Чистый денежный поток npv. Чистый дисконтированный доход: понятие и расчет
Раскроем такое понятие как чистый дисконтированный доход (NPV) инвестиционного проекта, дадим определение и экономический смысл, на реальном примере рассмотрим расчет NPV в Excel, а также рассмотрим модификацию данного показателя (MNPV).
Чистый дисконтированный доход (NPV, Net Present Value, чистая текущая стоимость, чистая дисконтированная стоимость) – показывает эффективность вложения в инвестиционный проект: величину денежного потока в течение срока его реализации и приведенную к текущей стоимости (дисконтирование).
Чистый дисконтированный доход. Формула расчета
где: NPV – чистый дисконтированный доход инвестиционного проекта;
CF t (Cash Flow ) – денежный поток в период времени t;
IC (Invest Capital ) – инвестиционный капитал, представляет собой затраты инвестора в первоначальный временном периоде;
r – ставка дисконтирования (барьерная ставка).
Принятие инвестиционных решений на основе критерия NPV
Показатель NPV является одним из самых распространенных критериев оценки инвестиционных проектов. Рассмотрим в таблице, какие решения могут быть приняты при различном значении NPV.
Расчет и прогнозирование будущего денежного потока (CF) в Excel
Денежный поток представляет собой количество денежных средств, которым располагает компания/предприятие в данный момент времени. Денежный поток отражает финансовую устойчивость компании. Для расчета денежного потока необходимо из притока денежных (CI, Cash Inflows ) средств отнять отток (CO, Cash Outflows ) , формула расчета будет выглядеть следующим образом:
Определение будущего денежного потока инвестиционного проекта очень важно, поэтому рассмотрим один из методов прогнозирования с помощью программы MS Excel. Статистическое прогнозирование денежных потоков возможно только в том случае если инвестиционный проект уже существует и функционирует. То есть денежные средства необходимы для увеличения его мощности или его масштабирования. Хочется заметить, что если проект венчурный и не имеет статистических данных по объемам производства, продажам, затратам, то для оценки будущего денежного дохода используют экспертный подход. Эксперты соотносят данный проект с аналогами в данной сфере (отрасли) и оценивают потенциал возможного развития и возможных денежных поступлений.
При прогнозировании объемов будущих поступлений необходимо определить характер зависимости между влиянием различных факторов (формирующих денежные поступления) и самого денежного потока. Разберем простой пример прогнозирования будущих денежных поступлений по проекту в зависимости от затрат на рекламу. Если между данными показателями наблюдается прямая взаимосвязь, то можно спрогнозировать какие будут денежные поступления в зависимости от затрат, с помощью линейной регрессии в Excel и функции «ТЕНДЕНЦИЯ». Для этого запишем следующую формулу для затрат на рекламу в 50 руб.
Денежный поток (CF). В12=ТЕНДЕНЦИЯ(B4:B11;C4:C11;C12)
Размер будущего денежного потока будет составлять 4831 руб. при затратах на рекламу в 50 руб. В реальности на определение размера будущих поступлений влияет намного большее количество факторов, которые следует отбирать по степени влияния и их взаимосвязи между собой с помощью корреляционного анализа.
Определение ставки дисконтирования (r) для инвестиционного проекта
Расчет ставки дисконтирования является важной задачей в расчете текущей стоимости инвестиционного проекта. Ставка дисконтирования представляет собой альтернативную доходность, которую мог бы получить инвестор. Одна из самых распространенных целей определения ставки дисконтирования – оценка стоимости компании.
Для оценки ставки дисконтирования используют такие методы как: модель CAPM, WACC, модель Гордона, модель Ольсона, модель рыночных мультипликаторов Е/Р, рентабельность капитала, модель Фамы и Френча, модель Росса (АРТ), экспертная оценка и т.д. Существует множество методов и их модификаций для оценки ставки дисконта. Рассмотрим в таблице преимущества и исходные данные, которые используются для расчета.
Методы | Преимущества | Исходные данные для расчета |
Модель CAPM | Учет влияния рыночного риска на ставку дисконтирования | |
Модель WACC | Возможность учесть эффективность использования как собственного, так и заемного капитала | Котировки обыкновенных акций (биржа ММВБ), процентные ставки по заемному капиталу |
Модель Гордона | Учет дивидендной доходности | Котировки обыкновенных акций, дивидендные выплаты (биржа ММВБ) |
Модель Росса | Учет отраслевых, макро и микро факторов, определяющих ставку дисконтирования | Статистика по макроиндикаторам (Росстат) |
Модель Фамы и Френча | Учет влияния на ставку дисконтирования рыночных рисков, размера компании и ее отраслевой специфики | Котировки обыкновенных акций (биржа ММВБ) |
На основе рыночных мультипликаторов | Учет всех рыночных рисков | Котировки обыкновенных акций (биржа ММВБ) |
На основе рентабельности капитала | Учет эффективность использования собственного капитала | Бухгалтерский баланс |
На основе оценки экспертов | Возможность оценки венчурных проектов и различных трудно формализуемых факторов | Экспертные оценки, рейтинговые и бальные шкалы |
Изменение ставки дисконтирования нелинейно влияет на изменение величины чистого дисконтированного дохода, данная зависимость показана на рисунке ниже. Поэтому необходимо при выборе инвестиционного проекта не только сравнивать значения NPV, но и характер изменения NPV при различных значениях ставки. Анализ различных сценариев позволяет выбрать менее рискованный проект.
Расчет чистого дисконтированного дохода (NPV) с помощью Excel
Рассчитаем чистый дисконтированный доход с помощью программы Excel. На рисунке ниже представлена таблица изменения будущих денежных потоков и их дисконтирование. Итак, нам необходимо определить ставку дисконтирования для венчурного инвестиционного проекта. Так как у него отсутствуют выпуски обыкновенных акций, нет дивидендных выплат, нет оценок рентабельности собственного и заемного капитала, то будем использовать метод экспертных оценок. Формула оценки будет следующая:
Ставка дисконтирования = Безрисковая ставка + Поправка на риск;
Возьмем безрисковую ставку равную процентам по безрисковым ценным бумагам (ГКО, ОФЗ данные процентные ставки можно посмотреть на сайте ЦБ РФ, cbr.ru) равную 5%. И поправки на отраслевой риск, риск влияния сезонности на продажи и кадровый риск. В таблице ниже приведены оценки поправок с учетом выделенных данных видов риска. Данные риски были выделены экспертным путем, поэтому при выборе эксперта необходимо уделять пристальное внимание.
Виды риска | Поправка на риск |
Риск влияния сезонности на продажи | 5% |
Отраслевой риск | 7% |
Кадровый риск | 3% |
15% | |
Безрисковая процентная ставка | 5% |
Итого: | 20% |
В итоге сложив все поправки на риск, влияющий на инвестиционный проект, ставка дисконтирования будет составлять = 5 + 15=20%.После расчета ставки дисконтирования необходимо рассчитать денежные потоки и их дисконтировать.
Два варианта расчета чистого дисконтированного дохода NPV
Первый вариант расчета чистого дисконтированного дохода состоит из следующих шагов:
- В колонке «В» отражение первоначальных инвестиционных затрат = 100 000 руб.;
- В колонке «С» отражаются все будущие планируемые денежные поступления по проекту;
- В колонке «D» записывается все будущие денежные расходы;
- Денежный поток CF (колонка «E»). E7= C7-D7;
- Расчет дисконтированного денежного потока. F7=E7/(1+$C$3)^A7
- Расчет дисконтированного дохода (NPV) минус первоначальные инвестиционные затраты (IC). F16 =СУММ(F7:F15)-B6
Второй вариант расчета чистого дисконтированного дохода заключается в использовании встроенной в Excel финансовой функции ЧПС (чистая приведенная стоимость). Расчет чистой приведенной стоимости проекта за минусом первоначальных инвестиционных затрат. F17=ЧПС($C$3;E7;E8;E9;E10;E11;E12;E13;E14;E15)-B6
На рисунке ниже показаны полученные расчеты чистого дисконтированного дохода. Как мы видим итоговый результат расчета совпадает.
Модификация чистого дисконтированного дохода MNPV (Modified Net Present Value)
Помимо классической формулы чистого дисконтированного дохода финансисты/инвесторы иногда на практике используют ее модификацию:
MNPV – модификация чистого дисконтированного дохода;
CF t – денежный поток в период времени t;
I t – отток денежных средств в периоде времени t;
r – ставка дисконтирования (барьерная ставка);
d – уровень реинвестирования, процентная ставка показывающая возможные доходы от реинвестирования капитала;
n – количество периодов анализа.
Как мы видим, главное отличие от простой формулы заключается в возможности учета доходности от реинвестирования капитала. Оценка инвестиционного проекта с использование данного критерия имеет следующий вид:
Достоинства и недостатки метода оценки чистого дисконтированного дохода
Проведем сравнение между достоинствами показателя NPV и MNPV. К достоинствам использования данных показателей можно отнести:
- Четкие границы выбора и оценки инвестиционной привлекательности проекта;
- Возможность учета в формуле (ставке дисконтирования) дополнительных рисков по проекту;
- Использования ставки дисконтирования для отражения изменения стоимости денег во времени.
К недостаткам чистого дисконтированного дохода можно отнести следующие:
- Трудность оценки для сложных инвестиционных проектов, которые включают в себя множество рисков;
- Сложность точного прогнозирования будущих денежных потоков;
- Отсутствие влияния нематериальных факторов на будущую доходность (нематериальные активы).
Резюме
Несмотря на ряд недостатков, показатель чистого дисконтированного дохода является ключевым в оценке инвестиционной привлекательности проекта, сравнении его с аналогами и конкурентами. В добавок к оценке NPV для более четкой картины, необходимо рассчитать такие инвестиционные коэффициенты как IRR и DPI.
Рассмотрим теперь дисконтированные критерии, которые дают возможность избавиться от основного недостатка простых методов оценки - невозможности учета ценности будущих денежных поступлений по отношению к текущему периоду времени и, таким образом, получить корректные оценки эффективности проектов, особенно связанных с долгосрочными вложениями.
В мировой практике в настоящее время наиболее употребимы следующие дисконтированные критерии:
- Чистая текущая стоимость (net present value) NPV
- Индекс прибыльности (Profitability index) PI
- Отношение выгод к затратам (benefit/cost ratio) B/C ratio
- Внутренняя норма доходности или прибыльность проекта (internal rate of return) IRR
- Период окупаемости (payback period) PB
Введем дополнительные обозначения:
Bt
- выгоды проекта в год t
Ct
- затраты проекта в год t
t = 1 ... n
- годы жизни проекта
1. Чистая текущая стоимость
Инвестору следует отдавать предпочтение только тем проектам, для которых NPV имеет положительное значение. Отрицательное же значение свидетельствует о неэффективности использования денежных средств: норма доходности меньше необходимой.
Из приведенного выше выражения ясно, что абсолютная величина чистого приведенного дохода зависит от двух видов параметров. Первый характеризует инвестиционный процесс объективно и определяются производственным процессом. Ко второму виду следует отнести ставку дисконтирования.
Проанализируем зависимость NPV от ставки r для случая, когда вложения осуществляются в начале процесса, а отдача примерно равномерная. Когда ставка сравнения достигает некоторого значения r* , эффект инвестиций оказывается нулевым. Любая ставка, меньшая, чем r* , соответствует положительной оценке NPV (см. след. рис.).
При высоком уровне ставки отдельные платежи оказывают малое влияние на NPV . В силу этого различные по продолжительности периодов отдачи варианты могут оказаться практически равноценными по конечному экономическому эффекту. В то же время ясно, что при всех прочих равных условиях проект с более длительным периодом поступлений доходов предпочтительней. В связи с необходимостью учета этого фактора в финансовой литературе обсуждаются некоторые дополнительные показатели, которые базируются на различных подходах к двум частям потока поступлений - в пределах срока окупаемости и за этими пределами. Те поступления, которые охватываются сроком окупаемости, рассматриваются как покрытие инвестиций, остальные поступления считаются чистым доходом и на них дисконтирование не распространяется. Трудно найти какие-либо экономические обоснования для такой трактовки. Налицо лишь стремление усилить важность второй части потока платежей. С таким же успехом, вероятно, усиление второй части можно было бы достичь и иным путем, например, умножая на какой-либо коэффициент и т.д. Дальнейшая модификация идет по линии еще большего внесения в методики расчета субъективных элементов. Так, теперь уже встречаются утверждения, что деление потока поступлений на основе срока окупаемости вовсе не обязательно. Это деление может осуществляться и любым иным путем. В частности, предлагается просто выделять первые семь лет инвестиционного процесса.
Одним из основных факторов, определяющих величину чистой текущей стоимости проекта, безусловно, является масштаб деятельности, проявляющийся в "физических" объемах инвестиций, производства или продаж. Отсюда вытекает естественное ограничение на применение данного метода для сопоставления различающихся по этой характеристике проектов: большее значение NPV не всегда будет соответствовать более эффективному варианту капиталовложений.
Таким образом, при всех достоинствах этот критерий не позволяет сравнивать проекты с одинаковой NPV , но разной капиталоемкостью. В таких случаях можно использовать следующий критерий:
Индекс прибыльности (profitability index, PI) показывает относительную прибыльность проекта, или дисконтированную стоимость денежных поступлений от проекта в расчете на единицу вложений. Он рассчитывается путем деления чистых приведенных поступлений от проекта на стоимость первоначальных вложений:
где: NPV
- чистые приведенные денежные потоки проекта ();
Со
- первоначальные затраты.
Критерий принятия проекта совпадает с критерием, основанным на NPV , (PI>0) , однако, в отличие от NPV , PI показывает эффективность вложений. Так для двух проектов, В1 =$1000, С1 =$990 и B2 =$100, С2 =$90 (без учета дисконтирования) NPV одинаково и равно $10, а PI соответственно равно 1% и 10%. Проекты с большим значением индекса прибыльности являются к тому же более устойчивыми. Так в нашем примере 5% рост издержек делает первый проект убыточным, в то время, как второй остается прибыльным.
Однако не следует забывать, что очень большие значение индекса прибыльности не всегда соответствуют высокому значению NPV и наоборот. Дело в том, что имеющие высокую чистую текущую стоимость проекты не обязательно эффективны, а значит имеют весьма небольшой индекс прибыльности.
3. Отношение выгоды/затраты
Отношение выгоды/затраты или прибыли/издержки (Benefits to Costs Ratio) рассчитывается по следующей формуле и показывает частное от деления дисконтированного потока выгод на дисконтированный поток затрат
где: Bt
- выгоды в год t
;
Ct
- затраты в год t
;
r
- норма дисконта;
t
- год осуществления проекта.
Если B/Cratio больше единицы, то доходность проекта выше, чем требуемая инвесторами, и проект считается привлекательным.
Этот показатель может быть использован для демонстрации того, насколько возможно увеличение затрат без превращения проекта в экономически непривлекательное предприятие. Так, значение данного показателя, равное 1.05, показывает, что при росте затрат на 6% значение индекса прибыльности упадет ниже точки самоокупаемости, которая равна 1.00. Таким образом, становится возможным быстро оценить воздействие на результаты проекта экономического и финансового рисков.
При выборе критерия инвесторы хотят быть уверенными в том, что он даст точную оценку проекта и правильно ранжирует альтернативы.
Во многих случаях NPV и B/Cratio одинаково выбирают лучший из двух проектов. Однако в некоторых ситуациях при выборе одной из нескольких альтернатив данные методы дают противоречивые результаты.
На графике, где по осям откладываются приведенные стоимости издержек и доходов найдем точки, соответствующие проектам с равными значениями NPV и B/Cratio
График 1 Выбор проекта при бюджетном ограничении
Если оцениваются проекты в условиях строгого бюджетного ограничения С=С* , то не возникает никаких проблем. Границы эффективности совпадают для обоих критериев (NPV = 0 B/Cratio = 1). Проекты лежащие выше на вертикальной линии имеют большую доходность; М предпочитается L и уступает N ,
График 2 Противоречия NPV и B/Cratio
Если же сравниваются проекты с разными издержками, возникают противоречия между упорядочениями по разным критериям. Так, по отношению доходы/издержки L>N>M. Однако NPV проектов L и М равны, а у проекта N даже выше, то есть N>M=N. Такой парадокс заставляет задуматься над выбором критериев для ранжирования.
Вывод: данные два критерия зачастую эквивалентны. Однако метод NPV предпочтителен при сравнении взаимно исключающих проектов при неограниченном финансировании.
Очевидно, что выбор ставки дисконтирования при подсчете NPV , B/C ratio и PI оказывает значительное влияние на итоговый результат расчета, а следовательно, и на его интерпретацию. Величина ставки дисконтирования, вообще говоря, зависит от темпа инфляции, минимальной реальной нормы прибыли и степени инвестиционного риска. (Минимальной нормой прибыли считается наименьший гарантированный уровень доходности на рынке капиталов, то есть нижняя граница стоимости капитала.) В качестве приближенного значения ставки дисконтирования можно использовать существующие усредненные процентные ставки по долгосрочным банковским кредитам.
4. Внутренняя норма рентабельности (Internal Rate of Return)
Очень интересным является значение процентной ставки r*, при котором NPV =0. В этой точке дисконтированный поток затрат равен дисконтированному потоку выгод. Она имеет конкретный экономический смысл дисконтированной "точки безубыточности" и называется внутренней нормой рентабельности, или, сокращенно, IRR . Этот критерий позволяет инвестору данного проекта оценить целесообразность вложения средств. Если банковская учетная ставка больше IRR , то, по-видимому, положив деньги в банк, инвестор сможет получить большую выгоду.
Возвращаясь к графику на предшествующем рисунке, видно, что r* - есть не что иное, как IRR . Если капиталовложения осуществляются только за счет привлеченных средств, причем кредит получен по ставке i , то разность (r* - i ) показывает эффект инвестиционной (предпринимательской) деятельности. при r*=i доход только окупает инвестиции (инвестиции бесприбыльны), при r* инвестиции убыточны.
Еще один вариант интерпретации состоит в трактовке внутренней нормы прибыли как предельного уровня доходности (окупаемости) инвестиций, что может быть критерием целесообразности дополнительных капиталовложений в проект.
За рубежом часто расчет IRR применяют в качестве первого шага количественного анализа капиталовложений. Для дальнейшего анализа отбирают те инвестиционные проекты, IRR которых оценивается величиной не ниже 10-20%.
Внутренняя ставка дохода от проектов, принятых для финансирования, варьируется в зависимости от отрасли экономики и от того, является проект частным или государственным предприятием. Имеются две причины такого положения. Во-первых, различны степени риска. Так, например, разведка полезных ископаемых - более рискованное предприятие, чем орошаемое земледелие, и поэтому инвесторы в горнорудный проект могут потребовать более высокой ставки дохода для компенсации большего риска, которому они подвергаются по сравнению с инвесторами в сельскохозяйственное предприятие. Во-вторых, частные инвесторы, как правило, преследуют только свои интересы при выборе объекта для инвестирования и требуют порой гораздо больший уровень нормы прибыли, нежели государство, осуществляющее социальные задачи.
Точный расчет величины IRR возможен только при помощи компьютера, однако возможен приближенный расчет IRR , и мы рассмотрим его на конкретном примере.
Пример:
Инвестор вложил в строительство предприятия по производству авиалайнеров 12 млн. долларов. Планируемые ежегодные поступления (выгоды) составят:
1 год - 4 млн. долларов
2 год - 6 млн. долларов
3 год - 8 млн. долларов
4 год - 3 млн. долларов
Определим внутреннюю норму рентабельности проекта.
Ставка процента 10% |
Приведенные поступления |
Ставка процента 20% |
Приведенные поступления |
Ставка процента 30% |
Приведенные поступления |
|
Как следует из примера, чистая приведенная стоимость (NPV ) имела положительное значение при ставках дисконтирования 10% и 20%. При ставке дисконтирования 30% NPV является отрицательной величиной. Следовательно, значение внутреннего коэффициента рентабельности находится в диапазоне между 20 и 30 процентами, причем ближе к 30%. Наглядно это можно представить на графике (см. след. рис.). Точка пересечения линии и оси абсцисс будет соответствовать значению IRR .
Кроме того, значение этого критерия (IRR ) можно найти на основании применения формулы, известной из теории аналитической геометрии, которая в наших обозначениях приведена ниже:
Подставляя соответствующие значения показателей получаем: IRR = 26,98%
Разработаны приемы расчета IRR , в том числе компьютерные, основанные на итеративном приближении с помощью линеаризации к точке r*. Ряд электронных таблиц (например, программный пакет Lotus 123 , Exel, QPRO ) позволяет, задав "местоположение" денежного потока, исчислить соответствующее значение NPV (при известной r ) и IRR .
Обобщим все вышеизложенное:
Во-первых, значение IRR может трактоваться как нижний гарантированный уровень прибыльности инвестиционного проекта. Таким образом, если IRR превышает среднюю стоимость капитала (например, ставку по долгосрочным банковским активам) в данной отрасли и с учетом инвестиционного риска данного проекта, то проект можно считать привлекательным.
С другой стороны, внутренняя норма рентабельности определяет максимальную ставку платы за привлекаемые источники финансирования проекта, при которой последний остается безубыточным. При оценке эффективности общих инвестиционных затрат, например, это может быть максимальная ставка по кредитам.
И, наконец, внутреннюю норму прибыли иногда рассматривают как предельный уровень доходности инвестиций, что может быть критерием целесообразности дополнительных вложений в проект.
К достоинствам этого критерия можно отнести объективность, независимость от абсолютного размера инвестиций, оценку относительной прибыльности проекта, информативность. Кроме того, он легко может быть приспособлен для сравнения проектов с различными уровнями риска: проекты с большим уровнем риска должны иметь большую внутреннюю норму доходности. Однако у него есть и недостатки: сложность "безкомпьютерных" расчетов и возможная объективность выбора нормативной доходности, большая зависимость от точности оценки будущих денежных потоков.
Критерии NPV , IRR и PI , наиболее часто применяемые в инвестиционном анализе, являются фактически разными версиями одной и той же концепции, и поэтому их результаты связаны друг с другом. Таким образом, можно ожидать выполнения следующих математических соотношений для одного проекта:
Если NPV
>0, то PI
>1 и IRR
>r
Если NPV
<0, то PI
<1 и IRR
где r - требуемая норма доходности (альтернативная стоимость капитала).
При работе по указанным критериям у аналитиков иногда возникают некоторые проблемы, решение которых лежит вне инструментария расчетов.
Например,
а) для вычисления NPV и PB необходимо заранее определить величину процентной ставки;
б) некоторые виды денежных потоков могут иметь вид, изображаемый следующим рисунком:
т.е. несколько значений IRR в ходе проектного цикла (причины этого явления могут крыться в процессах реинвестирования), что усложняет сравнение r1*, r2*, r3* и т. д. с банковской учетной ставкой. Естественно использовать для этого наименьшее значение из всего полученного ряда;
в) в процессе расчетов NPV для альтернативных проектов необходимо дисконтировать строго к одному и тому же моменту времени.
Вообще говоря, часто встает вопрос о необходимости человеко-машинного способа принятия решения в отношении альтернативных проектов. Однако, эксперт должен четко представлять возможные последствия принимаемых им решений.
Сравнение проектов с целью принятия правильных инвестиционных решений является самой сложной проблемой в планировании развития предприятия. Хотя достаточно часто рассмотренные критерии оценки эффективности инвестиционных проектов дают сходное ранжирование проектов по степени привлекательности, тем не менее упорядочения по разным критериям, а, взаимно исключающими проектами. Таким образом, конфликты между различными критериями требуют более подробного рассмотрения.
Критерии эффективности инвестиционных проектов, как и любые модели, основаны на определенных предпосылках. Рассмотрим основные (J.Clarc "Capital Budgeting and Control of Capital Expenditures", 1980):
1. Уровень риска рассматриваемых проектов соответствует среднему уровню риска фирмы в целом.
2. Затраты на капитал постоянны во времени и не зависят от объема инвестиций в проект.
3. Инвестиционные возможности независимы. Не существует никаких связей между рассматриваемыми проектами (т.е. они не являются взаимоисключающими, дополняющими или зависимыми), и денежные потоки любой пары проектов некоррелируемы.
4. Ставка процента, по которой фирма занимает капитал на рынках капитала, равна ставке, которую она может получить, инвестируя свой капитал на этих рынках.
5. Существует "совершенный" рынок капитала, что означает:
а) никто не обладает достаточной властью для влияния на цены;
б) любой участник может взять или дать взаймы столько, сколько захочет, не оказывая влияния на цены;
в) трансакционные издержки равны нулю;
г) все участники имеют свободный доступ к информации;
д) капитал неограничен.
6. Инвестиционные решения независимы от потребительских.
Кроме названных предположений, необходимо отметить, что критерий IRR неявным образом подразумевает, что денежные поступления в течение функционирования проекта могут быть реинвестированы по ставке, равной IRR , в то время как использование NPV и PI предполагает, что эти промежуточные денежные поступления реинвестируются по ставке, равной требуемой норме доходности или затратам на капитал. Кроме того, PI измеряет продисконтированные денежные поступления в расчете на один доллар денежных оттоков, а NPV измеряет абсолютную величину разницы между продисконтированными денежными поступлениями и платежами.
Однако вышеназванные предпосылки на практике могут не выполняться. Конфликты в ранжировании взаимоисключающих инвестиционных проектов между NPV , IRR и PI могут возникнуть, таким образом, из-за различных предположений о реинвестициях и из-за разницы между абсолютным денежным значением, измеряемым NPV , и относительной прибыльностью на доллар продисконтированных денежных оттоков, измеряемых PI. В частности, конфликты между этими критериями могут возникать при наличии (J.Clarc "Capital Budgeting..."):
а) несоответствия объемов денежных оттоков, необходимых для реализации рассматриваемых взаимоисключающих проектов;
в) несоответствия во времени денежных поступлений, генерируемых рассматриваемыми взаимоисключающими проектами;
При этом необходимо подчеркнуть, что для возникновения конфликта между NPV , IRR и PI необходимо иметь два или более взаимоисключающих проекта, так как при рассмотрении единственного инвестиционного проекта с традиционной схемой денежных потоков все три критерия будут давать сходные результаты.
Действительно, рассмотрим пример гипотетического традиционного инвестиционного проекта и рассчитаем NPV для разных ставок дисконтирования.
Денежные потоки ($) |
|
Ставка процента, % |
NPV, $ |
Допустим, что требуемая норма доходности (затраты на капитал) равна 15%. При этом NPV =$427.49, что говорит о привлекательности проекта. Это значит, что и PI обязательно будет больше единицы, т.к. PI = (discounted cash inflows)/(discounted cash outflows), NPV = discounted cash inflows - discounted cash outflows. Действительно, NPV = $1427.49 - $1000 = $ 427.49, а PI = $1427.49/$1000 = 1.427. Далее, так как NPV при ставке, равной требуемой норме доходности, положительна, то IRR должна превышать требуемую норму доходности, так как приравнять NPV к нулю можно лишь с помощью более высокой ставки дисконтирования. Для нашего проекта IRR немногим меньше 35%. Таким образом, по всем трем категориям следует принять проект.
Однако даже наличие двух или более взаимоисключающих проектов и одного из вышеперечисленных несоответствий не гарантирует обязательное существование конфликта между критериями. Рассмотрим следующие примеры для пар взаимоисключающих проектов (J.Clarc "Capital Budgeting..."):
Если проект 1 доминирует над проектом 2, т.е. график NPV первого лежит выше графика NPV второго; то проект 1 будет иметь большее значение NPV и PI , чем проект 2, независимо от ставки дисконтирования (затрат на капитал). IRR проекта 1 также выше, чем проекта 2.
Если же графики NPV проектов 3 и 4 касаются в единственной точке, однако во всех остальных точках график NPV проекта 3 лежит выше графика проекта 4; первый проект имеет также более высокой значение IRR . Таким образом, в этих обоих случаях не будет конфликта между упорядочением проектов по трем различным критериям.
Однако если графики NPV проектов 5 и 6 имеют одну точку пересечения; NPV для проекта 5 при нулевой ставке дисконтирования более, чем NPV для проекта 6, а IRR для проекта 6 больше, чем для 5. При таких условиях будет иметь место конфликт между NPV и IRR , если затраты фирмы на капитал меньше, чем та ставка дисконтирования, при которой графики NPV пересекаются (пересечение Фишера). При этих же условиях может иметь место конфликт между NPV и PI , только если существует несоответствие объемов денежных оттоков в проектах 5 и 6; и будет иметь место конфликт между PI и IRR , только если ранжирования по NPV и PI совпадают.
Вообще говоря, может существовать и более одного пересечения Фишера, но мы остановимся на наиболее распространенных случаях, когда оно единственно или вообще отсутствует.
Таким образом, показатель IRR не дает возможности правильно ранжировать проекты. Ведь если целью инвестора будет максимизация нормы доходности, то инвестору придется ограничиться лишь первой единицей инвестиций (вспомним убывающую предельную производительность). Чистая приведенная стоимость (NPV ) служит единственным непротиворечивым показателем, позволяющим осуществить надежное ранжирование вариантов проекта в соответствии с задачей максимизации выгод от капиталовложений. Общество получает максимальную выгоду, выбирая не наиболее доходные инвестиции, а инвестиции, приносящие наибольшую ценность (наиболее “ценные” инвестиции). Однако если необходимо выбирать между проектами А и С, у которых NPV (А) > NPV (C), но PI (A) < PI (C), считается целесообразным ориентироваться на индекс прибыльности, поскольку этот показатель отражает эффективность единицы инвестиций. Кроме того, когда существует ограниченность ресурсов (что характерно для нашей экономики) индекс прибыльности позволяет подобрать наиболее эффективный портфель инвестиционных проектов.
Многие специалисты по проектному анализу предпочитают критерий чистой приведенной стоимости из-за его простоты, однозначности и предоставляемой им возможности выбора оптимального проекта из ряда вариантов. Для использования этого показателя нужно, чтобы специалисты по проектному анализу подготовили информацию об альтернативной стоимости капитала, т.е. определили норму дисконта. Последнее возможно лишь при условии нормально функционирующего рынка капитала и четкого представления о существующих альтернативных возможностях. Во многих странах, однако, число неотложных капиталовложений превышает имеющиеся фонды, а в других странах рынки капитала недостаточно развиты или не могут свободно функционировать. В таких условиях специалисты по проектному анализу могут отдать предпочтение внутренней ставке дохода как показателю достоинства проекта, так как этот показатель легко сопоставим с процентными ставками на внутренние или международные займы для финансирования инвестиций в проект. В практике Мирового банка внутренняя ставка дохода используется в качестве основного показателя при передаче на утверждение материалов о предоставлении займов под проекты, так как внутренняя ставка дохода позволяет не проводить детального сравнения альтернативной стоимости капитала в разных странах-членах Мирового банка и избежать трудностей, связанных с выявлением мировой альтернативной стоимости капитала. Тем не менее, при обосновании осуществимости отдельных проектов-кандидатов на финансирование банком, используется показатель чистой приведенной стоимости в интересах сравнения вариантов и выбора наилучшего варианта проекта.
Понятие «чистая приведенная стоимость»
обычно всплывает в сознании, когда требуется оценить целесообразность тех или иных .
Существуют математически обоснованные тезисы, в которых фигурирует концепция (чистой) и которых стоит придерживаться всякий раз, когда у вас возникает идея раскошелиться на тот или иной .
Чтобы понять, что такое чистая приведенная стоимость , мы детальнейшим образом разберем конкретный (гипотетический) пример.
Для этого нам придется вспомнить некоторые базовые сведения, относящиеся к теме приведенной стоимости, о которой в свое время мы уже вели речь на страницах .
Итак, пример.
Чистая приведенная стоимость: вступление
Предположим, вам в наследство достался земельный участок стоимостью 23 тыс. долл. Плюс – на счетах «завалялось» тысяч этак 280 «зеленых».
Итого – 303 тыс. долл., которые неплохо было бы куда-то пристроить.
На горизонте замаячил вариант со инвестиционной , цена на которую, как предполагают эксперты, через год должна резко устремиться ввысь.
Предположим, стоимость строительства некоего здания составляет приемлемые для нас 280 тыс. долл., а предполагаемая цена продажи уже отстроенного здания – порядка 330 тыс. долл.
Если окажется, что приведенная стоимость 330 тыс. долл. окажется больше объема затраченных вами средств (280 000 долл. + 23 000 долл. = 303 000 долл.), то стоит соглашаться с предложением о строительстве объекта.
При этом разница между обеими величинами и будет той самой чистой приведенной стоимостью, к отысканию которой мы так стремимся.
Для начала, однако, нам придется разобраться с промежуточными расчетами, направленными на установление величины приведенной стоимости .
Как рассчитать приведенную стоимость
Очевидно, 330 тыс.долл., которые мы получим в будущем, стоят дешевле 330 тыс. долл., которыми мы располагаем сегодня. И дело не только в .
Основная причина такого положения вещей в том, что мы можем имеющиеся 330 тыс. долл. инвестировать в безрисковые инструменты наподобие банковских или государственных .
В таком случае для определения «истинной» стоимости наших 330 тыс. долл. к ним требуется присовокупить еще и доход по соответствующему депозиту ().
На эту ситуацию можно посмотреть так: сегодняшние 330 тыс. долл. будут стоит в будущем столько же плюс – процентный доход по безрисковым финансовым инструментам.
Мы вплотную приблизились к пониманию одного из важнейших теории : СЕГОДНЯ стоят ДОРОЖЕ , чем деньги, которые мы получим ЗАВТРА .
Именно поэтому приведенная стоимость любого дохода в будущем будет МЕНЬШЕ его номинального значения, и чтобы его найти, нужно ожидаемый доход умножить на некоторый , заведомо МЕНЬШИЙ единицы.
Обычно этот коэффициент именуется коэффициентом дисконтирования.
Для этого введем в условия задачи размер процентной по безрисковым финансовым инструментам, равный, к примеру, 8 процентам годовых.
В таком случае ставка дисконтирования будет равняться значению дроби 1 / (1 + 0,08):
DF = 1 / (1 + 0,08) = 1 / 1,08 = 0,926 .
Приведенную стоимость 330 тыс. долл. мы рассчитаем так:
PV = DF * C 1 = 0,926 * 330 000 долл. = 305 580 долл .
Альтернативные издержки
Теперь вспомним, о чем мы вели речь в начале нашего разговора.
Если размер наших инвестиций окажется меньше приведенной стоимости того дохода, на который мы рассчитываем, значит соответствующее предложение является ВЫГОДНЫМ , и его следует принять.
Как видим, 303 000 долл. < 305 580 долл., а значит, строительство офиса на нашем участке (скорее всего) окажется вложением…
То, что только что проделали, на языке финансов звучит так: дисконтирование будущих доходов по ставке , которую могут «предложить» иные (альтернативные) финансовые инструменты.
Обозначенную ставку доходности можно именовать по-разному: коэффициентом доходности, ставкой дисконтирования, предельной доходностью, альтернативными на , альтернативными издержками.
Все отмеченные варианты равноупотребимы, и их выбор зависит от контекста.
Стоит обратить внимание на термин «альтернативные издержки» , поскольку он подчеркивает самую суть текущей стоимости денег, доходов и проч.
Вы просто будете нести ПОТЕРИ , равные альтернативным издержкам.
Обо всем этом (и не только) – в другой раз.
Дополнительная информация по теме представлена в статьях:
1. ,
2. .
Удачных инвестиций!
Рассмотрим анализ инвестиционного проекта: рассчитаем основные ключевые показатели эффективности инвестиционного проекта. Среди ключевых показателей можно выделить два наиболее важных — NPV и IRR .
- NPV — чистый дисконтированный доход от инвестиционного проекта (ЧДД).
- IRR — внутренняя норма доходности (ВНД).
Рассмотрим данные показатели более детально и рассчитаем простой пример работы с ними в таблицах Excel.
Чистый дисконтированный доход (NPV)
NPV (Net Present Value , Чистый Дисконтированный Доход ) – пожалуй, один из наиболее популярных и распространенных показателей эффективности инвестиционного проекта. Рассчитывается он как разница между денежными поступлениями от проекта во времени и затратами на него с учетом дисконтирования.
Расчет чистого дисконтированного дохода (NPV):
- Определить текущие затраты на проект (сумма инвестиционных вложений в проект) — Io .
- Произвести расчет текущей стоимости денежных поступлений от проекта. Для этого доходы за каждый отчетный период приводятся к текущей дате (дисконтируются) — PV .
- Вычесть из текущей стоимости доходов (PV) наши затраты на проект (Io). Разница между ними будет чистый дисконтированный доход – NPV .
Расчет дисконтированного дохода (PV)
Расчет чистого дисконтированного дохода (NPV)
NPV=PV-Io
CF – денежный поток от инвестиционного проекта;
Iо — первоначальные инвестиции в проект;
r – ставка дисконта.
Показатель NPV – показывает инвестору доход/убыток от инвестирования денежных средств в инвестиционный проект. Данный доход он может сравнить с доходом в наименее рискованный вид активов — банковский вклад и рассчитать эффективность и целесообразность вложения в инвестиционный проект. Если NPV больше 0, то проект эффективен. После этого можно сравнить значение NPV с доходов от вклада в банк. Если NPV > вклад в наименее рискованный проект, то инвестиции целесообразны.
Формула чистого дисконтированного дохода (NPV) изменяется если инвестиционные вложения в проект осуществляются в несколько этапов (периодов) и имеет следующий вид.
CF – денежный поток;
r — ставка дисконтирования;
n — количество этапов (периодов) инвестирования.
Внутренняя норма доходности (IRR)
Внутренняя норма доходности (Internal Rate of Return , IRR ) – второй наиболее популярный показатель оценки инвестиционных проектов. Он определяет ставку дисконтирования, при которой инвестиции в проект равны 0 (NPV=0). Другими словами затраты на проект равны доходам от инвестиционного проекта.
IRR = r, при которой NPV = 0, находим из формулы:
CF – денежный поток;
It — сумма инвестиционных вложений в проект в t-ом периоде;
n — количество периодов.
Расчет IRR позволяет сравнить эффективность вложения в различные по протяженности инвестиционные проекты (по NPV это сделать нельзя). Данный показатель показывает норму доходности/возможные затраты при вложении денежных средств в проект (в процентах).
Пример определения NPV в Excel
Для наглядности рассчитаем расчет NPV в MS Excel. Для расчета NPV используется функция =ЧПС()
.
Найдем чистый дисконтированный доход (NPV) инвестиционного проекта. Необходимые инвестиции в него — 90 тыс. руб. Денежный поток, которого распределен по времени следующим образом (как на рисунке). Ставка дисконтирования равна 10%.
Произведем расчет чистого дисконтированного дохода по формуле excel:
ЧПС(D3;C3;C4:C11)
Где:
D3 – ставка дисконта.
C3 – вложения в 0 периоде (наши инвестиционные затраты в проект).
C4:C11 – денежный поток проекта за 8 периодов.
В итоге, показатель чистого дисконтированного дохода равен NPV=51,07 >0 , что говорит о том, что есть целесообразность вложения в инвестиционный проект. К примеру, если бы мы вложили 90 тыс. руб в банк со ставкой 10% годовых, то через год получили бы чуть меньше 9 тыс., что меньше чем 51,07 от вложения в инвестиционный проект.
Мастер-класс: «Как рассчитать NPV для бизнес плана»
Рассчитаем Чистую приведенную стоимость и Внутреннюю норму доходности с помощью формул MS EXCEL.
Начнем с определения, точнее с определений.
Чистой приведённой стоимостью (Net present value, NPV) называют сумму дисконтированных значений потока платежей, приведённых к сегодняшнему дню
(взято из Википедии).
Или так: Чистая приведенная стоимость – это Текущая стоимость будущих денежных потоков инвестиционного проекта, рассчитанная с учетом дисконтирования, за вычетом инвестиций (сайт
cfin.
ru)
Или так: Текущая
стоимость ценной бумаги или инвестиционного проекта, определенная путем учета всех текущих и будущих поступлений и расходов при соответствующей ставке процента. (Экономика.
Толковыйсловарь. -
М.
: "
ИНФРА-
М",
Издательство "
ВесьМир".
Дж.
Блэк.)
Примечание1 . Чистую приведённую стоимость также часто называют Чистой текущей стоимостью, Чистым дисконтированным доходом (ЧДД). Но, т.к. соответствующая функция MS EXCEL называется ЧПС() , то и мы будем придерживаться этой терминологии. Кроме того, термин Чистая Приведённая Стоимость (ЧПС) явно указывает на связь с .
Для наших целей (расчет в MS EXCEL) определим NPV так:
Чистая приведённая стоимость - это сумма денежных потоков, представленных в виде платежей произвольной величины, осуществляемых через равные промежутки времени.
Совет : при первом знакомстве с понятием Чистой приведённой стоимости имеет смысл познакомиться с материалами статьи .
Это более формализованное определение без ссылок на проекты, инвестиции и ценные бумаги, т.к. этот метод может применяться для оценки денежных потоков любой природы (хотя, действительно, метод NPV часто применяется для оценки эффективности проектов, в том числе для сравнения проектов с различными денежными потоками).
Также в определении отсутствует понятие дисконтирование, т.к. процедура дисконтирования – это, по сути, вычисление приведенной стоимости по методу .
Как было сказано, в MS EXCEL для вычисления Чистой приведённой стоимости используется функция ЧПС() (английский вариант - NPV()). В ее основе используется формула:
CFn – это денежный поток (денежная сумма) в период n. Всего количество периодов – N. Чтобы показать, является ли денежный поток доходом или расходом (инвестицией), он записывается с определенным знаком (+ для доходов, минус – для расходов). Величина денежного потока в определенные периоды может быть =0, что эквивалентно отсутствию денежного потока в определенный период (см. примечание2 ниже). i – это ставка дисконтирования за период (если задана годовая процентная ставка (пусть 10%), а период равен месяцу, то i = 10%/12).
Примечание2 . Т.к. денежный поток может присутствовать не в каждый период, то определение NPV можно уточнить: Чистая приведённая стоимость - это Приведенная стоимость денежных потоков, представленных в виде платежей произвольной величины, осуществляемых через промежутки времени, кратные определенному периоду (месяц, квартал или год) . Например, начальные инвестиции были сделаны в 1-м и 2-м квартале (указываются со знаком минус), в 3-м, 4-м и 7-м квартале денежных потоков не было, а в 5-6 и 9-м квартале поступила выручка по проекту (указываются со знаком плюс). Для этого случая NPV считается точно также, как и для регулярных платежей (суммы в 3-м, 4-м и 7-м квартале нужно указать =0).
Если сумма приведенных денежных потоков представляющих собой доходы (те, что со знаком +) больше, чем сумма приведенных денежных потоков представляющих собой инвестиции (расходы, со знаком минус), то NPV >0 (проект/ инвестиция окупается). В противном случае NPV <0 и проект убыточен.
Выбор периода дисконтирования для функции ЧПС()
При выборе периода дисконтирования нужно задать себе вопрос: «Если мы прогнозируем на 5 лет вперед, то можем ли мы предсказать денежные потоки с точностью до месяца/ до квартала/ до года?».
На практике, как правило, первые 1-2 года поступления и выплаты можно спрогнозировать более точно, скажем ежемесячно, а в последующие года сроки денежных потоков могут быть определены, скажем, один раз в квартал.
Примечание3 . Естественно, все проекты индивидуальны и никакого единого правила для определения периода существовать не может. Управляющий проекта должен определить наиболее вероятные даты поступления сумм исходя из действующих реалий.
Определившись со сроками денежных потоков, для функции ЧПС() нужно найти наиболее короткий период между денежными потоками. Например, если в 1-й год поступления запланированы ежемесячно, а во 2-й поквартально, то период должен быть выбран равным 1 месяцу. Во втором году суммы денежных потоков в первый и второй месяц кварталов будут равны 0 (см. файл примера, лист NPV ).
В таблице NPV подсчитан двумя способами: через функцию ЧПС()
и формулами (вычисление приведенной стоимости каждой суммы). Из таблицы видно, что уже первая сумма (инвестиция) дисконтирована (-1 000 000 превратился в -991 735,54). Предположим, что первая сумма (-1 000 000) была перечислена 31.01.2010г., значит ее приведенная стоимость (-991 735,54=-1 000 000/(1+10%/12)) рассчитана на 31.12.2009г. (без особой потери точности можно считать, что на 01.01.2010г.)
Это означает, что все суммы приведены не на дату перечисления первой суммы, а на более ранний срок – на начало первого месяца (периода). Таким образом, в формуле предполагается, что первая и все последующие суммы выплачиваются в конце периода.
Если требуется, чтобы все суммы были приведены на дату первой инвестиции, то ее не нужно включать в аргументы функции ЧПС()
, а нужно просто прибавить к получившемуся результату (см. файл примера
).
Сравнение 2-х вариантов дисконтирования приведено в файле примера
, лист NPV:
О точности расчета ставки дисконтирования
Существуют десятки подходов для определения ставки дисконтирования. Для расчетов используется множество показателей: средневзвешенная стоимость капитала компании; ставка рефинансирования; средняя банковская ставка по депозиту; годовой процент инфляции; ставка налога на прибыль; страновая безрисковая ставка; премия за риски проекта и многие другие, а также их комбинации. Не удивительно, что в некоторых случаях расчеты могут быть достаточно трудоемкими. Выбор нужного подхода зависит от конкретной задачи, не будем их рассматривать. Отметим только одно: точность расчета ставки дисконтирования должна соответствовать точности определения дат и сумм денежных потоков. Покажем существующую зависимость (см. файл примера, лист Точность ).
Пусть имеется проект: срок реализации 10 лет, ставка дисконтирования 12%, период денежных потоков – 1 год.
NPV составил 1 070 283,07 (Дисконтировано на дату первого платежа).
Т.к. срок проекта большой, то все понимают, что суммы в 4-10 году определены не точно, а с какой-то приемлемой точностью, скажем +/- 100 000,0. Таким образом, имеем 3 сценария: Базовый (указывается среднее (наиболее «вероятное») значение), Пессимистический (минус 100 000,0 от базового) и оптимистический (плюс 100 000,0 к базовому). Надо понимать, что если базовая сумма 700 000,0, то суммы 800 000,0 и 600 000,0 не менее точны.
Посмотрим, как отреагирует NPV при изменении ставки дисконтирования на +/- 2% (от 10% до 14%):
Рассмотрим увеличение ставки на 2%. Понятно, что при увеличении ставки дисконтирования NPV снижается. Если сравнить диапазоны разброса NPV при 12% и 14%, то видно, что они пересекаются на 71%.
Много это или мало? Денежный поток в 4-6 годах предсказан с точностью 14% (100 000/700 000), что достаточно точно. Изменение ставки дисконтирования на 2% привело к уменьшению NPV на 16% (при сравнении с базовым вариантом). С учетом того, что диапазоны разброса NPV значительно пересекаются из-за точности определения сумм денежных доходов, увеличение на 2% ставки не оказало существенного влияния на NPV проекта (с учетом точности определения сумм денежных потоков). Конечно, это не может быть рекомендацией для всех проектов. Эти расчеты приведены для примера.
Таким образом, с помощью вышеуказанного подхода руководитель проекта должен оценить затраты на дополнительные расчеты более точной ставки дисконтирования, и решить насколько они улучшат оценку NPV.
Совершенно другую ситуацию мы имеем для этого же проекта, если Ставка дисконтирования известна нам с меньшей точностью, скажем +/-3%, а будущие потоки известны с большей точностью +/- 50 000,0
Увеличение ставки дисконтирования на 3% привело к уменьшению NPV на 24% (при сравнении с базовым вариантом). Если сравнить диапазоны разброса NPV при 12% и 15%, то видно, что они пересекаются только на 23%.
Таким образом, руководитель проекта, проанализировав чувствительность NPV к величине ставки дисконтирования, должен понять, существенно ли уточнится расчет NPV после расчета ставки дисконтирования с использованием более точного метода.
После определения сумм и сроков денежных потоков, руководитель проекта может оценить, какую максимальную ставку дисконтирования сможет выдержать проект (критерий NPV = 0). В следующем разделе рассказывается про Внутреннюю норму доходности – IRR.
Внутренняя ставка доходности IRR (ВСД)
Внутренняя ставка доходности (англ. internal rate of return , IRR (ВСД)) - это ставка дисконтирования, при которой Чистая приведённая стоимость (NPV) равна 0. Также используется термин Внутренняя норма доходности (ВНД) (см. файл примера, лист IRR ).
Достоинством IRR состоит в том, что кроме определения уровня рентабельности инвестиции, есть возможность сравнить проекты разного масштаба и различной длительности.
Для расчета IRR используется функция ВСД()
(английский вариант – IRR()). Эта функция тесно связана с функцией ЧПС()
. Для одних и тех же денежных потоков (B5:B14) Ставка доходности, вычисляемая функцией ВСД()
, всегда приводит к нулевой Чистой приведённой стоимости. Взаимосвязь функций отражена в следующей формуле:
=ЧПС(ВСД(B5:B14);B5:B14)
Примечание4 . IRR можно рассчитать и без функции ВСД() : достаточно иметь функцию ЧПС() . Для этого нужно использовать инструмент (поле «Установить в ячейке» должно ссылаться на формулу с ЧПС() , в поле «Значение» установите 0, поле «Изменяя значение ячейки» должно содержать ссылку на ячейку со ставкой).
Расчет NPV при постоянных денежных потоках с помощью функции ПС()
Внутренняя ставка доходности ЧИСТВНДОХ()
По аналогии с ЧПС() , у которой имеется родственная ей функция ВСД() , у ЧИСТНЗ() есть функция ЧИСТВНДОХ() , которая вычисляет годовую ставку дисконтирования, при которой ЧИСТНЗ() возвращает 0.
Расчеты в функции ЧИСТВНДОХ() производятся по формуле:
Где, Pi = i-я сумма денежного потока; di = дата i-й суммы; d1 = дата 1-й суммы (начальная дата, на которую дисконтируются все суммы).
Примечание5 . Функция ЧИСТВНДОХ() используется для .