Dělení obyčejných zlomků: pravidla, příklady, řešení. Násobení jednoduchých a smíšených zlomků s různými jmenovateli
Se zlomky můžete dělat vše, včetně dělení. Tento článek ukazuje dělení obyčejných zlomků. Budou uvedeny definice a probrány příklady. Zastavme se podrobně u dělení zlomků přirozenými čísly a naopak. Bude probráno dělení společného zlomku smíšeným číslem.
Dělení zlomků
Dělení je opakem násobení. Při dělení se neznámý činitel najde se známým součinem jiného činitele, kde je jeho daný význam zachován s obyčejnými zlomky.
Pokud je nutné vydělit společný zlomek ab c d, pak pro určení takového čísla musíte vynásobit dělitelem c d, což nakonec dá dividendu a b. Získáme číslo a napíšeme ho a b · d c , kde d c je inverzní hodnota k číslu c d. Rovnosti lze zapsat pomocí vlastností násobení, a to: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, kde výraz a b · d c je podíl dělení a b c d.
Odtud získáváme a formulujeme pravidlo pro dělení obyčejných zlomků:
Definice 1
Chcete-li vydělit společný zlomek a b c d, musíte dividendu vynásobit převrácenou hodnotou dělitele.
Zapišme pravidlo ve formě výrazu: a b: c d = a b · d c
Pravidla dělení se týkají násobení. Abyste se toho drželi, musíte dobře rozumět násobení zlomků.
Přejděme k úvahám o dělení obyčejných zlomků.
Příklad 1
Vydělte 9 7 5 3. Výsledek zapiš zlomkem.
Řešení
Číslo 5 3 je reciproký zlomek 3 5. Je nutné použít pravidlo pro dělení obyčejných zlomků. Tento výraz zapíšeme takto: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.
Odpověď: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Při zmenšování zlomků oddělte celou část, pokud je čitatel větší než jmenovatel.
Příklad 2
Rozdělit 8 15: 24 65. Odpověď napište zlomkem.
Řešení
Chcete-li vyřešit, musíte přejít od dělení k násobení. Zapišme to v tomto tvaru: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Je nutné provést redukci, a to následovně: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Vyberte celý díl a získejte 13 9 = 1 4 9.
Odpověď: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Dělení mimořádného zlomku přirozeným číslem
Pro dělení zlomku přirozeným číslem používáme pravidlo: k dělení a b přirozeným číslem n stačí vynásobit jmenovatele n. Odtud dostaneme výraz: a b: n = a b · n.
Pravidlo dělení je důsledkem pravidla násobení. Znázornění přirozeného čísla jako zlomku tedy dá rovnost tohoto typu: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.
Zvažte toto rozdělení zlomku číslem.
Příklad 3
Vyděl zlomek 16 45 číslem 12.
Řešení
Použijme pravidlo pro dělení zlomku číslem. Získáme vyjádření ve tvaru 16 45: 12 = 16 45 · 12.
Zmenšeme zlomek. Dostaneme 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.
Odpověď: 16 45: 12 = 4 135 .
Dělení přirozeného čísla zlomkem
Pravidlo dělení je podobné Ó pravidlo pro dělení přirozeného čísla obyčejným zlomkem: aby bylo možné vydělit přirozené číslo n obyčejným zlomkem a b, je nutné číslo n vynásobit převrácenou hodnotou zlomku a b.
Na základě pravidla máme n: a b = n · b a a díky pravidlu o násobení přirozeného čísla obyčejným zlomkem dostaneme naše vyjádření ve tvaru n: a b = n · b a. Toto rozdělení je nutné zvážit na příkladu.
Příklad 4
Vydělte 25 15 28.
Řešení
Musíme přejít od dělení k násobení. Zapišme to ve tvaru výrazu 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Zmenšeme zlomek a dostaneme výsledek ve tvaru zlomku 46 2 3.
Odpověď: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Dělení zlomku smíšeným číslem
Při dělení společného zlomku smíšeným číslem můžete snadno začít dělit společné zlomky. Musíte převést smíšené číslo na nesprávný zlomek.
Příklad 5
Vydělte zlomek 35 16 3 1 8.
Řešení
Protože 3 1 8 je smíšené číslo, představme ho jako nevlastní zlomek. Pak dostaneme 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Nyní rozdělme zlomky. Dostaneme 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
Odpověď: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
Dělení smíšeného čísla se provádí stejným způsobem jako obyčejná čísla.
Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter
T typ lekce: ONZ (objevování nových poznatků - s využitím technologie metody činnostní výuky).
Hlavní cíle:
- Odvodit metody pro dělení zlomku přirozeným číslem;
- Rozvinout schopnost dělit zlomek přirozeným číslem;
- Opakujte a zpevněte dělení zlomků;
- Trénujte schopnost redukovat zlomky, analyzovat a řešit problémy.
Demonstrační materiál zařízení:
1. Úkoly pro aktualizaci znalostí:
Porovnejte výrazy:
Odkaz:
2. Zkušební (individuální) úkol.
1. Proveďte rozdělení:
2. Proveďte dělení bez provedení celého řetězce výpočtů: .
standardy:
- Při dělení zlomku přirozeným číslem můžete jmenovatele vynásobit tímto číslem, ale čitatel ponechat stejný.
- Pokud je čitatel dělitelný přirozeným číslem, pak při dělení zlomku tímto číslem můžete vydělit čitatele číslem a jmenovatele ponechat stejný.
Postup lekce
I. Motivace (sebeurčení) pro vzdělávací činnost.
Účel etapy:
- organizovat aktualizaci požadavků na studenta z hlediska vzdělávací činnosti („musí“);
- Organizovat studentské aktivity za účelem vytvoření tematických rámců („Dokážu“);
- Vytvořit u žáka podmínky pro rozvoj vnitřní potřeby inkluze do vzdělávacích aktivit („chci“).
Organizace vzdělávacího procesu na I.
Ahoj! Jsem rád, že vás všechny vidím na hodině matematiky. Doufám, že je to vzájemné.
Kluci, jaké nové poznatky jste získali v minulé lekci? (Rozděl zlomky).
Právo. Co vám pomáhá při dělení zlomků? (Pravidlo, vlastnosti).
Kde tyto znalosti potřebujeme? (V příkladech, rovnicích, úlohách).
Dobrá práce! Úkoly v minulé lekci jste zvládli dobře. Chcete sami dnes objevovat nové poznatky? (Ano).
Pak - pojďme! A mottem lekce bude výrok „Nemůžete se naučit matematiku tím, že budete sledovat, jak to dělá soused!
II. Aktualizace znalostí a oprava jednotlivých obtíží ve zkušební akci.
Účel etapy:
- Organizovat aktualizaci naučených metod jednání postačujících k budování nových znalostí. Zaznamenejte tyto metody slovně (v řeči) a symbolicky (standardně) a zobecněte je;
- Organizovat aktualizaci mentálních operací a kognitivních procesů postačujících ke konstrukci nových znalostí;
- Motivovat ke zkušebnímu jednání a jeho nezávislému provedení a zdůvodnění;
- Předložit individuální úkol pro zkušební akci a analyzovat jej za účelem identifikace nového vzdělávacího obsahu;
- Organizovat fixaci vzdělávacího cíle a tématu lekce;
- Zorganizujte provedení zkušební akce a opravte obtížnost;
- Zorganizujte analýzu obdržených odpovědí a zaznamenejte jednotlivé obtíže při provádění zkušebního jednání nebo jeho zdůvodňování.
Organizace vzdělávacího procesu na II.
Frontálně pomocí tablet (jednotlivých desek).
1. Porovnejte výrazy:
(Tyto výrazy jsou stejné)
Čeho zajímavého jste si všimli? (Čitatel a jmenovatel dělence, čitatel a jmenovatel dělitele v každém výrazu zvětšený o stejný počet. Dělitelé a dělitelé ve výrazech jsou tedy reprezentováni zlomky, které jsou si navzájem rovné).
Najděte význam výrazu a zapište si ho do tabletu. (2)
Jak mohu napsat toto číslo jako zlomek?
Jak jste provedli divizní akci? (Děti vysloví pravidlo, učitel umístí na tabuli symboly písmen)
2. Počítejte a zaznamenejte pouze výsledky:
3. Sečtěte výsledky a zapište odpověď. (2)
Jak se jmenuje číslo získané v úloze 3? (Přírodní)
Myslíte si, že dokážete vydělit zlomek přirozeným číslem? (Ano, pokusíme se)
Zkuste toto.
4. Individuální (zkušební) úkol.
Proveďte rozdělení: (pouze příklad a)
Jaké pravidlo jste použili k rozdělení? (Podle pravidla dělení zlomků zlomky)
Nyní rozdělte zlomek přirozeným číslem jednodušším způsobem, aniž byste provedli celý řetězec výpočtů: (příklad b). Dám vám na to 3 sekundy.
Kdo nedokázal splnit úkol za 3 sekundy?
kdo to udělal? (Nic takového)
Proč? (Neznáme cestu)
co jsi dostal? (Obtížnost)
Co myslíš, že budeme ve třídě dělat? (dělte zlomky přirozenými čísly)
Správně, otevřete si sešity a zapište si téma lekce: „Dělení zlomku přirozeným číslem“.
Proč zní toto téma nově, když už víte, jak dělit zlomky? (Potřebuji nový způsob)
Právo. Dnes zavedeme techniku, která zjednoduší dělení zlomku přirozeným číslem.
III. Identifikace místa a příčiny problému.
Účel etapy:
- Organizovat obnovu dokončených operací a zaznamenat (slovní i symbolické) místo – krok, operaci – kde potíže vznikly;
- Uspořádejte korelaci akcí studentů s použitou metodou (algoritmem) a zafixujte si ve vnější řeči příčinu obtíží – konkrétní znalosti, dovednosti nebo schopnosti, které chybí k vyřešení počátečního problému tohoto typu.
Organizace vzdělávacího procesu na III.
Jaký úkol jsi musel splnit? (Vydělte zlomek přirozeným číslem, aniž byste museli projít celým řetězcem výpočtů)
Co vám způsobilo potíže? (Nemohli jsme to vyřešit v krátké době pomocí rychlé metody)
Jaký cíl si v lekci stanovíme? (Najděte rychlý způsob, jak vydělit zlomek přirozeným číslem)
Co vám pomůže? (Již známé pravidlo pro dělení zlomků)
IV. Vytvoření projektu, jak se dostat z problému.
Účel etapy:
- Vyjasnění cíle projektu;
- Volba metody (vyjasnění);
- Stanovení prostředků (algoritmus);
- Sestavení plánu k dosažení cíle.
Organizace vzdělávacího procesu na stupni IV.
Vraťme se k testovací úloze. Říkal jsi, že jsi dělil podle pravidla pro dělení zlomků? (Ano)
Chcete-li to provést, nahraďte přirozené číslo zlomkem? (Ano)
Jaký krok (nebo kroky) lze podle vás přeskočit?
(Řetězec řešení je na desce otevřený:
Analyzujte a udělejte závěr. (Krok 1)
Pokud neexistuje odpověď, provedeme vás otázkami:
Kam se poděl přirozený dělitel? (Do jmenovatele)
Změnil se čitatel? (Žádný)
Který krok tedy můžete „vynechat“? (Krok 1)
Akční plán:
- Vynásobte jmenovatele zlomku přirozeným číslem.
- Čitatele neměníme.
- Získáme nový zlomek.
V. Realizace postaveného projektu.
Účel etapy:
- Organizovat komunikativní interakci za účelem realizace vybudovaného projektu zaměřeného na získání chybějících znalostí;
- Organizovat záznam vykonstruovaného způsobu jednání v řeči a znacích (pomocí standardu);
- Uspořádejte řešení počátečního problému a zaznamenejte, jak překonat obtíž;
- Organizovat objasnění obecné povahy nových poznatků.
Organizace vzdělávacího procesu na V. stupni.
Nyní rychle spusťte testovací případ novým způsobem.
Nyní jste byli schopni rychle dokončit úkol? (Ano)
Vysvětlete, jak jste to udělali? (děti mluví)
To znamená, že jsme získali nové poznatky: pravidlo pro dělení zlomku přirozeným číslem.
Dobrá práce! Řekněte to ve dvojicích.
Poté jeden žák promluví ke třídě. Opravujeme pravidlo-algoritmus slovně a ve formě standardu na tabuli.
Nyní zadejte označení písmen a zapište vzorec pro naše pravidlo.
Žák píše na tabuli a říká pravidlo: při dělení zlomku přirozeným číslem můžete jmenovatele vynásobit tímto číslem, ale čitatel ponechte stejný.
(Vzorec si každý zapíše do sešitu).
Nyní znovu analyzujte řetězec řešení testovací úlohy a věnujte zvláštní pozornost odpovědi. co jsi udělal? (Čitatel zlomku 15 byl vydělen (redukován) číslem 3)
co je to za číslo? (Přirozený, dělitel)
Jak jinak tedy vydělit zlomek přirozeným číslem? (Zkontrolujte: pokud je čitatel zlomku dělitelný tímto přirozeným číslem, pak můžete čitatel tímto číslem vydělit, výsledek zapsat do čitatele nového zlomku a jmenovatele ponechat stejný)
Zapište si tuto metodu jako vzorec. (Žák zapisuje pravidlo na tabuli při jeho vyslovování. Každý si vzorec zapíše do sešitu.)
Vraťme se k první metodě. Můžete jej použít, pokud a:n? (Ano, toto je obecný způsob)
A kdy je vhodné použít druhý způsob? (Když je čitatel zlomku dělen přirozeným číslem beze zbytku)
VI. Primární upevňování s výslovností ve vnější řeči.
Účel etapy:
- Organizovat dětem asimilaci nové metody jednání při řešení standardních problémů s jejich výslovností ve vnější řeči (frontálně, ve dvojicích nebo skupinách).
Organizace vzdělávacího procesu na stupni VI.
Počítejte novým způsobem:
- č. 363 (a; d) - provádí se u tabule, vyslovuje pravidlo.
- č. 363 (e; f) - ve dvojicích s kontrolou podle vzorku.
VII. Samostatná práce s autotestem dle normy.
Účel etapy:
- Zorganizujte samostatné dokončování úkolů studentů pro nový způsob jednání;
- Uspořádejte autotest na základě srovnání se standardem;
- Na základě výsledků samostatné práce zorganizujte úvahu o asimilaci nového způsobu jednání.
Organizace vzdělávacího procesu na stupni VII.
Počítejte novým způsobem:
- č. 363 (b; c)
Studenti kontrolují podle normy a označují správnost provedení. Příčiny chyb jsou analyzovány a chyby jsou opraveny.
Učitel se ptá žáků, kteří udělali chyby, jaký je důvod?
V této fázi je důležité, aby si každý student samostatně zkontroloval svou práci.
VIII. Zařazení do systému znalostí a opakování.
Účel etapy:
- Organizovat identifikaci hranic aplikace nových znalostí;
- Organizovat opakování vzdělávacího obsahu nezbytného k zajištění smysluplné kontinuity.
Organizace vzdělávacího procesu na VIII.
Organizace vzdělávacího procesu na stupni IX.
1. Dialog:
Kluci, jaké nové poznatky jste dnes objevili? (Naučili jsme se jednoduchým způsobem dělit zlomek přirozeným číslem)
Formulujte obecnou metodu. (Říkají)
Jakým způsobem a v jakých případech jej můžete využít? (Říkají)
Jaká je výhoda nové metody?
Dosáhli jsme svého cíle lekce? (Ano)
Jaké znalosti jste použili k dosažení svého cíle? (Říkají)
Vyšlo vám všechno?
Jaké byly potíže?
2. Domácí úkol: bod 3.2.4.; Č. 365(1, n, o, p); č. 370.
3. Učitel: Jsem rád, že dnes byli všichni aktivní a dokázali najít cestu z obtíží. A hlavně nebyli sousedé při otevírání nového a jeho zakládání. Díky za lekci, děti!
Obsah lekceSčítání zlomků s podobnými jmenovateli
Existují dva typy přidávání zlomků:
- Sčítání zlomků s podobnými jmenovateli
- Sčítání zlomků s různými jmenovateli
Nejprve se naučme sčítání zlomků s podobnými jmenovateli. Všechno je zde jednoduché. Chcete-li přidat zlomky se stejnými jmenovateli, musíte přidat jejich čitatele a ponechat jmenovatele beze změny. Sečteme například zlomky a . Přidejte čitatele a ponechte jmenovatele beze změny:
Tento příklad lze snadno pochopit, pokud si vzpomeneme na pizzu, která je rozdělena na čtyři části. Pokud k pizze přidáte pizzu, získáte pizzu:
Příklad 2 Přidejte zlomky a .
Odpověď se ukázala jako nesprávný zlomek. Když přijde konec úkolu, je zvykem zbavit se nesprávných zlomků. Abyste se zbavili nevhodného zlomku, musíte vybrat jeho celou část. V našem případě je celá část snadno izolovaná - dvě dělené dvěma se rovnají jedné:
Tento příklad lze snadno pochopit, pokud si vzpomeneme na pizzu, která je rozdělena na dvě části. Pokud k pizze přidáte více pizzy, získáte jednu celou pizzu:
Příklad 3. Přidejte zlomky a .
Opět sečteme čitatele a jmenovatele necháme beze změny:
Tento příklad lze snadno pochopit, pokud si vzpomeneme na pizzu, která je rozdělena na tři části. Pokud k pizze přidáte více pizzy, získáte pizzu:
Příklad 4. Najděte hodnotu výrazu
Tento příklad je řešen úplně stejně jako předchozí. Je třeba sečíst čitatele a jmenovatele ponechat beze změny:
Pokusme se znázornit naše řešení pomocí výkresu. Pokud k pizze přidáte pizzy a přidáte další pizzy, získáte 1 celou pizzu a více pizz.
Jak vidíte, na sčítání zlomků se stejnými jmenovateli není nic složitého. Stačí pochopit následující pravidla:
- Chcete-li přidat zlomky se stejným jmenovatelem, musíte přidat jejich čitatele a ponechat jmenovatele beze změny;
Sčítání zlomků s různými jmenovateli
Nyní se naučíme, jak sčítat zlomky s různými jmenovateli. Při sčítání zlomků musí být jmenovatelé zlomků shodní. Ale nejsou vždy stejné.
Zlomky lze například sčítat, protože mají stejné jmenovatele.
Zlomky však nelze sčítat hned, protože tyto zlomky mají různé jmenovatele. V takových případech musí být zlomky zredukovány na stejného (společného) jmenovatele.
Existuje několik způsobů, jak snížit zlomky na stejného jmenovatele. Dnes se podíváme pouze na jednu z nich, protože ostatní metody se mohou zdát začátečníkovi složité.
Podstatou této metody je, že se nejprve hledá LCM jmenovatelů obou zlomků. LCM se pak vydělí jmenovatelem prvního zlomku, aby se získal první dodatečný faktor. Totéž udělají s druhým zlomkem - LCM se vydělí jmenovatelem druhého zlomku a získá se druhý dodatečný faktor.
Čitatele a jmenovatele zlomků pak vynásobíme jejich dalšími faktory. V důsledku těchto akcí se zlomky, které měly různé jmenovatele, změní na zlomky, které mají stejné jmenovatele. A už víme, jak takové zlomky sčítat.
Příklad 1. Sečteme zlomky a
Nejprve najdeme nejmenší společný násobek jmenovatelů obou zlomků. Jmenovatelem prvního zlomku je číslo 3 a jmenovatelem druhého zlomku je číslo 2. Nejmenší společný násobek těchto čísel je 6
LCM (2 a 3) = 6
Nyní se vraťme ke zlomkům a . Nejprve vydělte LCM jmenovatelem prvního zlomku a získáte první další faktor. LCM je číslo 6 a jmenovatelem prvního zlomku je číslo 3. Vydělte 6 3, dostaneme 2.
Výsledné číslo 2 je prvním dodatečným násobitelem. Zapíšeme to na první zlomek. Chcete-li to provést, udělejte přes zlomek malou šikmou čáru a zapište další faktor, který najdete nad ním:
Totéž uděláme s druhým zlomkem. LCM vydělíme jmenovatelem druhého zlomku a dostaneme druhý dodatečný faktor. LCM je číslo 6 a jmenovatel druhého zlomku je číslo 2. Vydělte 6 dvěma, dostaneme 3.
Výsledné číslo 3 je druhým dodatečným násobitelem. Zapíšeme to na druhý zlomek. Opět uděláme malou šikmou čáru přes druhý zlomek a zapíšeme další faktor nalezený nad ním:
Nyní máme vše připraveno k přidání. Zbývá vynásobit čitatele a jmenovatele zlomků jejich dalšími faktory:
Podívejte se pozorně, k čemu jsme dospěli. Došli jsme k závěru, že zlomky, které měly různé jmenovatele, se změnily na zlomky, které měly stejné jmenovatele. A už víme, jak takové zlomky sčítat. Vezměme tento příklad do konce:
Tím je příklad dokončen. Ukazuje se přidat .
Pokusme se znázornit naše řešení pomocí výkresu. Pokud k pizze přidáte pizzu, získáte jednu celou pizzu a další šestinu pizzy:
Snížení zlomků na stejný (společný) jmenovatel lze také znázornit pomocí obrázku. Zmenšením zlomků a na společného jmenovatele jsme dostali zlomky a . Tyto dva zlomky budou zastoupeny stejnými kousky pizzy. Jediný rozdíl bude v tom, že tentokrát budou rozděleny na stejné podíly (redukované na stejného jmenovatele).
První kresba představuje zlomek (čtyři kusy ze šesti) a druhá kresba představuje zlomek (tři kusy ze šesti). Přidáním těchto kusů dostaneme (sedm kusů ze šesti). Tento zlomek je nesprávný, proto jsme zvýraznili jeho celou část. Ve výsledku jsme dostali (jedna celá pizza a další šestá pizza).
Upozorňujeme, že jsme tento příklad popsali příliš podrobně. Ve vzdělávacích institucích není zvykem psát tak podrobně. Musíte být schopni rychle najít LCM obou jmenovatelů a dalších faktorů k nim a také rychle vynásobit nalezené dodatečné faktory vašimi čitateli a jmenovateli. Kdybychom byli ve škole, museli bychom tento příklad napsat takto:
Ale je tu i druhá strana mince. Pokud si v prvních fázích studia matematiky neděláte podrobné poznámky, začnou se objevovat otázky tohoto druhu. "Odkud to číslo pochází?", "Proč se zlomky najednou změní na úplně jiné zlomky? «.
Pro snazší sčítání zlomků s různými jmenovateli můžete použít následující podrobné pokyny:
- Najděte LCM jmenovatelů zlomků;
- Vydělte LCM jmenovatelem každého zlomku a získejte další faktor pro každý zlomek;
- Vynásobte čitatele a jmenovatele zlomků jejich dalšími faktory;
- Sečtěte zlomky, které mají stejné jmenovatele;
- Pokud se ukáže, že odpověď je nesprávný zlomek, vyberte celou jeho část;
Příklad 2 Najděte hodnotu výrazu .
Použijme pokyny uvedené výše.
Krok 1. Najděte LCM jmenovatelů zlomků
Najděte LCM jmenovatelů obou zlomků. Jmenovateli zlomků jsou čísla 2, 3 a 4
Krok 2. Vydělte LCM jmenovatelem každého zlomku a získejte další faktor pro každý zlomek
Vydělte LCM jmenovatelem prvního zlomku. LCM je číslo 12 a jmenovatelem prvního zlomku je číslo 2. Vydělte 12 2, dostaneme 6. Dostali jsme první dodatečný faktor 6. Zapíšeme ho nad první zlomek:
Nyní vydělíme LCM jmenovatelem druhého zlomku. LCM je číslo 12 a jmenovatelem druhého zlomku je číslo 3. Vydělte 12 3, dostaneme 4. Dostaneme druhý dodatečný faktor 4. Zapíšeme ho nad druhý zlomek:
Nyní vydělíme LCM jmenovatelem třetího zlomku. LCM je číslo 12 a jmenovatelem třetího zlomku je číslo 4. Vydělte 12 4, dostaneme 3. Získáme třetí dodatečný faktor 3. Zapíšeme ho nad třetí zlomek:
Krok 3. Vynásobte čitatele a jmenovatele zlomků jejich dalšími faktory
Čitatele a jmenovatele vynásobíme jejich dalšími faktory:
Krok 4. Sečtěte zlomky se stejnými jmenovateli
Došli jsme k závěru, že zlomky, které měly různé jmenovatele, se změnily na zlomky, které měly stejné (společné) jmenovatele. Zbývá pouze tyto zlomky sečíst. Sečtěte to:
Sčítání se nevešlo na jeden řádek, takže jsme zbývající výraz přesunuli na další řádek. To je v matematice povoleno. Když se výraz nevejde na jeden řádek, přesune se na další řádek a je nutné dát rovnítko (=) na konec prvního řádku a na začátek nového řádku. Rovnítko na druhém řádku označuje, že se jedná o pokračování výrazu, který byl na prvním řádku.
Krok 5. Pokud se ukáže, že odpověď je nesprávný zlomek, vyberte celou jeho část
Naše odpověď se ukázala jako nesprávný zlomek. Musíme vyzdvihnout celou jeho část. Zvýrazňujeme:
Dostali jsme odpověď
Odečítání zlomků s podobnými jmenovateli
Existují dva typy odčítání zlomků:
- Odečítání zlomků s podobnými jmenovateli
- Odečítání zlomků s různými jmenovateli
Nejprve se naučíme, jak odčítat zlomky s podobnými jmenovateli. Všechno je zde jednoduché. Chcete-li od jednoho zlomku odečíst další, musíte odečíst čitatele druhého zlomku od čitatele prvního zlomku, ale jmenovatele ponechat stejný.
Najdeme například hodnotu výrazu . Chcete-li vyřešit tento příklad, musíte odečíst čitatel druhého zlomku od čitatele prvního zlomku a ponechat jmenovatele beze změny. Udělejme toto:
Tento příklad lze snadno pochopit, pokud si vzpomeneme na pizzu, která je rozdělena na čtyři části. Pokud nakrájíte pizzu z pizzy, získáte pizzu:
Příklad 2 Najděte hodnotu výrazu.
Opět od čitatele prvního zlomku odečtěte čitatele druhého zlomku a jmenovatele ponechte beze změny:
Tento příklad lze snadno pochopit, pokud si vzpomeneme na pizzu, která je rozdělena na tři části. Pokud nakrájíte pizzu z pizzy, získáte pizzu:
Příklad 3 Najděte hodnotu výrazu
Tento příklad je řešen úplně stejně jako předchozí. Od čitatele prvního zlomku musíte odečíst čitatele zbývajících zlomků:
Jak vidíte, na odečítání zlomků se stejnými jmenovateli není nic složitého. Stačí pochopit následující pravidla:
- Chcete-li od jednoho zlomku odečíst další, musíte odečíst čitatele druhého zlomku od čitatele prvního zlomku a ponechat jmenovatele beze změny;
- Pokud se ukáže, že odpověď je nesprávný zlomek, musíte zvýraznit celou jeho část.
Odečítání zlomků s různými jmenovateli
Můžete například odečíst zlomek od zlomku, protože zlomky mají stejné jmenovatele. Ale nemůžete odečíst zlomek od zlomku, protože tyto zlomky mají různé jmenovatele. V takových případech musí být zlomky zredukovány na stejného (společného) jmenovatele.
Společný jmenovatel se najde pomocí stejného principu, který jsme použili při sčítání zlomků s různými jmenovateli. Nejprve najděte LCM jmenovatelů obou zlomků. Poté se LCM vydělí jmenovatelem prvního zlomku a získá se první doplňkový faktor, který je zapsán nad prvním zlomkem. Podobně se LCM vydělí jmenovatelem druhého zlomku a získá se druhý dodatečný faktor, který je zapsán nad druhým zlomkem.
Zlomky se pak vynásobí jejich dalšími faktory. V důsledku těchto operací se zlomky, které měly různé jmenovatele, převedou na zlomky, které mají stejné jmenovatele. A už víme, jak takové zlomky odečítat.
Příklad 1 Najděte význam výrazu:
Tyto zlomky mají různé jmenovatele, takže je musíte zredukovat na stejného (společného) jmenovatele.
Nejprve najdeme LCM jmenovatelů obou zlomků. Jmenovatelem prvního zlomku je číslo 3 a jmenovatelem druhého zlomku je číslo 4. Nejmenší společný násobek těchto čísel je 12
LCM (3 a 4) = 12
Nyní se vraťme ke zlomkům a
Pojďme najít další faktor pro první zlomek. Chcete-li to provést, vydělte LCM jmenovatelem prvního zlomku. LCM je číslo 12 a jmenovatelem prvního zlomku je číslo 3. Vydělte 12 3, dostaneme 4. Nad první zlomek napište čtyřku:
Totéž uděláme s druhým zlomkem. Vydělte LCM jmenovatelem druhého zlomku. LCM je číslo 12 a jmenovatelem druhého zlomku je číslo 4. Vydělte 12 4, dostaneme 3. Napište trojku přes druhý zlomek:
Nyní jsme připraveni na odečítání. Zbývá vynásobit zlomky jejich dalšími faktory:
Došli jsme k závěru, že zlomky, které měly různé jmenovatele, se změnily na zlomky, které měly stejné jmenovatele. A už víme, jak takové zlomky odečítat. Vezměme tento příklad do konce:
Dostali jsme odpověď
Pokusme se znázornit naše řešení pomocí výkresu. Když odříznete pizzu z pizzy, dostanete pizzu
Toto je podrobná verze řešení. Kdybychom byli ve škole, museli bychom tento příklad řešit kratší dobu. Takové řešení by vypadalo takto:
Snížení zlomků na společného jmenovatele lze také znázornit pomocí obrázku. Redukcí těchto zlomků na společného jmenovatele jsme dostali zlomky a . Tyto zlomky budou představovány stejnými plátky pizzy, ale tentokrát budou rozděleny na stejné díly (redukované na stejného jmenovatele):
První obrázek ukazuje zlomek (osm dílků z dvanácti) a druhý obrázek zlomek (tři dílky z dvanácti). Vyříznutím tří kusů z osmi kusů získáme pět kusů z dvanácti. Zlomek popisuje těchto pět kusů.
Příklad 2 Najděte hodnotu výrazu
Tyto zlomky mají různé jmenovatele, takže je nejprve musíte zredukovat na stejného (společného) jmenovatele.
Pojďme najít LCM jmenovatelů těchto zlomků.
Jmenovateli zlomků jsou čísla 10, 3 a 5. Nejmenší společný násobek těchto čísel je 30
LCM(10,3,5) = 30
Nyní najdeme další faktory pro každý zlomek. Chcete-li to provést, vydělte LCM jmenovatelem každého zlomku.
Pojďme najít další faktor pro první zlomek. LCM je číslo 30 a jmenovatelem prvního zlomku je číslo 10. Vydělte 30 10, dostaneme první dodatečný faktor 3. Zapíšeme ho nad první zlomek:
Nyní najdeme další faktor pro druhý zlomek. Vydělte LCM jmenovatelem druhého zlomku. LCM je číslo 30 a jmenovatelem druhého zlomku je číslo 3. Vydělte 30 3, dostaneme druhý dodatečný faktor 10. Zapíšeme ho nad druhý zlomek:
Nyní najdeme další faktor pro třetí zlomek. Vydělte LCM jmenovatelem třetího zlomku. LCM je číslo 30 a jmenovatelem třetího zlomku je číslo 5. Vydělte 30 5, dostaneme třetí dodatečný faktor 6. Zapíšeme ho nad třetí zlomek:
Nyní je vše připraveno k odečítání. Zbývá vynásobit zlomky jejich dalšími faktory:
Došli jsme k závěru, že zlomky, které měly různé jmenovatele, se změnily na zlomky, které měly stejné (společné) jmenovatele. A už víme, jak takové zlomky odečítat. Dokončeme tento příklad.
Pokračování příkladu se nevejde na jeden řádek, proto přesuneme pokračování na další řádek. Nezapomeňte na rovnítko (=) na novém řádku:
Odpověď se ukázala jako pravidelný zlomek a zdá se, že nám vše vyhovuje, ale je příliš těžkopádná a nevzhledná. Měli bychom to zjednodušit. co se dá dělat? Tento zlomek můžete zkrátit.
Chcete-li zlomek zmenšit, musíte vydělit jeho čitatel a jmenovatel (GCD) čísel 20 a 30.
Najdeme tedy gcd čísel 20 a 30:
Nyní se vrátíme k našemu příkladu a vydělíme čitatel a jmenovatel zlomku nalezeným gcd, tedy 10
Dostali jsme odpověď
Násobení zlomku číslem
Chcete-li zlomek vynásobit číslem, musíte vynásobit čitatel daného zlomku tímto číslem a jmenovatele ponechat stejný.
Příklad 1. Vynásobte zlomek číslem 1.
Vynásobte čitatele zlomku číslem 1
Záznam lze chápat jako poloviční 1 čas. Například, když si dáte pizzu jednou, dostanete pizzu
Ze zákonů násobení víme, že pokud dojde k záměně multiplikandu a faktoru, součin se nezmění. Pokud je výraz zapsán jako , pak se součin bude stále rovnat . Opět platí pravidlo pro násobení celého čísla a zlomku:
Tento zápis lze chápat tak, že vezme polovinu jedničky. Pokud je například 1 celá pizza a vezmeme si polovinu, budeme mít pizzu:
Příklad 2. Najděte hodnotu výrazu
Vynásobte čitatele zlomku 4
Odpověď byla nesprávný zlomek. Pojďme zvýraznit celou jeho část:
Výraz lze chápat tak, že vezmeme dvě čtvrtiny 4krát. Například, když si vezmete 4 pizzy, dostanete dvě celé pizzy
A pokud prohodíme násobitel a násobitel, dostaneme výraz . Bude se také rovnat 2. Tento výraz lze chápat jako odebrání dvou pizz ze čtyř celých pizz:
Násobení zlomků
Chcete-li násobit zlomky, musíte vynásobit jejich čitatele a jmenovatele. Pokud se ukáže, že odpověď je nesprávný zlomek, musíte zvýraznit celou jeho část.
Příklad 1 Najděte hodnotu výrazu.
Dostali jsme odpověď. Je vhodné tento zlomek snížit. Zlomek lze zmenšit o 2. Potom bude mít konečné řešení následující podobu:
Výraz lze chápat jako odebrání pizzy z půlky pizzy. Řekněme, že máme půlku pizzy:
Jak z této poloviny ubrat dvě třetiny? Nejprve musíte tuto polovinu rozdělit na tři stejné části:
A vezměte dva z těchto tří kusů:
Uděláme pizzu. Pamatujte, jak pizza vypadá, když je rozdělena na tři části:
Jeden kus této pizzy a dva kusy, které jsme vzali, budou mít stejné rozměry:
Jinými slovy, mluvíme o stejně velké pizze. Hodnota výrazu je tedy
Příklad 2. Najděte hodnotu výrazu
Vynásobte čitatele prvního zlomku čitatelem druhého zlomku a jmenovatele prvního zlomku jmenovatelem druhého zlomku:
Odpověď byla nesprávný zlomek. Pojďme zvýraznit celou jeho část:
Příklad 3 Najděte hodnotu výrazu
Vynásobte čitatele prvního zlomku čitatelem druhého zlomku a jmenovatele prvního zlomku jmenovatelem druhého zlomku:
Odpověď se ukázala jako pravidelný zlomek, ale bylo by dobré, kdyby byl zkrácen. Chcete-li tento zlomek zmenšit, musíte vydělit čitatel a jmenovatel tohoto zlomku největším společným dělitelem (GCD) čísel 105 a 450.
Pojďme tedy najít gcd čísel 105 a 450:
Nyní vydělíme čitatele a jmenovatele naší odpovědi gcd, které jsme nyní našli, tedy 15
Reprezentující celé číslo jako zlomek
Jakékoli celé číslo může být reprezentováno jako zlomek. Například číslo 5 může být reprezentováno jako . To nezmění význam pěti, protože výraz znamená „číslo pět děleno jednou“, a to, jak víme, se rovná pěti:
Reciproční čísla
Nyní se seznámíme s velmi zajímavým tématem v matematice. Říká se tomu „obrácená čísla“.
Definice. Zpět k čísluA je číslo, které po vynásobeníA dává jeden.
Dosadíme v této definici místo proměnné Ačíslo 5 a zkuste si přečíst definici:
Zpět k číslu 5 je číslo, které po vynásobení 5 dává jeden.
Je možné najít číslo, které po vynásobení 5 dává jedničku? Ukazuje se, že je to možné. Představme si pětku jako zlomek:
Pak tento zlomek vynásobte sám, stačí prohodit čitatel a jmenovatel. Jinými slovy, vynásobme zlomek sám o sobě, pouze obráceně:
Co se v důsledku toho stane? Pokud budeme pokračovat v řešení tohoto příkladu, dostaneme jeden:
To znamená, že inverzní k číslu 5 je číslo , protože když vynásobíte 5, dostanete jedničku.
Převrácenou hodnotu čísla lze také nalézt pro jakékoli jiné celé číslo.
Můžete také najít převrácenou hodnotu jakéhokoli jiného zlomku. Chcete-li to provést, stačí jej obrátit.
Dělení zlomku číslem
Řekněme, že máme půlku pizzy:
Rozdělme to rovným dílem mezi dva. Kolik pizzy každý dostane?
Je vidět, že po rozdělení poloviny pizzy byly získány dva stejné kusy, z nichž každý tvoří pizzu. Takže každý dostane pizzu.
Dělení zlomků se provádí pomocí reciprokých. Reciproká čísla umožňují nahradit dělení násobením.
Chcete-li zlomek vydělit číslem, musíte zlomek vynásobit převrácenou hodnotou dělitele.
Pomocí tohoto pravidla si zapíšeme rozdělení naší poloviny pizzy na dvě části.
Musíte tedy zlomek vydělit číslem 2. Zde je dělenec zlomkem a dělitelem je číslo 2.
Chcete-li vydělit zlomek číslem 2, musíte tento zlomek vynásobit převrácenou hodnotou dělitele 2. Převrácená hodnota dělitele 2 je zlomek. Musíte tedy násobit
) a jmenovatel po jmenovateli (dostaneme jmenovatele součinu).
Vzorec pro násobení zlomků:
Například:
Než začnete násobit čitatele a jmenovatele, musíte zkontrolovat, zda lze zlomek zmenšit. Pokud dokážete zlomek snížit, bude pro vás snazší provádět další výpočty.
Dělení běžného zlomku zlomkem.
Dělení zlomků zahrnujících přirozená čísla.
Není to tak děsivé, jak se zdá. Stejně jako v případě sčítání převedeme celé číslo na zlomek s jedničkou ve jmenovateli. Například:
Násobení smíšených zlomků.
Pravidla pro násobení zlomků (smíšené):
- převést smíšené zlomky na nesprávné zlomky;
- násobení čitatelů a jmenovatelů zlomků;
- snížit zlomek;
- Pokud dostanete nesprávný zlomek, převedeme nesprávný zlomek na smíšený zlomek.
Věnovat pozornost! Chcete-li vynásobit smíšený zlomek jiným smíšeným zlomkem, musíte je nejprve převést do tvaru nesprávných zlomků a poté násobit podle pravidla pro násobení obyčejných zlomků.
Druhý způsob, jak násobit zlomek přirozeným číslem.
Výhodnější může být použít druhý způsob násobení společného zlomku číslem.
Věnovat pozornost! Chcete-li zlomek vynásobit přirozeným číslem, musíte vydělit jmenovatele zlomku tímto číslem a ponechat čitatel beze změny.
Z výše uvedeného příkladu je zřejmé, že tuto možnost je vhodnější použít, když je jmenovatel zlomku beze zbytku dělen přirozeným číslem.
Vícepatrové zlomky.
Na střední škole se často setkáváme se třípatrovými (i více) zlomky. Příklad:
Chcete-li takový zlomek uvést do obvyklé podoby, použijte dělení pomocí 2 bodů:
Věnovat pozornost! Při dělení zlomků je velmi důležité pořadí dělení. Pozor, zde se snadno splete.
Vezměte prosím na vědomí Například:
Při dělení jedné libovolným zlomkem bude výsledkem stejný zlomek, pouze převrácený:
Praktické tipy pro násobení a dělení zlomků:
1. Nejdůležitější při práci se zlomkovými výrazy je přesnost a všímavost. Všechny výpočty provádějte pečlivě a přesně, soustředěně a jasně. Je lepší napsat do návrhu pár řádků navíc, než se ztrácet v mentálních výpočtech.
2. V úlohách s různými typy zlomků přejděte na typ obyčejných zlomků.
3. Všechny zlomky redukujeme, až to již zmenšit nejde.
4. Víceúrovňové zlomkové výrazy transformujeme na obyčejné pomocí dělení přes 2 body.
5. Vydělte jednotku zlomkem v hlavě, jednoduše zlomek otočte.
Obyčejná zlomková čísla se poprvé setkávají se školáky v 5. třídě a provázejí je po celý život, protože v každodenním životě je často nutné uvažovat nebo používat předmět ne jako celek, ale v samostatných částech. Začněte studovat toto téma - sdílení. Akcie jsou rovným dílem, na které se ten či onen objekt dělí. Ne vždy je totiž možné vyjádřit např. délku nebo cenu výrobku jako celé číslo, v úvahu by se měly brát díly nebo podíly nějaké míry. Slovo „frakce“, vytvořené ze slovesa „rozdělit“ - rozdělit na části a s arabskými kořeny, vzniklo v ruském jazyce v 8.
Zlomkové výrazy byly dlouho považovány za nejobtížnější odvětví matematiky. V 17. století, kdy se objevily první učebnice matematiky, se jim říkalo „lomená čísla“, což bylo pro lidi velmi obtížné.
Moderní podobu jednoduchých zlomkových zbytků, jejichž části jsou odděleny vodorovnou čarou, poprvé prosadil Fibonacci – Leonardo z Pisy. Jeho díla jsou datována do roku 1202. Účelem tohoto článku je ale čtenáři jednoduše a srozumitelně vysvětlit, jak se násobí smíšené zlomky s různými jmenovateli.
Násobení zlomků s různými jmenovateli
Zpočátku stojí za to určit typy zlomků:
- opravit;
- nesprávný;
- smíšený.
Dále si musíte pamatovat, jak se násobí zlomková čísla se stejnými jmenovateli. Samotné pravidlo tohoto procesu není obtížné formulovat samostatně: výsledkem násobení jednoduchých zlomků se stejnými jmenovateli je zlomkový výraz, jehož čitatel je součinem čitatelů a jmenovatel je součin jmenovatelů těchto zlomků. . To znamená, že ve skutečnosti je novým jmenovatelem druhá mocnina jednoho z původně existujících.
Při násobení jednoduché zlomky s různými jmenovateli pro dva nebo více faktorů se pravidlo nemění:
A/b * C/d = a*c / b*d.
Jediný rozdíl je v tom, že utvořené číslo pod zlomkovou čárou bude součinem různých čísel a přirozeně ho nelze nazvat druhou mocninou jednoho číselného výrazu.
Stojí za to zvážit násobení zlomků s různými jmenovateli pomocí příkladů:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Příklady používají metody pro redukci zlomkových výrazů. Čísla v čitateli můžete zmenšit pouze s čísly jmenovatelů sousedícími nad nebo pod zlomkovou čárou.
Spolu s jednoduchými zlomky existuje koncept smíšených zlomků. Smíšené číslo se skládá z celého čísla a zlomkové části, to znamená, že je součtem těchto čísel:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Jak funguje násobení?
Ke zvážení je uvedeno několik příkladů.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Příklad používá násobení čísla číslem obyčejná zlomková část, pravidlo pro tuto akci lze zapsat takto:
A* b/C = a*b /C.
Ve skutečnosti je takový součin součtem identických zlomkových zbytků a počet členů udává toto přirozené číslo. Speciální případ:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Existuje další řešení, jak vynásobit číslo zlomkovým zbytkem. Stačí vydělit jmenovatele tímto číslem:
d* E/F = E/f: d.
Tato technika je užitečná, když je jmenovatel dělen přirozeným číslem beze zbytku nebo, jak se říká, celým číslem.
Převeďte smíšená čísla na nesprávné zlomky a získejte produkt výše popsaným způsobem:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Tento příklad zahrnuje způsob reprezentace smíšeného zlomku jako nesprávného zlomku a může být také reprezentován jako obecný vzorec:
A bC = a*b+ c / c, kde jmenovatel nového zlomku vznikne vynásobením celé části se jmenovatelem a sečtením s čitatelem původního zlomkového zbytku a jmenovatel zůstane stejný.
Tento proces funguje i v opačném směru. Chcete-li oddělit celou část a zlomkový zbytek, musíte vydělit čitatel nesprávného zlomku jeho jmenovatelem pomocí „rohu“.
Násobení nesprávných zlomků vyrobené obecně uznávaným způsobem. Při zápisu pod jedinou zlomkovou čáru je potřeba zlomky podle potřeby zmenšit, aby se pomocí této metody zmenšila čísla a usnadnil se výpočet výsledku.
Na internetu je mnoho pomocníků k řešení i složitých matematických úloh v různých variacích programů. Dostatečný počet takových služeb nabízí svou pomoc při výpočtu násobení zlomků s různými čísly ve jmenovatelích - tzv. online kalkulačky pro počítání zlomků. Jsou schopni nejen násobit, ale také provádět všechny ostatní jednoduché aritmetické operace s obyčejnými zlomky a smíšenými čísly. Práce s ním je snadná; vyplníte příslušná pole na webové stránce, vyberete znaménko matematické operace a kliknete na „vypočítat“. Program počítá automaticky.
Téma aritmetických operací se zlomky je aktuální v celém vzdělávání žáků středních a vysokých škol. Na střední škole už nepovažují za nejjednodušší druh, ale celočíselné zlomkové výrazy, ale dříve získané znalosti pravidel pro transformaci a výpočty jsou aplikovány v původní podobě. Dobře zvládnuté základní znalosti dávají naprostou jistotu v úspěšném řešení nejsložitějších problémů.
Na závěr má smysl citovat slova Lva Nikolajeviče Tolstého, který napsal: „Člověk je zlomek. Není v silách člověka zvětšit svého čitatele - své zásluhy - ale kdokoli může snížit svého jmenovatele - své mínění o sobě, a tímto poklesem se přiblížit své dokonalosti.