Testování atomového torpéda. Torpédo soudného dne: proč Rusko potřebuje podvodní jaderné zbraně
Věda a život 1981 č. 10
Každého z nás něco zajímá. Někteří sbírají známky, kameny, krabičky od sirek; jiní se věnují truhlářství nebo sázejí květiny, jiní si lámou hlavu nad studiem šachu. A autor těchto řádků se baví čísly, hlavně přirozenými. Tato záliba je stará téměř půl století, ale nezeslábla, stále přináší radost a vede k nečekaným objevům. Budou tyto nálezy přijaty? praktická aplikace? Měl jsem takové případy. Bude jich víc? nevím. Benjamin Franklin na tuto otázku odpovídá takto: „K čemu je novorozenec? Ve skutečnosti, který? Čas ukáže. Mezitím si povíme o jedné takové zábavě, která končí docela kuriózně. A začněme z povzdálí.
Vezmeme libovolné vícemístné přirozené číslo, vypočítáme součet jeho cifer, pak cifry výsledného součtu znovu sečteme a opakujeme to, dokud nedojdeme k číslu jednocifernému. Takto budeme nazývat konečný součet číslic daného čísla a pro stručnost jej označíme CSC.
Například RCV čísla 27816365 je 2, protože 2+7+8+1+6+3+6+5=38, pak 3+8=11 a nakonec 1+1=2.
Jakékoli přirozené číslo vydělené 9 dá zbytek jako CCV dividendy. Pokud je číslo dělitelné 9, pak je zbytek přirozeně nula.
Nechť je dáno přirozené číslo:
10 n *a+10 n-1 *b+10 n-2 *c+...+10p+r.
Představme si to takto:
(10-1) n *а+(10-1) n-1 *b+(10-1) n-2 *c+...+ (10-1)*р+a+b+c+...+ p+r.
Je zřejmé, že členy obsahující faktory tvaru (10-1) k jsou násobky devíti. Následující součet číslic daného čísla (a+b+c...+p+r) může být také reprezentován jako:
(10-1) m *a 1 +(10-1) m-1 *b 1 +(10-1) m-2 *c 1 +...(10-1)*p 1 +a 1 +b 1 +c 1 +...+p 1 +r 1 (1)
Nový součet číslic (a 1 +b 1 +c 1 +...+p 1 +r 1) je již menší než předchozí. Pokračujeme-li v tomto procesu, určitě dojdeme ke zbytku, který se ukáže jako jednociferné číslo, jinými slovy do CSC daného čísla.
Uvažujme totéž ve výše uvedeném příkladu:
27816365=10*2+10*7+10*8+10*1+10*6+10*3+10*6+5=
=(10-1)*2+(10-1)*7+(10-1)*8+(10-1)*1+(10-1)*6+(10-1)*3+(10-1)*6+2+7+8+1+6+3+6+5.
Pro výpočet CSC tedy není nutné sčítat všechna čísla. Stačí vyřadit všechny devítky v počtu: 2+7; 8+1; 6+3 a ve zbývajících číslech 6 a 5 zbývá vyřadit 6+3. Výsledkem je CSC = 2.
Z toho vyplývá, že rozdíl mezi daným číslem (A) a jeho CSC je vždy násobkem devíti. Je zvykem říkat, že A je srovnatelné s jeho CSC modulo 9, ale píše se takto:
A = KSC (mod 9), (1)
(zde jsou tři řádky - srovnávací znak).
Uspořádejme nyní všechna přirozená čísla v tabulce 1 tak, aby v každém řádku byla jejich CVC konstantní a rovna číslu zcela vlevo v řadě.
1 | 10 | 19 | 28 | 37 | 46 | 55 | 64 | 73 | ... |
2 | 11 | 20 | 29 | 38 | 47 | 56 | 65 | 74 | ... |
3 | 12 | 21 | 30 | 39 | 48 | 57 | 66 | 75 | ... |
4 | 13 | 22 | 31 | 40 | 49 | 58 | 67 | 76 | ... |
5 | 14 | 23 | 32 | 41 | 50 | 59 | 68 | 77 | ... |
6 | 15 | 24 | 33 | 42 | 51 | 60 | 69 | 78 | ... |
7 | 16 | 25 | 34 | 43 | 52 | 61 | 70 | 79 | ... |
8 | 17 | 26 | 35 | 44 | 53 | 62 | 71 | 80 | ... |
9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | ... |
Tabulka 1
Označíme-li čísla prvního sloupce a i (i=1..9), pak libovolné číslo in i-tý řádek(A i) se bude psát takto:
A i = a i (mod 9). (2)
Srovnání lze sčítat (a tedy násobit a umocňovat) jako běžné rovnosti:
A 1 =
a 1 (mod 9)
+
A 2 =
a 2 (mod 9)
A 1 + A 2 = (a 1 +a 2) (mod 9) (3)
Pojďme to dokázat. Z (3) vyplývá, že
(A1-a1)/9=B1 a (A2-a2)/9=B2
kde B 1 a B 2 jsou přirozená čísla. To znamená, že jejich součet je také přirozené číslo. Zde následuje výsledek v rovnosti (3).
Důkazy pro produkt a titul si můžete snadno najít sami.
Zde je několik příkladů:
21 =
3 (mod 9)
+
32 =
5 (mod 9)
=
53 =
8 (mod 9),
21*32 =
15 (mod 9),
jinak
21*32 =
6 (mod 9).
Abychom tedy zjistili, na kterém řádku tabulky 1 je součet (součin, mocnina) přirozených čísel, stačí sečíst (vynásobit, umocnit) jejich CSC.
Udělejme další tabulku (2) stupňů, počínaje druhou mocninou prvních devíti přirozených čísel a zapišme jejich CSC do závorek.
Z tabulky 2 je zřejmé, že CSC v libovolné řadě se opakuje každých 6 stupňů. Proto stačí uvažovat stupně od druhého do sedmého.
1 2 =1 (1) | 1 3 =1 (1) | 1 4 =1 (1) | 1 5 =1 (1) | 1 6 =1 (1) | 1 7 =1 (1) | 1 8 =1 (1) |
2 2 =4 (4) | 2 3 =8 (8) | 2 4 =16 (7) | 2 5 =32 (5) | 2 6 =64 (1) | 2 7 =128 (2) | 2 8 =256 (4) |
3 2 =9 (9) | 3 3 =27 (9) | 3 4 =81 (9 | 3 5 =243 (9) | 3 6 =729 (9) | 3 7 =2187 (9 | 3 8 =6561 (9) |
4 2 =16 (7) | 4 3 =64 (1) | 4 4 =256 (4) | 4 5 =1024 (7) | 4 6 =4096 (1) | 4 7 =16384 (4) | 4 8 =65536 (7) |
5 2 =25 (7) | 5 3 =125 (8) | 5 4 =625 (4) | 5 5 =3125 (2) | 5 6 =15625 (1) | 5 7 =78125 (5) | 5 8 =390625 (7) |
6 2 =36 (9) | 6 3 =216 (9) | 6 4 =1296 (9) | 6 5 =7776 (9) | 6 6 =46656 (1) | 6 7 =279936 (9) | 6 8 =1679616 (9) |
7 2 =49 (4) | 7 3 =343 (1) | 7 4 =2401 (7) | 7 5 =16807 (4) | 7 6 =117649 (1) | 7 7 =423543 (7) | 7 8 =5764801 (4) |
8 2 =64 (1) | 8 3 =512 (8) | 8 4 =4096 (1) | 8 5 =32762 (8) | 8 6 =262144 (1) | 8 7 =2097152 (8) | 8 8 =16777216 (1) |
9 2 =81 (1) | 9 3 =729 (9) | 9 4 =6561 (9) | 9 5 =59049 (9) | 9 6 =531441 (9) | 9 7 =4782969 (9) | 9 8 =43046721 (9) |
Tabulka 2
Při srovnání první a druhé tabulky se odhalí spousta zajímavých věcí. Například: neexistují žádné stupně (kromě prvního), pro které by CSC bylo tři nebo šest. CSC pro šesté stupně se rovná pouze jedné nebo devíti a pro třetí stupně se také rovná osmi. Pro druhý a čtvrtý stupeň mají CSC stejné hodnoty - 1, 4, 7, 9 - ale jejich čtyřky a sedmičky si prohodily místa.
Nebo je tu další věc: KSC = 2 se vyskytuje pouze dvakrát - v 5 5 a 2 7 a KSC = 5 - také ve dvou případech - v 2 5 a 5 7 . Základy stupňů jsou v obou případech stejné, ale jejich ukazatele si prohodily místa.
V těchto tabulkách lze najít spoustu věcí. To vše je však přísloví, před námi je pohádka.
Uběhlo mnoho času, než byla objevena nová a podle mého názoru pozoruhodná vlastnost tabulky 1. Ukázalo se, že všechna sudá dokonalá čísla (kromě šestek) se nacházejí pouze v její první řadě. (Připomínám: čísla se nazývají dokonalá, pokud jsou rovna součtu všech svých vedlejších dělitelů). Jinými slovy, všechna (kromě prvního) sudá dokonalá čísla (S) jsou srovnatelná s jedním modulem 9:
Perfektní čísla, o kterých mluvíme o tom(a ostatní neznáme) se počítají pomocí Euklidova vzorce:
S=2 p-1 (2 p-1) (5)
kde p i (2 p -1) musí být prvočísla. (Prvočísla jsou čísla, která jsou dělitelná pouze sama sebou a jedničkou.)
Pojďme tedy k důkazu. Je jasné, že číslo p je stejně jako každé prvočíslo (kromě dvojky) liché. Z tabulky 2 je zřejmé, že lichý exponent dvou může být buď 3, nebo 5 nebo 7. V tomto případě se CVC těchto stupňů rovnají 8, 5 a 2. V tomto případě jsou CVC ( 2 p -1) se rovnají 7, 4 a 1. Pokud jde o exponent prvního faktoru v (5), tj. p-1, rovná se buď 2, nebo 4, nebo 6, a CSC z těchto mocnin jsou 2 p -1 rovny 4, 7 a 1, v tomto pořadí.
Zbývá vynásobit CSC obou faktorů rovnice (5): 7*4; 4*7; 1*1, což dává 28, 28 a 1. KSC všech těchto tři díla se rovná 1. Což je potřeba dokázat!
Protože jsme nenastavili žádná omezení ani pro faktor (2 p -1), ani pro exponent p (kromě toho, že musí být lichý), pak nejen dokonalá čísla, ale i všechna čísla s lichým p, vypočítaná pomocí vzorce ( 5), jsou umístěny pouze v prvním řádku tabulky 1.
Není to zvláštní vlastnost Euklidova vzorce?
Pokud vím, přívrženců rubriky „Matematický volný čas“, která v časopise běží již téměř 20 let, neubývá a je mezi nimi mnoho čtenářů, kteří mají zájem o zábavu s čísly. Těm, kteří se do toho ještě nepustili, radíme: hrajte si s čísly! Nebudete litovat!
§ 4. Perfektní čísla
Numerologie (nebo také gematria, jak se jí někdy říká) byla oblíbeným koníčkem starých Řeků. Přirozeným vysvětlením je, že čísla v Starověké Řecko byly zobrazovány písmeny řecké abecedy, a proto každé napsané slovo, každé jméno odpovídalo určitému číslu. Lidé mohli porovnávat vlastnosti čísel odpovídajících jejich jménům.
Dělitelé popř alikvotní části hraná čísla důležitou roli v numerologii. V tomto smyslu ideální, nebo, jak se jim říká, perfektníčísla byla čísla, která se skládala z jejich alikvotních částí, tj. rovna součtu jejich dělitelů. Zde je třeba poznamenat, že staří Řekové nezahrnovali samotné číslo jako součást jeho dělitelů.
Nejmenší dokonalé číslo je 6:
Za ním následuje číslo 28:
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.
Matematik, zapálený pro řešení problému a mít jedno nebo více konkrétních řešení tohoto problému, se často snaží najít vzorce, které by mohly poskytnout klíč k nalezení obecného řešení. Dokonalá čísla, která jsme uvedli, lze zapsat ve tvaru
6 = 2 3 = 2(2 2 - 1),
28 = 2 2 7 = 2 2 (2 3 - 1),
496 = 24 31 = 2 4 (2 5 - 1).
To nás vede k hypotéze:
Číslo je dokonalé, pokud je reprezentováno jako
R = 2 p-1 (2p - 1) = 2p q, (3.4.1)
q = 2p - 1
je Mersennovo prvočíslo.
Tento výsledek, známý Řekům, lze snadno dokázat. Dělitelé čísel R včetně samotného čísla R, samozřejmě jsou to následující čísla:
1, 2, 2 2…, 2 r-1,
q, 2q, 2 2 q..., 2 r-1 q.
Zapišme si součet těchto dělitelů
1 + 2 +… + 2 r-1 + q(1 + 2 +… + 2 r-1),
která se rovná
(1 + 2 +… + 2 r-1)(q + 1) = (1 + 2 +… + 2 r-1) 2 r
Pokud si nepamatujete vzorec pro součet členů geometrické posloupnosti,
S = 1 + 2 +… + 2 r-1 ,
pak tuto částku vynásobte 2:
2S = 2 + 2 2 +… +2 r-1 + 2r,
a pak odečítání S, získat
S= 2p - 1 = q.
Tedy součet všech dělitelů čísla R Existuje
2 p q = 2 2 p-1 q,
a součet všech dělitelů kromě samotného čísla R = 2 p-1 q, je rovný
2 2 p-1 q - 2 p-1 q = 2 p-1 q= R.
Takže naše číslo je perfektní.
Z tohoto výsledku vyplývá, že každé Mersennovo prvočíslo generuje dokonalé číslo. V § 2 druhé hlavy bylo řečeno, že je známo pouze 23 Mersennových prvočísel, proto známe také 23 dokonalých čísel. Existují další typy dokonalých čísel? Všechna dokonalá čísla tvaru (3.4.1) jsou sudá, lze prokázat, že každé sudé dokonalé číslo má tvar (3.4.1). Otázkou zůstává: existují lichá dokonalá čísla? V současnosti žádné takové číslo neznáme a otázka existence lichých dokonalých čísel je jedním z nejznámějších problémů v teorii čísel. Pokud by se takové číslo podařilo objevit, byl by to velký úspěch. Můžete být v pokušení najít takové číslo zkoušením různých lichých čísel. Ale nedoporučujeme to dělat, protože podle nedávných zpráv Briana Tuckermana z IBM (1968) musí mít liché dokonalé číslo alespoň 36 znaků.
Systém úkolů 3.4.
1. Pomocí Mersennova seznamu prvočísel najděte čtvrté a páté dokonalé číslo.
Z knihy Hledači mimořádných autogramů autor Levšin Vladimír ArturovičČÍSLA, ČÍSLA, ČÍSLA... "Existuje taková kniha," začal Mate, "dialogy o matematice." Napsal ji vynikající maďarský matematik našeho století Alfred Rényi. Formu dialogu nezvolil náhodou, stejně jako se k ní ne náhodou kdysi přiklonil i Galileo Galilei Žánr dialogu
Z knihy Pozvání k teorii čísel od Ore Oistin§ 4. Figurovaná čísla V teorii čísel se často setkáváme se čtverci, tedy s čísly jako 32 = 9, 72 = 49, 102 = 100 a podobně s kostkami, tedy s čísly jako 23 = 8, 33 = 27, 53 = 125. Obr. 2. Tento geometrický obraz příslušné číselné operace je součástí bohaté
Z knihy Vědecké triky a hádanky autor Perelman Jakov IsidorovičKAPITOLA 2 JEDNODUCHÁ ČÍSLA § 1. Prvočísla a složená čísla Musí to být jedna z prvních vlastností čísel, otevřít člověkem, bylo, že některé z nich lze faktorizovat na dva nebo více faktorů, například 6 = 2 3, 9 = 3 3, 30 = 2 15 = 3 10, zatímco jiné, například 3, 7, 13, 37, ne
Z knihy Apologie matematiky aneb O matematice jako součásti duchovní kultury autor Uspenskij Vladimír Andrejevič§ 2. Mersennova prvočísla Po několik staletí existovala snaha o prvočísla. Mnoho matematiků soutěžilo o čest objevitele největšího známého prvočísla. Samozřejmě si jich mohl vybrat hned několik velká čísla, kteří takové nemají
Z knihy Matematika lásky. Vzory, důkazy a hledání dokonalé řešení od Fray Hannah§ 3. Fermatova prvočísla Existuje ještě další typ prvočísel s velkými a zajímavý příběh. Poprvé je představil francouzský právník Pierre Fermat (1601–1665), který se proslavil svými vynikajícími matematické práce. Prvních pět prvočísel
Z knihy Tajný životčísla [Zvědavá odvětví matematiky] od Navara Joaquina§ 5. Přátelská čísla Přátelská čísla jsou také součástí dědictví, které jsme zdědili z řecké numerologie. Kdyby dva lidé měli jména taková, aby jejich číselné hodnoty vyhovovaly další podmínka: součet částí (dělitelů) jednoho z nich byl roven druhému
Z knihy 9. díl. Fermatova hádanka. Výzva na tři století k matematice autor Violant-and-Holtz Albert§ 2. Hlavní čísla Číslo 1 je společným dělitelem pro libovolnou dvojici čísel aab. Může se stát, že jednota bude jejich jediným společným dělitelem, tj. d0 = D(a, b) = 1. (4.2.1) V tomto případě říkáme, že čísla a a b jsou relativně prvočísla. (39, 22) = 1.Pokud mají čísla společnou
Z autorovy knihy§ 1. Čísla „Všechno je číslo“ – učili starověcí Pythagorejci. Počet čísel, která použili, je však zanedbatelný ve srovnání s fantastickým tancem čísel, který nás dnes obklopuje každodenní život. Obrovská čísla se objevují, když počítáme a kdy
Z autorovy knihy44. Jaká čísla? Jaká dvě celá čísla, když se vynásobí dohromady, dají sedm Pamatujete si, že obě čísla musí být celá čísla, takže odpovědi jako 31/2? 2 nebo 21/3? 3, ne
Z autorovy knihy47. Tři čísla Která tři celá čísla, pokud se vynásobí, dají stejnou částku, jakou z nich získali Z autorovy knihy
Magická čísla Stejně jako v mnoha předchozích průzkumech respondenti zjistili, že průměrný počet celoživotních sexuálních partnerů byl relativně nízký: asi sedm u heterosexuálních žen a asi třináct u heterosexuálních mužů.
Z autorovy knihyKapitola 1 Čísla Alberte! Přestaň říkat Bohu, co má dělat! Niels Bohr Albertu Einsteinovi Na počátku byly číslo a číslo. Když se je člověk pokusil zvládnout, zrodila se věda a člověk se začal učit svět kolem nás. Rozvoj vědy byl často doprovázen vtipnými,
Z autorovy knihyDodatek Složená čísla Obrazové číslo je číslo, které lze znázornit jako body uspořádané do tvaru pravidelného mnohoúhelníku. Tato čísla dlouho sloužila jako předmět velké pozornosti matematiků. Řekové jim přisuzovali magické vlastnosti,
Vlastní dělitel přirozené číslo je jakýkoli jiný dělitel než samotné číslo. Pokud se číslo rovná součtu svých vlastních dělitelů, pak je voláno perfektní. Takže 6 = 3 + 2 + 1 je nejmenší ze všech dokonalých čísel (1 se nepočítá), 28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1 je další takové číslo.
Dokonalá čísla jsou známa již od starověku a vědce vždy zajímala. V Euklidových prvcích bylo prokázáno, že pokud má prvočíslo tvar 2 n– 1 (taková čísla se nazývají Mersennova prvočísla), pak číslo 2 n–1 (2 n– 1) – perfektní. A v 18. století Leonhard Euler dokázal, že každé sudé dokonalé číslo má tento tvar.
Úkol
Pokuste se dokázat tato fakta a najděte pár dokonalejších čísel.
Nápověda 1
a) Prokázat prohlášení z Principia (co když má prvočíslo tvar 2 n– 1, pak je číslo 2 n –1 (2n– 1) - perfektní), je vhodné uvažovat sigma funkci, která se rovná součtu všech kladných dělitelů přirozeného čísla n. Například, σ (3) = 1 + 3 = 4 a σ (4) = 1 + 2 + 4 = 7. Tato funkce má užitečná vlastnost: ona multiplikativní, to je σ (ab) = σ (A)σ (b); rovnost platí pro libovolná dvě prvočíselná přirozená čísla A A b (vzájemně prvočíslo jsou čísla, která nemají žádné společné dělitele). Můžete se pokusit tuto vlastnost prokázat nebo ji vzít na víru.
Použití funkce sigma k prokázání dokonalosti čísla N = 2n –1 (2n– 1) je potřeba to zkontrolovat σ (N) = 2N. Pro tento účel je užitečná multiplikativnost této funkce.
b) Jiné řešení nepoužívá žádné dodatečné konstrukce jako funkce sigma. Spoléhá se pouze na definici dokonalého čísla: musíte zapsat všechny dělitele čísla 2 n–1 (2 n– 1) a najděte jejich součet. Mělo by to být stejné číslo.
Nápověda 2
Dokázat, že jakékoli sudé dokonalé číslo je mocninou dvou násobené Mersennovým prvočíslem, je také vhodné pomocí funkce sigma. Nechat N- libovolné sudé dokonalé číslo. Pak σ (N) = 2N. Pojďme si to představit N ve formuláři N = 2k· m, Kde m- liché číslo. Proto σ (N) = σ (2k· m) = σ (2k)σ (m) = (1 + 2 + ... + 2k)σ (m) = (2k +1 – 1)σ (m).
Ukazuje se, že 22 k· m = (2k +1 – 1)σ (m). Takže 2 k+1 – 1 dělí součin 2 k+1 · m a od 2 k+1 – 1 a 2 k+1 jsou tedy relativně prvotřídní m musí být dělitelné 2 k+1 – 1. Tedy m lze zapsat ve tvaru m = (2k+1 – 1) M. Dosazením tohoto výrazu do předchozí rovnosti a zmenšením o 2 k+1 – 1, dostaneme 2 k+1 · M = σ (m). Nyní zbývá do konce důkazu jediný, i když ne nejzřetelnější krok.
Řešení
Stopy obsahují mnoho důkazů pro obě skutečnosti. Zde doplníme chybějící kroky.
1. Euklidova věta.
a) Nejprve musíte dokázat, že funkce sigma je skutečně multiplikativní. Ve skutečnosti, protože každé přirozené číslo lze jednoznačně rozložit na hlavní faktory(toto tvrzení se nazývá základní věta aritmetiky), stačí to dokázat σ (pq) = σ (p)σ (q), kde p A q- různá prvočísla. Ale je zcela zřejmé, že v tomto případě σ (p) = 1 + p, σ (q) = 1 + q, A σ (pq) = 1 + p + q + pq = (1 + p)(1 + q).
Nyní dokončíme důkaz prvního faktu: má-li prvočíslo tvar 2 n– 1, pak číslo N = 2n –1 (2n– 1) – perfektní. K tomu stačí to zkontrolovat σ (N) = 2N(protože funkce sigma je součet každý dělitelé čísla, tedy součet vlastní dělitelé plus samotné číslo). Kontrolujeme: σ (N) = σ (2n –1 (2n – 1)) = σ (2n –1)σ (2n – 1) = (1 + 2 + ... + 2n–1)·((2 n – 1) + 1) = (2n– 1) 2 n = 2N. Zde se používal tenkrát 2 n– 1 je tedy prvočíslo σ (2n – 1) = (2n – 1) + 1 = 2n.
b) Dokončíme druhé řešení. Najděte všechny správné dělitele čísla 2 n –1 (2n– 1). Toto je 1; mocniny dvou 2, 2 2, ..., 2 n–1; prvočíslo p = 2n– 1; stejně jako dělitelé typu 2 m· p, kde 1 ≤ m ≤ n– 2. Součet všech dělitelů se tím rozdělí na výpočet součtů dvou geometrických posloupností. První začíná 1 a druhý začíná číslem p; oba mají jmenovatele rovný 2. Podle vzorce pro součet prvků geometrické posloupnosti je součet všech prvků první posloupnosti roven 1 + 2 + ... + 2 n –1 = (2n – 1)/2 – 1 = 2n– 1 (a to se rovná p). Druhý postup dává p· (2 n –1 – 1)/(2 – 1) = p· (2 n–1 – 1). Celkem se ukazuje p + p· (2 n –1 – 1) = 2n–1 · p- co potřebujete.
Euklides s největší pravděpodobností neznal funkci sigma (a vlastně ani pojem funkce), takže jeho důkaz je podán v trochu jiném jazyce a je bližší řešení z bodu b). Je obsažena ve větě 36 Knihy IX prvků a je k dispozici například .
2. Eulerova věta.
Před prokázáním Eulerovy věty si také všimneme, že pokud 2 n– 1 je tedy prvočíslo Mersennova n musí být také prvočíslo. Jde o to, že pokud n = km- tedy sloučenina 2 km – 1 = (2k)m– 1 je dělitelné 2 k– 1 (od výrazu x m– 1 je děleno x– 1, jedná se o jeden ze zkrácených vzorců pro násobení). A to je v rozporu s jednoduchostí čísla 2 n– 1. Opačné tvrzení – „jestliže n- prvočíslo, pak 2 n– 1 je také prvočíslo“ – není pravda: 2 11 – 1 = 23·89.
Vraťme se k Eulerově větě. Naším cílem je dokázat, že každé sudé dokonalé číslo má tvar získaný Eukleidem. Nápověda 2 nastínila první kroky důkazu a nechala na vás poslední krok. Od rovnosti 2 k+1 · M = σ (m) z toho vyplývá m děleno podle M. Ale m je také dělitelná sama o sobě. Ve stejnou dobu M + m = M + (2k+1 – 1) M = 2 k+1 · M = σ (m). To znamená, že číslo m neexistují žádní jiní dělitelé kromě M A m. Prostředek, M= 1, a m- prvočíslo, které má tvar 2 k+1 – 1. Pak N = 2k· m = 2k(2k+1 – 1), což je to, co bylo požadováno.
Vzorce jsou tedy osvědčené. Pojďme je použít k nalezení dokonalých čísel. Na n= 2 vzorec dává 6 a kdy n= 3 se ukáže jako 28; Toto jsou první dvě dokonalá čísla. Podle vlastnosti Mersennových prvočísel musíme takové prvočíslo vybrat nže 2 n– 1 bude také prvočíslo a složené n vůbec nepřipadá v úvahu. Na n= 5 se rovná 2 n– 1 = 32 – 1 = 31, to nám vyhovuje. Zde je třetí dokonalé číslo - 16·31 = 496. Pro každý případ zkontrolujme jeho dokonalost výslovně. Zapišme si všechny vlastní dělitele 496: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248. Jejich součet je 496, takže je vše v pořádku. Další dokonalé číslo se získá pomocí n= 7 je 8128. Odpovídající Mersennovo prvočíslo je 2 7 – 1 = 127 a je docela snadné ověřit, že je skutečně prvočíslo. Ale páté dokonalé číslo se získá, když n= 13 a rovná se 33 550 336. Ruční kontrola je však již velmi zdlouhavá (to však nezabránilo tomu, aby to někdo objevil již v 15. století!).
Doslov
První dvě dokonalá čísla – 6 a 28 – jsou známá odnepaměti. Euklides (a my po něm) jsme pomocí vzorce, který jsme ověřili v Elementech, našli třetí a čtvrté dokonalé číslo - 496 a 8128. To znamená, že nejprve byla známa pouze dvě a poté čtyři čísla s krásnou vlastností "je roven součtu jejich dělitelů" Víc takových čísel nenašli a ani ta na první pohled neměla nic společného. V dávných dobách měli lidé sklon vkládat mystický význam do tajemných a nepochopitelných jevů, a proto se dokonalá čísla dostávala zvláštní stav. Pythagorejci, kteří poskytli silný vliv o tehdejším rozvoji vědy a kultury. "Všechno je číslo," řekli; číslo 6 v jejich výuce mělo zvláštní magické vlastnosti. A první vykladači Bible vysvětlili, že svět byl stvořen přesně šestého dne, protože číslo 6 je nejdokonalejší mezi čísly, protože je mezi nimi první. Mnohým se také zdálo, že to není náhoda, že Měsíc oběhne Zemi asi za 28 dní.
Páté dokonalé číslo – 33 550 336 – bylo nalezeno až v 15. století. Téměř o století a půl později našel Ital Cataldi šesté a sedmé dokonalé číslo: 8 589 869 056 a 137 438 691 328 n= 17 a n= 19 v Euklidově vzorci. Vezměte prosím na vědomí, že počet je již v miliardách a je děsivé si vůbec představit, že všechny výpočty byly provedeny bez kalkulaček a počítačů!
Jak víme, Leonhard Euler dokázal, že každé sudé dokonalé číslo musí mít tvar 2 n –1 (2n– 1) a 2 n– 1 by měla být jednoduchá. Osmé číslo - 2 305 843 008 139 952 128 - našel také Euler v roce 1772. Zde n= 31. Po jeho úspěších by se dalo opatrně říci, že vědě začalo být jasné něco o dokonce dokonalých číslech. Ano, rostou rychle a je obtížné je vypočítat, ale alespoň je jasné, jak na to: musíte vzít Mersennova čísla 2 n– 1 a hledejte mezi nimi jednoduché. O lichých dokonalých číslech není známo téměř nic. Dodnes se nenašlo ani jedno takové číslo, a to i přesto, že byla testována všechna čísla do 10 300 (zřejmě se ještě posunula spodní hranice, odpovídající výsledky prostě ještě nebyly zveřejněny). Pro srovnání: počet atomů ve viditelné části vesmíru se odhaduje na asi 10 80. Nebylo prokázáno, že lichá dokonalá čísla neexistují, může to být jen velmi velký počet. Dokonce tak velký, že ho náš výpočetní výkon nikdy nedosáhne. Zda takové číslo existuje nebo ne, je jedním z otevřených problémů dnešní matematiky. Počítačové vyhledávání lichých dokonalých čísel provádějí účastníci projektu OddPerfect.org.
Vraťme se k sudým dokonalým číslům. Deváté číslo našel v roce 1883 venkovský kněz z provincie Perm I. M. Pervushin. Toto číslo má 37 číslic. Do začátku 20. století bylo tedy nalezeno pouze 9 dokonalých čísel. V této době se objevily mechanické počítací stroje a v polovině století se objevily první počítače. S jejich pomocí šlo všechno rychleji. V současné době bylo nalezeno 47 dokonalých čísel. Navíc je známo jen prvních čtyřicet sériová čísla. U dalších asi sedmi čísel ještě nebylo přesně stanoveno, co to je. Hledání nových Mersennových prvočísel (a s nimi i nových dokonalých čísel) provádějí především členové projektu GIMPS (mersenne.org).
V roce 2008 našli účastníci projektu první prvočíslo s více než 10 000 000 = 10 7 číslic. Za to obdrželi odměnu 100 000 $ Hotovostní ceny ve výši 150 000 $ a 250 000 $ jsou rovněž slíbeny pro prvočísla skládající se z více než 10 8 a 10 9 číslic. Očekává se, že z těchto peněz dostanou odměnu i ti, kteří nalezli menší, ale dosud neobjevená Mersennova prvočísla. Je pravda, že na moderních počítačích bude kontrola čísel této délky na primálnost trvat roky, a to je pravděpodobně záležitost budoucnosti. Největší dnešní prvočíslo je 243112609 – 1. Skládá se z 12 978 189 číslic. Všimněte si, že díky Lucas-Lehmerově testu (viz jeho důkaz: Důkaz Lucas-Lehmerova testu) je kontrola primality Mersennových čísel značně zjednodušena: není třeba se snažit najít alespoň jednoho dělitele následujícího kandidát (jedná se o velmi pracnou práci, která je pro tak velké počty nyní prakticky nemožná).
Perfektní čísla mají některé zábavné aritmetické vlastnosti:
- Každé sudé dokonalé číslo je také trojúhelníkové číslo, to znamená, že může být reprezentováno jako 1 + 2 + ... + k = k(k+ 1)/2 pro některé k.
- Každé sudé dokonalé číslo kromě 6 je součtem krychlí postupných lichých přirozených čísel. Například 28 = 1 3 + 3 3 a 496 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3.
- V binární číselné soustavě je dokonalé číslo 2 n –1 (2n– 1) je napsáno velmi jednoduše: nejprve jdou n jednotky a pak - n– 1 nula (vyplývá to z Euklidova vzorce). Například 6 10 = 110 2, 28 10 = 11100 2, 33550336 10 = 1111111111111000000000000 2.
- Součet převrácených hodnot všech dělitelů dokonalého čísla (tady je zahrnuto i samotné číslo) je roven 2. Například 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1 /28 = 2.
Číslo 6 je dělitelné samo sebou a také 1, 2 a 3 a 6 = 1+2+3.
Číslo 28 má pět faktorů jiných než samo sebe: 1, 2, 4, 7 a 14, přičemž 28 = 1+2+4+7+14.
Lze poznamenat, že ne každé přirozené číslo se rovná součtu všech svých dělitelů, kteří se od tohoto čísla liší. Čísla, která mají tuto vlastnost, byla pojmenována perfektní.
Již Euklides (3. století př. n. l.) naznačil, že i dokonalá čísla lze získat ze vzorce: 2 p –1 (2p– 1) za předpokladu, že r a 2 p Existují prvočísla. Tímto způsobem bylo nalezeno asi 20 sudých dokonalých čísel. Doposud není známo jediné liché dokonalé číslo a otázka jejich existence zůstává otevřená. Výzkum takových čísel zahájili Pythagorejci, kteří jim a jejich kombinacím přisuzovali zvláštní mystický význam.
První nejmenší dokonalé číslo je 6
(1 + 2 + 3 = 6).
Možná proto bylo šesté místo považováno za nejčestnější na hostinách mezi starými Římany.
Druhé nejvyšší dokonalé číslo je 28
(1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28).
Některé učené společnosti a akademie měly mít 28 členů. V Římě v roce 1917 byly při provádění podzemních prací objeveny prostory jedné z nejstarších akademií: sál a kolem něj 28 místností - jen počet členů akademie.
Jak přibývají přirozená čísla, dokonalá čísla se stávají méně běžnými. Třetí dokonalé číslo - 496 (1+2+48+16+31+62+124+248 = 496), čtvrtý – 8128 , pátý - 33 550 336 , šestý - 8 589 869 056 , sedmý - 137 438 691 328 .
První čtyři dokonalá čísla jsou: 6,
28, 496, 8128
byly objeveny již dávno, před 2000 lety. Tato čísla jsou uvedena v Aritmetice Nikomacha z Gerazu, starověkého řeckého filozofa, matematika a hudebního teoretika.
Páté dokonalé číslo bylo objeveno v roce 1460, tedy asi před 550 lety. Toto číslo 33550336
objevil německý matematik Regiomontanus (15. století).
V 16. století našel německý vědec Scheibel také dvě dokonalejší čísla: 8 589 869 056 A 137 438 691 328 . Odpovídají p = 17 a p = 19. Na počátku 20. století byla nalezena tři dokonalejší čísla (pro p = 89, 107 a 127). Následně se hledání zpomalilo až do poloviny 20. století, kdy se s nástupem počítačů staly možné výpočty přesahující lidské možnosti. V současnosti je známo 47 sudých dokonalých čísel.
Dokonalá povaha čísel 6 a 28 byla uznána mnoha kulturami, když poznamenaly, že Měsíc obíhá Zemi každých 28 dní, a tvrdili, že Bůh stvořil svět za 6 dní.
Svatý Augustin ve své eseji „The City of God“ vyjádřil myšlenku, že ačkoli Bůh mohl stvořit svět v okamžiku, rozhodl se ho stvořit za 6 dní, aby se zamyslel nad dokonalostí světa. Podle svatého Augustina není číslo 6 absolutně proto, že si ho vybral Bůh, ale proto, že dokonalost je vlastní povaze tohoto čísla. „Číslo 6 je dokonalé samo o sobě, a ne proto, že by Pán stvořil všechny věci v 6 dnech; spíše naopak, Bůh stvořil vše, co existuje, za 6 dní, protože toto číslo je dokonalé. A zůstalo by dokonalé, i kdyby za 6 dní nebylo žádné stvoření.“
Lev Nikolajevič Tolstoj se tímto datem více než jednou žertem „pochlubil“.
jeho narození 28. srpna (podle tehdejšího kalendáře) je dokonalé číslo.
Rok narození L.N. Tolstoj (1828) – také zajímavé číslo: Poslední dvě číslice (28) tvoří dokonalé číslo; Pokud prohodíte první číslice, dostanete 8128 – čtvrté dokonalé číslo.
Perfektní čísla
Někdy jsou dokonalá čísla považována za zvláštní případ přátelských čísel: každé dokonalé číslo je přátelské samo k sobě. Nicomachus z Gerasu, slavný filozof a matematik, napsal: „Dokonalá čísla jsou krásná, ale je známo, že věcí je málo a je jich málo, ošklivých věcí je nadbytek. Téměř všechna čísla jsou nadbytečná a málo Ale kolik jich je, Nicomachus, který žil v prvním století našeho letopočtu, nevěděl.
Číslo se nazývá dokonalé rovnající se součtu všechny jeho dělitele (včetně 1, ale bez samotného čísla).
První krásné dokonalé číslo, o kterém matematici starověkého Řecka věděli, bylo číslo „6“. Na šestém místě na pozvané hostině ležel nejváženější, nejváženější host. Biblické legendy tvrdí, že svět byl stvořen za šest dní, protože mezi dokonalými čísly není dokonalejší číslo než „6“, protože je mezi nimi první.
Uvažujme číslo 6. Číslo má dělitele 1, 2, 3 a samotné číslo 6 Pokud sečteme jiné dělitele než samotné číslo 1 + 2 + 3, dostaneme 6. To znamená, že číslo 6 je. přátelské k sobě samému a je to první dokonalé číslo.
Další dokonalé číslo známé starověku bylo „28“. Martin Gardner viděl v tomto čísle zvláštní význam. Podle jeho názoru se Měsíc obnoví za 28 dní, protože číslo „28“ je dokonalé. V Římě v roce 1917 byla při podzemních pracích objevena zvláštní stavba: kolem velkého centrální hala Je tam dvacet osm cel. Byla to budova Neopythagorské akademie věd. Měla dvacet osm členů. Mnoho učených společností mělo mít až donedávna stejný počet členů, často jednoduše ze zvyku, na důvody, které se již dávno zapomnělo. Před Eukleidem byla známa pouze tato dvě dokonalá čísla a nikdo nevěděl, zda existují jiná dokonalá čísla nebo kolik takových čísel může být.
Díky svému vzorci byl Euclid schopen najít dvě dokonalejší čísla: 496 a 8128.
Téměř patnáct set let lidé znali pouze čtyři dokonalá čísla a nikdo nevěděl, zda mohou existovat jiná čísla, která by mohla být reprezentována v euklidovském vzorci, a nikdo nedokázal říci, zda jsou možná dokonalá čísla, která by nesplňovala euklidovský vzorec.
Euklidův vzorec umožňuje snadno dokázat četné vlastnosti dokonalých čísel.
Všechna dokonalá čísla jsou trojúhelníková. To znamená, že když vezmeme dokonalý počet kuliček, můžeme z nich vždy vytvořit rovnostranný trojúhelník.
Všechna dokonalá čísla kromě 6 mohou být reprezentována jako částečné součty řady po sobě jdoucích lichých čísel 1 3 + 3 3 + 5 3 ...
Součet převrácených hodnot všech dělitelů dokonalého čísla, včetně jeho samotného, je vždy roven 2.
Dokonalost čísel navíc úzce souvisí s dvojkou. Čísla: 4=22, 8=2? 2? 2, 16 = 2? 2? 2? 2 atd. se nazývají mocniny 2 a mohou být reprezentovány jako 2n, kde n je počet vynásobených dvojek. Všechny mocniny čísla 2 jsou jen o málo méně dokonalé, protože součet jejich dělitelů je vždy o jednu menší než samotné číslo.
Všechna dokonalá čísla (kromě 6) končí v desítkové soustavě 16, 28, 36, 56, 76 nebo 96.
Společenská čísla
Pojmy dokonalých a přátelských čísel jsou často zmiňovány v literatuře zábavná matematika. Z nějakého důvodu se však málo mluví o tom, že čísla mohou být i přáteli mezi firmami. Koncept firemních čísel je dobře vysvětlen v anglických zdrojích.
Společenstvo je skupina k čísel, ve které je součet vlastních dělitelů prvního čísla roven druhému, součet vlastních dělitelů druhého je roven třetímu atd. A první číslo se rovná součtu vlastních dělitelů k-tého čísla.
Existují společnosti se 4, 5, 6, 8, 9 a dokonce 28 účastníky, ale tři nebyly nalezeny. Příklad pěti, jediný dosud známý: 12496, 14288, 15472, 14536, 14264.