížky. A pak použijte Pythagorovu větu. Podívejme se na konkrétní příklady výpočtu poloměru:
Úkol. Najděte poloměry tří kružnic znázorněných na obrázku:
Proveďme další konstrukce v každém kruhu:
V každém případě je bod B na kružnici vybrán tak, aby ležel v průsečíku čar mřížky. Bod C v kruzích 1 a 3 dokreslete obrázek na pravoúhlý trojúhelník. Zbývá najít poloměry:
Uvažujme trojúhelník ABC v prvním kruhu. Podle Pythagorovy věty: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.
Pro druhý kruh je vše zřejmé: R = AB = 2.
Třetí případ je podobný prvnímu. Z trojúhelníku ABC pomocí Pythagorovy věty: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 1 2 + 2 2 = 5.
Nyní víme, jak zjistit poloměr kružnice (nebo alespoň její čtverec). Proto můžeme najít oblast. Existují problémy, kdy musíte najít oblast sektoru a ne celý kruh. V takových případech je snadné zjistit, jakou částí kruhu tento sektor je, a tak najít oblast.
Úkol. Najděte oblast S stínovaného sektoru. Ve své odpovědi uveďte S/π.
Je zřejmé, že sektor je jedna čtvrtina kruhu. Proto S = 0,25 S kruh.
Zbývá najít S kruhu - oblast kruhu. K tomu provádíme dodatečnou konstrukci:
Trojúhelník ABC je pravoúhlý trojúhelník. Podle Pythagorovy věty máme: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.
Nyní najdeme oblast kruhu a sektoru: S kruh = πR 2 = 8π ; S = 0,25 S kruh = 2π.
Nakonec je požadovaná hodnota S /π = 2.
Oblast sektoru s neznámým poloměrem
Jedná se o zcela nový typ úkolu, v letech 2010–2011 nic podobného neexistovalo. Podle podmínky nám je dána kružnice určité oblasti (jmenovitě oblast, nikoli poloměr!). Poté se uvnitř tohoto kruhu vybere sektor, jehož oblast je třeba najít.
Dobrou zprávou je, že takové úlohy jsou nejjednodušší ze všech plošných úloh, které se objevují v Jednotné státní zkoušce z matematiky. Kromě toho jsou kruh a sektor vždy umístěny na souřadnicové síti. Proto, abyste se naučili, jak takové problémy řešit, stačí se podívat na obrázek:
Nechť má původní kružnice plochu S kružnice = 80. Pak ji můžeme rozdělit na dva sektory o ploše S = 40 každý (viz krok 2). Podobně lze každý z těchto „půlových“ sektorů opět rozdělit na polovinu – dostaneme čtyři sektory o ploše S = 20 každý (viz krok 3). Nakonec můžeme každý z těchto sektorů rozdělit na další dva – získáme 8 „skartovacích“ sektorů. Plocha každého z těchto „odpadů“ bude S = 10.
Vezměte prosím na vědomí: v žádném USE matematickém problému neexistuje jemnější rozdělení! Algoritmus pro řešení problému B-3 je tedy následující:
- Rozřízněte původní kruh na 8 „odřezků“ sektorů. Plocha každého z nich je přesně 1/8 plochy celého kruhu. Například, pokud má kruh podle podmínky plochu S kruhu = 240, pak „odřezky“ mají plochu S = 240: 8 = 30;
- Zjistěte, kolik „odřezků“ se vešlo do původního sektoru, jehož oblast je třeba najít. Pokud například náš sektor obsahuje 3 „odřezky“ o ploše 30, pak je plocha požadovaného sektoru S = 3 · 30 = 90. Toto bude odpověď.
To je vše! Problém je řešen prakticky ústně. Pokud vám stále něco není jasné, kupte si pizzu a nakrájejte ji na 8 kusů. Každý takový kus bude stejný sektor-“odpad“, který lze kombinovat do větších kusů.
Nyní se podívejme na příklady ze zkušební jednotné státní zkoušky:
Úkol. Na kostkovaný papír je nakreslen kruh o ploše 40. Najděte oblast stínovaného obrázku.
Plocha kruhu je tedy 40. Rozdělte jej na 8 sektorů - každý s plochou S = 40: 5 = 8. Dostaneme:
Je zřejmé, že stínovaný sektor se skládá přesně ze dvou „odpadových“ sektorů. Jeho plocha je tedy 2 · 5 = 10. To je celé řešení!
Úkol. Na kostkovaném papíře je nakreslen kruh o ploše 64. Najděte oblast stínovaného obrázku.
Opět rozdělte celý kruh na 8 stejných sektorů. Je zřejmé, že oblast jednoho z nich je přesně to, co je třeba najít. Jeho plocha je tedy S = 64: 8 = 8.
Úkol. Na kostkovaný papír je nakreslen kruh o ploše 48. Najděte oblast stínovaného obrázku.
Opět rozdělte kruh na 8 stejných sektorů. Plocha každého z nich je rovna S = 48: 8 = 6. Požadovaný sektor obsahuje přesně tři sektory - „odřezky“ (viz obrázek). Proto je plocha požadovaného sektoru 3 6 = 18.
7. prosince se tedy konala další testová zkouška z matematiky. Stejně jako minule bylo studentům nabídnuto 16 možností – všechny budou v nejbližší době zveřejněny na webu.
Obecně lze o zkoušce říci následující:
Zkouška zůstává rozdělena na opce bez logaritmu (ale s derivacemi) a bez derivace (ale s logaritmy). Je to dáno tím, že na školách paralelně probíhají dva programy: podle jednoho se v 10. ročníku vyučují derivace a v 11. ročníku logaritmy, podle druhého naopak. Musíme se však připravit na to, že již v lednu až únoru 2012 budou ve všech variantách logaritmy i derivace;
Nové možnosti se navzájem velmi podobaly, podmínky problémů jsou téměř stejné - liší se pouze čísla a vlastně i odpovědi. To je na jednu stranu dobře, protože všichni studenti jsou v přibližně stejných podmínkách. Ale na druhou stranu na tom není nic dobrého, protože skutečné možnosti se od sebe budou výrazně (velmi výrazně!) lišit;
Kupodivu se objevily nové problémy, o kterých se dříve vůbec neuvažovalo – kdekoli a nikdy. V první řadě se to týká teorie pravděpodobnosti, o které pojednám níže. Takové „inovace“ anulují veškerou práci na sjednocení možností.
Závěry: V nových možnostech školení nedochází k žádným významným změnám. Samotné možnosti se navzájem více podobaly, ale některé z nich mají nové úkoly, se kterými si většina studentů rozhodně neví rady.
Nyní se podívejme na konkrétní problémy, zejména pro „nováčky“ v teorii pravděpodobnosti.
Problém B1: kolik stojí litr benzínu?
B1 je podle specifikace jednotné státní zkoušky z matematiky úloha s praktickým obsahem. V našem případě si klient koupí benzín a dostane drobné. Musíte zjistit buď velikost této změny, nebo objem zakoupeného benzínu.
Pro vyřešení takového problému je důležité vědět jen jednu skutečnost – nazvěme ji zákon násobení. Pokud jsou známy náklady na jeden litr benzínu p a počet nakoupených litrů n, pak celkové náklady budou p · n. Pokud například 1 litr stojí 28 rublů a my chceme koupit 15 litrů, budeme muset zaplatit 28 · 15 = 420 rublů.
Kromě toho byste se měli jednou provždy naučit, co je to odevzdání. Přemýšlejte o tom: když půjdete do kiosku a koupíte si láhev vodky za 350 rublů, ale v kapse budete mít jen bankovku 1000 rublů, pokladní vám vrátí 1000 − 350 = 650 rublů. Jedná se o změnu – rozdíl mezi skutečnou kupní cenou a částkou, kterou jste zaplatili. Změna je vždy vyjádřena kladným číslem.
Úkol. Na čerpací stanici dal klient pokladníkovi 1 000 rublů a naplnil nádrž 22 litry benzínu za cenu 31 rublů. 80 kop. na litr Jakou změnu by měl zákazník od pokladny dostat? Vyjádřete svou odpověď v rublech.
Nejprve vyjádřeme cenu benzínu v rublech (bez kopejek): 31 rublů. 80 kop. - to je 31,8 rublů.
Jeden litr tedy stojí 31,8 rublů. Pak 22 litrů stojí 22 · 31,8 = 699,6 rublů. Klient však dal pokladníkovi 1000 rublů, takže by měl obdržet drobné ve výši 1000 − 699,6 = 300,4 rublů. Toto je odpověď - není třeba převádět číslo zpět na kopecks.
Úkol. Na čerpací stanici dal klient pokladníkovi 1 000 rublů a požádal o naplnění benzínu, dokud nebude nádrž plná. Cena benzínu je 30 rublů. 30 kopejek na litr Klient obdržel 303 rublů v hotovosti. 10 kopejek Kolik litrů benzínu bylo nalito do nádrže?
Převedeme všechny ceny znovu na rubly: 30 rublů. 30 kopejek je 30,3 rublů; 303 rublů. 10 kopejek - to je 303,1 rublů.
Nyní se podívejme na prohlášení o problému. Pokud klient dal pokladníkovi 1 000 rublů a obdržel 303,1 rublů, pak skutečné výdaje (nákupní cena) budou 1 000 − 303,1 = 696,9 rublů.
Protože 1 litr benzínu stojí 30,3 rublů, pak za 696,9 rublů si můžete koupit 696,9: 30,3 = 23 litrů. Toto je odpověď.
Úkol B3: naučit se krájet pizzu. Bez buněk
Jak jsem očekával, některé problémy v B3 nás požádaly, abychom našli oblast polygonu danou souřadnicemi jeho vrcholů. V tomto případě nebyla ve výkresu žádná souřadnicová síť. Další problémy si vyžádalo nalezení oblastí sektorů.
Problémy s polygony lze vyřešit elementárně - stačí sestrojit popsaný obdélník (viz lekce „Plochy polygonů na souřadnicové síti“). Víme také, jak pracovat se sektory (viz lekce „Plocha kruhu“), tentokrát však autoři problému navrhli sofistikovanější návrhy.
Úkol. Na kostkovaný papír je nakreslen kruh o ploše 16. Najděte oblast stínovaného obrázku.
Rozřízneme kruh na 8 stejných sektorů jako pizzu. Plocha každého sektoru bude 16: 8 = 2 (viz nákres).
Je zřejmé, že stínovaná část obsahuje 6 takových sektorů, takže její plocha je 6 2 = 12.
Úkol. Najděte obsah čtyřúhelníku, jehož vrcholy mají souřadnice (1; 1), (10; 1), (7; 9), (2; 9)
Je zřejmé, že se jedná o lichoběžník, takže jej můžeme vypočítat pomocí vzorce pro plochu lichoběžníku. My ale půjdeme tradiční cestou: zkonstruujeme popsaný obdélník a označíme délky všech řezů. Dostáváme následující obrázek:
Zbývá najít celkovou plochu obdélníku S a také oblasti trojúhelníků S 1 a S 2, které je třeba vyříznout:
S = 98 = 72;
Si = 0,518 = 4;
S2 = 0,538 = 12;
Sout = S − (S 1 + S 2) = 72 − (4 + 12) = 56.
Úloha B7: Trigonometrie
Naprosto standardní úloha pro výpočet goniometrických funkcí a práci se souřadnicovou kružnicí. Většina chyb se vyskytla ve variantách, ve kterých bylo nutné najít tečnu nebo kotangens, protože víceúrovňové zlomky vznikají až na samém konci řešení takových úloh.
Bohužel většina žáků 11. ročníku stále neumí pracovat s víceúrovňovými zlomky. Může za to však pouze učitel. Překvapivě většina učitelů školní matematiky sama takové zlomky neumí (viz lekce „Složité výrazy se zlomky. Postup“).
Osobně si myslím, že by se takoví lidé neměli nechat pracovat ve školách. Učitel matematiky, který neumí pracovat s vícepatrovými zlomky, by měl být okamžitě diskvalifikován a poslán do dolů kopat uran.
Pokud máte také potíže s vícepatrovými zlomky, jednoduše si prostudujte výše uvedenou lekci a poté absolvujte doprovodné testy. Věřte, že na těchto zlomcích není nic složitého.
Problém B10: Péťa se svými mincemi
Problémy v teorii pravděpodobnosti byly vždy různé, ale tentokrát se zdá, že kompilátoři překonali sami sebe. Například u některých možností bylo nutné zaokrouhlit odpověď na setiny. Jinak byl výsledkem nekonečný desetinný zlomek. Většina studentů však tento zlomek najde pouze pomocí kalkulačky, jejíž použití na Jednotné státní zkoušce z matematiky je zakázáno.
Zaokrouhlení ale není tak špatné. Problémy s mincemi, které se poprvé objevily v tréninkových verzích, vypadají mnohem zajímavěji. K řešení takových problémů je potřeba vědět, co jsou to binomické koeficienty – a na toto téma se v blízké budoucnosti určitě podíváme. Prozatím se omezíme na analýzu dvou konkrétních problémů z možností 1 a 4 (bez logaritmů):
Úkol. Péťa měl v kapse 4 rublové mince a 2 rublové mince. Péťa, aniž by se podíval, přenesl nějaké tři mince do jiné kapsy. Najděte pravděpodobnost, že obě dvourublové mince jsou ve stejné kapse.
Vzhledem k tomu, že obě dvourublové mince skončily ve stejné kapse, jsou dvě možné možnosti: buď je Péťa nepřevedl vůbec, nebo převedl obě najednou.
V prvním případě, kdy dvourublové mince nebyly posunuty, budete muset přesunout 3 rublové mince. Protože jsou takové mince celkem 4, počet způsobů, jak to udělat, se rovná počtu kombinací 4 x 3: C 4 3.
Ve druhém případě, kdy byly převedeny obě dvourublové mince, bude muset být převedena další rublová mince. Musí být vybrán ze 4 existujících a počet způsobů, jak to udělat, se rovná počtu kombinací od 4 do 1: C 4 1.
Nyní pojďme najít počet způsobů, jak přeskupit mince. Protože je celkem 4 + 2 = 6 mincí a je třeba vybrat pouze 3 z nich, celkový počet možností se rovná počtu kombinací 6 x 3: C 6 3.
Zbývá najít pravděpodobnost:
V tomto případě se počet kombinací od b do a vypočítá pomocí vzorce, který musí být znám zpaměti:
Úkol. Péťa měl v kapse 2 mince po 5 rublech a 4 mince po 10 rublech. Péťa, aniž by se podíval, přenesl nějaké 3 mince do jiné kapsy. Najděte pravděpodobnost, že pětirublové mince jsou nyní v různých kapsách.
Chcete-li mít pětirublové mince v různých kapsách, musíte přesunout pouze jednu z nich. Počet způsobů, jak to udělat, se rovná počtu kombinací 2 x 1: C 2 1.
Protože Petya posunul celkem 3 mince, bude muset posunout další 2 mince po 10 rublech. Péťa má 4 takové mince, takže počet cest se rovná počtu kombinací 4 x 2: C 4 2.
Zbývá zjistit, kolik možností je k převodu 3 mincí ze 6 dostupných. Tato veličina, stejně jako v předchozí úloze, se rovná počtu kombinací 6 x 3: C 6 3.
Zjistíme pravděpodobnost:
V posledním kroku jsme znásobili počet způsobů výběru dvourublových mincí a počet způsobů výběru desetirublových mincí, protože tyto události jsou nezávislé.
Podotýkám, že součet pravděpodobností se rovná 0,4 + 0,6 = 1. Počet mincí v obou úlohách je skutečně stejný a dvě mince mohou být buď ve stejné kapse, nebo v různých – existuje žádná třetí možnost.
Tato skutečnost potvrzuje správnost odpovědí, řešení se však ukázalo být zdaleka triviální a vyžaduje velmi dobrou znalost teorie pravděpodobnosti. Většina školáků takové znalosti nemá.
Poznámky k části C
Úloha C1, která požaduje řešení složité goniometrické rovnice, byla mírně přeformulována a nyní se skládá ze dvou bodů:
- Ve skutečnosti vyřešte goniometrickou rovnici;
- Najděte kořeny patřící do daného segmentu.
Zbývající úkoly byly prakticky beze změn převedeny z předchozí zkušební jednotné státní zkoušky. Úloha C6 zůstává stejně snadná a nelze ji srovnávat se skutečnými C6, které se nacházejí v Jednotné státní zkoušce z matematiky.
Ahoj přátelé!Zahrnuto v jednotné státní zkoušce z matematikyzahrnuje úkoly související s nalezením oblasti kruhu nebo jeho částí (sektory, prstencové prvky). Figurka je umístěna na listu papíru v kostkovaném vzoru. V některých problémech je měřítko buňky uvedeno jako 1×1 centimetr, v jiných není specifikováno - je uvedena plocha prvku kruhu nebo samotného kruhu.
Úkoly jsou mělké, musíte si zapamatovat vzorec pro oblast kruhu, být schopni vizuálně (podle buněk) určit poloměr kruhu, jaký podíl kruhu je vybraný sektor. Mimochodem, na blogu o oblasti sektoru. Jeho obsah nemá nic společného s řešením níže uvedených problémů, ale pro ty, kteří si chtějí zapamatovat vzorec pro oblast kruhu a oblast sektoru, bude velmi užitečný. Zvažte úkoly (převzaté z otevřené banky úkolů):
Najděte (v cm 2) plochu S obrázku vyobrazeného na kostkovaném papíře o velikosti buňky 1 cm x 1 cm Do odpovědi napište S/l.
Abychom získali plochu figury (prstenu), je nutné odečíst plochu kruhu o poloměru 1 od plochy kruhu o poloměru 2. Vzorec pro plochu kruh je:
Prostředek,
Výsledek vyděl pí a odpověď zapiš.
Odpověď: 3
Na kostkovaném papíře jsou nakresleny dva kruhy. Oblast vnitřního kruhu je 51. Najděte oblast stínovaného obrázku.
Plochu stínovaného obrázku lze zjistit výpočtem rozdílu mezi plochou většího kruhu a plochou menšího kruhu. Pojďme určit, kolikrát se plocha většího liší od plochy menšího. Nechť je poloměr menšího roven R, pak jeho plocha je rovna:
Poloměr většího kruhu je dvakrát větší (je vidět z buněk). Jeho plocha se tedy rovná:
Zjistili jsme, že jeho plocha je 4x větší.
Proto se rovná 51∙4 = 204 cm2
Plocha stínovaného obrázku je tedy 204 – 51 = 153 cm2.
*Druhá metoda. Bylo možné vypočítat poloměr malého kruhu a poté určit poloměr většího kruhu. Dále najděte plochu větší a vypočítejte plochu požadovaného obrázku.
Na kostkovaném papíře jsou nakresleny dva kruhy. Oblast vnitřního kruhu je 1. Najděte oblast stínovaného obrázku.
Tento problém se svým řešením prakticky neliší od předchozího, rozdíl je pouze v tom, že kruhy mají různé středy.
Navzdory skutečnosti, že je zřejmé, že poloměr většího kruhu je 2krát větší než poloměr menšího kruhu, doporučuji vám určit velikost buňky pomocí proměnné x (x).
Stejně jako v předchozím problému určíme, kolikrát se plocha většího z nich liší od plochy menšího. Vyjádřeme plochu menšího kruhu, protože jeho poloměr je 3x:
Vyjádřeme plochu většího kruhu, protože jeho poloměr je 6x:
Jak vidíte, plocha většího kruhu je 4krát větší.
Proto se rovná 1∙4 = 4 cm2
Plocha stínovaného obrázku je tedy 4 – 1 = 3 cm 2.
Odpověď: 3
Na kostkovaném papíře jsou nakresleny dva kruhy. Oblast vnitřního kruhu je 9. Najděte oblast stínovaného obrázku.
Označme velikost buňky proměnnou x (x).
Pojďme určit, kolikrát se plocha většího kruhu liší od plochy menšího. Vyjádřeme plochu menšího kruhu. Protože jeho poloměr je 3∙ x tedy
Vyjádřeme plochu většího kruhu. Protože jeho poloměr je 4∙ x tedy
Vydělte plochu většího plochou menšího:
To znamená, že plocha většího kruhu je 16/9krát větší než plocha menšího kruhu, proto se rovná:
Plocha stínovaného obrázku je tedy 16 – 9 = 7 cm2.
*Druhá metoda.
Vypočítejme poloměr menší kružnice. Jeho plocha je 9, což znamená
Zjistíme velikost buňky a pak můžeme určit poloměr větší kružnice. Velikost buňky je:
Protože poloměr většího kruhu odpovídá 4 buňkám, bude jeho poloměr roven:
Určete plochu většího kruhu:
Najděte rozdíl: 16 – 9 = 7 cm 2
Odpověď: 7
Na kostkovaném papíře je nakreslen kruh o ploše 48 Najděte oblast stínovaného sektoru.
V tomto problému je zřejmé, že zastíněná část je polovina plochy celého kruhu, to znamená 24.
Odpověď: 24
Krátké shrnutí.
V problémech týkajících se oblasti sektoru kruhu musíte být schopni určit, jaký podíl tvoří oblast kruhu. To není obtížné, protože v takových problémech je středový úhel sektoru násobkem 30 nebo 45.
U úloh souvisejících s hledáním oblastí prstencových prvků existují různé způsoby jejich řešení, oba jsou znázorněny v řešených úlohách. Univerzálnější je metoda, ve které je velikost buňky indikována pomocí proměnné x a následně jsou určeny poloměry.
Nejdůležitější ale je neučit se tyto metody nazpaměť. Můžete najít třetí a čtvrté řešení. Hlavní věc je znát vzorec pro oblast kruhu a být schopen logicky uvažovat.
To je vše. Ať se vám daří!
P.S: Byl bych vděčný, kdybyste mi o webu řekli na sociálních sítích.