Jaký je celkový povrch hranolu? Vše, co potřebujete vědět o hranolu (2019)
Definice. Hranol je mnohostěn, jehož všechny vrcholy jsou umístěny ve dvou rovnoběžných rovinách a v těchto stejných dvou rovinách leží dvě plochy hranolu, což jsou stejné mnohoúhelníky s příslušně rovnoběžnými stranami, a všechny hrany, které neleží v těchto rovinách, jsou rovnoběžné.
Jsou volány dvě stejné tváře hranolové základny(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
Všechny ostatní plochy hranolu se nazývají boční plochy(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Všechny boční plochy tvoří boční povrch hranolu .
Všechny boční strany hranolu jsou rovnoběžníky .
Hrany, které neleží na základnách, se nazývají boční hrany hranolu ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).
Úhlopříčka hranolu je segment, jehož konce jsou dva vrcholy hranolu, které neleží na stejné ploše (AD 1).
Délka úsečky spojující podstavy hranolu a kolmé k oběma podstavám zároveň se nazývá výška hranolu .
Označení:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Nejprve jsou v příčném pořadí označeny vrcholy jedné základny a poté ve stejném pořadí vrcholy druhé; konce každé boční hrany jsou označeny stejnými písmeny, jsou označeny pouze vrcholy ležící v jedné základně písmeny bez indexu a ve druhém - s indexem)
Název hranolu je spojen s počtem úhlů na obrázku ležícím u jeho základny, např. na obrázku 1 je u základny pětiúhelník, takže hranol je tzv. pětiboký hranol. Ale protože takový hranol má 7 stran, pak to sedmistěn(2 strany - základny hranolu, 5 stran - rovnoběžníky, - jeho boční strany)
Mezi rovnými hranoly vyniká konkrétní typ: pravidelné hranoly.
Přímý hranol se nazývá opravit, pokud jsou jeho základny pravidelné mnohoúhelníky.
Pravidelný hranol má všechny boční strany stejné obdélníky. Zvláštním případem hranolu je rovnoběžnostěn.Rovnoběžné
Rovnoběžné je čtyřboký hranol, na jehož základně leží rovnoběžník (šikmý rovnoběžnostěn). Pravý rovnoběžnostěn- rovnoběžnostěn, jehož boční hrany jsou kolmé k rovinám základny.Obdélníkový rovnoběžnostěn- pravý rovnoběžnostěn, jehož základna je obdélník.
Vlastnosti a věty:
Některé vlastnosti rovnoběžnostěnu jsou podobné známým vlastnostem rovnoběžnostěnu Obdélníkový rovnoběžnostěn, který má stejné rozměry krychle .Krychle má všechny stejné čtverce. Druhá mocnina úhlopříčky je rovna součtu čtverců jejích tří rozměrů
,
kde d je úhlopříčka čtverce;
a je strana čtverce.
Představa hranolu je dána:
- různé architektonické struktury;
- dětské hračky;
- krabice na balení;
- designové předměty atd.
Plocha celkového a bočního povrchu hranolu
Celková plocha hranolu je součtem ploch všech jejích ploch Boční plocha povrchu se nazývá součet ploch jeho bočních ploch. Základny hranolu jsou stejné mnohoúhelníky, pak jsou jejich plochy stejné. ProtoS plný = S strana + 2S hlavní,
Kde S plný- celková plocha, S strana- boční plocha, S základna- základní plocha
Boční plocha rovného hranolu se rovná součinu obvodu základny a výšky hranolu.
S strana= P základní * h,
Kde S strana- plocha boční plochy rovného hranolu,
P hlavní - obvod základny přímého hranolu,
h je výška přímého hranolu, rovna boční hraně.
Objem hranolu
Objem hranolu se rovná součinu plochy základny a výšky.
„Lekce Pythagorova věta“ - Pythagorova věta. Určete typ čtyřúhelníku KMNP. Zahřejte se. Úvod do věty. Určete typ trojúhelníku: Plán lekce: Historická exkurze. Řešení jednoduchých problémů. A najdete žebřík dlouhý 125 stop. Vypočítejte výšku CF lichoběžníku ABCD. Důkaz. Ukaž obrázky. Důkaz věty.
„Objem hranolu“ - Koncept hranolu. Přímý hranol. Objem původního hranolu je roven součinu S · h. Jak zjistit objem přímého hranolu? Hranol lze rozdělit na rovné trojboké hranoly o výšce h. Kreslení výšky trojúhelníku ABC. Řešení problému. Cíle lekce. Základní kroky při dokazování věty o přímém hranolu? Studium věty o objemu hranolu.
„Prism polyhedra“ - Definujte mnohostěn. DABC – čtyřstěn, konvexní mnohostěn. Aplikace hranolů. Kde se používají hranoly? ABCDMP je osmistěn složený z osmi trojúhelníků. ABCDA1B1C1D1 – rovnoběžnostěn, konvexní mnohostěn. Konvexní mnohostěn. Koncept mnohostěnu. Mnohostěn А1А2..АnB1B2..Bn - hranol.
„Prism 10th grade“ – Hranol je mnohostěn, jehož plochy jsou v rovnoběžných rovinách. Použití hranolů v každodenním životě. Strana = Základna + h Pro přímý hranol: Sp.p = Pbas. h + 2Sbas. Nakloněný. Opravit. Rovně. Hranol. Vzorce pro zjištění oblasti. Aplikace hranolu v architektuře. Sp.p = Sstrana + 2Sbase
"Důkaz Pythagorovy věty" - Geometrický důkaz. Význam Pythagorovy věty. Pythagorova věta. Euklidův důkaz. "V pravoúhlém trojúhelníku se čtverec přepony rovná součtu čtverců nohou." Důkaz věty. Význam věty spočívá v tom, že z ní nebo s její pomocí lze odvodit většinu vět o geometrii.
Videokurz „Get an A“ obsahuje všechna témata potřebná k úspěšnému složení jednotné státní zkoušky z matematiky s 60-65 body. Kompletně všechny úkoly 1-13 Profilové jednotné státní zkoušky z matematiky. Vhodné i pro složení Základní jednotné státní zkoušky z matematiky. Pokud chcete složit jednotnou státní zkoušku s 90-100 body, musíte část 1 vyřešit za 30 minut a bezchybně!
Přípravný kurz k jednotné státní zkoušce pro ročníky 10-11 i pro učitele. Vše, co potřebujete k vyřešení 1. části jednotné státní zkoušky z matematiky (prvních 12 úloh) a úlohy 13 (trigonometrie). A to je na Jednotnou státní zkoušku více než 70 bodů a neobejde se bez nich ani stobodový student, ani student humanitních oborů.
Všechny potřebné teorie. Rychlá řešení, úskalí a tajemství jednotné státní zkoušky. Byly analyzovány všechny aktuální úkoly části 1 z FIPI Task Bank. Kurz plně vyhovuje požadavkům jednotné státní zkoušky 2018.
Kurz obsahuje 5 velkých témat, každé 2,5 hodiny. Každé téma je podáno od začátku, jednoduše a jasně.
Stovky úkolů jednotné státní zkoušky. Slovní úlohy a teorie pravděpodobnosti. Jednoduché a snadno zapamatovatelné algoritmy pro řešení problémů. Geometrie. Teorie, referenční materiál, analýza všech typů úkolů jednotné státní zkoušky. Stereometrie. Záludná řešení, užitečné cheat sheets, rozvoj prostorové představivosti. Trigonometrie od nuly k problému 13. Porozumění místo nacpávání. Jasné vysvětlení složitých pojmů. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkce a derivace. Podklad pro řešení složitých problémů 2. části jednotné státní zkoušky.
Mnohostěn
Hlavním předmětem studia stereometrie jsou prostorová tělesa. Tělo představuje část prostoru ohraničenou určitou plochou.
Mnohostěn je těleso, jehož povrch se skládá z konečného počtu plochých mnohoúhelníků. Mnohostěn se nazývá konvexní, pokud se nachází na jedné straně roviny každého rovinného mnohoúhelníku na jeho povrchu. Společná část takové roviny a plocha mnohostěnu se nazývá okraj. Plochy konvexního mnohostěnu jsou ploché konvexní mnohoúhelníky. Strany tváří se nazývají okraje mnohostěnu, a vrcholy jsou vrcholy mnohostěnu.
Například krychle se skládá ze šesti čtverců, které jsou jejími plochami. Obsahuje 12 hran (strany čtverců) a 8 vrcholů (horní části čtverců).
Nejjednoduššími mnohostěny jsou hranoly a jehlany, které budeme dále studovat.
Hranol
Definice a vlastnosti hranolu
Hranol je mnohostěn sestávající ze dvou plochých mnohoúhelníků ležících v rovnoběžných rovinách kombinovaných paralelním posunem a všech segmentů spojujících odpovídající body těchto mnohoúhelníků. Polygony se nazývají hranolové základny, a segmenty spojující odpovídající vrcholy polygonů jsou boční hrany hranolu.
Výška hranolu se nazývá vzdálenost mezi rovinami jejích základen (). Úsek spojující dva vrcholy hranolu, které nepatří ke stejné ploše, se nazývá hranolová úhlopříčka(). Hranol se nazývá n-uhlík, pokud jeho základna obsahuje n-úhelník.
Každý hranol má následující vlastnosti, které vyplývají ze skutečnosti, že základny hranolu jsou spojeny paralelním posunem:
1. Základny hranolu jsou stejné.
2. Boční okraje hranolu jsou rovnoběžné a stejné.
Povrch hranolu tvoří základny a boční povrch. Boční plochu hranolu tvoří rovnoběžníky (vyplývá to z vlastností hranolu). Plocha boční plochy hranolu je součtem ploch bočních ploch.
Přímý hranol
Hranol se nazývá řídit, jsou-li jeho boční hrany kolmé k podstavám. Jinak se nazývá hranol nakloněný.
Plochy pravého hranolu jsou obdélníky. Výška rovného hranolu se rovná jeho bočním plochám.
Plný hranolový povrch se nazývá součet plochy bočního povrchu a ploch základen.
Se správným hranolem nazývaný pravý hranol s pravidelným mnohoúhelníkem ve své základně.
Věta 13.1. Plocha boční plochy rovného hranolu se rovná součinu obvodu a výšky hranolu (nebo, která je stejná, boční hrany).
Důkaz. Boční strany pravého hranolu jsou obdélníky, jejichž základnami jsou strany mnohoúhelníků na základnách hranolu a výškami jsou boční hrany hranolu. Potom, podle definice, plocha bočního povrchu je:
,
kde je obvod podstavy přímého hranolu.
Rovnoběžné
Pokud rovnoběžníky leží na základnách hranolu, pak se nazývá rovnoběžnostěn. Všechny strany rovnoběžnostěnu jsou rovnoběžníky. V tomto případě jsou protilehlé strany rovnoběžnostěnu rovnoběžné a stejné.
Věta 13.2. Úhlopříčky rovnoběžnostěnu se protínají v jednom bodě a jsou rozděleny na polovinu průsečíkem.
Důkaz. Uvažujme například dvě libovolné úhlopříčky a . Protože strany rovnoběžnostěnu jsou rovnoběžníky, pak a , což znamená, že podle To jsou dvě přímky rovnoběžné s třetí. Navíc to znamená, že přímky a leží ve stejné rovině (rovině). Tato rovina protíná rovnoběžné roviny a podél rovnoběžných čar a . Čtyřúhelník je tedy rovnoběžník a díky vlastnosti rovnoběžníku se jeho úhlopříčky protínají a dělí na polovinu průsečíkem, což bylo potřeba dokázat.
Pravý rovnoběžnostěn, jehož základna je obdélník, se nazývá pravoúhlý rovnoběžnostěn. Všechny plochy pravoúhlého hranolu jsou obdélníky. Délky nerovnoběžných hran pravoúhlého rovnoběžnostěnu se nazývají jeho lineární rozměry (kóty). Existují tři takové velikosti (šířka, výška, délka).
Věta 13.3. V pravoúhlém rovnoběžnostěnu se čtverec jakékoli úhlopříčky rovná součtu čtverců jeho tří rozměrů (prokázáno dvojitou aplikací pythagorejského T).
Pravoúhlý rovnoběžnostěn se všemi hranami stejnými se nazývá krychle.
Úkoly
13.1 Kolik má úhlopříček? n-uhlíkový hranol
13.2 V nakloněném trojúhelníkovém hranolu jsou vzdálenosti mezi bočními hranami 37, 13 a 40. Najděte vzdálenost mezi větší boční hranou a protilehlou boční hranou.
13.3 Stranou spodní základny pravidelného trojúhelníkového hranolu je nakreslena rovina, která protíná boční plochy podél segmentů pod úhlem mezi nimi. Najděte úhel sklonu této roviny k základně hranolu.
Hranol. Rovnoběžné
Hranol je mnohostěn, jehož dvě plochy jsou stejných n-úhelníků (základy) , ležící v rovnoběžných rovinách a zbývajících n ploch jsou rovnoběžníky (boční strany) . Postranní žebro Strana hranolu, která nepatří k podložce, se nazývá strana hranolu.
Nazývá se hranol, jehož boční hrany jsou kolmé k rovinám podstav řídit hranol (obr. 1). Pokud boční hrany nejsou kolmé k rovinám podstav, pak se nazývá hranol nakloněný . Opravit Hranol je pravý hranol, jehož základnami jsou pravidelné mnohoúhelníky.
Výška hranol je vzdálenost mezi rovinami podstav. Úhlopříčka Hranol je úsečka spojující dva vrcholy, které nepatří ke stejné ploše. Diagonální řez se nazývá řez hranolem rovinou procházející dvěma bočními hranami, které nepatří ke stejné ploše. Kolmý řez se nazývá řez hranolem rovinou kolmou k boční hraně hranolu.
Boční plocha povrchu hranolu je součet ploch všech bočních ploch. Celková plocha povrchu se nazývá součet ploch všech ploch hranolu (tj. součet ploch bočních ploch a ploch podstav).
Pro libovolný hranol platí následující vzorce::
Kde l– délka bočního žebra;
H- výška;
P
Q
S strana
S plný
S základna- plocha základen;
PROTI– objem hranolu.
Pro přímý hranol jsou správné následující vzorce:
Kde p– obvod základny;
l– délka bočního žebra;
H- výška.
rovnoběžnostěn tzv. hranol, jehož základnou je rovnoběžník. Kvádr, jehož boční hrany jsou kolmé k základnám, se nazývá řídit (obr. 2). Pokud boční hrany nejsou kolmé k základnám, pak se nazývá rovnoběžnostěn nakloněný . Pravý rovnoběžnostěn, jehož základna je obdélník, se nazývá obdélníkový. Pravoúhlý rovnoběžnostěn se všemi hranami stejnými se nazývá krychle
Nazývají se plochy rovnoběžnostěnu, které nemají společné vrcholy naproti . Délky hran vycházejících z jednoho vrcholu se nazývají měření rovnoběžnostěn. Protože hranol je hranol, jeho hlavní prvky jsou definovány stejným způsobem, jako jsou definovány pro hranoly.
Věty.
1. Úhlopříčky kvádru se protínají v jednom bodě a půlí jej.
2. V pravoúhlém rovnoběžnostěnu se čtverec délky úhlopříčky rovná součtu čtverců jeho tří rozměrů:
3. Všechny čtyři úhlopříčky pravoúhlého rovnoběžnostěnu jsou si navzájem rovné.
Pro libovolný rovnoběžnostěn platí následující vzorce:
Kde l– délka bočního žebra;
H- výška;
P– obvod kolmého řezu;
Q– Kolmá plocha průřezu;
S strana– boční plocha;
S plný– celková plocha;
S základna- plocha základen;
PROTI– objem hranolu.
Pro pravý rovnoběžnostěn jsou správné následující vzorce:
Kde p– obvod základny;
l– délka bočního žebra;
H– výška pravého rovnoběžnostěnu.
Pro pravoúhlý rovnoběžnostěn jsou správné následující vzorce:
(3)
Kde p– obvod základny;
H- výška;
d– diagonální;
a,b,c– měření rovnoběžnostěnu.
Následující vzorce jsou správné pro kostku:
Kde A– délka žebra;
d- úhlopříčka krychle.
Příklad 1Úhlopříčka obdélníkového hranolu je 33 dm a jeho rozměry jsou v poměru 2 : 6 : 9. Najděte rozměry kvádru.
Řešení. Pro zjištění rozměrů rovnoběžnostěnu použijeme vzorec (3), tzn. tím, že druhá mocnina přepony kvádru je rovna součtu druhých mocnin jeho rozměrů. Označme podle k faktor proporcionality. Pak se rozměry rovnoběžnostěnu budou rovnat 2 k, 6k a 9 k. Napišme vzorec (3) pro data problému:
Řešení této rovnice pro k, dostaneme:
To znamená, že rozměry kvádru jsou 6 dm, 18 dm a 27 dm.
Odpověď: 6 dm, 18 dm, 27 dm.
Příklad 2 Najděte objem nakloněného trojúhelníkového hranolu, jehož základna je rovnostranný trojúhelník o straně 8 cm, pokud je boční hrana rovna straně základny a je skloněna pod úhlem 60º k základně.
Řešení . Udělejme nákres (obr. 3).
Abyste našli objem nakloněného hranolu, musíte znát plochu jeho základny a výšku. Plocha základny tohoto hranolu je plocha rovnostranného trojúhelníku o straně 8 cm.
Výška hranolu je vzdálenost mezi jeho základnami. Z vrcholu A 1 horní základny, spusťte kolmici k rovině spodní základny A 1 D. Jeho délka bude výška hranolu. Zvažte D A 1 INZERÁT: protože se jedná o úhel sklonu boční hrany A 1 A do základní roviny, A 1 A= 8 cm Z tohoto trojúhelníku najdeme A 1 D:
Nyní vypočítáme objem pomocí vzorce (1):
Odpověď: 192 cm 3.
Příklad 3 Boční hrana pravidelného šestibokého hranolu je 14 cm Plocha největší diagonální části je 168 cm2. Najděte celkovou plochu hranolu.
Řešení. Udělejme nákres (obr. 4)
Největší diagonální řez je obdélník A.A. 1 DD 1 od úhlopříčky INZERÁT pravidelný šestiúhelník ABCDEF je největší. Aby bylo možné vypočítat boční plochu hranolu, je nutné znát stranu základny a délku boční hrany.
Když známe plochu diagonální části (obdélník), najdeme úhlopříčku základny.
Od té doby
Od té doby AB= 6 cm.
Potom je obvod základny:
Najděte oblast bočního povrchu hranolu:
Plocha pravidelného šestiúhelníku se stranou 6 cm je:
Najděte celkový povrch hranolu:
Odpověď:
Příklad 4. Základem pravého rovnoběžnostěnu je kosočtverec. Diagonální průřezy jsou 300 cm2 a 875 cm2. Najděte plochu bočního povrchu rovnoběžnostěnu.
Řešení. Udělejme nákres (obr. 5).
Označme stranu kosočtverce pomocí A, úhlopříčky kosočtverce d 1 a d 2, výška rovnoběžnostěnu h. Chcete-li najít plochu bočního povrchu pravého rovnoběžnostěnu, je nutné vynásobit obvod základny výškou: (vzorec (2)). Obvod základny p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, protože ABCD- kosočtverec H = AA 1 = h. Že. Je potřeba najít A A h.
Uvažujme diagonální řezy. AA 1 SS 1 – obdélník, jehož jedna strana je úhlopříčka kosočtverce AC = d 1, druhý – boční okraj AA 1 = h, Pak
Podobně pro oddíl BB 1 DD 1 dostaneme:
Pomocí vlastnosti rovnoběžníku takové, že součet čtverců úhlopříček je roven součtu čtverců všech jeho stran, získáme rovnost. Získáme následující.