Абсолютная аддитивная погрешность. Систематические погрешности
Дополнительная погрешность – возникает при отклонениях влияющих факторов от нормальных.
Три формы погрешности.
1. Абсолютная погрешность
2.Относительная погрешность
3. Приведенная погрешность
где Х n – диапазон измерений.
Метрологические характеристики средств измерения
1. Функция преобразования (градуировочная характеристика) – это зависимость между входной и выходной величинами. Выражается в виде графиков, формул и таблиц.
Функция преобразования бывает:
· линейная;
· нелинейная.
Под влиянием различных внешних факторов градуировочная характеристика может изменяться, при этом возникают аддитивные и мультипликативные погрешности.
Аддитивные – это погрешность 0, т.е это погрешность, которая остается постоянной на всем диапазоне измерения.
Мультипликативная - это погрешность крутизны характеристики, т.е погрешность, которая изменяется с увеличением диапазона измерения.
2. Вариация – это разность между двумя показаниями измерительного прибора, соответствующими данной точки диапазона измерений при двух направлениях медленных изменений измеряемой величины. Возникает вследствие трения в опорах и люфтах.
0 10 20 30 40 50 60 70
3. Класс точности – это обобщенная характеристика средств измерения, определяемая пределами, допускаемых основные и дополнительные погрешности, также другими свойствами средств измерения. Придел допускаемой погрешности средств измерения может устанавливаться в виде относительных, абсолютных или приведенной погрешности, в зависимости от характера ее измерения на всем диапазоне измерения.
Если средства измерения имеют аддитивную погрешность или она настолько велика, что мультипликативной можно принибречь, то в этом случае класс точности выражается через предел допустимой абсолютной погрешности.
Δ = + х; Δ = ± (а + вх);
В этом случае класс точности обозначается римскими цифрами или латинскими буквами. Однако указания только абсолютной погрешности позволяет сравнить между собой поточности средства измерения с разным диапазоном измерения, поэтому широкое распространение получило выражение класса точности через предел допускаемой приведенной погрешности.
= + Р; (1)
Шкалы бывают: равномерные и неравномерные.
Если шкала равномерная, то расчет ведется по формуле (1) в единицах измерения и класс точности записывается: 0,5…1,0.
Если шкала будет логарифмическая или гиперболическая, то расчет погрешности ведется в мм: .
Для средства измерения с преобладающей мультипликативной погрешностью, класс точности удобно выражать через придел допускаемой относительной погрешности, т.к. она остается постоянной на всем диапазоне измерения.
= + q;
Пример: …
Для средств измерения, в которых присутствуют как аддитивная, так и мультипликативная погрешности, класс точности выражается через придел допустимой относительной погрешности.
;
где Х – измеряемое значение в данной точке;
Хк – конечное значение шкалы;
С/d = 0,01/0,03;
С – определяется при max значениях приборов, С = + δ;
d - придел допускаемой абсолютной погрешности при 0 показании прибора выраженный в % от верхнего придела измерения,
d = + · 100%;
;
где - суммарная погрешность;
Основная погрешность;
Сумма дополнительных погрешностей;
i – влияющий фактор.
4. Чувствительность средств измерения – это изменение сигнала на выходе к вызвавшему его изменению входной величины:
;
5. Порог чувствительности - это входное воздействие вызывающее min ощутимое изменение выходной величины (измеряется в единицах входной величины).
6. Динамических характеристики средств измерения – это зависимость, определяющая изменения выходной величины как реакцию на известное изменение входной величины (выражается в виде графиков и формул).
Х вх Х вых
Средства измерений.
2. Измерительные преобразователи.
3. Измерительные приборы.
4. Измерительные системы.
5. Вспомогательные средства измерения.
1. Меры – это средства измерения, имеющие нормированные метрологические характеристики, воспроизводящие одну или несколько единиц измерения физической величины.
Меры бывают:
· однозначные (батарейка, конденсаты, гиря);
· многозначные (линейка, набор гирь, конденсатор переменной емкости).
2. Измерительные преобразователи (датчик) – это средство измерения, имеющие нормированные метрологические характеристики, предназначенные для преобразования одной физической величины в другую или в сигнал измерительной информации удобной для хранения, воспроизведения, передачи на расстояние, дальнейших преобразований, но не удобной для непосредственного восприятия наблюдателя.
По зависимости абсолютной погрешности от значений измеряемой величины различают погрешности:
● аддитивные ∆ а, не зависящие от измеряемой величины;
● мультипликативные ∆ м, которые прямо пропорциональны измеряемой величине;
● нелинейные ∆ н, имеющие нелинейную зависимость от измеряемой величины.
Эти погрешности применяют в основном для описания метрологических характеристик СИ. Разделение погрешностей на аддитивные, мультипликативные и нелинейные весьма существенно при решении вопроса о нормировании и математическом описании погрешностей СИ.
Примеры аддитивных погрешностей − от постоянного груза на чашке весов, от неточной установки на нуль стрелки прибора перед измерением, от термо-ЭДС в цепях постоянного тока. Причинами возникновения мультипликативных погрешностей могут быть: изменение коэффициента усиления усилителя, изменение жесткости мембраны датчика манометра или пружины прибора, изменение опорного напряжения в цифровом вольтметре.
Данные разновидности погрешностей иногда называют также так:
● аддитивные---- погрешность нуля;
● мультипликативные-----погрешность крутизны характеристики;
● нелинейные--------- погрешность нелинейности.
В связи с тем, что аддитивная и мультипликативная составляющие погрешности характерны для средства измерения, причём в диапазоне измеряемых величин, то исходя из заданного истинного (действительного) значения линейного размера элемента конструкции (14,3 см), допустим, что использованное средство измерений, позволяет производить измерения в диапазоне от 0,1 см до 25 см, причём обладает единой для всей шкалы средней относительной погрешностью 12,7%, которое рассчитано по формуле (2.5) в 2-ом разделе данной работы. Исходя из выбранного диапазона измерений средства измерений (0.1см − 25 см), возьмём из него, например, 10 равноудалённых фиксированных (эталонных) значений линейного размера элемента конструкции, включая заданное истинное (действительное) значение, равное 14.3 метра. В результате ряд измеряемых эталонных значений линейных размеров L эт i , использованным средством измерения, будет иметь вид: 2,5; 5; 7,5; 10; 12,5; 15; 17,5; 20; 22,5; 25 (см).
Используя выражение (2.5), можно определить значения суммарной абсолютной погрешности для всех членов ряда (L эт i ), а именно:
(3.1)
Рассчитанные значения суммарной абсолютной погрешности ∆ с i для всех членов ряда, с учётом выполнения правил округления результатов измерений и погрешностей измерений (приведены в Приложении 1), представлены в таблице 3.1.
Таблица 3.1
Результаты расчетов суммарной, аддитивной и мультипликативной
абсолютных погрешностей
№ члена ряда | L эт i , м | , % | ∆ с i , см | Δ а, см | Δ м, см |
2,5 | 12,7 | 0,318 | 0,318 | ||
12,7 | 0,635 | 0,318 | 0,318 | ||
7,5 | 12,7 | 0,953 | 0,318 | 0,635 | |
12,7 | 1,270 | 0,318 | 0,952 | ||
12,5 | 12,7 | 1,588 | 0,318 | 1,27 | |
12,7 | 1,905 | 0,318 | 1,587 | ||
17,5 | 12,7 | 2,223 | 0,318 | 1,905 | |
12,7 | 2,540 | 0,318 | 2,222 | ||
22,5 | 12,7 | 2,858 | 0,318 | 2,54 | |
12,7 | 3,175 | 0,318 | 2,857 |
Используя результаты расчётов суммарной абсолютной погрешности ∆ с i и ряд измеряемых эталонных значений линейных размеров L эт i , строится график (см. рис. 3.2) зависимости , при этом аппроксимируются точки по которым он строится. На осях графика обозначаются начальные и конечные значения диапазона измерения средства измерения (Lэн = 2.5 см и Lэк =25 см) и максимального значения суммарной погрешности Δ с (Δ ск = 3,175 см).
Рис. 3.2. График суммарной абсолютной погрешности
На полученном графике (рис. 3.2) выделяется аддитивная составляющая (Δ а) суммарной абсолютной погрешности (Δ с), которая равна суммарной абсолютной погрешности при минимальном (начальном) значении эталонных значений линейных размеров (в начале диапазона измерений СИ), т.е. Δ а = 0,318 см.
Строится график (рис. 3.3) зависимости абсолютной аддитивной погрешности Δ а = f (L ЭТ. i ), который представляет собой прямую параллельную оси абсцисс, проходящей из точки с ординатой Δ а = 0,318 см.
Рис. 3.3. График абсолютной аддитивной погрешности
На полученном графике (см. рис. 3.2) зависимости Δ с i = f (L ЭТ), выделяется график мультипликативной составляющей Δ м = f (L ЭТ). Результаты расчета абсолютной мультипликативной погрешности приведены в таблице 3.1, а график на рисунке 3.4.
Рис. 3.4. График абсолютной мультипликативной погрешности
Исходя из того, что использованное средство измерения обладает единой для всей шкалы средней относительной погрешностью δ ср 12,7%, которое рассчитано по формуле (2.5) в 2-ом разделе данной работы и использовалось для выделения аддитивной и мультипликативной составляющих погрешностей измерений в данном разделе работы, то графиком этой погрешности будет горизонтальная прямая с ординатой 12,7% для всего диапазона изменения линейного размера L ЭТ.
Рассчитаем относительные аддитивные составляющие погрешности (δ а i ) для каждого измерения средством измерения, используя полученное значение Δ а = 0,318 см и зависимость вида:
Результаты расчётов относительных аддитивных составляющих погрешностей (δ а i ) представлены в таблице 3.2, а график на рис.3.5.
Используя результаты расчётов абсолютной мультипликативной составляющей погрешности, которые приведены в таблице 3.1, рассчитаем относительные аддитивные составляющие погрешности (δ м i ) для каждого измерения средством измерения, используя зависимость вида:
Результаты расчётов относительных мультипликативных составляющих погрешностей (δ м i ) представлены в таблице 3.2, а график на рис. 3.6.
Таблица 3.2
Результаты расчётов относительных составляющих погрешностей измерений
№ члена ряда | L эт i , см | δ ср, см | δ а i , см | δ м i , см |
2,5 | 12,7 | 12,72 | 0,0 | |
12,7 | 6,36 | 6,3 | ||
7,5 | 12,7 | 4,24 | 8,5 | |
12,7 | 3,18 | 9,5 | ||
12,5 | 12,7 | 2,544 | 10,2 | |
12,7 | 2,12 | 10,6 | ||
17,5 | 12,7 | 1,8 | 10,9 | |
12,7 | 1,6 | 11,1 | ||
22,5 | 12,7 | 1,4 | 11,3 | |
12,7 | 1,3 | 11,4 |
Рис. 3.5. График относительной аддитивной погрешности
Рис. 3.6. График относительной мультипликативной погрешности
ВЫВОДЫ
Выполненная контрольная работа позволила:
1) произвести расчёт абсолютной, относительной и приведенной погрешностей результатов измерений линейного размера конструкции строящегося здания, средние значения которых составили соответственно:
∆ ср =1,82 cм, %, .
2) рассчитать и построить графики суммарной абсолютной и относительной погрешностей результатов измерений линейного размера конструкции химического оборудования, выделить из них и построить графики аддитивной и мультипликативной составляющих погрешностей;
1. По способу выражения погрешности делятся:
На абсолютные;
Относительные;
Приведённые.
Абсолютную погрешность определяют как разность между измеренным и действительным значениями измеряемой величины (формула 4):
Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины.
Показателем точности абсолютная погрешность служить не может, так как она независима от измеряемой величины. Например, погрешность измерения = 0,5 мм при измерении длины = 100 мм соответствует достаточно высокой точности измерений, а при = 1 мм – низкой.
Относительная погрешность представляется как отношение абсолютной погрешности к действительному значению измеряемой величины. Относительную погрешность находят из отношения (5):
(5)
Относительная погрешность является более точной характеристикой и наиболее информативной, так как даёт возможность сопоставлять результаты и оценивать качество измерений, выполненных в разное время, различными средствами или операторами.
Однако относительная погрешность измерения не может быть использована для нормирования погрешности средств измерений, поскольку при приближении измеряемой величины к нулю незначительные её изменения приводят к громадным изменениям .
Для исключения указанного недостатка вводится понятие приведённой погрешности.
Приведенная погрешность – это отношение значения абсолютной погрешности к постоянному нормирующему значению (формула 6):
(6)
За нормирующее значение принимают либо верхний предел односторонней шкалы средства измерений либо диапазон измерений
2. По характеру зависимости от измеряемой величины погрешности делятся на аддитивные и мультипликативные.
Аддитивной погрешностью (погрешность нуля) называется погрешность средства измерений, остающаяся постоянной во всём диапазоне измерений, т.е. аддитивная погрешность не зависит от значения измеряемой величины.
Аддитивной, например, является погрешность, вызванная неточной установкой нуля у стрелочного прибора с равномерной шкалой.
Мультипликативной погрешностью (погрешность чувствительности) называется погрешность средства измерений, возрастающая или убывающая с ростом измеряемой величины, т.е. мультипликативная погрешность изменяется пропорционально измеряемой величине.
Мультипликативной, например, является погрешность измерения отрезков времени отстающими или спешащими часами. Эта погрешность будет возрастать по абсолютной величине до тех пор, пока владелец часов не выставит их правильно по сигналам точного времени.
3. По характеру проявления погрешности делятся на систематические, случайные и грубые (промахи).
В общем случае погрешность результата измерения включает систематическую и случайную составляющие (формула 7):
где – систематическая составляющая общей погрешности, – случайная составляющая общей погрешности (грубая погрешность входит в состав случайной составляющей).
Систематической погрешностью измерения называется составляющая погрешности результата измерения, которая при повторных измерениях одной и той же величины в одних и тех же условиях остаётся постоянной или закономерно изменяется, обычно прогрессируя.
Систематические погрешности могут вызываться недостаточно точным исполнением принятого принципа и метода измерений, конструктивными недостатками средства измерений.
К систематическим постоянным погрешностям (остающимся постоянными при повторных измерениях) можно отнести погрешность, вызванную температурной деформацией измеряемой детали, и погрешность средства измерений при отклонении температуры от нормальных условий.
Примером систематической прогрессирующей погрешности (закономерно изменяющейся при повторных измерениях), является погрешность, вызванная износом измерительного наконечника средства измерений при контактных измерениях.
Отличительной особенностью систематических погрешностей является предсказуемость их поведения. Так как они искажают результат измерения, их нужно устранять путём введения поправок или юстировкой прибора с доведением систематических погрешностей до допустимого минимума.
Поправка – это значение величины, вводимое в неисправленный результат измерения с целью исключения составляющих систематической погрешности. Путём введения поправки исключают, как правило, систематическую постоянную погрешность средств измерений.
При введении поправки уравнение измерения будет иметь вид (формула 8):
где – показание средства измерений; – значение измеряемой величины; – систематическая погрешность измерения; – поправка.
Поправка численно равна значению систематической погрешности и противоположна ей по знаку .
Полученное при измерении значение величины и уточнённое путём введения в него необходимых поправок на действие систематических погрешностей называют исправленным результатом измерения.
Систематические погрешности в случае, когда они известны и значения их в виде поправок указаны в нормативно-технической документации (паспорте) на средство измерений, должны учитываться в каждом из результатов измерений.
Систематические постоянные погрешности также могут быть выявлены (обнаружены) путём сравнения результатов измерений с другими, полученными более точными методами и средствами.
В ряде случаев удаётся избавиться от систематических погрешностей полностью или частично в процессе измерения даже тогда, когда они неизвестны ни по величине, ни по знаку. Например, при компенсации по знаку измерение организуют таким образом, чтобы систематическая погрешность вошла один раз с одним знаком, а другой раз – с противоположным. Далее берут среднее арифметическое двух результатов – при этом систематическая погрешность исключается.
Случайной погрешностью измерения называется составляющая погрешности результата измерения, которая при повторных измерениях одной и той же величины в одних и тех же условиях изменяется непредвиденно, случайным образом.
Причин, вызывающих случайные погрешности, множество, например перекосы элементов прибора, колебания температуры окружающей среды, округления показаний прибора, изменение внимания оператора и др.
В проявлении этих погрешностей не наблюдается какой-либо закономерности, они обнаруживаются при повторных измерениях одной и той же величины в виде некоторого разброса получаемых результатов.
Случайные погрешности неизбежны, неустранимы и всегда присутствуют в результате измерения. В отличие от систематических случайные погрешности нельзя исключить из результата измерения путём введения поправок, однако их можно существенно уменьшить путём увеличения числа единичных измерений. Это даёт возможность, используя методы теории вероятностей и математической статистики, уточнить результат, т.е. приблизить значение измеряемой величины к истинному.
К случайной погрешности результата измерения относится также промах или грубая погрешность.
Промахом (грубой погрешностью) называется погрешность результата измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда.
Промахи, как правило, возникают из-за ошибок или неправильного действия оператора, неверного отсчёта показаний прибора, резких кратковременных изменений условий при проведении измерений и др. Момент возникновения промахов для экспериментатора случаен и неизвестен. При многократных измерениях совокупность полученных результатов может содержать несколько результатов, имеющих в своём составе грубые погрешности.
Если промахи обнаруживаются в процессе измерений, то результаты, их содержащие, отбрасываются как недостоверные. Как правило, выявление промахов производится на основании анализа результатов измерений с помощью различных вероятностных критериев.
Разделение погрешностей на систематические и случайные имеет большое значение при разработке методов уменьшения погрешностей, но не всегда легко осуществимо. Иногда в зависимости от способа выполнения одного и того же измерения погрешность результата может быть как систематической, так и случайной.
4. По источнику возникновения погрешности делятся на методические, субъективные и инструментальные.
Методическая погрешность (погрешность метода измерения) – это составляющая погрешности измерения, обусловленная недостатками теории или метода измерений.
Эта погрешность возникает вследствие: допущенных упрощений при проведении измерений, из-за неточности передачи размера величины от объекта к средству измерений, погрешности обработки данных и др.
К методическим относятся также составляющие погрешности, обусловленные ограниченной точностью формул, используемых для нахождения результата измерения, и несовершенством приёмов, с помощью которых реализуют принцип измерений. Примером такой погрешности является косвенное измерение электрического сопротивления на основе закона Ома (с помощью амперметра и вольтметра). В зависимости от подключения приборов показания того или другого содержат систематические погрешности, что обусловливает погрешность результата.
В большинстве случаев методические погрешности носят систематический характер, однако возможно и случайное их проявление. Например, если уравнения метода измерений включают в себя коэффициенты, зависящие от условий измерений, которые меняются случайным образом.
Главной особенностью методических погрешностей является то обстоятельство, что они не могут быть указаны в паспорте прибора, а должны оцениваться самим экспериментатором, т.е. методические погрешности не зависят от качества изготовления средства измерений.
Субъективная погрешность (погрешность отсчёта, личная погрешность) – это составляющая погрешности измерения, зависящая от оператора.
Эта погрешность обусловлена индивидуальными особенностями оператора (невнимательность, недостаток или отсутствие квалификации), влиянием теплоизлучения оператора на средство измерений.
Такая погрешность проявляется в тех случаях, когда считывание показаний и фиксирование (регистрация) результатов наблюдений осуществляются либо оператором, либо автоматически; главная их причина – неточность, округление отсчётов.
Субъективные погрешности не могут быть указаны в паспорте на средство измерений. Поэтому для того чтобы их избежать, необходимо соблюдать правила эксплуатации средств измерений, повышать навыки работы с измерительной техникой и совершенствовать отсчётные устройства.
Инструментальная погрешность (приборная, аппаратурная) – это составляющая погрешности измерения, обусловленная погрешностью применяемого средства измерений.
Эта погрешность определяется несовершенством средства измерений, конструктивными и технологическими ограничениями, влиянием внешних условий.
Инструментальная погрешность включает в себя погрешность средства измерений и погрешность взаимодействия средства измерений с объектом.
Погрешность взаимодействия средства измерений с объектом возникает из-за того, что передача информации всегда связана с отбором какой-то энергии от объекта. Взаимодействие средства измерений с объектом может быть различным по физической природе: механическим, электрическим, тепловым и т.д. Однако в любом случае оно связано с энергетическим обменом между объектом и средством измерений, происходящим во времени и пространстве.
К инструментальным погрешностям обычно относят также помехи на входе средства измерений, вызываемые его подключением к объекту измерений. Например, при включении измерительного прибора в электрическую цепь изменяется режим работы данной цепи.
Необходимо различать погрешность средства измерений и погрешность измерения. Погрешность средства измерений является лишь частью погрешности измерений.
5. По условиям применения средства измерений погрешности делятся на основные и дополнительные.
Основная погрешность – погрешность средства измерений в нормальных (лабораторных) условиях применения, обусловленная свойствами средства измерений.
Эти условия устанавливаются нормативно-техническими документами на виды средств измерений или отдельные их типы. Установление условий применения и особенно нормальных условий является весьма важным для обеспечения единообразия метрологических характеристик средств измерений.
Основная погрешность может включать погрешность вариации , проявляющуюся в разности показаний средства измерений в одной и той же точке диапазона измерений при разных направлениях подхода к этой точке; погрешность градуировки , обусловленную погрешностями образцовых средств, использованных в процессе градуирования средства измерений; погрешность квантования – операцию округления в цифровых измерительных приборах.
Дополнительная погрешность – составляющая погрешности средства измерений, возникающая дополнительно к основной погрешности вследствие отклонения какой-либо из влияющих величин от нормального её значения или вследствие её выхода за пределы нормальной области значений.
Например, в эксплуатационных условиях при установке средства измерений на самолёте, ему придётся работать при изменении температуры окружающей среды в диапазоне ±50 °С, давления от 10 2 Па до 10 4 МПа, напряжения питания на 20 %, что вызовёт погрешности, значительно превышающие основную.
Основная и дополнительная погрешности определяются в статическом режиме, поэтому они относятся к статическим погрешностям, которые будут рассмотрены в следующем пункте.
6. По условиям изменения измеряемой величины погрешности делятся на статические и динамические.
Источником мультипликативных погрешностей является изменение параметров прибора, вызывающее нестабильность общего коэффициента чувствительности Н = АК/К 0 . Чаще всего это возникает из-за изменения параметров источников питания, изменения температуры окружающей среды, неверной установки прибора и пр. Как уже отмечалось, для устранения систематической мультипликативной погрешности проводится калибровка прибора.
Для уменьшения случайной мультипликативной погрешности используется рациональный выбор параметров и структуры ИУ. Обычно известно необходимое, заданное или желаемое значение общего коэффициента чувствительности ИУ К = К ж. Например, если в качестве ИУ рассматривается ИП, то К ж = 1. Поэтому определение оптимальных значений коэффициентов чувствительности звеньев И У сводится к совместному выполнению двух условий
где функции К = K(k { ,k 2 ,...,k N) и D H = D H (k { ,k 2 >... f k N) зависят от вида структурной схемы ИУ.
В табл. 9.4 показаны результаты решения этой задачи для типовых соединений звеньев И У. Из этой таблицы видно, что при последовательном соединении звеньев ИУ дисперсия D H равна сумме дисперсий погрешностей звеньев D s . В этом случае она не зависит от значений коэффициентов чувствительности звеньев ИУ. Поэтому повышение точности измерений в таких ИУ может достигаться только за счет повышения точности их звеньев (снижения дисперсий D s), или уменьшения числа звеньев N. Исходя из принципа равноточности, рекомендуется при построении таких ИУ выбирать звенья с одинаковыми (или близкими) значениями величин
D s = D Xf /ЛГ, где D M - допустимое значение дисперсии мультипликативной погрешности.
Таблица 9.4
Оптимальные значения коэффициентов чувствительности
звеньев ИУ
Примечание. Принцип равноточности в измерительных системах в известной степени аналогичен принципу равнопрочное™ в механических системах и принципу рав- нонадежности в технических системах.
Условие К = К ж может достигаться выбором необходимого значения коэффициента чувствительности любого звена ИУ. Обычно роль такого звена в приборах выполняет усилитель с регулируемым коэффициентом усиления.
При параллельном и встречно-параллельном соединениях существуют оптимальные значения коэффициентов чувствительности звеньев (и, следовательно, оптимальные параметры ИУ), при которых достигается минимальное значение величины О п и выполняется требование К = К Ж. Их значения зависят от желаемого значения общего коэффициента чувствительности К ж и дисперсий погрешностей звеньев ИУ D s . При таких соединениях звеньев (параллельном и встречно-параллельном) минимальное значение D u равно среднему геометрическому дисперсий погрешностей звеньев. В частности, если И У имеет два звена, то
Отсюда следует: если D x 2 , то D Hm}