Vzorce nejjednodušších goniometrických nerovnic. Jednoduché a složité goniometrické nerovnice
řešení nerovnosti v režimu online řešení téměř jakákoli daná nerovnost online. Matematický nerovnosti onlineřešit matematiku. Najděte rychle řešení nerovnosti v režimu online. Webová stránka www.site vám umožní najít řešení téměř jakýkoli daný algebraický, trigonometrický nebo transcendentální nerovnost online. Při studiu téměř jakéhokoli oboru matematiky v různých fázích se musíte rozhodnout nerovnosti online. Abyste dostali odpověď okamžitě, a hlavně přesnou odpověď, potřebujete zdroj, který vám to umožní. Díky webu www.site řešit nerovnosti online bude trvat několik minut. Hlavní výhoda www.site při řešení matematických nerovnosti online- jedná se o rychlost a přesnost poskytnuté odpovědi. Stránka je schopna vyřešit jakékoli algebraické nerovnosti online, trigonometrické nerovnosti online, transcendentální nerovnosti online a také nerovnosti s neznámými parametry v režimu online. Nerovnosti slouží jako výkonný matematický aparát řešení praktické problémy. S pomocí matematické nerovnosti je možné vyjádřit fakta a vztahy, které se na první pohled mohou zdát matoucí a složité. Neznámé množství nerovnosti lze nalézt formulací problému v matematický jazyk ve formuláři nerovnosti A rozhodnout přijatý úkol v režimu online na webu www.site. Žádný algebraická nerovnost, trigonometrická nerovnost nebo nerovnosti obsahující transcendentální funkce, které můžete snadno rozhodnout online a získejte přesnou odpověď. Při studiu přírodních věd se nevyhnutelně setkáváte s potřebou řešení nerovností. V tomto případě musí být odpověď přesná a musí být získána okamžitě v režimu online. Proto pro řešit matematické nerovnosti online doporučujeme stránku www.site, která se stane vaší nepostradatelnou kalkulačkou řešení algebraických nerovností online, trigonometrické nerovnosti online a také transcendentální nerovnosti online nebo nerovnosti s neznámými parametry. Pro praktické problémy hledání online řešení různých matematické nerovnosti zdroj www.. Řešení nerovnosti online sami, je užitečné zkontrolovat přijatou odpověď pomocí online řešení nerovností na webu www.site. Musíte napsat nerovnost správně a okamžitě ji získat online řešení, načež zbývá jen porovnat odpověď s vaším řešením nerovnice. Kontrola odpovědi nezabere déle než minutu, to stačí řešit nerovnosti online a porovnejte odpovědi. To vám pomůže vyhnout se chybám rozhodnutí a odpověď včas opravte řešení nerovností online budiž algebraický, trigonometrický, transcendentální nebo nerovnost s neznámými parametry.
Při řešení nerovnic obsahujících goniometrické funkce se redukují na nejjednodušší nerovnice ve tvaru cos(t)>a, sint(t)=a a podobné. A již jsou vyřešeny nejjednodušší nerovnosti. Podívejme se na různé příklady způsobů řešení jednoduchých goniometrických nerovnic.
Příklad 1. Vyřešte nerovnost sin(t) > = -1/2.
Nakreslete jednotkovou kružnici. Protože sin(t) je podle definice souřadnice y, označíme bod y = -1/2 na ose Oy. Protáhneme jím přímku rovnoběžnou s osou Ox. V průsečíku přímky s grafem jednotkové kružnice označte body Pt1 a Pt2. Počátek souřadnic s body Pt1 a Pt2 spojíme dvěma úsečkami.
Řešením této nerovnosti budou všechny body jednotkové kružnice umístěné nad těmito body. Jinými slovy, řešením bude oblouk l Nyní je třeba uvést podmínky, za kterých bude oblouku l patřit libovolný bod.
Pt1 leží v pravém půlkruhu, jeho pořadnice je -1/2, pak t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. K popisu bodu Pt1 můžete napsat následující vzorec:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. Výsledkem je následující nerovnost pro t:
Zachováváme nerovnosti. A protože je funkce sinus periodická, znamená to, že řešení se budou opakovat každé 2*pi. Tuto podmínku přičteme k výsledné nerovnosti pro t a odpověď zapíšeme.
Odpověď: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.
Příklad 2 Vyřešte nerovnost cos(t).<1/2.
Nakreslíme jednotkovou kružnici. Protože cos(t) je podle definice x souřadnice, označíme na grafu na ose Ox bod x = 1/2.
Tímto bodem vedeme přímku rovnoběžnou s osou Oy. V průsečíku přímky s grafem jednotkové kružnice označte body Pt1 a Pt2. Počátek souřadnic s body Pt1 a Pt2 spojíme dvěma úsečkami.
Řešením budou všechny body jednotkové kružnice, které patří oblouku l. Najděte body t1 a t2.
t1 = arccos(1/2) = pi/3.
t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.
Dostali jsme nerovnost pro t: pi/3 Protože kosinus je periodická funkce, řešení se budou opakovat každé 2*pi. Tuto podmínku přičteme k výsledné nerovnosti pro t a odpověď zapíšeme. Odpověď: pi/3+2*pi*n Příklad 3 Vyřešit nerovnost tg(t)< = 1. Perioda tečny se rovná pí. Najděte řešení, která patří do intervalu (-pi/2;pi/2) pravého půlkruhu. Dále pomocí periodicity tečny zapíšeme všechna řešení této nerovnice. Nakreslíme jednotkovou kružnici a označíme na ní přímku tečen. Je-li t řešením nerovnice, pak pořadnice bodu T = tg(t) musí být menší nebo rovna 1. Množina takových bodů bude tvořit paprsek AT. Množina bodů Pt, která bude odpovídat bodům tohoto paprsku, je oblouk l. Navíc bod P(-pi/2) do tohoto oblouku nepatří. Projekt algebry „Řešení goniometrických nerovnic“ Vyplnil student 10. třídy „B“ Kazachkova Yulia Vedoucí: učitelka matematiky Kochakova N.N. Cíl Upevnit látku na téma „Řešení goniometrických nerovnic“ a vytvořit připomínku pro studenty, aby se připravili na nadcházející zkoušku. Cíle: Shrnout látku na toto téma. Systematizovat přijaté informace. Zvažte toto téma ve zkoušce Unified State. Relevance Relevance mnou zvoleného tématu spočívá v tom, že úkoly na téma „Řešení goniometrických nerovnic“ jsou součástí úkolů jednotné státní zkoušky. Goniometrické nerovnosti Nerovnice je vztah spojující dvě čísla nebo výrazy prostřednictvím jednoho ze znaků: (větší než); ≥ (větší nebo rovno). Goniometrická nerovnost je nerovnost zahrnující goniometrické funkce. Goniometrické nerovnice Řešení nerovnic obsahující goniometrické funkce se redukuje zpravidla na řešení nejjednodušších nerovnic tvaru: sin x>a, sin x a, cos x a, tg x a,ctg x Algoritmus řešení goniometrických nerovnic Na ose odpovídající dané goniometrické funkci vyznačte danou číselnou hodnotu této funkce. Nakreslete čáru přes označený bod protínající jednotkovou kružnici. Vyberte průsečíky úsečky a kružnice s ohledem na přísné nebo nepřísné znaménko nerovnosti. Vyberte oblouk kružnice, na kterém se nachází řešení nerovnice. Určete hodnoty úhlu v počátečním a koncovém bodě kruhového oblouku. Zapište řešení nerovnice s přihlédnutím k periodicitě dané goniometrické funkce. Vzorce pro řešení goniometrických nerovnic sinx >a; x (arcsin a + 2πn; π- arcsin a + 2πn). sinx A; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn). cosxA; x (arctg a + πn ; + πn). tgx A; x (πn ; arctan + πn). ctgx Grafické řešení základních goniometrických nerovnic sinx >a Grafické řešení základních goniometrických nerovnic sinx Grafické řešení základních goniometrických nerovnic cosx >a Grafické řešení základních goniometrických nerovnic cosx Grafické řešení základních goniometrických nerovnic tgx >a Grafické řešení základních goniometrických nerovnic tgx Grafické řešení základních goniometrických nerovnic ctgx >a V praktické hodině si zopakujeme hlavní typy úloh z tématu „Trigonometrie“, dále rozebereme problémy se zvýšenou složitostí a zvážíme příklady řešení různých goniometrických nerovnic a jejich soustav. Tato lekce vám pomůže připravit se na jeden z typů úloh B5, B7, C1 a C3. Začněme přezkoumáním hlavních typů úloh, které jsme probrali v tématu "Trigonometrie", a vyřešíme několik nestandardních problémů. Úkol č. 1. Převeďte úhly na radiány a stupně: a) ; b) . a) Použijme vzorec pro převod stupňů na radiány Dosadíme do něj zadanou hodnotu. b) Použijte vzorec pro převod radiánů na stupně Provedeme substituci . Odpověď. A); b) . Úkol č. 2. Vypočítejte: a) ; b) . a) Protože úhel daleko přesahuje tabulku, zmenšíme jej odečtením sinusové periody. Protože Úhel je indikován v radiánech, pak budeme periodu považovat za . b) V tomto případě je situace podobná. Protože úhel je indikován ve stupních, budeme považovat periodu tečny za . Výsledný úhel, byť menší než perioda, je větší, což znamená, že se již nevztahuje na hlavní, ale na rozšířenou část tabulky. Abychom si znovu necvičili paměť memorováním rozšířené tabulky hodnot trigofunkcí, odečtěte znovu periodu tečny: Využili jsme zvláštnosti funkce tečny. Odpověď. a) 1; b) . Úkol č. 3. Vypočítat , Pokud . Zredukujeme celý výraz na tečny tak, že čitatel a jmenovatel zlomku vydělíme . Zároveň se toho nemůžeme bát, protože v tomto případě by hodnota tečny neexistovala. Úkol č. 4. Zjednodušte výraz. Zadané výrazy jsou převedeny pomocí redukčních vzorců. Jen jsou neobvykle psány pomocí stupňů. První výraz obecně představuje číslo. Pojďme si všechny trigofunkce jednu po druhé zjednodušit: Protože , pak se funkce změní na kofunkci, tzn. ke kotangensu a úhel spadá do druhé čtvrtiny, ve které má původní tečna záporné znaménko. Ze stejných důvodů jako v předchozím výrazu se funkce mění na kofunkci, tzn. ke kotangensu a úhel spadá do první čtvrtiny, ve které má původní tečna kladné znaménko. Vše dosadíme do zjednodušeného výrazu: Problém #5. Zjednodušte výraz. Zapišme tangens dvojitého úhlu pomocí příslušného vzorce a zjednodušme výraz: Poslední identita je jedním z univerzálních náhradních vzorců pro kosinus. Problém #6. Vypočítat. Hlavní věcí je neudělat standardní chybu a nedat odpověď, že výraz se rovná . Nemůžete použít základní vlastnost arkustangens, pokud je vedle něj faktor ve tvaru dvě. Abychom se toho zbavili, napíšeme výraz podle vzorce pro tangens dvojitého úhlu, přičemž budeme považovat za běžný argument. Nyní můžeme použít základní vlastnost arkustangenu, nezapomeňte, že pro jeho číselný výsledek neexistují žádná omezení. Problém č. 7. Vyřešte rovnici. Při řešení zlomkové rovnice, která se rovná nule, je vždy uvedeno, že čitatel je roven nule, ale jmenovatel ne, protože Nelze dělit nulou. První rovnice je speciální případ nejjednodušší rovnice, kterou lze vyřešit pomocí trigonometrické kružnice. Toto řešení si zapamatujte sami. Druhá nerovnost je řešena jako nejjednodušší rovnice pomocí obecného vzorce pro kořeny tečny, ale pouze s nerovným znaménkem. Jak vidíme, jedna rodina kořenů vylučuje jinou rodinu přesně stejného typu kořenů, které nesplňují rovnici. Tito. žádné kořeny. Odpověď. Nejsou tam žádné kořeny. Problém č. 8. Vyřešte rovnici. Okamžitě si všimněme, že můžeme vyjmout společný faktor a udělejme to: Rovnice byla zredukována na jednu ze standardních forem, kde se součin několika faktorů rovná nule. Již víme, že v tomto případě se buď jeden z nich rovná nule, druhý nebo třetí. Zapišme to ve formě sady rovnic: První dvě rovnice jsou speciální případy těch nejjednodušších, s podobnými rovnicemi jsme se již setkali mnohokrát, takže jejich řešení rovnou naznačíme. Třetí rovnici redukujeme na jednu funkci pomocí vzorce dvojitý úhel sinus. Pojďme vyřešit poslední rovnici samostatně: Tato rovnice nemá kořeny, protože hodnota sinus nemůže překročit . Řešením jsou tedy pouze první dvě rodiny kořenů, které lze spojit do jedné, což lze snadno ukázat na trigonometrickém kruhu: Jedná se o rodinu všech polovin, tzn. Přejděme k řešení goniometrických nerovnic. Nejprve se podívejme na přístup k řešení příkladu bez použití vzorců pro obecná řešení, ale pomocí trigonometrické kružnice. Problém č. 9. Vyřešte nerovnost. Nakreslete pomocnou čáru na trigonometrické kružnici odpovídající sinusové hodnotě rovné , a ukažme rozsah úhlů, které splňují nerovnost. Je velmi důležité přesně pochopit, jak označovat výsledný interval úhlů, tzn. jaký je jeho začátek a jaký je jeho konec. Začátek intervalu bude úhel odpovídající bodu, který zadáme na samém začátku intervalu, pokud se budeme pohybovat proti směru hodinových ručiček. V našem případě je to bod, který je vlevo, protože pohybem proti směru hodinových ručiček a míjením správného bodu naopak ponecháváme požadovaný rozsah úhlů. Správný bod bude tedy odpovídat konci mezery. Nyní potřebujeme pochopit úhly začátku a konce našeho intervalu řešení nerovnice. Typickou chybou je hned naznačit, že pravý bod odpovídá úhlu, levý a dát odpověď. To není pravda! Upozorňujeme, že jsme právě uvedli interval odpovídající horní části kruhu, ačkoli nás zajímá spodní část, jinými slovy, pomíchali jsme začátek a konec intervalu řešení, který potřebujeme. Aby interval začínal od rohu pravého bodu a končil rohem levého bodu, je nutné, aby první zadaný úhel byl menší než druhý. K tomu budeme muset změřit úhel pravého bodu v záporném směru reference, tzn. ve směru hodinových ručiček a bude se rovnat . Poté, když se od něj začneme pohybovat v kladném směru ve směru hodinových ručiček, dostaneme se do pravého bodu za levým bodem a získáme pro něj hodnotu úhlu. Nyní je začátek intervalu úhlů menší než konec a můžeme zapsat interval řešení bez zohlednění periody: Uvážíme-li, že takové intervaly se budou opakovat nekonečněkrát po libovolném celočíselném počtu rotací, získáme obecné řešení s přihlédnutím k sinusové periodě: Dáme závorky, protože nerovnost je přísná, a vybereme body na kružnici, které odpovídají koncům intervalu. Porovnejte odpověď, kterou jste obdrželi, se vzorcem pro obecné řešení, které jsme uvedli na přednášce. Odpověď. . Tato metoda je dobrá pro pochopení, odkud se berou vzorce pro obecná řešení nejjednodušších trigonových nerovnic. Navíc je to užitečné pro ty, kteří jsou příliš líní se učit všechny tyto těžkopádné vzorce. Samotná metoda však také není jednoduchá, vyberte si, který přístup k řešení je pro vás nejvhodnější. K řešení goniometrických nerovností lze také použít grafy funkcí, na kterých je sestrojena pomocná přímka, podobně jako u metody zobrazené pomocí jednotkové kružnice. Pokud máte zájem, zkuste tento přístup k řešení vymyslet sami. V následujícím budeme používat obecné vzorce k řešení jednoduchých goniometrických nerovnic. Problém č. 10. Vyřešte nerovnost. Použijme vzorec pro obecné řešení, přičemž vezmeme v úvahu skutečnost, že nerovnost není striktní: V našem případě dostaneme: Odpověď. Problém č. 11. Vyřešte nerovnost. Použijme obecný vzorec řešení pro odpovídající striktně nerovnici: Odpověď. . Problém č. 12. Řešte nerovnice: a) ; b) . V těchto nerovnostech není třeba spěchat s použitím vzorců pro obecná řešení nebo trigonometrický kruh, stačí si jednoduše zapamatovat rozsah hodnot sinus a kosinus. a) Od té doby , pak nerovnost nedává smysl. Proto neexistují žádná řešení. b) Protože podobně sinus libovolného argumentu vždy vyhovuje nerovnosti uvedené v podmínce. Proto je nerovnost uspokojena všemi skutečnými hodnotami argumentu. Odpověď. a) neexistují žádná řešení; b) . Problém 13. Vyřešte nerovnost . METODY ŘEŠENÍ TRIGONOMETRICKÝCH NEROVNOSTÍ
Relevance.
Historicky měly goniometrické rovnice a nerovnice zvláštní místo ve školních osnovách. Můžeme říci, že trigonometrie je jednou z nejdůležitějších částí školního kurzu a celé matematické vědy obecně. Goniometrické rovnice a nerovnice zaujímají ve středoškolském kurzu matematiky jedno z ústředních míst, a to jak z hlediska obsahu vzdělávacího materiálu, tak i metod vzdělávací a kognitivní činnosti, které se mohou a měly by se během jejich studia utvářet a aplikovat při řešení velkého množství problémů teoretické a aplikované povahy. Řešení goniometrických rovnic a nerovnic vytváří předpoklady pro systematizaci znalostí studentů souvisejících s veškerým výukovým materiálem z trigonometrie (například vlastnosti goniometrických funkcí, způsoby transformace goniometrických výrazů apod.) a umožňuje navázat efektivní propojení s probíranou látkou. v algebře (rovnice, ekvivalence rovnic, nerovnice, shodné transformace algebraických výrazů atd.). Jinými slovy, úvahy o technikách řešení goniometrických rovnic a nerovnic zahrnují jakýsi přenos těchto dovedností do nového obsahu. Význam teorie a její četné aplikace jsou důkazem relevance zvoleného tématu. To vám zase umožňuje určit cíle, cíle a předmět výzkumu práce v kurzu. Účel studie:
zobecnit dostupné typy goniometrických nerovnic, základní a speciální metody jejich řešení, vybrat soubor úloh pro řešení goniometrických nerovnic u školáků. Cíle výzkumu:
1. Na základě analýzy dostupné literatury k tématu výzkumu systematizovat materiál. 2. Poskytněte soubor úkolů nezbytných ke konsolidaci tématu „Trigonometrické nerovnosti“. Předmět studia
jsou goniometrické nerovnosti v kurzu školní matematiky. Předmět výzkumu:
typy goniometrických nerovnic a metody jejich řešení. Teoretický význam
je systematizovat materiál. Praktický význam:
aplikace teoretických znalostí při řešení problémů; analýza hlavních běžných metod řešení goniometrických nerovnic. Výzkumné metody
: rozbor odborné literatury, syntéza a zobecnění získaných poznatků, rozbor řešení problémů, hledání optimálních metod řešení nerovnic. §1.
Typy goniometrických nerovnic a základní metody jejich řešení
1.1. Nejjednodušší goniometrické nerovnosti
Dva goniometrické výrazy spojené znaménkem nebo > se nazývají goniometrické nerovnice. Řešení trigonometrické nerovnosti znamená nalezení množiny hodnot neznámých zahrnutých v nerovnosti, pro kterou je nerovnost splněna. Hlavní část goniometrických nerovností se řeší jejich redukcí na nejjednodušší řešení: Může to být metoda faktorizace, změna proměnné ( Nejjednodušší nerovnosti lze řešit dvěma způsoby: pomocí jednotkové kružnice nebo graficky. Nechatf(x
– jedna ze základních goniometrických funkcí. K vyřešení nerovnosti Uveďme příklad algoritmu pro řešení nerovnic Algoritmus pro řešení nerovností 1. Formulujte definici sinusu číslax
na jednotkovém kruhu. 3. Na souřadnicové ose označte bod se souřadnicíA
.
4. Tímto bodem nakreslete přímku rovnoběžnou s osou OX a označte její průsečíky kružnicí. 5. Vyberte oblouk kružnice, jehož všechny body mají pořadnici menší nežA
.
6. Označte směr kola (proti směru hodinových ručiček) a odpověď zapište tak, že na konce intervalu přičtete periodu funkce.2πn
,
Algoritmus pro řešení nerovností 1. Formulujte definici tečny číslax
na jednotkovém kruhu. 2. Nakreslete jednotkovou kružnici. 3. Nakreslete přímku tečen a označte na ní bod s pořadnicíA
.
4. Spojte tento bod s počátkem a označte průsečík výsledného segmentu s jednotkovou kružnicí. 5. Vyberte oblouk kružnice, jehož všechny body mají pořadnici na tečně menší nežA
.
6. Uveďte směr průchodu a napište odpověď s přihlédnutím k definičnímu oboru funkce s přidáním tečkyπn
,
Grafická interpretace řešení nejjednodušších rovnic a vzorce pro řešení nerovnic v obecném tvaru jsou uvedeny v příloze (Příloha 1 a 2). Příklad 1
Vyřešte nerovnost Nakreslete přímku na jednotkovou kružnici Všechny významyy
na intervalu NM je větší
, všechny body oblouku AMB splňují tuto nerovnost. Při všech úhlech natočení, velké , ale menší ,
Obr.1 Řešením nerovnosti tedy budou všechny hodnoty v intervalu těch. Odpověď: 1.2. Grafická metoda
V praxi se často ukazuje jako užitečná grafická metoda řešení goniometrických nerovnic. Podívejme se na podstatu metody na příkladu nerovnosti 1. Pokud je argument složitý (odlišný odX
), pak jej nahraďtet
.
2. Stavíme v jedné souřadnicové roviněhračka
funkční grafy 3. Najdeme takovédva sousední průsečíky grafů, mezi nimižsinusovkanacházívyšší
řídit 4. Napište dvojitou nerovnost pro argumentt
s přihlédnutím k kosinusové periodě (t
bude mezi nalezenými úsečkami). 5. Proveďte zpětnou substituci (vraťte se k původnímu argumentu) a vyjádřete hodnotuX
z dvojité nerovnosti zapíšeme odpověď ve tvaru číselného intervalu. Příklad 2
Vyřešte nerovnost: . Při řešení nerovnic grafickou metodou je nutné sestrojit grafy funkcí co nejpřesněji. Převedeme nerovnost do tvaru: Sestrojme grafy funkcí v jednom souřadnicovém systému Obr.2 Grafy funkcí se protínají v boděA
se souřadnicemi Odpověď: 1.3. Algebraická metoda
Poměrně často se dá původní goniometrická nerovnost redukovat na algebraickou (racionální či iracionální) nerovnost dobře zvolenou substitucí. Tato metoda zahrnuje transformaci nerovnosti, zavedení substituce nebo nahrazení proměnné. Podívejme se na konkrétní příklady aplikace této metody. Příklad 3
Redukce na nejjednodušší formu (obr. 3)
Obr.3 , Odpověď: Příklad 4.
Vyřešit nerovnost: ODZ: Použití vzorců: Zapišme nerovnost ve tvaru: Nebo věřit ,
,
.
Řešením poslední nerovnosti intervalovou metodou získáme: Obr.4 , resp Obr.5 Odpověď: 1.4. Intervalová metoda
Obecné schéma řešení goniometrických nerovnic intervalovou metodou: Faktor pomocí goniometrických vzorců. Najděte body nespojitosti a nuly funkce a umístěte je na kružnici. Vezměte si jakýkoli bodNA
(ale nebyl nalezen dříve) a zjistěte označení produktu. Pokud je součin kladný, umístěte bod mimo jednotkovou kružnici na paprsku odpovídajícím úhlu. V opačném případě umístěte bod dovnitř kruhu. Jestliže se bod vyskytuje sudý početkrát, nazýváme ho bodem sudé násobnosti, jestliže lichý početkrát, nazýváme jej bodem liché násobnosti. Nakreslete oblouky následovně: začněte od boduNA
, pokud je další bod liché násobnosti, pak oblouk protíná kružnici v tomto bodě, ale pokud je bod sudé násobnosti, pak se neprotíná. Oblouky za kružnicí jsou kladné intervaly; uvnitř kruhu jsou záporné mezery. Příklad 5.
Vyřešte nerovnost , Body první série: Body druhé série: Každý bod se vyskytuje lichý počet případů, to znamená, že všechny body mají lichý počet. Pojďme zjistit označení produktu na Rýže. 6 Odpověď: Příklad 6
. Vyřešte nerovnost.
Řešení:
Najdeme nuly výrazu .
Dostávataem :
,
, , , Na jednotkovém kruhu hodnot řadyX
1
znázorněno tečkami Nechte teď číslo budou rovné. Udělejme odhad na základě znaménka: Takže tečkaA
by měl být vybrán na paprsek tvořícím úhel s paprskemÓ,
mimo jednotkový kruh. (Všimněte si, že pomocný paprsekO
A
Není vůbec nutné jej znázorňovat na kresbě. TečkaA
je vybrán přibližně.) Nyní od věciA
nakreslete souvislou zvlněnou čáru postupně ke všem označeným bodům. A v bodech Obr.7 Konečná odpověď: Poznámka.
Pokud vlnovku po projetí všech bodů vyznačených na jednotkové kružnici nelze vrátit do boduA
,
bez překročení kruhu na „nelegálním“ místě to znamená, že v řešení došlo k chybě, konkrétně chyběl lichý počet kořenů. Odpověď:
.
§2. Soubor úloh pro řešení goniometrických nerovnic
V procesu rozvoje schopnosti školáků řešit trigonometrické nerovnice lze rozlišit i 3 etapy. 1. přípravný, 2. rozvíjení schopnosti řešit jednoduché goniometrické nerovnice; 3. zavedení goniometrických nerovností jiných typů. Účelem přípravné fáze je, že je nutné u školáků rozvíjet schopnost používat trigonometrický kruh nebo graf k řešení nerovností, a to: Schopnost řešit jednoduché nerovnice tvaru Schopnost sestrojit dvojité nerovnosti pro oblouky číselné kružnice nebo pro oblouky grafů funkcí; Schopnost provádět různé transformace goniometrických výrazů. Tuto fázi se doporučuje implementovat do procesu systematizace znalostí školáků o vlastnostech goniometrických funkcí. Hlavním prostředkem mohou být úkoly nabízené studentům a prováděné buď pod vedením učitele nebo samostatně, stejně jako dovednosti rozvíjené při řešení goniometrických rovnic. Zde jsou příklady takových úkolů: 1
. Označte bod na jednotkové kružnici , Pokud .
2.
Ve které čtvrtině souřadnicové roviny se bod nachází? , Pokud rovná se: 3.
Označte body na trigonometrické kružnici , Pokud: 4.
Převeďte výraz na goniometrické funkcejáčtvrtletí. A) 5.
Oblouk MR je dán.M
– středníjá-čtvrtletí,R
– středníIIčtvrtletí. Omezte hodnotu proměnnét
pro: (udělejte dvojitou nerovnost) a) oblouk MR; b) RM oblouky. 6.
Zapište si dvojitou nerovnost pro vybrané části grafu: Rýže. 1 7.
Řešit nerovnosti 8.
Převést výraz
.
Ve druhé fázi učení se řešit goniometrické nerovnice můžeme nabídnout následující doporučení související s metodikou organizace studentských aktivit. V tomto případě je nutné se zaměřit na dosavadní dovednosti studentů v práci s trigonometrickým kruhem nebo grafem, vytvořeným při řešení nejjednodušších goniometrických rovnic. Za prvé, účelnost získání obecné metody pro řešení nejjednodušších goniometrických nerovností lze motivovat obrácením se například k nerovnosti tvaru Za druhé by měl učitel upozornit studenty na různé způsoby plnění úkolu, uvést vhodný příklad řešení nerovnice jak graficky, tak pomocí trigonometrické kružnice. Podívejme se na následující řešení nerovnosti 1. Řešení nerovnice pomocí jednotkové kružnice. V první lekci o řešení goniometrických nerovnic studentům nabídneme podrobný algoritmus řešení, který v postupné prezentaci odráží všechny základní dovednosti potřebné k řešení nerovnice. Krok 1Nakreslíme jednotkovou kružnici a označíme bod na ose pořadnice a nakreslete jím přímku rovnoběžnou s osou x. Tato čára bude protínat jednotkovou kružnici ve dvou bodech. Každý z těchto bodů představuje čísla, jejichž sinus je roven .
Krok 2Tato přímka rozdělila kruh na dva oblouky. Vyberme to, které zobrazuje čísla, která mají sinus větší než . Tento oblouk je přirozeně umístěn nad nakreslenou přímkou. Rýže. 2 Krok 3Vyberte jeden z konců označeného oblouku. Zapišme si jedno z čísel, které tento bod jednotkové kružnice představuje .
Krok 4.Abychom vybrali číslo odpovídající druhému konci vybraného oblouku, „kráčíme“ po tomto oblouku od pojmenovaného konce k druhému. Zároveň si připomeňme, že při pohybu proti směru hodinových ručiček se čísla, kterými budeme procházet, zvětšují (při pohybu v opačném směru by se čísla snižovala). Zapišme si číslo, které je znázorněno na jednotkovém kruhu druhým koncem označeného oblouku .
Vidíme tedy tu nerovnost Studenti by měli být požádáni, aby pečlivě prozkoumali výkres a zjistili, proč všechna řešení nerovnosti Rýže. 3 Je nutné studenty upozornit na to, že při řešení nerovnic pro funkci kosinus vedeme přímku rovnoběžnou s osou pořadnic. Grafická metoda řešení nerovnic. Vytváříme grafy Rýže. 4 Potom napíšeme rovnici (Dávánín
hodnoty 0, 1, 2, najdeme tři kořeny sestavené rovnice). Hodnoty Rýže. 5 Pojďme si to shrnout. K vyřešení nerovnosti Za třetí, při grafickém řešení se velmi jasně potvrzuje fakt o množině kořenů příslušné goniometrické nerovnosti. Rýže. 6 Je třeba studentům ukázat, že obrat, který je řešením nerovnice, se opakuje ve stejném intervalu, který je roven periodě goniometrické funkce. Podobnou ilustraci můžete zvážit také pro graf funkce sinus. Za čtvrté je vhodné provést práci na aktualizaci technik studentů pro převod součtu (rozdílu) goniometrických funkcí na součin a upozornit studenty na roli těchto technik při řešení goniometrických nerovnic. Takovou práci lze organizovat prostřednictvím samostatného plnění úkolů studentů navržených učitelem, mezi nimiž vyzdvihujeme následující: Za páté, studenti musí mít povinnost znázornit řešení každé jednoduché goniometrické nerovnosti pomocí grafu nebo trigonometrické kružnice. Rozhodně byste měli věnovat pozornost jeho účelnosti, zejména použití kruhu, protože při řešení goniometrických nerovností slouží odpovídající ilustrace jako velmi pohodlný prostředek pro záznam množiny řešení dané nerovnosti Je vhodné seznámit studenty s metodami řešení goniometrických nerovnic, které nejsou nejjednodušší podle následujícího schématu: otočení na konkrétní goniometrickou nerovnici otočení na odpovídající goniometrickou rovnici společné hledání (učitel - studenti) pro řešení nezávislý přenos nalezená metoda k jiným nerovnostem stejného typu. Pro systematizaci znalostí studentů o trigonometrii doporučujeme speciálně vybírat takové nerovnice, jejichž řešení vyžaduje různé transformace, které lze v procesu řešení realizovat, a zaměřit pozornost studentů na jejich vlastnosti. Jako takové produktivní nerovnosti můžeme navrhnout například následující: Na závěr uvádíme příklad sady úloh pro řešení goniometrických nerovnic. 1. Vyřešte nerovnosti: A) b) 5. Najděte všechna řešení nerovností: A) ;
b) ;
PROTI) G) d) 6. Vyřešte nerovnice: A) ;
b) ;
V); G) d) ; e) ; a) 7. Vyřešte nerovnice: A) b) ;
V); G). 8. Vyřešte nerovnice: A) ;
b) ;
V); G) d) e) ; a) h). Úkoly 6 a 7 je vhodné nabídnout žákům studujícím matematiku na pokročilé úrovni, úkol 8 žákům ve třídách s pokročilejším studiem matematiky. §3. Speciální metody řešení goniometrických nerovnic
Speciální metody řešení goniometrických rovnic - tedy takové metody, které lze použít pouze k řešení goniometrických rovnic. Tyto metody jsou založeny na využití vlastností goniometrických funkcí a také na využití různých goniometrických vzorců a identit. 3.1. Sektorová metoda
Uvažujme sektorovou metodu pro řešení goniometrických nerovnic. Řešení nerovnic tvaru V intervalové metodě každý lineární faktor čitatele a jmenovatele tvaru Je třeba mít na paměti následující: a) Faktory formy b) Faktory formy Příklad 1
Vyřešte nerovnosti: a) 3.2. Metoda soustředného kruhu
Tato metoda je obdobou metody paralelních číselných os pro řešení soustav racionálních nerovnic. Podívejme se na příklad systému nerovností. Příklad 5.
Vyřešte soustavu jednoduchých goniometrických nerovnic Nejprve řešíme každou nerovnici zvlášť (obrázek 5). V pravém horním rohu obrázku uvedeme, pro který argument je trigonometrický kruh uvažován. Obr.5 Dále vytvoříme systém soustředných kruhů pro argumentX
. Nakreslíme kružnici a vystínujeme ji podle řešení první nerovnosti, poté nakreslíme kružnici o větším poloměru a vystínujeme ji podle řešení druhé, poté sestrojíme kružnici pro třetí nerovnost a základní kružnici. Paprsky vedeme ze středu soustavy přes konce oblouků tak, aby protínaly všechny kružnice. Na základní kružnici vytvoříme řešení (obrázek 6). Obr.6 Odpověď:
Závěr
Všechny cíle výzkumu kurzu byly splněny. Teoretický materiál je systematizován: jsou uvedeny hlavní typy goniometrických nerovnic a hlavní metody jejich řešení (grafická, algebraická, metoda intervalů, sektorů a metoda soustředných kružnic). U každé metody byl uveden příklad řešení nerovnice. Po teoretické části následovala část praktická. Obsahuje sadu úloh pro řešení goniometrických nerovnic. Tuto práci mohou studenti využít k samostatné práci. Školáci si mohou ověřit úroveň zvládnutí tohoto tématu a procvičit plnění úkolů různé složitosti. Po prostudování příslušné literatury k této problematice můžeme zjevně dojít k závěru, že schopnost a dovednosti řešit goniometrické nerovnice ve školním kurzu algebry a elementární analýzy jsou velmi důležité, jejichž rozvoj vyžaduje značné úsilí ze strany učitele matematiky. Proto bude tato práce užitečná pro učitele matematiky, protože umožňuje efektivně organizovat školení studentů na téma „Trigonometrické nerovnosti“. Ve výzkumu lze pokračovat jeho rozšířením na závěrečnou kvalifikační práci.
Seznam použité literatury
Bogomolov, N.V. Sbírka úloh z matematiky [Text] / N.V. Bogomolov. – M.: Drop, 2009. – 206 s. Vygodsky, M.Ya. Příručka elementární matematiky [Text] / M.Ya. Vygodsky. – M.: Drop, 2006. – 509 s. Zhurbenko, L.N. Matematika v příkladech a úlohách [Text] / L.N. Zhurbenko. – M.: Infra-M, 2009. – 373 s. Ivanov, O.A. Elementární matematika pro školáky, studenty a učitele [Text] / O.A. Ivanov. – M.: MTsNMO, 2009. – 384 s. Karp, A.P. Úkoly z algebry a počátky analýzy pro organizaci závěrečného opakování a certifikace v 11. ročníku [Text] / A.P. Kapr. – M.: Vzdělávání, 2005. – 79 s. Kulanin, E.D. 3000 soutěžních úloh v matematice [Text] / E.D. Kulanin. – M.: Iris-press, 2007. – 624 s. Leibson, K.L. Sbírka praktických úloh z matematiky [Text] / K.L. Leibson. – M.: Drop, 2010. – 182 s. Loket, V.V. Problémy s parametry a jejich řešení. Trigonometrie: rovnice, nerovnice, soustavy. 10. třída [Text] / V.V. Koleno. – M.: ARKTI, 2008. – 64 s. Manova, A.N. Matematika. Expresní lektor pro přípravu na Jednotnou státní zkoušku: student. manuál [Text] / A.N. Manova. – Rostov na Donu: Phoenix, 2012. – 541 s. Mordkovich, A.G. Algebra a počátky matematické analýzy. 10-11 tříd. Učebnice pro studenty všeobecně vzdělávacích institucí [Text] / A.G. Mordkovič. – M.: Iris-press, 2009. – 201 s. Novikov, A.I. Goniometrické funkce, rovnice a nerovnice [Text] / A.I. Novikov. – M.: FIZMATLIT, 2010. – 260 s. Oganesyan, V.A. Metody výuky matematiky na střední škole: Obecná metodika. Učebnice manuál pro studenty fyziky - mat. fak. ped. Inst. [Text] / V.A. Oganesyan. – M.: Vzdělávání, 2006. – 368 s. Olehnik, S.N. Rovnice a nerovnice. Nestandardní metody řešení [Text] / S.N. Olehnik. – M.: Factorial Publishing House, 1997. – 219 s. Sevrjukov, P.F. Goniometrické, exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice [Text] / P.F. Sevrjukov. – M.: Public Education, 2008. – 352 s. Sergejev, I.N. Jednotná státní zkouška: 1000 problémů s odpověďmi a řešeními v matematice. Všechny úkoly skupiny C [Text] / I.N. Sergejev. – M.: Zkouška, 2012. – 301 s. Sobolev, A.B. Elementární matematika [Text] / A.B. Sobolev. – Jekatěrinburg: Státní vzdělávací instituce vyššího odborného vzdělávání USTU-UPI, 2005. – 81 s. Fenko, L.M. Metoda intervalů při řešení nerovnic a studiu funkcí [Text] / L.M. Fenko. – M.: Drop, 2005. – 124 s. Friedman, L.M. Teoretické základy metod výuky matematiky [Text] / L.M. Friedman. – M.: Knižní dům „LIBROKOM“, 2009. – 248 s. Dodatek 1 Grafická interpretace řešení jednoduchých nerovnic Rýže. 1 Rýže. 2 Obr.3 Obr.4 Obr.5 Obr.6 Obr.7 Obr.8 Dodatek 2 Řešení jednoduchých nerovností
,
atd.), kde se nejprve řeší obvyklá nerovnost a poté nerovnost tvaru
atd. nebo jinými metodami.
jeho řešení stačí najít na jednom období, tzn. na libovolném segmentu, jehož délka je rovna periodě funkceF
x
. Pak bude nalezeno řešení původní nerovnostix
a také ty hodnoty, které se liší od těch nalezených libovolným celým počtem period funkce. V tomto případě je vhodné použít grafickou metodu.
(
) A
.
(
).
.
.
(číslo vlevo od záznamu je vždy menší než číslo vpravo).
.
, která protíná kružnici v bodech A a B.
bude nabývat hodnot větších
(ale ne více než jeden).
, tj.
. Abychom získali všechna řešení této nerovnosti, stačí přidat na konce tohoto intervalu
, Kde
, tj.
,
.
Všimněte si, že hodnoty
A
jsou kořeny rovnice
,
;
.
,
.
:
A
.
. Najdeme úsečky těchto bodů.
A
(obr. 2).
;
. Mezi tím
body grafu
pod body grafu
. A kdy
hodnoty funkcí jsou stejné. Proto
na
.
.
.
.
,
,
.
,
.
po jednoduchých transformacích dostaneme
. Potom z Obr. 4 následuje
, Kde
.
,
.
.
.
.
: . Označme všechny body na jednotkové kružnici (obr. 6):
,
;
,
;
,
.
;
;
;
;
. SérieX
2
dává body
. Ze seriáluX
3
získáváme dva body
. Konečně seriálX
4
bude představovat body
. Vynesme všechny tyto body na jednotkovou kružnici, přičemž u každého z nich uvedeme její násobnost v závorkách.
naše linie jde z jedné oblasti do druhé: pokud byla mimo jednotkový kruh, pak jde dovnitř. Blíží se k bodu , úsečka se vrátí do vnitřní oblasti, protože násobnost tohoto bodu je sudá. Podobně v bodě (při sudé násobnosti) linka musí být otočena do vnější oblasti. Nakreslili jsme tedy určitý obrázek znázorněný na obr. 7. Pomáhá zvýraznit požadované oblasti na jednotkovém kruhu. Jsou označeny znaménkem „+“.
,
,
,
,
využití vlastností funkcí sinus a kosinus;
,
b)
,
PROTI)
,
,
,
.
.
S využitím znalostí a dovedností získaných v přípravné fázi studenti dostanou navrženou nerovnost do formy
, ale může být obtížné najít soubor řešení výsledné nerovnosti, protože Nelze to řešit pouze pomocí vlastností funkce sinus. Této obtížnosti se lze vyhnout otočením k příslušnému obrázku (řešením rovnice graficky nebo pomocí jednotkové kružnice).
.
splnit čísla, pro která platí nerovnost
. Vyřešili jsme nerovnici pro čísla na stejné periodě funkce sinus. Proto lze všechna řešení nerovnice zapsat ve tvaru
lze zapsat ve tvaru
,
.
A
vzhledem k tomu
.
a jeho rozhodnutí
,
,
, nalezený pomocí vzorců
,
,
.
jsou tři po sobě jdoucí úsečky průsečíků grafů
A
. Samozřejmě vždy v intervalu
nerovnost platí
a na intervalu
– nerovnost
. Zajímá nás první případ a přičtením na konce tohoto intervalu čísla, které je násobkem periody sinusu, získáme řešení nerovnosti
ve tvaru:
,
.
, musíte vytvořit odpovídající rovnici a vyřešit ji. Najděte kořeny z výsledného vzorce A a odpověď na nerovnici napište ve tvaru: ,
.
, splňující podmínku
;
, splňující podmínku
.
;
;
.
;
.
;
;
;
;
, KdeP
(
x
)
AQ
(
x
)
– racionální goniometrické funkce (sinus, kosinus, tangens a kotangens jsou v nich zahrnuty racionálně), podobně jako při řešení racionálních nerovnic. Racionální nerovnice je vhodné řešit metodou intervalů na číselné ose. Její obdobou pro řešení racionálních goniometrických nerovnic je metoda výsečí v goniometrickém kruhu, např.sinx
Acosx
(
) nebo trigonometrický půlkruh protgx
Actgx
(
).
na číselné ose odpovídá bodu a při průjezdu tímto bodem
změny znamení. V sektorové metodě každý faktor formuláře
, Kde
- jedna z funkcísinx
nebocosx
A
, v trigonometrickém kruhu odpovídají dva úhly A
, které rozdělují kruh na dva sektory. Při průjezdu A funkce
změny znamení.
A
, Kde
, ponechte znaménko pro všechny hodnoty . Takové faktory čitatele a jmenovatele se vyřadí změnou (pokud
) při každém takovém odmítnutí se znaménko nerovnosti obrátí.
A
jsou také vyřazeny. Navíc, pokud se jedná o faktory jmenovatele, pak se k ekvivalentnímu systému nerovností přidají nerovnosti tvaru
A
. Pokud se jedná o faktory čitatele, pak v ekvivalentním systému omezení odpovídají nerovnostem
A
v případě přísné počáteční nerovnosti a rovnosti
A
v případě nestriktní počáteční nerovnosti. Při vyřazení násobilky
nebo
znaménko nerovnosti je obrácené.
, b)
.
máme funkci b). Vyřešte nerovnost, kterou máme,
,
.